skkn GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN TRONG một số đề THI CAO ĐẲNG và đại học BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (818.66 KB, 30 trang )
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
"GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG MỘT SỐ ĐỀ
THI CAO ĐẲNG - ĐẠI HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ "
Phần 1:
MỞ ĐẦ U
I. Lý do chọn đề tài
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Hình học là phần khó của chương trình toán
nhất là hình học không gi an, thường các em đều sợ khi học phần này. Muốn học sinh học tốt
được phần hình học này thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các
tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách
gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì
việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là
một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em t hành những con người năng
động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát
huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy n gười giáo viên phải gây được hứng
thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế b ài giảng lại khoa học, hợp lý,
phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm,
và phải phù hợp với việc nhận th ức của các em. Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh
lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng
cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập,
trong việc làm. Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một
cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học nói chung và môn toán sẽ ngày
một nâng cao.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục v à Đào tạo nhất là đề th i cao
đẳng, đại học các năm và các tài liệu thì t rong kì thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng, bài toán
hình học không gian: tính thể tích khối đa diện, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng,
khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau… tuy không
được đánh giá là bài khó của đề nhưng nó lại luôn gây không ít khó khăn cho học sinh khi tư duy
hình vẽ, đặc biệt là kẻ đường phụ. Thực tế cho thấy có một số em không giải được bài toán này
nhưng lại giải rất tốt bài hình học tọa độ trong không gian.
Vì lí do đó s au một thời gian nghiên cứu tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giải bài
toán hình học không gian trong một số đề thi Cao Đẳng - Đại Học bằng phương pháp tọa
độ ”.
II. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
1). Thuận lợi:
- Được sự quan tâm hổ trợ của ngành giáo dục, giáo viên thường xuyên được tham dự các
lớp bồi dưỡng kiến thức, phương pháp, ứng dụng mới cho công tác dạy và học.
- Có sự quan tâm, ủng hộ của Ban giám hiệu nhà trường và sự hổ trợ tích cực của tổ
bộ môn.
- Có nhiều năm dạy lớp 12 nên tích lũy được một số kinh nghiệm .
- Do trường tổ chức học hai buổi sáng chiều nên có thêm tiết luyện tập.
2). Khó khăn:
- Thiếu các công cụ hỗ trợ trong quá trình giảng dạy.
- Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được.
- Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ.
1
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
- Là một trường ở miền núi, học sinh đầu vào do tuyển sinh lại của các trường thi tuyển đa
số là học sinh trung bình khá nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các học sinh với nhau.
Việc hướng dẫn các em nắm bắt được kiến thức là hết sức khó khăn.
3). Phạm vi, đối tượng, thời gian thực hiện:
- Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng của đề tài là học sinh lớp 12 đang chuẩn bị cho các kì thi
tố nghiệp, cao đẳng, đại học và trung cấp chuyên nghiệp.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian trong các đề thi thử, đề thi đại
học các năm
- Thực hiện đề tài trong các giờ luyện tập tiết tăng của lớp 12 vào các buổi chiều.
4). Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
a). Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK Hình học 12, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
b). Nghiên cứu thực tế :
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung Giải các bài tập hình học không gian và bài tập
hình học không gian tọa độ.
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành th ực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để
kiểm tra tính khả thi của đề tài.
Phần 2:
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1) Vị trí của môn Toán trong nhà trường:
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận
thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng
tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình
học của học sinh
Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp
với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương
pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân
cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới.
2) Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT:
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ
cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích
hoạt động để chứng tỏ mình.
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập
trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú t rong học tập và phải thường xuyên
được luyện tập.
- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng xung quanh
nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, s áng tạo nên trong dạy học giáo
viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
3) Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học:
2
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú. Đó
là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt,
căng thẳng, quá tải. Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức
chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là
điều không thể xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua
những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo sang
hoạt động học tập là chủ đạo. Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt ra là thường xuyên đối với
các em ở tất cả các môn học. Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh THPT gặp
phải một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em mới quen dần với
cách học đó. Do vậy giờ học sẽ trở nên nặn g nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu
người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa.
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học tức
là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động
của các em. Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật,
đó là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò mò và tư duy
độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ. Muốn các em học được thì trước hết
giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho
phù hợp.
Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trã i qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu
không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng
tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có
kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, học
tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.
II. Cơ sở thực tiễn
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám
phá, sáng tạo t hì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi
người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức,
thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy.
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học s inh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật
cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và
bài tập từ đơn giản đến nâng cao the o dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh.
III. Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
A. Kiến thức cần nhớ
1) Các hệ thức cơ bản và công thức diện tích trong hình học phẳng
1.1) Hệ thức lượng trong tam giác vuông :
Cho tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao ta có:
BC 2 AB 2 AC 2
AB 2 BC.BH
2
AC BC.HC
AB. AC AH .BC
AH 2 BH .HC
1
1
1
2
2
AH
AB
AC 2
c.Ð
c.H
c.K
* cos
c.H
c.Ð
* tan
c.K
c.K
* cot
c.Ð
* sin
* AB BC sin C
BC cos B
AC tan C
* AC BC sin B
BC cos C
AB tan B
3
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
1.2) Công thức tính diện tích tam giác (h, đ cao tương ứng, p nửa chu vi, r bán k đường tròn nội
tiếp)
* S
* S
* S
* S
* S
1
1
1
a.ha b.hb c.hc
2
2
2
1
1
1
bc sin A ac sin B ab sin C
2
2
2
abc
4R
pr
p ( p a )( p b)( p c )
* dien tich hinh tron S = r 2
1
* dien tich hinh quat S = r 2
2
* dien tich da giac deu n canh a S =
na
cot
4
2
1.3) Công thức tính diện tích tứ giác
h. vuông
S = a2
h.chữ nhật
S = a.b
h. bình hành
S = a.h
h. thang
S=
h. thoi
1
( a b) h
2
S=
1
a.b
2
2) Hình học không gian.
