Nâng cao chất lượng dịch vụ trong mạng ATM kỹ thuật điện tử và thông tin liên lạc 2 07 00 pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA CÔNG NGHỆ

NGUYỄN VĂN TOẢN

NÂNG CAO CHẤT LUỢNG
DỊCH
v ụ• TRONG MẠNG
ATM
•
»
•

Chuyên ngành: Công nghệ Diện tử - Viễn thông
Mã số:

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

HUỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRAN HONG

quân

y _ .f r /
\ .........
/ ____ ______

H À NỘI - 2 0 0 2


M ỤC L Ụ C
LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................................................ 1

CHUONG 1: CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU n h iê n v à m ô h ìn h h à n g đ ợ i ........................3
1.1. Các quá trình ngẫu nhiên...........................................................................................3
1.1.1. Quá trình M arkov................................................................................................ 4
1.1.2. Quá trình biến đ ổ i ...............................................................................................5

1.1.3.Quá trình Poisson.......................................................................................6
1.1.4.

Phương trình Chapm an-Kolm ogrov...................................................... 8

1.1.5. Phương trình cân bằng toàn cụ c.....................................................................9
1.2. Các loại hàng đợi........................................................................................................ 10
1.2.1. K hái niệm và định nghĩa.................................................................................10
1.2.2. Đ ịnh luật số b é ....................................................................................................14
1.2.3. C ác hàng đợi đơn lớp........................................................................................ 15
1.3. Các loại mạng hàng đợi...........................................................................................21
1.3.1. Định tuyến xác suất và định tuyến tiền định...........................................21
1.3.2. Phân loại mạng hàng đợi...............................................................................22
1.4. Các mạng hàng đợi đóng....................................................................................... 24
1.4.1. Định lý Jackson đối với mạng hàng đợi đóng........................................25
1.4.2. Tỉ số đi qua...........................................................................................................26
1.4.3. Đ ộ hiệu dụng tương hỗ....................................................................................27
1.5. Kết luân.......................................................................................................................... 27
CHUƠNG 2: CHẤT LUỢNG DỊCH v ụ TRONG MẠNG ATM ...............................................28
2.1. Giới thiệu....................................................................................................................... 28
2.2. Các loại hình dịch vụ................................................................................................ 29
2.2.1. D ịch vụ tốc đô bit không đổi C B R ............................................................ 29
2.2.2. D ịch vụ tốc độ bit thay đổi V B R .............................................................. 30
2.2.3. D ịch vụ tốc độ bit khả dụng A B R ............................................................. 30
2.2.4. D ịch vụ tốc độ khung đảm bảo G F R ........................................................ 31

2.2.5. D ịch vụ tốc độ không định trước Ư B R .....................................................31
2.3. Các tham số của chất lượng dịch vụ................................................................ 31


2 .3 .1 . T ỉ số mất tế bào C L R ..................................................................................... 31
2 .3 .2 . T ỉ số tế bào bị lỗi C E R ..................................................................................32
2 .3 .3 . Trễ truyền tế bào cực đại M ax-C T D ..........................................................33
2 .3 .4 . Sự thay đổi trễ tế bào đỉnh - đỉnh P 2P - C D V ........................................35
2 .3 .5 . Dung sai trễ tế bào và bùng phát C D V T -B T .......................................... 35
2.3 .6 . K ích thước bùng phát cực đại M B S ........................................................... 35
2 .3 .7 . Tỉ số nhóm tế bào đã bịlỗi nhiều nhất S E C B R .................................... 36
2.3 .8 . Tỉ số tế bào đến sai đích C M R ...................................................................36
2.4. Bản mô tả lưu lượng T D ..........................................................................................36
2 .4 .1 . T ố c độ tế bào đỉnh P C R ................................................................................. 37
2 .4 .2 . T ố c độ tế bào ổn định S C R ........................................................................... 37
2 .4 .3 . T ốc độ tế bào cực tiểu M C R .........................................................................38
2 .4 .4 . K ích thước khung cực đại M F S ...................................................................39
2.5. Quản lý lưu lượng T M ............................................................................................. 39
2 .5 .1 . Điều khiển chấp nhận liên kết C A C ..........................................................39
2 .5 .2 . Điều khiển tham số sử dụng Ư PC .............................................................. 40
2.6. Điều khiển dòng trong mạng A T M ....................................................................42

2.6.1. Thuật toán lịch trình ảo........................................................................... 44
2 .6 .2 . Thuật toán gáo rò..............................................................................................46
2.7. Kết luận......................................................................................................................... 46
CHUƠNG 3: ĐIỀU KHlỂN LIẴJ LUỢNG TRONG MẠNG ATM ......................................... 47
3.1. Nguyên lý tác dụng tối thiểu Potriagin.............................................................47
3.2. Hệ thống không ổn định......................................................................................... 52
3 .2 .1 . Phương trình hệ thống động......................................................................... 52
3 .2 .2 . Các tham số lối ra không ổn định.............................................................. 53

3 .2 .3 . Các hàm mục tiêu không ổn định.............................................................. 56
3.3. Điều khiển luồng tối ưu trong mạng A TM bằng mô hình luồng động.

..........................................................................................................................58
3 .3 .1 . Các luồng tối ưu trong các mạng chuyển mạch g ó i........................... 58


3 .3 .2 . Đ iều khiển tốc độ lưu lượng tối ưutrong c á c m ạng gói và A TM .

