DE PHAN LOAI HS KHA GIOI

Đề THI vào lớp chọn khối 9 năm học 2010 2011
Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Bài 1 (1, 0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 x 12 ;
b) x2 + 2xy + 4y 4 ;
4
2
Bài 2: (2, 5 điểm) Cho biểu thức: P = ( x + x 2 4 x + 1 x 1 + x + 1) ìx( x + 1)3 (1 + x)

x 1

x +1

x 1

x 1

a, Tìm x để P xác định ;
b, Rút gọn P.
c, Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?

Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phơng ba số nguyên
cũng chia hết cho 6.
b, Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
. Với a; b là các số dơng.
+
a b a+b

Bài 4: (3, 0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, D là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho: MDN = ABC. Chứng minh:
a, Hai tam giác BMD và CDN đồng dạng với nhau ; b, MD2 = MN . MB
Bài 5: (1, 5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Một đờng thẳng qua G
cắt các cạnh AB, AC lần lợt ở M và N. Chứng minh rằng:

AB AC
+
=3
AM AN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đề THI vào lớp chọn khối 9 năm học 2010 2011
Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Bài 1 (1, 0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 x 12 ;
b) x2 + 2xy + 4y 4 ;
4
2
Bài 2: (2, 5 điểm) Cho biểu thức: P = ( x + x 2 4 x + 1 x 1 + x + 1) ìx( x + 1)3 (1 + x)

x 1

x +1

x 1

x 1

a, Tìm x để P xác định ;
b, Rút gọn P.
c, Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?

Bài 3: (2,5 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phơng ba số nguyên
cũng chia hết cho 6.
b, Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
. Với a; b là các số dơng.
+
a b a+b

Bài 4: (2, 5 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, D là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho: MDN = ABC. Chứng minh:
a, Hai tam giác BMD và CDN đồng dạng với nhau ; b, MD2 = MN . MB
Bài 5: (1, 5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Một đờng thẳng qua G
cắt các cạnh AB, AC lần lợt ở M và N. Chứng minh rằng:

AB AC
+
=3
AM AN

đáp án biểu điểm

Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3)
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2)
Bài 2: a, Điều kiện: x 1

(0,5điểm)
(0,5điểm)
(0,75điểm)


4
2
2
2
2
b, P = x + x 4 x + 1 x 2 + 2 x 1 + x + 2 x + 1 . x 3 1

x 1

(0,5điểm)

x 1

x4 + x2 + 1 x2 1 x4 + x 2 + 1
=
.
=
x3 1
x 2 1 x3 1

(0,5điểm)

4
2
3
2
c, P = x +3 x + 1 = x( x 1) 3+ x + x + 1 = x + 1

x 1

x 1

(0,25điểm)

x 1

Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ớc của 1:
(0,25điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)
(0,25điểm)
Bài 3: a, Giả sử a + b + c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a)
(0,5điểm)
Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia
hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2. ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l. Chứng tỏ a+c chia hết cho 2. Khi đó tích sẻ
chia hết cho 2.

(0,5điểm)
Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
(0,5điểm)
b, Ta có :
=>

1 1
4
( a b) 2
+
=
0 vì a > 0; b > 0
a b a + b ab( a + b)

(0,5điểm)

1 1
4
Dấu = xảy ra khi a b = 0 <=> a = b
+
a b a+b

(0,5điểm)

Bài 4:
a, Ta có: ABC + BMD= MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,25 điểm)

Hay: ABC + BMD = MDN+ NDC
Mà ABC= MDN(gt)
=> BMD = NDC
(0,5điểm)
Xét hai tam giác BMD và tam giác CDN có:
B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC
=> BMD ~ CDN ( g g )
(0,5 điểm) B
BM MD
BM
BD
b, Ta có BMD ~ CDN
(Vì BD = CD)
=

=
CD DN
MD DN
Xét hai tam giác: BMD và DMN có: MBD = MDN (gt)
BM BD
( chứng minh trên)
=
MD DN
(0,5điểm)
BMD ~ DMN (c-g-c)


MD MB
=
MD 2 = MN .MB

MN MD

M

N

C

(0,25điểm)

D

A

(0,5điểm)

Bài 5:
- Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở P
Vì BP song song với MG nên ta có:

A

AB
AP
(1) (0,25điểm)
=
AM
AG

M

B

G

N
P
D
Q

C


- Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở Q
AC AQ
(2) (0,25 điểm)
=
AN AG
AB AC AP + AQ
Từ (1) và (2) ta có:
(3)
(0,25điểm)
+
=
AM AN
AG

Vì CQ song song với NG nên ta có:

Mặt khác: Xét hai tam giác DPB và DQC có:

BDP = CDQ (đối đỉnh)
DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ cùng song song với MN nên song song với nhau)
DB = DC (AD là trung tuyến)
=> DPB = DQC ( c-g-c) => DP = DQ
(0,25điểm)
=> AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4)
(0,25điểm)
Từ (3) Và (4) ta có:
=>

AB AC 2 AD
+
=
AM AN
AG

AB AC
AD 3
+
= 3 ( Vì G là trọng tâm nên
= )
AM AN
AG 2

(0,25điểm)

-------------------------------------------------------------------------------------------Lu ý: - Các cách giải khác có kết quả đúng đều cho điểm tối đa
- Bài4, bài 5: Vẽ hình sai hoặc không có hình thì không chấm