Luyện thi dại học 2011 cấp tốc Tiếp tuyến với đường cong

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y= x3-x2 +1 , biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục Ox ,
Oy tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân
HD : , y’=3x2-2x
Đường thẳng cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân => hệ số gốc bằng 1 hoặc
bằng -1 , không đi qua gốc tọa độ
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó :
i)
y’(x0)=-1  3x02-2x0=-1  3x02-2x0+1 =0 vô nghiệm
y’(x0)=1  3x02-2x0=1  3x02-2x0-1=0  x0=1,x0=-1/3

ii)

Với x0=1 thì y(1)=1 => y=x không thõa mãn
Với x0=-1/3 , y(-1/3)=23/27 => y=x+32/27
Bài 2: Tìm điểm M thuộc (C) y 
điểm đó bằng

x2
sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thị tại
x 1

2
/

1

x2
HD: D=R\{-1} , y '  
 
2
 x  1  (x  1)

Gọi x0 là hoành độ M => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y

x 2
1
 x+(x 0  1) 2 y - (x 0  2)(x 0  1)  x 0  0
x  x0   0
2 
(x 0  1)
x0 1

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tt bằng

2 

(x 0  1)(x 0  2)  x 0
1  1  x 0 


2

 2

(x 0  1)(x 0  2)  x 0
1  1  x 0 

2

 2

2

Đặt u=x0+1 , phương trình u 2  2u  1  2(1  u 2 )  u 2  2u  1  2(1  u 2 )
 (u-1)(u+1)(u2-4u+1)=0
 u  1, u  1, u  2  3
 x 0  0, x 0  2, x 0  3  3
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y=-x4-x2+6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-6y+1=0
b)(C) y 

2x
, biết tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích bẳng ½
x 1

HD:
a) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d) : x-6y+1 =0


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

 y’(x0)= - 6 => -4x03 – 2x0 =-6 => 2x03+x0-3=0 => x0=1 , 2x02+2x0+3=0 (vô nghiêm)
Với x0=1=> y(1)=4 => Phương trình tiếp tuyến cần tìm y=-6(x-1)+4=-6x+10
b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) , => (d) có phương trình : y=y’(x0)(xx0)+y(x0)
Ta có y ' 

2

 x  1

2

=> ( d) : y 

2x 0
2
x  x0  
2 
(x 0  1)
x0  1

(d) cắt trục Ox tại A : xA=-x02, yA=0 , cắt trục Oy tai B: xB=0, y B 

Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng ½ nên :

2x 20

 x 0  1

2



2x 0 2

 x 0  1

2

1
 2x 20  x 0  1, 2x 02   x 0  1
2

 x0=1 ,x0 =-1/2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y 

1
1
x  , y  8x  2
2
2

Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến đi qua điểm (-1,-9)
b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến đi qua (0,-1)
HD: a) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(-1,-9) có hệ số góc k => (d) y=k(x+1)-9
k(x  1)  9  4x 3  6x 2  1 (1)
(d) là tiếp tuyến của (C)  
k  12x 2  12x (2)


Thay (2) vào (1) ta được : (12x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0
 x  1, k(1)  24
 
5
5 15
 x  , k( ) 

4
4
4

Các tiếp tuyến cần tìm là : y=24(x+1)-9=24x+ 15 , y=
b) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(0,-1) có hệ số góc k => (d) y=kx-1
 kx  1  x 4  2x 2  1 (1)
(d) là tiếp tuyến của (C)  
3
 k  4x  12x (2)

Thay (2) vào (1) ta được : (x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0
 x  1, k(1)  24
 
5
5 15
 x  , k( ) 

4
4
4

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

 y  24(x  1)  9
Các tiếp tuyến cần tìm là : 
15
 y  (x  1)  9

4

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y  f ( x)  x 4  2 x 2 , biết rằng tiếp tuyến đó có hai tiếp
điểm phân biệt với đồ thị hàm số
HD :
b) Ta có f '( x)  4 x 3  4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A  f '(a )  4a 3  4a, k B  f '(b)  4b3  4b
Giả sử aTiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y  f '  a  x  a   f  a   f '  a  x  f (a)  af'  a  ;
y  f '  b  x  b   f  b   f '  b  x  f (b)  bf'  b 
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
3
3
a 2  ab  b 2  1  0
 f '(a )  f '(b)
4a  4a = 4b  4b


 a  b   4

2
4
2
2
2
(a  b)(3(a  b )  2)  0
 f  a   af '  a   f  b   bf '  b 
3a  2a  3b  2b
a=-1 , b=1
=> Tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng y=-1

Bài tập tương tự
x 1
, biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục
2x 1
Ox , Oy tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong  C  y  x 3  3 x 2  2 biết tiếp tuyến cắt

1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y 

các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thoả mãn OB  9OA .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y 

2x  1
, biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp
x 1

tuyến bằng 2 .
4. Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + 5. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc min
5. Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 1 biết t.tuyến // y = 9x + 2011