2.1) Góc giữa hai đường thẳng
* ĐN: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song với a và b.
a'
a
O
b'
(a,
b) (a',
b')
b
2.2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
* ĐN: Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mp(P)
trong không gian là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
lên mp(P).
(a,(P)) (a,
a')
*Chú ý:
+ Để tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng ta thường đưa về góc trong một tam giác
vuông, sau đó sử dụng tỉ số tan φ , cos φ , sin φ …
a
a'
O
= 900.
+ Nếu a (P) thì a,(P)
2.3) Góc giữa mp ( α ) và mp (β) cắt nhau .
a). ĐN: là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng đó
4
THPT Định Quán
P
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
b). Cách xác định:
Xác định ( ) () .Trên tìm điểm
O , từ O dựng tia Ox (Ox ) và
Oy (Oy ) khi đó: ((
),()) = (Ox,Oy)
o
y
Chú ý:
x
90 0
+ ((
nếu 0 0 xOy
),()) = xOy
90 0
nếu xOy
+ ((
),()) =1800 - xOy
2.4) Đường thẳng song song mặt phẳng
a) Định nghĩa: a / /(P) a (P)
d ( )
b) Định lí 1:
d / /d ' d / /()
d ' ( )
a / /( )
c) Định lí 2:
() a
b / /a
() ( ) b
α
β
( ) ()
( ) / /d
d) Định lí 3:
d '/ /d
() / /d
( ) () d '
2.5) Mặt phẳng song song với mặt phẳng
a) Định lí 1:
d
d'
a,b (P)
(P) / /(Q)
a b I
a / /(Q),b / /(Q)
a
P
b
Q
a
b) Định lí 2:
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
P
Q
3) Hệ trục tọa độ trong không gian
3.1) Phương trình mặt phẳng:
a) Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)
A(x x 0 ) B(y y 0 ) C(z z0 ) 0
5
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
b) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a ; 0; 0), B(0; b; 0);C(0; 0; c) với a,b,c 0:
x y z
1
a b c
3.2) Phương trình tham số của đường thẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1; a2; a3)
x xo a1t
(d) :
y yo a2 t (t )
z z o a 3 t
3.3) Khoảng cách:
a) Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
+ Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
dM0 ,( )
M
Ax 0 By 0 Cz0 D
2
2
d(M,()) = MH
2
A B C
H
()
Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách
M'
từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d2. d1 đi qua điểm M 1 và có VTCP u1 , d2 đi qua điểm
u ,u .M M
1 2 1 2
M2 và có VTCP u2 : d(d1,d2 )
u ,u
1 2
M2
M1
d1
u1
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa u1,u2 :
u1,u2
cos u1,u2
u1 . u2
d2
u1
AB,CD .BC
Chú ý: Khoảng cách g iữa AB và CD là d(AB,CD)
AB,CD
3.4) Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d 1, d2 lần lượt có các VTCP u1,u2 .
u2
d1
u2
d2
AB.CD
Chú ý: Góc giữa AB và CD là cos AB,CD cos AB,CD
AB . CD
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a (a1;a2 ;a3 ) và mặt phẳng () có VTPT n (A;B;C) .Góc
giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó
trên ().
6
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
n
n .ad
Aa1 Ba2 Ca3
u
sin d,( )
2
2
2
2
2
2
d
n . ad
A B C . a1 a2 a3
()
c) Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:
(): A1x B1y C1z D1 0
(): A2 x B2 y C2 z D2 0
Góc giữa ( ), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1,n2 .
n1.n2
cos ( ),()
n1 . n2
Chú ý:
( ),( ) 900 .
00
A1A 2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 . A 22 B22 C22
n1
n2
()
()
( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 0
B. Phương pháp giải
Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa đ ộ Oxyz thích hợp. (Chú ý đến vị trí điểm O )
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan. (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một
z
số điểm cần thiết)
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
C(0;0;z)
Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm
nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau,
M(x;y ;z)
vuông góc, song song ,cùng phương, thẳng hàng, điểm
chia đọan thẳng để tìm tọa độ .
y
Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng,
B(0;y ;0)
mặt phẳng.
Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng,
A (x;0;0)
H(x;y;0)
mặt phẳng.
x
x = OA , y = OB , z = OC
Bước 3 : Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
Định lượng: Độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết
diện, …
Bài toán cực trị, quỹ tích.……………
1) Hình chóp.
a) Hình chóp tam giác có dạng tam diện vuông hoặc hình chóp tứ giác có cạnh bên
vuông góc với mặt đáy (đáy là hình vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông )
Dạng 1: Tam diện vuông
Cách đặt : Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng đỉnh tam diện vuông, các đỉnh còn lại
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz(phần dương của trục) .
7
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Ví dụ 1: . Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3a, AC = AD = 4a.
Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
D z
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ O xyz sao cho A O(0; 0; 0).
B Ox; C Oy và D Oz. Ta có:
A(0;0;0); B(3a;0;0); C(0;4a;0); D(0;0;4a)
Phương trình mặt phẳng ( BCD) là:
x
y
z
1 4 x 3 y 3 x 12a 0 .