60
3.4. Đ ịnh tuyến tối ưu bẳng m ô hình luồng đ ộ n g ................................................... 67
3 .4 .1 . C họn đường tối ưu ch o chuyển m ạch k ê n h ............................................67
3 .4 .2 . Đ ịnh tuyến tối ưu trong m ạng A T M ........................................................... 73
3.5. K ết lu ận...............................................................................................................................81
CHƯƠNG 4: THUẬT TOÁN MAXMIN CÓ ĐIỂU K IỆ N ....................................................82
4.1. G iới th iệu ...........................................................................................................................82
4.2. Bài toán M axm in có điều k iện ................................................................................ 83
4.2.1

T ố i ưu L ex ico g rap h ic.......................................................................................83

4 .1 .2

Phát biểu bài t o á n .............................................................................................84

4 .1 .3 . M ạng m ở rộ n g ........................................................................................................85
4 .1 .4 . M axm in có điều k iện ..........................................................................................87
4.2. Thuật toán C P G .............................................................................................................. 90
4 .2 .1 . Phương pháp dự đoán liên kết đơn...............................................................90
4 .2 .2 . Đ ổ hình C P G .......................................................................................................... 92

4 .2 .3 . Thuật toán C PG trong trườnR hợp đa liên k ế t...........................................93
4.3. K ết luận.............................................................................................................................. 97
KẾT LUẬN.............................................................................................................................................98

CÁC T ừ VIẾT TẮT
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


LỜI MỞ Đ ẦU

Các m ạng tích hợp dịch vụ số băng rộng (B -ISD N ) cần một phổ rộng cho
các ứng dụng thời gian thực như hội nghị truyền hình, video theo nhu cầu, ...
Một trong những đặc tính quan trọng của những ứng dụng này là chúng đòi hỏi
các yêu cầu về chất lượng dịch vụ (Q oS) phải được đảm bảo, công nghệ truyền
dẫn không đổng bộ A T M đã được chọn làm giải pháp. Các vấn đề vể trễ, rung
pha hay phân phối băng thông trong các mạng liên kết xác định là các tham số
ảnh hưởng trực tiếp tới Q oS và có quan hệ hữu cơ với nhau. A TM đã có một số
eiao thức tương tác điều khiển ở cấp mạng (phân phối băng thông), điều khiển

b cấp cuộc gọi (điều khiển chấp nhận liên kết) và điểu khiển ở cấp tế bào (thuật
oán gáo rò). Tuy nhiên, vấn đề tối ưu độ hiệu dụng của toàn mạng là bài toán
ihức tạp, phi tuyến và phân tán. D o đó, một số các điều kiện về tài nguyên
nạng trên tuyến sử dụng phải được áp đặt.
M ột trong c á c bài toán đó là tìm ra một kết nối thoả mãn những yêu cầu
'ề chất lượng dịch vụ dựa trên thuật toán phân phối băng thông M ax-m in cân
tối. Đây là m ột phương pháp có độ hiệu dụng cao, được A TM forum (Version
.0) khuyến nghị. Tuy nhiên, để có được băng thông M ax-m in cân đối trên toàn
lạng ỉà điều khó thực hiện khi lưu lượng dòng trên mạng đã cân xứng. Tốc độ
ịnh trước với đặc điểm thay đổi số lưu lượng dòng được chọn ỉà giải pháp cho

ác bài toán loại này.
Mục đích của luận văn này là trên cơ sở nghiên cứu các quá trình ngẫu
hiên và một số loại hàng đợi để tìm hiểu các tham sô' ảnh hưởng tới chất lượng
Ịch vụ trong mạng A T M . Trên c ơ sở nghiên cứu cá c mô hình dòng, đặc biệt ià
5ng động và áp dụng nguycn lí tác dụng tối thiểu Pontriagin để cực tiểu thời
an trễ và xác suất tắc nghẽn trong m ột hệ thống suy hao. Dựa trên thuật toán
'i ini L exicog rap h ic, bài toán M axm in có điều kiện C M M (Constrained
axim in problem ) đối với tốc độ áp đạt cực tiểu (M R C ) và tốc độ áp đặt đỉnh
’R C ) đã được phát triển.


2

Cấu trúc của luận văn này gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày những lý luận về quá trình ngẫu nhiên mà trọng tâm
à qúa trình Possion, m ột số loại hàng đợi, một số định lí quan trọng trong
nạng hàng đợi đóng.
Chương 2 giới thiệu cá c tham số ành hưởng tới chất lượng dịch vụ trong
nạng A T M và m ột số giao thức điều khiển.
Chương 3 trình bày về m ô hình luồng động và nguyên lí tác dụng tối
hiểu Pontriagin nhằm đạt hiệu xuất mạng.
Chương 4 trình bày bài toán M axm in có điều kiện C M M và kết quả. Đây
à chương quan trọng trong việc từ tiếp cận đến giải quyết vấn đề chất lượng
lịch vụ trong m ạng A T M .
Chất lượng dịch vụ trong m ạng A T M là vấn đề rộng đang cẩn rất nhiều
ghiên cứu, việc hoàn thành luận văn này không tránh khỏi có những thiếu sót,
long nhận được những ý kiến đóng góp của những người quan lâm.


3

Chương 1
C Á C Q U Á T R Ì N H N G Ẫ U N H IÊ N VÀ M Ô H ÌN H H À N G Đ ỢI
1.1. C á c quá trình ngảu nhiên.
Chúng ta xem xét các hệ thống theo thời gian và quan tâm tới cá c đáp
ứng theo theo thời gian của chúng [7], M ột quá trình ngẫu nhiên X , (hoặc X (t))
là một tập cá c biến ngẫu nhiên theo tham số t (thường là thòi gian). M ột cách

chính xác hơn, quá trình ngẫu nhiên là một ánh xạ từ không gian mẫu s theo
hàm của t, mỗi phần tử e Ihuộc s tương ứng với hàm x,(e) [20], như vậy:
- Với mồi giá trị e cho trước, x,(e) là hàm của thời gian.
- Với mỗi giá trị t cho trước, X t(e) là một biến ngẫu nhiên.
- Với một cặp e và t cho trước, x,(e) là một số cố định.
K í hiệu T là không gian tham số, nó là tập các giá trị khả dĩ của t và X t
dược gọi là không gian trạng thái hay tập c á c giá trị khả dĩ, khi đó ta có các
khái niệm sau:
- C ác chuỗi thời gian liên tục: Khi đó T là chu kỳ và tất cả cá c thời điểm
trong chu kỳ đều là nhĩmg giá trị khả d7 của t.
- C ác chuỗi thời gian rời rạc: Khi đó T là tập cá c thời điểm rời rạc với X N
= X (tn ).
- Quá trình trạng thái liên tục: Khi đó X (t) có thể nhận một trong số các
giá trị khả dĩ của một tập biết trước.
- Quá trình trạng thái rời rạc: X (t) nhận một trong số cá c giá trị của một
tập rời rạc.
K í hiệu X (t) là quá trình ngẫu nhiên trong trạng thái X ở thời điểm t. Một
quá trình ngẫu nhiên X (t) hoàn toàn xác định nếu phân bố kết hợp của các biến
ngẫu nhiên X (t,), X ( t2),
thời gian tuần tự tj, t2, t

