đề thi+đáp án đề 13

Câu 1:(2,5 điểm)
x
1
1
+
+
; x ≥ 0, x ≠ 4
x−4
x −2
x +2
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x= 25.

Cho biểu thức:

A=

3. Tìm giá trị của x để A =

−1
.
3

Câu 2: (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ
thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng
trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo.
Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?
Câu3: (1,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x): x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 2 = 0

1. Giải phương trình đã cho khi m =1.
2. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
x1 , x 2 thoả mãn hệ thức: x12 + x 22 = 10
Câu4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với
OA và OE.OA = R2.
3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O, R) lấy điểm K bất kỳ (K
khác B, C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O, R) cắt AB, AC
theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không
đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB,
AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng PM + QN ≥ MN .
Câu5: (0,5 điểm)
Giải phương trình:

1
1 1
x 2 − + x 2 + x + = ( 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1) .
4
4 2


HƯỚNG DẪN GIẢI
CÂU
1

NỘI DUNG

ĐIỂM

2,5đ

1.1 Rút gọn biểu thức
Đặt y = x ⇒ x = y2 ; y ≥ 0, y ≠ 2
y2
1
1
+
+
Khi đó A = 2
y − 4 y −2 y +2
=

y2
y +2
y −2
+
+
y 2 − 4 y 2 − 4 y2 − 4

y ( y + 2)
y2 + 2 y
y
= 2
=
=
y − 4 ( y − 2) ( y + 2) y − 2

Suy ra A =

0,5

x
x −2

1.2 Tính giá trị A khi x= 25
25
5
=
Khi x = 25 ⇒ A =
25 − 2 3
−1
1.3 Tìm x khi A =
3
−1
y
−1
A=
⇔
=
3
y −2 3
⇔ 3y = −y + 2
⇔ 4y = 2
1
1
1

⇔y= ⇔ x = ⇔x=
2
2
4
2

0,5

Gọi số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là x ( x ∈ ¥ ; x > 10 )
số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là y ( y ∈ ¥ , y ≥ 0 )
Chênh lệch số áo trong 1 ngày giữa 2 tổ là: x-y = 10
Tổng số áo tổ 1 may trong 3 ngày, tổ 2 may trong 5 ngày là:
3x+5y = 1310

0,5

1

2,5đ
0,5
2


 y = x − 10
⇔
3x + 5 ( x − 10 ) = 1310
 y = x − 10
⇔
8 x − 50 = 1310

 x − y = 10

3 x + 5 y = 1310

 x = 170
⇔
 y = 160

(Thích hợp đk)

Vậy: Mỗi ngày tổ 1 may được 170 áo, tổ 2 may được 160 áo
3

1đ

Khi m=1 ta có phương trình: x − 4 x + 3 = 0
Tổng hệ số a+b+c = 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm
3.1
c
x1 = 1; x 2 = = 3
a
2
∆ ' x = ( m + 1) − ( m 2 + 2 ) = 2 m − 1
3.2
1
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ 'x = 2m − 1 > 0 ⇔ m >
2

0,5

0,25

2

−b

x
+
x
=
= 2 ( m + 1)
1
2

a
Theo định lý Viét 
 x x = c = m2 + 2
 1 2 a

x12 + x22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2
2

= 4 ( m + 1) − 2 ( m2 + 2 )
2

0,25

2

x12

+ x 22

= 2m + 8 m
= 10 ⇔ 2m2 + 8 m = 10
m = 1
⇔ 2m2 + 8m − 10 = 0 ⇔ 
(loại)
 m = −5

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
4
4.1

3,5đ
1đ


0,5

Vẽ đúng hình và ghi đầy đủ giả thiết kết luận
Do AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O)
·
·
⇒ ACO
= ABO
= 90°

0,5

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp được.
4.2

1đ
AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) ⇒ AB =AC
Ngoài ra: OB = OC = R
Suy ra OA là trung trực của BC ⇒ OA ⊥ BE
∆OAB vuông tại B, đường cao BE
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
OE.OA = OB2 = R 2

4.3

0,5
1đ

PB, PK là 2 tiếp tuyến kẻ từ P đến (O) nên PK = PB
tương tự ta cũng có QK = QC
Cộng vế ta có:
PK + KQ = PB + QC
⇔ AP + PK + KQ + AQ = AP + PB + QC + QA
⇔ AP + PQ + QA = AB + AC
⇔ Chu vi ∆APQ = AB + AC
4.4

0,5

0,5

0,5

0,5