3a 4a 4a
6a 34
Suy ra d(A,(BCD)) =
.
17
y
A
C
B
x
Nhận xét: + Đây là một bài toán cơ bản trong việc sử dụng phương pháp đặt hệ trục vì nó giúp
học sinh thấy mối liên hệ giữa hệ trục tọa độ và cách đặt hệ trục
+ Khi giải quyết bài toán này đối với các em khá, giỏi thì không vấn đề gì nhưng đối với các
em học sinh tầm trung bình và trung bình khá lần đầu tiếp cận phương pháp thì các em tỏ ra rất
ngạc nhiên và thích thú vì bài toán giải quyết khá dễ dàng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a 3 , (a>0) và
đường cao OA= a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và OM.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa đô O, B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz. Khi
a a 3
đó: (0;0;0), A(0; 0;a 3 ); B(a; 0; 0), C( 0;a 3; 0), M ;
; 0 ,
2 2
z
A
a 3 a 3
.
N là trung điểm của AC N0;
;
2
2
N
a a 3 a 3 a 3
OM ;
; 0, ON 0;
;
2
2
2 2
3a2 a2 3 a2 3 a2 3
[OM,ON]
;
;
4
4
4
4
3.a 0 0
3 11
C
3; 1; 1
a
M
B
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ
pháp tuyến n ( 3; 1; 1) là : 3x y z 0
Ta có: d(B; (OMN))
y
O
a 3
5
x
a 15
.
5
Cách 1: MN là đường trung bình của tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).
Vậy, d(AB; OM)
a 15
.
5
8
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
AB,OM .OA
a 15
Cách 2: d(AB; OM)
.
AB,OM
5
Ví dụ 3: (Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam
giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 2S abc a b c (*)
Giải :
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A O(0;0;0), B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, D thuộc tia Oz.
Ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a).
BC c;b; 0,BD c; 0;a, BC,BD ab;ac;bc
1 1 2 2
SBCD BC,BD
a b a2c 2 b2c 2
2
2
D z
(*) a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c)
a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c)
y
Theo BĐT Cauchy ta được:
a2b2 b2c2 2ab2c
2 2
2 2
2
b c c a 2bc a
c2a2 a2b2 2ca2b
A
C
B
x
Coäng veá : a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c) (đpcm)
Dạng 2: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc đáy..
Cách đặt: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ
nhật hoặc hình thang vuông ). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. Gốc tọa độ
trùng với đỉnh A, S thuộc tia Oz.
Ví dụ 1: ( Trích đề dự bị 1 - 2008 – B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, SA a 3, SA ABCD . Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Giải:
1
2
Ta có: S ACD AD.DC
a2
(đvdt)
2
z
S
1
a3 3
VSACD SA.S ACD
(đvtt)
3
6
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với A O(0;0;0),
như hình vẽ. Ta có:
D
B(a;0;0), C(a;a;0), D(0:a;0), S( 0; 0;a 3 ).
Ta có:
SB a; 0;a 3 , AC a;a; 0
B
x
9
C
THPT Định Quán
y
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
SB.AC
cos SB,AC
SB . AC
a2
2
a2 a 3 . a2 a2
1
2 2
BAD
90o , BA =
Ví dụ 2: (ĐHKD-07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC
BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến
mặt phẳng (SCD) .
Giải:
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với A O(0;0;0), như hình vẽ. Ta có: B(a;0;0), C(a;a;0), D(0:2a;0),
S( 0; 0;a 2 ). Ta có:
z
SC a;a;a 2 , CD a;a; 0
S
SC.CD a2 a2 0 SC CD nên SC CD
Vậy tam giác SCD vuông tại C.
H
Ta có:
M
SB AB2 SA 2 a 3
2a
Tam giác SAB vuông tại A, AH đường cao:
SA 2 2a 3
2 SH
SB.SH = SA
SB
3
y
D
a
xB
C
a 2
2
2
2
, SC,CD (a 2;a 2; 0) a 2 (1;1; 0)
3
3
Mặt phẳng(SCD) chứa SD và CD nên nhận n (1;1; 0) làm VTPT. Phương trình mặt phẳng
2
3
2a
Khi đó: SH SB H
; 0;
(SCD) là: x y 2a 0 .
2a
0 2a
a 2
3
vậy d(H,(SCD))
3
2
b) Hình chóp tứ giác c ó hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đáy với đáy là hình vuông
hoặc hình thoi
Cách đặt: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO
vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là O x, Oy, Oz. Giả sử SO = h,
OA = a, OB = b ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
Nhấn mạnh:
Trong một số bài toán việc xác định tọa độ các điểm liên quan đôi khi
Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng p hương,
thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ.
10
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng…
Khoảng cách từ điểm đến mặt…….
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a , BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a 3
, tính thể tích khối chóp S.ABCD
4
theo a.
Giải:
Ta có:
(SAC) (SBD) SO
SO (ABCD)
(SAC) (ABCD)
(SBD) (ABCD)
z
S
Đặt SO = h(h>0). Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz với góc tọa độ O, A thuộc tia Ox, B
h
thuộc tia Oy.