X (tk) có thể được xác định đối với mọi tập hữu hạn

k, nghĩa là:

F j ( x , ĩ ) = P { X ( t , ) < x ...... X (t n) < x „ Ị
với

X = ( X j , X 2,...,Xn)
_
t = ( t l , t 2 , . . . , t n)

(1.1.1)


4

Ị .1.1. Quá trình Markov.
M ột quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình M arkov khi có tính chất
sau (gọi là tính M arkov).
P|X (t„*,) = x „ l |X ( tn) = x n, . . . , X ( t 1) = x l )}
= P {X (t„ + i) = x „ n I X (t„ ) = x n}

Vn, vt| < . .. < t„+1

Như vậy, trạng thái hiện tại của quá trình tại thời điểm tn+| chỉ phụ thuộc
vào trạng thái của quá trình ở thời điểm trước đó tn (m à không phụ thuộc vào
cách thức mà trạng thái này đạt được). Trạng thái hiện tại chứa đựng tất cả cá c
thông tin cần thiết để xác định đáp ứng trong tương lai của qúa trình. X ác suất
chuyển dịch từ trạng thái i sang trạng thái j là pj j = P { X n+ị = jl X n = i }. Các xác
suất chuyển dịch tạo thành một ma trận chuyển dịch Cp, j) = p , trong đó:
% 0

p = PlO

P0,1
Pll

(1 .1 .3 )

Hàng thứ i là x á c suất quá trình từ trạng thái i chuyển sang các trạng thái

j với j = 0, 1....
Ma trận với c á c phần tử không ủm và tổng m ỗi hàng bằng 1 gọi là ma
trận ngẫu nhiên.
M ột quá trình M arkov tạo thành một chuỗi M arkov thuần nhất khi các
xác suất chuyển dịch P Ị X n+l = jix„ = i } là như nhau đối với mọi n. K í hiệu
P { X ll+1= A I X n = A } = p
P ị X n+1* A I X n = A } = l - p
Khi đó chúng ta có :
P{ Hệ thống sẽ ở trạng thái A trong N đơn vị thời gian I trạng thái hiện tại
của hệ thống là A } — pN.
P{ Hệ thống sẽ ở trạng thái A trong N đơn vị thời gian trước khi rời khỏi
trạng thái này Ị = pN( l - p).
Như vậy, trong thời gian rời rạc, phân bố trôn có dạng hình học và thể
hiện tính không nhớ sẽ thảo luận chi tiết hơn ở phần 1.1.3.


5

Hình Ị . Ị . ì : Thời gian rời rạ c và m ỏ hình trạng thái
Trong trường hợp thời gian liên tục, giả thiết rằng hệ thống ở trạng thái A
tại thời điểm t và tốc độ rời khỏi trạng thái A là |i. X ét thời điểm t + T , xác suất

đê hệ thống ở trong khoảng thời gian từ t đến T là:
P (H ệ thống ở trong trạng thái A trong khoảng thời gian T I trạng thái
hiện tại A } = ( l - |aAt)T/At = e 'MT.
Như vậy, trong thời gian liên tục, hàm phân bố theo thời gian mà hệ
thống sẽ tồn tại trong trạng thái A khi hiện tại nó đang trong trạng thái này có
dạng hàm mũ.

ỉ . 1.2. Quá trình biến đ ổ i.

Hình ỉ . ỉ .2: Mỏ hình quá trình biến đổi
Là một chuồi M arkov đặc biệt, rời rạc theo thời gian và có cá c tính chất:
- Tồn tại m ột không gian trạng thái rời rạc
- C ác trạng thái có thể đếm được.
- Chuyển dịch chỉ có thể xảy ra giữa c á c trạng thái liền kề nhau với các
tốc độ chuyển dịch là:

Pl.j - <

X, khi j

X á c suất chuyển trong khoảng At tới A-iÀt

ịiị khi j

X á c suất chuyển trong khoảng At tới fi,At

0 cá c giá trị

Khi hệ thống ở cá c trạng thái khác

6

Ị. 1.3. Q uá trinh P oisson.
Poisson là một loại quá trình M arkov hay quá trình đếm số các sự kiện
riêng lẻ xảy ra một cách ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian xác định trước.
Chúng ta thường xem những sự kiện này là quá trình đến hàng đợi của khách
hàng.
K í hiệu Ntt là số khách hàng đến hàng đợi trong khoảng thời gian (t,x],
quá trình ngẫu nhiên |N0llt > 0 } là m ột quá trình Poisson nếu với t và T > 0 và
có cá c đặc điểm sau:
1. L à m ột quá trình thời gian thuần nhất, nghĩa là với số nguyên không
âm k, P(N t t+I = k) là độc lập với X hay m ột cách tương ứng NTT+1 là phân
bố N,„.
2. Là m ột quá trình tăng độc lập, nghĩa là N()T và NTT+, là độc lập với
nhau.

