Đề và đáp án thi thử ĐH số 28

wWw.VipLam.Info
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn: Toán. Khối A, B.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I. (2 điểm).

Cho hàm số

y=

2 x −1
x +1

(1).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua
M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.
Câu II. (2 điểm)

1
+
x

1) Giải phương trình sau:
2) Giải phương trình lượng giác:

1
2 − x2

=2.

sin 4 2 x + cos 4 2 x
tan(

π

4

− x).tan(

π

4

+ x)

= cos 4 4 x

.

Câu III. (1 điểm) Tính giới hạn sau:

L = lim

3

ln(2e − e.cos2 x) − 1 + x 2
x2

x →0

Câu IV. (2 điểm)
Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r. Gọi I
là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các
đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón).
1. Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;
2. Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi. Với điều kiện nào của bán kính
đáy thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?
Câu V (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
1
2

Câu VI. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0)
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình :

2
2
x 2 + 2010
2009 y − x =

y 2 + 2010

3log3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) +1
--------------- HẾT ---------------

wWw.VipLam.Info
Ghi chú:

- Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ……….…………………Số báo danh:


wWw.VipLam.Info
HƯỚNG DẪN
CÂU
I.1

NỘI DUNG
Hàm số: y =

2 x −1
3
=2−
x +1
x +1
lim y = 2; lim

+) Giới hạn, tiệm cận:

x →+∞

ĐIỂM

y = 2; lim y = −∞; lim y = +∞
x → ( −1)+

x →−∞

x → ( −1)−

- TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.
3
> 0, ∀x ∈ D
+) y ' =
2
( x + 1)
+) BBT:

-∞

x
y'
y

+∞

-1
||

+

+

+∞

||
2

2
−∞

+) ĐT:

1 điểm
8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

I.2

II.1

3

y −y

1 điểm

+) ycbt ⇔ kM .kIM = −9
+) Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
+) ĐK: x ∈ (− 2; 2) \ {0}
 x + y = 2 xy
+) Đặt y = 2 − x 2 , y > 0 Ta có hệ:  2
2
x + y = 2

−1 + 3 
−1 − 3
x =
x =


2
2
;

+) Giải hệ đx ta được x = y = 1 và 
 y = −1 − 3  y = −1 + 3


2
2

+) Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và x =
II.2

−3

M
I
+) Ta có I(- 1; 2). Gọi M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ; 2 − x + 1) ⇒ k IM = x − x = ( x + 1) 2
0
M
I
0
3
+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M = y '( x0 ) =
2
( x0 + 1)

+) ĐK: x ≠

π
π
+ k ,k ∈Z
4

2

1 điểm

−1 − 3
2

1 điểm


wWw.VipLam.Info
III

L = lim

3

ln(2e − e.cos2 x) − 1 + x 2
x2

x →0

= lim

IV.1








2
−1
 = lim  ln(1 + 2sin 2 x) +

 x →0 

2
3
2
2
2
3
x
(1 + x ) + 1 + x +1 


2sin 2 x

 2sin 2 x


1 điểm

1 5
=
3 3

+) Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là bán

kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

S SAB
Ta có:

S

1
= prC = (l + r ).rC = SM . AB
2

⇒ rC =

l

1 điểm

l − r .2r
l −r
=r
2(l + r )
l+r
2

2

2
2
+) Scầu = 4π r C = 4π r

IV.2

x2

x →0



3
ln(1 + 2sin 2 2 x) 1 − 1 + x 2
= lim 
+
x →0  x 2
x2

2sin 2 x
 2sin 2 x
=2−

3

ln(1 +1 − cos2 x) +1 − 1 + x 2

I

l −r
l+r

A

M

r

B

+) Đặt :
y(r ) =

lr 2 − r 3
,0 < r < l
l+r


− 5 −1
l
r =
−2r ( r + rl − l )
2

+) y '(r ) =
=
0
⇔
(l + r ) 2

5 −1
l
r =


2
2

2

+) BBT:

r

0

y'(r)
y(r)

V

5 −1
l
2

l

1 điểm

ymax

5 −1
+) Ta có max Scầu đạt ⇔ y(r) đạt max ⇔ r =
l
2

+) Ta có
P = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )

x2 + y 2 + z 2 − ( x + y + z )2 
P = (x + y + z)  x2 + y 2 + z 2 +

2



 ( x + y + z)2 
2 − ( x + y + z )2 
P = ( x + y + z ) 2 +
 = ( x + y + z ) 3 +

2
2





1
+) Đặt x +y + z = t, t ≤ 6( Bunhia cov xki) , ta được: P (t ) = 3t − t 3
2

+) P '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2 , P( ± 6 ) = 0; P ( − 2) = −2 2 ; P ( 2) = 2 2
+) KL: MaxP = 2 2; MinP = −2 2

1 điểm

wWw.VipLam.Info
VI

+) d ( I , AB) =

5 ⇒
AD
2

= 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5.

+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của

 x = 2

1 2
25

2
( x − ) + y =
  y = 2 ⇒ A(−2;0), B(2; 2)
⇔
4
hệ:  2
  x = −2
 x − 2 y + 2 = 0


  y = 0

⇒ C (3;0), D(−1; −2)
VII


2 −x 2
x 2 + 2010
y
=
(1)
2009

y 2 + 2010

3log3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) +1(2)

+) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt:
x 2 + log 2009 ( x 2 + 2010) = y 2 + log 2009 ( y 2 + 2010)
+) Xét và CM HS f (t ) = t + log 2009 (t + 2010), t ≥ 0 đồng biến,
từ đó suy ra x2 = y2 ⇔ x= y, x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t
t

t

1 8
Đưa pt về dạng  ÷ +  ÷ = 1 , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1
9 9

⇒ x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log3(y + 6) = 1 ⇒ y = - 3 ⇒ x = 3
Ghi chú:
- Các cách giải khác với cách giải trong đáp án mà vẫn đúng, đủ thì cũng cho
điểm tối đa.
- Người chấm có thể chia nhỏ thang điểm theo gợi ý các bước giải.