Ta có: A a 3; 0; 0,B 0;a; 0,S( 0; 0;h)
D
O
Mp(SAB) theo đoạn chắn là :
x
a 3
y z
1
a h
C
x
A
B
y
hx h 3 y a 3z ah 3 0
Ta có: d(O,(SAB))
ah 3
a 3
a 3
a
a
h suy ra SO
4
4
2
2
h2 3h2 3a2
1
1
S ABCD AC.DB 2a 3.2a 2a2 3 (đvdt)
2
2
1
1 a
a3 3
VSABCD SO.S ABCD . .2a2 3
(đvtt)
3
3 2
3
Ví dụ 2 : (CDKD2009) Cho hình chóp tứ giác đều có S.ABCD, AB = a, SA=a 2 . Gọi M, N và
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông
góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Giải :
Gọi O là tâm ABCD suy ra SO (ABCD).
ADCD hình vuông cạnh a : AC a 2 vaø AO
11
a 2
2
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
SOA vuông tại O : SO SA 2 AO2
z
S
a 6
2
Chọn trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox,
D thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz. Ta có :
N
a 2
a 2 a 2
A
; 0; 0,B 0;
; 0,D 0;
; 0,
2
2
2
M
B
C
O
A
y
D
x
P
a 2
a 2
a 6
C
; 0; 0,S 0; 0;
.
2
2
a 6
a 2 a 6
a 2 a 2
;
; 0
4
,N0;
,P
M, N,P trung điểm của SA,SB,CD nên : M
; 0;
;
4
4
4
4 4
a 2 a 2 a 2 a 2 a 6
;
; 0;SP
;
;
4
4
4
4
4
Ta có : MN
Vì MN.SP 0 nên MN SP(đpcm)
Ta có :
a 2 a 2 a 6
AN
;
;
2
2
2
4
4
2
AN,AM a 3 ; a 3 ; a
a 2 a 6
8
8
8
AM
; 0;
4
4
3a 2 a 2
a3 6
AP
;
; 0 AN,AM .AP
4
4
8
Vậy VAMNP
1
6
3
AN,AM .AP a 6 (đvtt)
48
c) Chóp tam giác đều
Cách đặt 1: Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ trùng với tâm của đáy, một cạnh đáy song song
với Ox (hoặc Oy) và đỉnh hình chóp nằm trên trục Oz .
Cách đặt 2: Gọi O là trung điểm của một cạnh đáy, từ O dựng đường thẳng d vuông góc mặt
phẳng đáy tại O. Khi đó ta chọn hệ trục tọa độ có gốc là O cạnh đáy có O là trung điểm có thể là
trục Ox hoặc Oy còn đường thẳng d là trục Oz.
Ví dụ : (Trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh
đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết ( AMN) vuông góc với
(SBC).
Giải :
Cách 1: Gọi O là hình chiếu của S trên ( ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung
điểm của BC, ta có:
AI
3
a 3
a 3
a 3
BC
OA
, OI
2
2
3
6
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ ta được:
12
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
a 3
a 3
z
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A
; 0; 0 I
; 0; 0
3
6
S
a 3 a a 3 a
, B
; ; 0 , C
; ; 0 ,
N
M
6
2
6
2
M, N là trung điểm của SB và SC nên có tọa độ :
a 3 a h
và N a 3 ; a ; h .
M
;
;
12 4 2
12
4 2
ah
5a2 3
n(AMN) AM, AN ; 0;
,
4
24
a2 3
n(SBC) SB, SC ah; 0;
.
6
h
C
B
I
y
O
a
x
A
Ta có:
5a2
a 15
2
h
(AMN) (SBC) n(AMN).n(SBC) 0 h
12
6
z
K
Ta được:
S
a 2 15 5a 2 3
AM , AN
24 ;0; 24
SAMN
1
2
M
N
2
AM, AN a 10 (đvdt)
16
h
C
Cách 2:
Gọi G là tâm của tam giác ABC, đặt SG = h,
gọi O là trung điểm BC. Trong mặt phẳ ng (ABC),
ta vẽ đường thẳng d vuông góc với BC.
Chọn hệ trục Oxyz sao cho Oz trùng với d,
B thuộc tia Oy, A thuộc tia Ox. ta có:
3
a 3
a 3
BC
GO
O(0; 0; 0) và AO
2
2
6
a 3
3
a a
AG a
A
; 0; 0 , C 0; ; 0 , B 0; ; 0 ,
3
2 2
2
B
O
y
G
A
x
a 3
a 3 a h
a 3 a h
S
;0 ; h M
; ; và N
; ; .
6
12 4 2
12
4 2
Ta có:
ah 5a2
5a 3 a h 5a 3 a h
AM
; ; , AN
; ; n(AMN) AM, AN ; 0;
4
12
12
24
4 2
4 2
a 3 a a 3 a
a2 3
SB
; ;h , SC
; ;h n(SBC) SB, SC ah; 0;
6
6 2
6
2
a2h2 5a4
a 15
0h
Ta có: (AMN) (SBC) n(AMN).n(SBC) 0
4
48
6
13
3
,
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
a2 15 5a2 3
1 a2 10
S
AM, AN
Ta được: AM, AN
; 0;
(đvdt)
AMN
24
2
16
24
Nhận xét:
Với bài toán hình chóp đều sẽ giúp các em thuận
A
lợi trong việc xác định tọa độ các điểm đồng thời qua
hai cách đặt trên các em hiểu thêm về cách xây dựng
cách đặt hệ trục khi bài toán không rơi vào trường
IB=OK,
hợp góc tam diện vuông từ đó có thể tự xây dựng hệ
OI=KB x
trục mớ i cho các bài toán.