3. Là một quá trình tuần tự, nghĩa là P(NTT+l > 2)/t —> 0 khi t —> 0T rên cơ sở này quá trình Poisson có c á c tính chất sau:

Tính không nhớ
Một quá trình Poisson với tham số X , thời gian để khách hàng đầu tiên đi
vào hàng đợi kí hiệu là A và thời gian giữa c á c khách hàng đi vào hàng đợi đều
là cá c biến ngẫu nhiên theo luật hàm mũ.
P(A > t) = P(N OI= 0 ) = e ?'t

(1 .1 .4 )

Rõ ràng P(A < t) = 1- e xt. K í hiệu thời gian giữa cá c khách hàng đi vào
hàng đợi là T. Đ ê tính P (T > t) chúng ta có thể chứng minh rằng, với m ột khách
hàng đi vào hàng đợi tại thời điểm t thì số khách hàng đi vào hàng đợi trong

khoảng thời gian [t,T + t] là bằng 0. Tuy nhiên, biến ngẫu nhiên NS1 mô tả số
khách hàng đi vào hàng đợi trong khoảng thời gian (s ,tj. Do vậy chúng ta giả
thiết rằng có một khách hàng đi vào hàng đợi tại thời điểm t , do đó


7

P ( T > l ) = l i m P ( N T+h.T+h+t= 0 | N M + h = l )
-H m P O W ^ -O )

(115)

= P(Not=0)

= e ^
Phân b ố thời gian giữa các khách hàng đi vào hàng đợi có dạng hàm mũ
là một quá trình Poisson. Ngược lại, số khách hàng đi vào hàng đợi xác định
trong bất kỳ m ột khoảng thời gian nào là một biến ngẫu nhiên. C ác biến ngẫu
nhiên phân b ố hàm mũ là những m ô hình thường gặp và không nhớ là một tính
chất quan trọng của quá trình Poisson. Chúng ta nói một biến ngẫu nhiên T ià
có tính không nhớ hay phân bố xác suất của T là có tính không nhớ nếu P (T > t
+ t IT > x) = P (T > t). Đ iều này nghĩa là xác suất theo thời gian của một khách
hàng tiếp theo đi vào hàng đợi là độc lập với thời gian đã trôi qua khi có một
khách hàns đi vào hàng đợi.
Ngược lại, một biến ngẫu nhiên (liên tục) là có tính không nhớ khi và chỉ
khi nó có phân bố dạng mũ âm.

Tính quan sát ngẫu nhiên
Tính quan sát ngẫu nhiên (Random O bserver Property - ROP) còn được
gọi là tính P A ST A (P oisson Arrivals S ee Time A verages - C ác quá trình đi vào

hàng đợi có phân dạng hàm Poisson) là trọng tâm của lý thuyết xếp hàng. G iả
thiết quá trình ngẫu nhiên { X ,} có m ột khách hàng đi vào hàng đợi tại thời
đ iể m T, tran g th ái c h u y ể n từ X

sang X
T

trạng thái là phân bố của X

t”

• T í n h q u a n sát n g ẫu n h iê n c ủ a c á c
t +

độc lập với sự kiện có một khách hàng đi vào hàng

đợi tại thời điểm X. T heo cách nói khác m ột khách hàng đi vào hàng đợi “nhìn
thấy” hộ thống có một phân bố giống như phân bố mà một khách hàng “nhìn
thấy” khi rời khỏi hàng đợi. Ta có thể giải thích cụ thể hơn như sau:
Sự kiện có một khách hàng di vào hàng đợi trong khoảng thời gian (x h,T| là tương ứng với Nx. hI > 1 (0 < t < t ) nhưng sự kiện NT. ht > 1 lại độc lập


8

với quá khứ cho tới khi tại thời điểm

T -

h do tính không nhớ của hệ thống. Đ ặc

biệt cá c sự kiện x t . h = X và NT, h, > I là độc ỉập với nhau, do đó:

( 1. 1.6)

P ( X T_ h = x | N T_ h<t> l ) = P ( X T_h = x )

cho lì - » 0 , phía trái của phương trình trên tiến tới xác suất của sự kiện một
khách hàng mới đi vào hàng đợi “nhìn thấy” trạng thái X
ta có: P( X

= X và do đó chúng

= X I khách hàng đi vào hàng đợi tại thời điểm x) = P( X
t

“

'

= X ).
T '

Thời gian ch ờ trung binh
Dựa trên nghịch lý đi nhờ xe [6], người ta đã tính được thời gian chờ
trung hình của một hàng đợi là:

X » rr 2

2 X

đối với phân bố dạng hàm mü, ta có:

(X)2
do đó w = X

l.ỉ.4 . Phương trình Chapman-Kolmogrov.
X á c suất để một qúa trình (hệ thống) bắt đầu từ trạng thái i và kết thúc ở
irang thái j sau hai bước chuyển là ] T p . p
sau n bước chuyển, ta kí hiêu là
I,k k,j
k

pin). Với F ' = F " . F m(0 < m < n) ta có :

( 1. 1.8)


Hình 1 .ỉ .3: S ơ đ ồ chuyển dịch từ trạng thái i tới trạnạ thái j sau k bước

1.1.5. Phương trình càn bằng toàn cục.
Phương trình n = 7tP hay

7Tj

=

Z jT t jP j j

với V j thường được gọi là điều kiện

cần bằng (toàn cụ c). Khi Z iP i.j = 1, xác suất để hệ thống trong trạng thái j thực
hiện m ột chuyển dịch sang trạng thái khác chính là xác suất mà hệ thống trong
trạng thái khác thực hiện một chuyển dịch tr'i trạng thái j , hay ta có:

M ỗi phương trình trên được viết cho một trạng thái j . Ý nghĩa của
phương trình toàn cục là có bao nhiêu chuyển dịch từ trạng thái j thì có bấy
nhiêu chuyển dịch tới trạng thái này.

J

J

Hình Ị .Ị .4: S ơ đ ổ m ô tả phương trình cân bằng toàn cục

Nếu c á c phương trình cân bằng đã biết thoả mãn tất cả các trạng thái
ngoại trừ m ột trạng thái nào đó thì chúng cũng sẽ tự thoả mãn trạng thái này do
tính bảo toàn của xác suất của đồ hình.
Chúng ta sẽ đi tìm lời giải của phương trình này như sau:


10

- V iết tất cả cá c điểu kiện cân bàng cho tất cả ngoại trừ một trạng thái
(nghĩa là có n -1 phương trình). K hi đó, cá c phương trình được gán bằng
giá trị tương ứng của các xác suất cân bằng và nghiệm dược xác định tuỳ
thuộc vào một hằng số.
- Phương trình cuối cùng (tự thỏa m ãn) được thay thế bằng điều kiện
chuẩn hoá Zj7ij = 1.
M ột cách thực hiện khác là việt II lần điều kiện cân bằng 7teT = 1, như
vậy 71. E = e trong đó E là một ma trận đơn vị nxn. Như vậy, với phương trình

cân bằng ta c ó 7I.P = 71 hay 7r.(P + E - 1) = e. Từ đó n = e .(P + E - 1 )'1.
C ó thể chỉ ra được rằng, lời giải phương trình cân bàng thuần nhất chỉ có
một nghiêm duy nhất [7].
C ách tiếp cận trực quan phương trình cân bằng toàn cục này dể hiểu
nhưng lời giải của nó khá phức tạp. Chúng ta quan tâm thêm một cách tiếp cận
khác ở phần 1.2.1 sau đây.
1.2. C á c loại hàng đựi.

1.2.1. Khái niệm và định nghĩa.
M ôi trường hàng đợi là một hê thống mà trong đó tắc nghẽn có thể xuất
hiện do thiếu khâu phục vụ so với tổng số yêu cầu tức thời ị 1 ].
Hàng đợi là một khái niệm chỉ hệ thống mà trong đó các gói dữ liệu,
cu ộc gọi, thẻ bài LA N (được gọi chung là khách h à n g )... xếp hàng để chò được
phục vụ và rời khỏi hàng đợi khi phục vụ đã được hoàn thành.

khách hàng đến
hàng đợi

khách hàng rời
hàng đợi khi đã
được phục vụ

Hình Ị .2.1 : M ô hình hàng đợi m ột khâu phụ c vụ, sô khách hàng không xác định

C ác loại hàng đợi là vấn đề chính trong cá c m ô hình máy tính và hệ
truyền thông vì chúng thể hiện dung lượng của một nguồn. Các server tương


đương với cá c nguồn, khách hàng đi vào hàng đợi là công việc, cá c bản tin hay
cá c gói tin tạo nên khối lượng công việc của một hệ thống vật lý. Nhìn chung,

một m ô hình chính xác hơn được xem là một mạng mà cá c hàng đợi thể hiện
cá c nguồn đã thực hiện m ột số công việc.
Bất kỳ hàng đợi nào cũng bao gồm ba thành phần: Quá trình đến xác
định các khách hàng đến hàng đợi lúc nào và khả năng xảy ra của chúng. Bộ
đệm (thường được xem như là chính hàng đợi) là nơi khách hàng chờ để được
phục vụ. Thời gian phục vụ là thời gian một khách hàng được server phục vụ.
Thời gian phục vụ một khách hàng thường được xem xét ở hai khía cạnh: nhu
cầu của khách hàng và tốc độ phục vụ của serv er (đo bằng khối lượng công
việc trong một đơn vị thời gian). Thời gian phục vụ thường được chia theo tốc
độ, m ột trong cá c đại lượng này hoặc cả hai là cá c biến ngẫu nhiên.
C ác hàng đợi thường được phân loại theo kí hiệu của D .G Kedall theo
dạng A /B /C /D /E , ví dụ một hệ thống có k í hiệu M /D /3 là m ột hàng đợi trong hệ
thống khi cá c khách hàng đến hàng đợi theo quy luật phân bố hàm mũ, thời
gian phục vụ là c ố định và có 3 server.
G iả thiết rằng khi At - » 0 , Với X là tốc độ đi vào hàng đợi của khách
hàng, ta có:
À,At = P ịx á c suất một khách hàng đến trong khoảng thời gian At)
ỉ - Ầ.At = P ịx á c suất không có khách hàng đến trong khoảng thời
gian At}
P ịx á c suất có hơn một khách hàng đến trong khoảng thời gian At}

= 0
G ọ i |lI là t ố c đ ộ p h ụ c vụ c ủ a s e r v e r , k h i At - » 0 , ta c ó :

ỊiÀt = P {x á c suất một khách hàng đến trong khoảng thời gian At Ị
1 - ịiAt = P Ịx á c suất không có khách hàng đến trong khoảng thời
gian At}
P ịx á c suất có hơn một khách hàng đến trong khoảng thời gian At}
=

0


12

R õ ràng là l / ji là thời gian trung bình phục vụ m ột khách hàng và
P {x á c suất có hơn một khách hàng đến trong khoảng thời gian Àt và có
hơn một khách hàng đã được phục vụ rời khỏi hàng đợi Ị = 0
Trạng thái của hệ thống tại thời điểm t là số khách hàng trong hàng đợi
kể cả khách hàng đang được phục vụ tại thời điểm đó, kí hiệu là pN(t), N =
1,2,... X é t hệ thống ở thời điểm t + At khi N = 0 , ta có:
P o(t + A t ) = p0 (t)[l-A .A t] + p j(t)n A t

(1 .2 .1 )

và khi N > 0

pN( t + At) = pN(t)[( 1- ẰAt)(l - nAt)] +

P N _J

(t)ẰAt + pN+1|j.At

= p N( [ l - A . A t - n A t ] + pN_j(t)A.At + p N+InAt

( ' '

có bỏ qua cá c thành phần (A t)2 và cao hơn. Cho At —» 0 , ta có
E ^
dt

= l p 0 ( t ) + p i( t ) n

(1.2.3)

= -(Ằ . + n ) p N ( t ) + ^ p N_ i( t ) + HPN+i ( t )

(1.2.4)

dt

với điều kiện là X P ị ( t ) - 1 đối với t > 0.
Vi
Lời giải của phương trình này cho chúng ta hai loại phương trình vi phân
trong trường hợp hệ chuyển dịch và khi hệ cân bằng. Như vậy, khi hệ là cân
bằng, trên cách tiếp cận xác suất, chúng ta nhận lại phương trình cân bằng toàn
cục.
- N ghiệm trong trường hợp hệ đang chuyển dịch: Nếu hàng đợi bắt đầu
từ trạng thái K ứng với điều kiện ban đầu là pK(0 ) = ôjk, cụ thể là -pk(0 ) =
1 và p,(0) = 0 đối với i

k.