K
O
Tuy nhiên sau thời một gian thực hiện tôi thấy
ột
vấn đề nhỏ là các em hs mức độ trung bình hoặc
m
B
C
I
trung bình khá khi tọa độ các điểm không thuộc các
trục tọa độ thì việc xác định các tọa độ các điểm liên quan dễ bị sai, Ví dụ với cách đặt 1 thường
có một số không xác định được tọa độ điểm B. Vì vậy cần nhắc lại các xác định tọa độ một điểm
trong không gian Oxy cũng như Oxyz
y
d) Hình chóp có mặt bê n vuông góc với đáy.
Cách đặt: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hình chữ nhật, hình thang vuông ở
góc A và D….). Mặt (SAD) vuông góc với đáy. Gọi H hình chiếu của S lên AD, trong (ABCD) ta
vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz, với A (Hoặc D) thuộc tia Ox, S thuộc tia
Oz.
Cơ sở của phương pháp trên: Hai mặt phẳng vuông góc vơi nhau thì bất kì đường thẳng nào
nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt kia.
Nhận xét: Đây là một bài toán tương đối khó với các em học sinh trung bình khá nhất là trong
trường hợp mặt (SAD) không phải là tam giác đều hoặc tam giác vuông.
Ví dụ 1 : (ĐH2007– A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là
tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. ĐS:
Giải:
Gọi H trung điểm của AD suy ra SH AD
Ta có:
a3 3
96
z
S
(SAD) (ABCD) AD
SH (ABCD)
SH AD
a 3
. HN là
SAD đều cạnh a nên SH
2
(SAD) (ABCD)
M
đường
trung bình của hình vuông ABCD nên
HN AD
A
và HN = a.
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với
x
H O(0;0;0),
A thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz.
14
C
P
D
H
N
B
THPT Định Quán
y
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
a
a
a
a 3
a
,C ;a; 0
Ta có: A ; 0; 0,D ; 0; 0,B ;a; 0,S 0; 0;
2
2
2
2 2
a a a 3
a a
,N 0;a; 0 ,P ; ; 0
M, N, P là trung điểm của SB, BC, DC nên có tọa độ là M ; ;
2 2
4 2 4
a2 a2
a a a 3
;BP a; a ; 0 AM.BP
0
nên
AM
BP AM BP (đpcm)
AM ; ;
4 2 4
4
4
2
3a a a 3 a
,CN ; 0; 0,CP 0; a ; 0
Ta có: CM ; ;
2
2
4 2
4
2
3
2
CM,CN 0; a 3 ; a CM,CN .CP a 3
8
4
16
VCNMP
1
6
3
CM,CN .CP a 3 (đvtt)
96
Ví dụ 2 : (KA2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=
AD = 2a, CD = a góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 .Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể
tích khối chóp SABCD theo a.
z
Giải:
Gọi T là trung điểm của BC, khi đó IT AD,
S
Đặt SI = b. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I O(0;0;0),
D thuộc tia Ox, T thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz.
3a
; 0 , S(0; 0;b) , C(a;a; 0) , B(a; 2a; 0) ,
2
B
A
SC a;a;b , BC a 2;1; 0
I
SC,BC a b; 2b; 3a .
y
T
D
Mp(SBC) nhận n b; 2b; 3a làm một VTPT,
C
x
mặt phẳng (ABCD) nhận k(0; 0;1) làm VTPT. Vì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ABCD bằng
n.k
1
3a
3a 15
600 nên cos600
b
2
2
2
5
n.k
b2 2a 3a
Ta có: T 0;
do đó SI
3a 15
1
. Mặt khác S ABCD AD.(AB DC) 3a2 (đvdt)
5
2
1
3
Vậy VS.ABCD SI.S ABCD
3a3 15
(đvtt)
5
Ví dụ 3: (ĐHKB-08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa
hai đường thẳng SM, DN.
Giải :
15
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
ABC vuông tại S: AB SA 2 SB2 2a . Gọi H là chân đường cao của tam SAB hạ từ S,
Suy ra SH AB nên SH
SA.SB a 3
.
AB
2
z
S
Tam giác SAH vuông tại H:
a
3a
HB
2
2
SBMDN S ABCD SMAD SNCD
AH SA 2 SH2
C
N
B
4a2 a2 a2 2a2
M
3
1
1a 3
a 3
VS.MDNB SH.SMDNB
.2a2
(đvtt)
3
3 2
3
A
y
H
T
D
x
Từ H dựng tia Hy vuông góc AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H O(0;0;0), A thuộc tia
Ox, S thuộc tia Oz. Ta có:
a
3a
3a
a
a 3
),A ; 0; 0,B ; 0; 0,C ; 2a; 0 D ; 2a; 0 , M , N là trung điểm của AB và
2
2
2
2
2
a
3a
BC có tọa độ: M ; 0; 0,N
;a; 0
2
2
a a 3
;DN 2a;a; 0
Khi đó: SM ; 0;
2
2
a2
SM.DN
5
cos SM,DN
2
5
SM . DN
a 2 a 3
. (2a)2 (a)2
2 2
S(0; 0;
e) Dạng khác.
Tùy theo từng trường hợp giả thiết của đề bài mà dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho phù hợp
Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C. Độ dài của các
cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua
M. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
z
Giải
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với A O(0;0;0), C thuộc tia Oy, S
S thuộc tia Oz, ta có: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4).
H đối xứng C qua M nên có tọa độ H(1;0;0).