- N ghiệm trong trường hợp hệ cân bằng: Khi hệ cân bằng, Pi(t) -> Pi độc
lập với t và dpi(t)/dt = 0 đối với i = 1,2,... 00 . Trong trường hợp này định
nghĩa p = ẰẠt, trong đó p < 1, ta có :
Pi = p-p<>


13

P n+i =

0+p)pN — PP n-i = PN+1Po đối với N ^ 1 •

Sử dụng diều kiện Y^L q Pi = 1 ta c ó: Pi - p‘( 1 - p)
Trong trường hợp hàng đợi có m ột khâu phục vụ, số khách hàng trong hệ
thống (hình 1.2.1):
N = f i p , = Ễ í p - ( 1 - p) = —2 —
1=0
i=0
1- p

(1.2.5)

Số khách hàng trung bình trong hàng đợi trước khi được phục vụ:

N q = Ễ ( i - l ) P i = - E—
1=0
1 -p

( l - P o ) = r i — P = 7^ l-p
1 -p

(1.2.6)

Wq

Hình Ị .2.2: Phán bô' thời gian c h ờ trung bình trong hàng đợi
Thời gian trung bình trong hàng đợi của một khách hàng với giả thiết

nguyên tắc phục vụ là FC FS:

w = Ị ( k + l)pkn“' = —
k=0

1

( .2.7)

n (l - p)

Tlìời gian trung bình trong hàng đợi của một khách hàng trước khi được
phục vụ;

w = w - - = ---- ■£—
M
- n (l-p )

(1.2 .8 )


14

1.2.2. Định luật sô'bé.
G iả sử một hệ thống hàng đợi trong trạng thái cân bằng, khi đó tồn tại
c á c đại lượng hữu hạn sau:
- T ố c độ đến trung bình của khách hàng Ằ, nghĩa là số khách hàng đến
trong một đơn vị thời gian.
- Số khách hàng trung bình (theo thời gian) trong hệ thống L.
- Thời gian trung bình m ột khách hàng được phục vụ w .

Khi đó tồn tại m ột phân b ố duy nhất đối với trạng thái của hệ thống và X

= L.W (định lý số bé). Đ iều này được giải thích như sau:
S ố khách hàng trong hàng đợi của m ột hệ thống tại thời điểm t chính là
số khách hàng đã đến trước và đã đi sau thời điểm t. K í hiệu A uvl (0 < u < V < t)
là số khách hàng đã đến trong khoảng thời gian [u,v] và dời đi sau thời điểm t,
khi đ ó với V < t ta c ó

P ( A o,v+dv,t = n ) = I p ( A 0vi = n - i ) P ( A VtV+dV)t = i )
i=0

(1.2.9)

Nhân hai vế với n và lấy tổng trong khoảng 0 < n < co, ta có
ky,v+dv,l ~

~ l)P (A 0vt — n —l ) P ( A v,v+dv,t - 0
i = 0 n= i
00

+ I

(1 .2 .1 0 )

00

Z i P ( A 0vt = n - i ) P ( A Vĩv+dv,t = i)

i=0n=i

trong đó L vl là số khách hàng đến trong khoảng [0,v], sau đó hệ thống ở tại thời
điểm t. Do

f s ( n - i ) P ( A 0v, = n - i ) = L v,

và

n=i

| s P ( A „ +đVt, = i) = 1 do đó
n=i

biểu thức trên có thể viết lại thành:

^v+dv\t “ Lvt + ^ Ip (A v v+(jv>ị —1) ^ P(Aqvị —m)
i=0
— L vt

M ặt khác vì

S ^ (^ v ,v + d v ,t —

m=0

m=0

( 1.2. 11)


15

00

I » P (A v.v+dv,t —*)

n=i

là số khách hàng đến trong khoảng thời gian dịch vụ sau đó rời khỏi hệ thống
tại thời điểm t. Do vậy, hệ thống trong trạng thái cân bằng với số khách hàng
đến trung bình là X dịch vụ, trong khoảng thời gian dịch vụ ta có:
L v+dV(, - L v t= M l - F ( t - v ) ] d v
trong đó F là hàm phân bố thời gian chờ phục vụ của khách hàng trong trạng
thái ổn định, từ đó
dL,' V t

(1.2 .12)

[1 - F (t - v)]Ằ

dv

Như vậy số khách hàng đến trong khoảng thời điểm t là
t
t
Ltt = J[1 - F (t - v)]A,dv = À.t[l - F ( t ) ] + Ằ. Ju d F (u )
0

(1 .2 .1 3 )

0

khi L 0, = 0 và biến của tích phân u = t -

V.

K h i F có giá trị trung bình hữu hạn,

w = J^udF(u) và [1 - F(t)]t —» 0 khi t -»

00,

tương ứng ta có L tt - >

1.2.3. C ác h àn g đ ợi đơn lớp.
H àn g đ(ri M ỈM /1

Ả

Hình 1.2.3: Mô hình hàng đợi MíMI Ị và c á c qu á trình chuyển dịch

Hàng đợi M /M /l là m ột quá trình biến đổi [1 7 ]. “Đ ến ” ià các khách hàng
nhập vào hàng đợi và “đi” là các khách hàng rời khỏi hàng đợi sau khi đã được
phục vụ. X ét hàng đợi trong trạng thái cân bằng. G iả thiết À.(n) và |i(n) tương


16

ứng là tốc độ đi vào hàng đợi và tốc độ phục vụ khi chiều dài hàng đợi là n
(hàng đợi ớ trong trạng thái n) chúng ta có:
p ( j) = n

k=i

n (k )

vứi .i > °

(1 .2 .1 4 )

Điều kiện cân bằng và cá c xác suất ở trạng thái ổn định như sau:
Hàng đợi là cân bằng khi và chỉ khi
I lk = o P ( k ) < c o

(1 .2 .1 5 )

X á c suất tương ứng 7i(n) đối với trạng thái ổn định n trong hàng đợi cân
bằng là
p (n )/£p (k)
k=0

(1.2.16)

Khi khách hàng đi vào hàng đợi và tốc độ dịch vụ tương ứng là

X và

ji

không đổi đôi với m ọi trạng thái n, chúng ta có loại hàng đợi M /M /l.
V ới hàng đợi này p(k) = pk trong đó p = À. / |i và phân bố xác suất chiểu

dài hàng đợi trong trạng thái n là:

*(">=^=(1-P )P "

( l .2. 17)

Xv
k=0
Đ ây là hàm phân bố hình học, giá trị trung bình của hàng đợi là p /(l-p ).
Độ hiệu dụng của server là u = 1 - 7t(0) = p và tốc độ trung bình rời khỏi hàng
đợi là U(1, kết quả này tất nhiên tuân theo định luật L illte. V ì không c ó giả thiết
gì vẻ nguyên tắc xếp hàng, cả quá trình đi vào hàng đợi và rời khỏi hàng đợi
đều là quá trình Poisson. Do vậy, cá c điều kiện cân bằng và phân bố xác suất
của chiều dài hàng đợi cùng có chung

một nguyên tắc vớicá c giả thiết trên.

Người ta có thể mở rộng loại hàng đợi này khi hệ thống có m server, kí
hiệu là M /M /m . V ới ỉoại hàng đợi này, m server cùng có tốc độ dịch vụ bằng |i,
các quá trình khách hàng đến có phân b ố dạng Poisson với tốc độ X và chiều
dài hàng đợi ià n. Khi chiểu dài hàng đợi là n < m thì chỉ có n server đang phục
vụ. Khi n > 1 server đang phục vụ, thời gian để hoàn thành một dịch vụ tiếp


J7

theo (thời điểm tính từ bắt đầu một khách hàng đi vào hàng đợi hoặc một dịch
vụ được hoàn thành) là cực tiểu đối với cá c biến ngẫu nhiên có phân bố dạng
hàm mũ. Thời gian này là cá c biến ngẫu nhiên theo thời gian, kí hiệu là s,
tương ứng với m ột hàng đợi đơn, do đó:

P (S > t)= P (S 1> t n . . . n S n > t )

(1 .2 .1 8 )

trong đó Si là cá c biến ngẫu nhiên độc lập với tham số n ( 1 < i < n), do đó
P (S > t) > P (S j > t) ...P ( S n > t) =

Hình I..2.4

= Q~(w )ị

(1 .2 .1 9 )

Xác suất nghẽn cuộc gọi (heo công thức Erlang B (m -2 ,3 ,..,8 )

N ghĩa là hàng đợi M /M /m tương ứng với hàng đợi đơn có phân bố thời
gian phục vụ dạng hàm mũ với tham số n và còn được gọi ià hàng đợi đa server.
T rên m ô hình hàng đợi M /M /m , x á c suất m ất m ột cuộc gọi ở một tổng
đài có m dây hay xác suất m ột thuê bao bị từ chối do tổng đài đang bận là [17]:
,

N

r/nĩjum
( l -2 -20)

Đ ây chính ià công thức Erlang B.

H àn g đ ợ i M /G /l

-

- -

...------ .


18

Một hàng đợi với cá c quá trình đi vào hàng đợi có dạng Poisson nhưng
phân bố thời gian phục vụ là bất kỳ. Khi hàng đợi là ổn định, xác suất hàng đợi
là không rỗng là X|i

trong đó ị!'1 là thời gian phục vụ trung bình (|i là tốc độ

phục vụ của server). Đ iều kiện để hàng đợi trong trạng thái ổn định là Ằ.|i 1 < 1.
Chiều dài hàng đợi trung bình L và thời gian chờ trung bình w có thể được xác
định hằng định lí L ittle cùng với tính quan sát ngẫu nhiên.

Công thức Pollazek-Khintchine ịPK)
Thời gian chờ w chờ phục vụ được xốc định như sau:
E[W ]

=

E [N q]
Số khách hàng chờ
phục vụ

.

E fS ]

Thời gian phục vụ
trung bình

+

E [R ]
Thời gian công việc
không hoàn thành

Thời gian trung bình cần để phục vụ
khách hàng trước hàng đợi

Trong đó:
- R là thời gian tiếp tục phục vụ khách hàng trong hàng đợi (công việc
không hoàn thành được xem như là thời gian cần thiết để nhận lại công
việc). Nếu server đang rỗng thì R = 0.
- Nq chính là phương sai tại thời điểm đi vào hàng đợi.

Hình Ị .2.5: Tiến trình công việc khô nạ hoàn thành R(t)

Do tính PA ST A của qúa trình Poisson, cá c phân bố được nhìn thấy bởi
khách hàng đang tới cũng giống như phân bố tại cá c thời điểm tuỳ ý. Từ kết


19

quả của định luật số bé tính quan sát độ dài hàng đợi trung bình có thể được

xem là thời gian chờ trung bình .