Ta có :
SH 1; 0; 4
SB 1;3; 0 SH,SB (12;4; 3)
Suy ra vtpt của (SHB) là n1 = (12;4; 3)
SC,SB (12;4;3)
SC 0;3; 4
Suy ra vtpt của (SHB) là n2 = (12;4;3)
I
K
y
A
C
M
H
B
x
16
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
n1.n2
151
Khi đó ta có : cos((SBH),(SBC))
169
n n
1
2
Nhận xét : Bài toán dạng này cũng hay xuất hiện trong các đề thi cao đẳng và đại học. Ngoài
cách dựng trên ta có thể từ C dựng tia Cy vuông góc với (ABC) và chọn gốc tọa độ tại C.
Ví dụ 2: (KA2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =
2a; hai mặt phẳng ( SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Gọi M là trung điểm
của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
o
(SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường
ĐS: VS.BCNM a3 3 và d(AB,SN)
thẳng AB và SN theo a.
2a 39
13
Giải:
Ta có :
SA (SAB) (SAC)
SA (ABC) . Ta có SA và AB vuông góc với BC nên
(SAB) (ABC)
(SAC) (ABC)
600
Góc giữa hai mặt (SBC) và (ABC) là góc SBA
1
2
SA=AB.tan600 = 2a 3 , MN = BC = a. MN //BC nên MN là đường trung bình tam giác ABC
suy ra N là trung điểm của AC.
VS.BCNM=
1
1
MB
SA.SBCNM SA.
(MN BC) a3 3 (đvdt)
3
3
2
S
z
Cách 1 :
Dựng BZ vuông góc với (ABC).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho B O(0; 0; 0) ,
A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy. Ta có :
K
A(2a; 0; 0),C( 0; 2a; 0),S(2a; 0; 2a 3 )
x
ên
có
tọa
độ
A
của
AC
n
N trung điểm
N(a;a; 0)
SN (a;a;2a 3 ),AB (2a; 0; 0),SA ( 0; 0; 2a 3 )
SN,AB 0;2a2 3;a2
M
B
N
C
Ta có :
SN,AB .SA
2a3 3
2a 39
d(SN,AB)
SN,AB
13
12a4 a4
y
z
S
K
B
Cách 2 :
Kẻ MK //SA ; MK = SA, khi đó SAMK là hình
chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với M O(0; 0; 0), N
thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy, K thuộc tia Oz.
17
A
M
x
N
C
THPT Định Quán
y
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Ta có:
N(a; 0; 0), B(0; a ; 0), S(0; -a; 2a 3 ), A(0; -a; 0)
Ta có: AB a(0; 2; 0) , SN a(1;1;2 3 ) [AB,SN] -2a2 (2 3; 0;1)
Mặt phẳng(P) qua AB song song với SN nhận n (2 3; 0;1) làm VTPT có pt : 2 3x z 0
2a 3
Từ đó d(AB,SN) d(N,(P))
(2 3 )2 1
2a 39
13
Ví dụ 3: (ĐHKAA1 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
a 3
Gọi M là trung điểm của AB, ta có CM
. Kẻ HT // CM sao cho HT = CM, HM = MB –
2
a
HB = . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với H O(0 ;0 ;0),
6
z
T thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz.
2a
a 3 a
Khi đó A 0; ; 0 , C
; ; 0 ,
3
2 6
a
B 0;
;0
3
S
a 3 2 a 2 a 7
HC
,
3
2 6
a 21
a 21
SH = HC.tan600 =
, S 0; 0;
.
3
3
A
H
B
M
a3 7
(đvtt).
12
2
3 1
21
SA a 0; ;
, BC a ; ; 0 .
3
3
2 2
21
7 3
Do đó SA,BC a2
;
; .
6
2 3
1
6
Từ đó VS.ABC SH.AB.CM
T
x
C
21
7 3
;
; làm VTPT có pt :
2 3
6
Mp(P) đi qua BC và song song với SA nhận n
21x 3 7 y 2 3z a 7 0 .
Từ đó d(SA,BC) d(A,(P))
2a 7 a 7
21
2
2
2
3 7 2 3
a 42
8
2) Hình lăng trụ
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
18
THPT Định Quán
y
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
a) Hình lập phương - Hình hộp chữ nhật
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a.
Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD).
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz .Ta có:
A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):
D'
x + y + z = a hay x + y + z – a = 0
Pháp tuyến c ủa mặt phẳng (A'BC):
n A 'BC 1;1;1 và AC' 1;1;1 .
Vậy AC' vuông góc với (A'BC)
D
z
B'
A'
C'
y
A
B
x
C
Ví dụ 2: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’= a, AB =AD = 2a. Gọi M, N,
K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, AA’ .
a) Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNK).
b) Tính theo a thể tích của tứ diện C’MNK
z
B'
Giải:
A'
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A; D Ox;
B Oy và A’ Oz . ta có: A(0;0;0), B(0;2a;0),
K
D(0;2a;0), A'(0;0;a), C'(2a;2a;a) tọa độ của M(0;a;0), D'
a
C'
N(a;0;0), K 0; 0; . Phương trình theo đoạn chắn của
2
(MNK) là:
y
A
M
B
N
x y 2z
1 x y 2z a 0
a a a
2a 2a 2a a
5a 6
Khi đó: d(C’,(MNK))=
6
6
D
x
C
Ta có:
C'M 2a;a;a;C'N a 2a;a;
a
C'K 2a;2a;
2
1
+ VC'MNK
6
3
C'M,C'N a2 ;a2 ;3a2 C'M,C'N .C'K 5a
2
3
C'M.C'N .C'K 5a (đvtt)
12
Ví dụ 3: (ĐHKD2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác
A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng(BCD’) theo a.
Giải:
Ta có:
A ' AC vuông cân và A’C = a nên A’A=AC=
ADC vuông cân tại D nên AD = DC =
a 2
2
a
2
19
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
z
B’C’ (B’BA) nên B’C’ là đường cao hình chóp C’.ABB’
D'
1
1 a a 2 a2 2
S ABB' AB.BB' . .
(đvdt)
2
2 4 2
16
1
1 a a2 2 a3 2
VC' ABB' C'B'.S ABB' . .
(đvtt)
3
3 2 16
96
A'
a
B'
C'
y
A
D
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với A O(0;0;0),
D thuộc tia Oy, B thuộc tia Ox, A’ thuộc tia Oz. Ta có:
B
C
x
a
a a 2 a a a a a 2 a
,C ; ; 0 BD' ; ;
B ; 0; 0,D' 0; ;
2 2 2 ;BC 0; 2 ; 0
2
2 2 2 2
2
2
2
BD',BC a 2 ; 0; a a
4
4
4
2; 0;1 . Vì mặt phẳng (BCD’) chứa BD’ và BC nên nhận
n ( 2; 0;1) làm VTPT. Phương trình mặt phẳng (BCD’) là:
a 2
2
Khi đó: d(A,(BCD'))
2
2 1
2x z
a 2
0
2
a 6
6
b) Hình lăng trụ đứng
Ví dụ 1: (KD2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B , AB =a
, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ , I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Giải:
z
Ta có: AC A 'C2 A A '2 a 5 ;
2
M
A'
2
C'
BC AC AB 2a ;
SABC = a2 (đvdt)
Kẻ AK song song và bằng BC, khi đó AK AB; AK
= 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
A O(0;0;0), B thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A’
thuộc tia Oz.
a
2
I
Ta có: B(a;0;0), C(a;2a;0), A’(0;0;2a), M( ;a;2a). Lại
1
2
A
2
ờng
thẳng
AM
có
Khi đó [A 'C,A 'B] 2a (2; 0;1) . Đư
1
x t
B
2
phương trình: y t (t R) . Mặt phẳng(A’BC) đi
z 2t
qua B, nhận n (2; 0;1) làm VTPT, có phương trình: 2 x z 2a 0 .
B'
y
K
có AM a( ;1; 2) , A 'C a(1; 2;2) , AB a(1; 0;2) .
20
C
x
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Mặt phẳng (ABC) trùng với mp(Oxyz) có phương trình z = 0. Gia o điểm I của AM và A’C chính
là giao điểm của AM và mp(A’BC) nên
a 2a 4a
I ; ;
3 3 3
1
4a3
VIABC d(I,(ABC)).S ABC
(đvdt)
3
9
2a
2a 5
Từ đó d(A,(IBC)) d(A,(A 'BC))
5
22 1
Ta có: d(I,(ABC))
4a
.
3
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đề u là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
Giải
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên
z
C'
A'
AB BC CA A 'B ' B 'C' C' A ' a
các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Cách 1:
D'
Gọi D và D’ lần lược là trung điểm của AB và A’B’.
ABC đều cạnh a nên CD
B'
a 3
2
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho D O(0; 0; 0) ,
C thuộc tia Oy, B thuộc tia Ox và D’ thuộc tia O z.
Ta có:
y
a
a
a
a 3
B ; 0; 0,A ' ; 0;a,B' ; 0;a,C'( 0;
;a)
2
2
2
2
A
a a 3
A 'B (a; 0;a),B'C' ;
; 0,A 'B' a; 0; 0
2
2
C
D
B
Ta có:
x
2
2
2
A 'B,B'C' a 3 ; a ; a 3 .Khi đó :
2
2
2
A 'B,B'C' ,A 'B'
d(A 'B,B'C')
A 'B,B'C'
a3 3
2
3a4 a4 3a4
4
4
4
a 21
7
Cách 2:
Gọi D là trung điểm BC, Dưng tia Ax vuông góc với AD . Chọn hệ trục Oxyz, với O A(0;0;0),
D thuộc tia Oy, A’ thuộc Oz
ABC đều cạnh a nên AD
a 3
2
Ta có:
a a 3 a a 3
, A '( 0; 0; a), B' a ; a 3 ; a,
B ;
; 0, C
;
;
0
2 2
2 2
2 2
21
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
a a 3
C'
2 ; 2 ; a .Ta có: B 'C' //BC, B 'C' // (A 'BC)
dB'C'; A 'B d B'C'; A 'BC d B'; A 'BC
a a 3
a a 3
A'
A 'B ;
; a, A 'C ;
; a
2 2
2 2
2
A 'B,A 'C 0; a2; a 3 a2 0; 1; 3 a2.n , với n 0; 1; 3
2
2
2
Phương trình mặt phẳng ( A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n :
a
3
0(x 0) 1(y 0)
(z a) 0
2
3
a 3
y
z
0
2
2
A
a 3
3
a 3
a 3
.a
2
2 2 a 21 .
dB' A 'BC 2
7
3
7
x
1
4
2
a 21
Vậy, d A 'B;B'C'
.
7
z
C'
B'
C
y
D
B
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. AA1 = 2a và vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB 1; M di động trên cạnh AA 1. Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC 1D.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AO(0;0;0); BOy; A1Oz. Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0);
a 3 a
A1 (0;0;2a), C1
; ; 2a và D(0;a;a). Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t) với t [0;2a].