E [ N J = Ằ.E[W] => E[W] =

(1.2 .20)

1-p

Như vậy ta phải xác định R [R ] và p = ẦJE[S], C ó thể làm giảm thời gian
dịch vụ còn dư bằng m ô tả hình học (nghịch lý đi nhờ xe). Hình (1 .2 .5 ) m ô tả
tiến trình công việc không hoàn thành R (t) là một hàm của thời gian.
X é t m ột khoảng thời gian t. G iá trị trung bình của đường răng cưa có thể
tính toán bằng cách chia tổng các diện tích của hình tam g iác cho chiều dài của
khoảng thời gian t. Như vậy, các tam g iác có thể được tách ra bởi các khoảng
thời gian m à hệ thống rỗng. S ố tam giác n được xác định thông qua tốc độ đi
vào hệ thống X, giá trị trung bình của nó là Xi. Khi đó

( 1.2 .21 )

Từ đó ta có thời gian chờ trung bình :

( 1.2 .22)
T ừ giá trị thời gian chờ trung bình, giá trị thời gian trong hệ thống được
xác định là:

Em

=

E[S]

+

E[W]

Thời gian phục vụ
m ột khách hàng
e [t] =

E[s]+ AẵlỂI J
2(1- p )

I

\

+
2

J PLl \ h [s]
1- pl

(1 .2 .2 3 )

Trong đó

CỈ =

v [s ] / e |s 2J

e [s 2]=

V [s]+E [sp = ( l + CỈ)E[s]2

Số khách hàng ch ờ trung bình E [N q] và trong hệ thống E[N ] là:

( 1.2 .24)


20

E[N 1= XE[W] = Ể E ể l = 1+CV p2
2(1 - p)
2 1 -p
E[N] = XE[T] = >JE[S] + ^

^

2 (1 - p )

=

P + 1+

‘

(1 .2 .2 5 )

C''

2

p2

1 -p

Do tính đối ngẫu, hàng đợi M /G /l ià hàng đợi G /M /l với phân b ố thời
gian tuỳ ý giữa cá c khách hàng đi vào hàng đợi và phân bố thời gian phục vụ có
dạng hàm mũ.

Công thức PK đối với hàng đọi MIMỈ1
V[S] = E [ S ] 2

=1

(1 .2 .2 5 a )

2

p

£ [/V ] = p +

=

\ -p
E[T] =

p

(1 .2 .2 5 b )

1- p

,E[S) = - ^ - .E [ S )
1- p

(1 .2 .2 5 c )

Công thức PK đối với hàng đợi MIDIl
V [S] = 0 => c ị = 0
E [N ] =

E [T ] =

P +

1+

1 p2
2 1- p
1 p
21-p

(1 .2 .2 6 )
E [S]

Ví dụ :
Bộ đệm lối ra của một hợp kênh A TM có thể được m ô tả thành hàng đợi
M /D /l. Thời gian phục vụ không đổi của một tế bào A T M là c ố định bằng 53

octets và thời gian truyền đi trong một liên kết là không đổi. Nếu tốc độ là 155
M bps, thời gian truyền là

s=

5 3 .8 /1 5 5

|ÌS

0,8,2
E[N ] = 0,8 + = 2,4
2 1 0,8
-

E[T] =

1+

1

0,8

2 1 - 0 ,8

■2,7j.is =

8 , 1 ịlxs

= 2 ,7 p,s. K h i đó

21

H àng đợi GỈG/1
Trong hàng đợi G /G /l, phân bố thời gian giữa các khách hàng đi vào
hàng đợi và thời gian phục vụ đều là tuỳ ý. Do vậy, cả hai quá trình trên đều là
c á c quá trình tái sinh. G iả thiết phân bố thời gian phục vụ là độc lập đối với
chiều dài hàng đợi và nguyên tắc xếp hàng là đến trước phục vụ trước FC FS.
V ớ i hàng đợi M /G /l, phân bố chiều dài theo thời gian của hàng đợi tại các thời
điểm khách hàng rời khỏi hàng không là các quá trình M arkov khi phân bố thời
gian của một khách hàng tiếp theo đi vào hàng không độc lập hoàn toàn với quá
khứ. Tất nhiên, cá c thời điểm mà tại đó cá c khách hàng “nhìn thấy” một hàng
đợi rỗng là một chuỗi M arkov khi phân bố thời gian giữa các quá trình khách
hàng đi vào và rời khỏi hàng đợi là đã biết. V ì chiều dài hàng đợi tại cá c thời
điểm này ià bằng không do đó có thể xem đấy là m ột quá trình thời gian liên
tục. Tuy vậy, thời gian cá c khách hàng đi vào hàng đợi {Q nln > 1} được xác
định là thời gian rời rạc đối với mội chuỗi M arkov không gian trạng thái liên
lụ c. Đ iều này được giải thích là với thời gian khách hàng đi vào hàng đợi đã
biết, thời gian khách hàng đi vào hàng đợi tiếp Iheo được xác định qua thời gian
được phục vụ của khách hàng trước đó và thời gian giữa cá c khách hàng đi vào
hàng đợi.

1.3. Các loại mạng hàng đợi.
X ét cá c hệ thống với N server, chiều dài tại mỗi hàng đợi là không giới
hạn. Khi m ột khách hàng rời khỏi m ột hàng đợi và đi vào một hàng đợi khác
được mô tả bằng một chuỗi M arkov không kể đến sự khác biệt về đặc tính của
c á c khách hàng đó. Nghĩa là bất kỳ m ột khách hàng đi qua server được mô tả
bằng xác suất Xị có điều kiện của nó với tính chất [2]:
P { X i+lIX „ X 2,..,X i} = P { X l+i\X,ì với Vi > 1

(1 .3 .1 )

M ô hình mạng này thường được gọi là mạng Jack so n , nó đóng một vai
trò quan trọng trong phân tích cá c mạng máy tính và truyền dữ liệu phức tạp.

1.3.1. Định tuyến xác suất và định tuyến tiền định.
X ét một m ạng hàng đợi trong đó một khách hàng rời khỏi hàng đợi Q i có
thể đi vào m ột trong số cá c hàng đợi Qr ...Q k (hoặc có thể rời khỏi hệ thống