2 2
1
DC1,DM
z
2
A1
a 3 a
DC1
; ;a
a (t 3a; 3 (t a);a 3)
2
2
DC1,DM
2
DM 0;a;t a
a
DC1,DM
(t 3a)2 3(t a)2 3a2
2
Ta có : SDC1M
B1
C1
D
M
a
4 t2 12at 15a2
2
Khi đó:
B
1 a
A
SDC M . . 4t2 12at 15a2
1
2 2
Giá trị lớn nhất của SDC M tùy thuộc vào giá trị của tham số t.
1
* Xét f(t) = 4t2 12at + 15a2
f(t) = 4t2 12at + 15a2
f '(t) = 8t 12a
x
C
(t [0;2a])
22
THPT Định Quán
y
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
3a
f '(t) 0 t
2
Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất của SDC1M
a2 15
khi t =0 hay M A.
4
c) Lăng trụ xiên có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đáy hoặc cạnh bên
Ví dụ 1: ( Trích đề thi ĐH 2008 – A). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
ĐS:
Giải:
z
Gọi M là trung điểm của BC suy ra A’M BC
Ta có :
BC AC2 AB2
2
a 3
A'
C'
a2 2a .
Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường
2a
1
trung tuyến nên AM BC a
2
A 'M A A '2 AM2
a3
1
;cos .
2
4
B'
2
2a a2 a 3
y
E
1
a2 3
S ABC AB.AC
(đvdt)
2
2
1
1 a2 3 a3 3
VA '.ABC A 'M.S ABC a.
3
3
2
6
ặt
hệ
trục
Oxyz
sao
cho
Đ
A O(0;0;0), B thuộc
a
C
F
M
B
x
tia Ox, C thuộc tia Oy. Ta có:
A(0;0;0;), B(a;0;0), C(0; a 3 ;0).
Gọi E, F là hình chiếu của M lên AC và AB.
300 ;BAM
600 .
Tam giác ABC có góc C = 300, góc B = 600 suy ra CAM
a
2
.AM = a 3
Tam giác FMA vuông tại F: FM = sin BAM
2
a a 3
a a 3
Khi đó tọa độ A '( ;
;a 3 ) . Ta có: AA ' ( ;
;a 3 ),BC (a;a 3; 0) . Vì BC//B’C’ nên
2 2
2 2
.AM =
Tam giác EMA vuông tại E: EM = sin CAM
a2 3a2
AA '.BC
2
2
1
cos(AA’,B’C’) = cos(AA’,BC) =
2
4
AA ' . BC
2
2
a 2 a 3
2
a 3 . (a) a 3
2 2
23
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
Ví dụ 2: (KB2011) Cho lăng trụ ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD =
a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 'A') và (ABCD) bằng 60 0. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và khoảng c ách từ điểm B ' đến mặt phẳng (A 'BD) theo a.
ĐS: V
3a2
a 3
& d(B',A 'BD)
2
2
Giải:
Kẻ BK //OA’, BK = OA’ = b(b>0). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với B(0;0;0), A thuộc tia Ox,
C thuộc tia Oy, K thuộc tia Oz. Ta có:
a a 3
A(a;0;0), C(0;a 3 ;0), D(a; a 3 ;0), A ' ;
;b AD a(0; 3; 0) ,
2 2
a a 3
AA ' ;
;b , BD a(1; 3; 0) ,
2 2
AD,AA ' a 3 (b; 0; a ) .
2
B'
z
C'
K
A'
D'
B
C
y
O
A
x
D
a
2
Mặt phẳng (ADD’A’) chứa AD và AA’ nên nhận n (b; 0; ) làm một VTPT. Mặt phẳng
(ABCD) trùng với mp(Oxy) nhận k(0; 0;1) làm một VTPT. Vì góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’)
n.k
1
và (ABCD) bằng 60 0, nên cos 600
2
n.k
Từ đó: VABCD.A 'B'C'D' A 'O.AB.BC
a
2
b2
a2
4
b
a 3
a 3
suy ra A 'O
.
2
2
3a2
(đvtt).
2
Mặt phẳng(A’BD) đí qua B nhận BD,k a( 3;1; 0) làm VTPT có phương trình
Ta có: B’C//(A’BD) nên d(B',(A 'BD)) d(C,(A 'BD))
24
3x y 0 .
a 3
2
THPT Định Quán
Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ
C. Bài tập
1) Chóp tam giác
Bài 1: (DB2 - 2008D) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt
8a3
ĐS: V=
.
45
SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK.
Bài 2: (ĐHKB2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2 a , AB = a. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a .
Bài 3: (KD2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC =
= 300 . Tính
4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳ ng (SAC) theo a.
ĐS: V(SABC) = 2a3 3 & d(B,(SAC)) =
3 VSABC
6a
=
SSAC
7
2) Chóp tứ giác
Bài 4: (ĐH/Sài gòn 07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là
trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng
a 3
. Tính khoảng
6
cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 5: ( CĐ 2009) Cho hình chóp tứ g iác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông
góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
ĐS: V=
a3 6
.
48
Bài 6: (KA2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 7: (KD2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =
a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể
tích khối tứ diện SMBC theo a.
3) Hình lăng trụ
Bài 8:
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – A). Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C′D′ có các cạnh AB =
AD = a, AA '
a 3
60o . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′
và BAD
2
. Chứng minh AC' BDMN . Tính thể tích khối chóp A.BDMN .
25
ĐS:V=
THPT Định Quán
3a3
.
16
