Thông tin tóm tắt về những kết quả mới của luận án tiến sĩ hệ nhân tử trong phạm trù phân bậc

ðẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ðộc lập – Tự do – Hạnh phúc
-o0o-

THÔNG TIN TÓM TẮT VỀ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI
CỦA LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Tên ñề tài luận án: Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc
Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
Nghiên cứu sinh: Phạm Thị Cúc
Người hướng dẫn: 1. PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
2. GS. TS. Lê Văn Thuyết
Cơ sở ñào tạo: Trường ðại học sư phạm – ðại học Huế
Những kết quả mới ñạt ñược trong luận án
Môñun chéo và nhóm phạm trù, một cách ñộc lập, ñã ñược sử dụng rộng rãi
trong nhiều khung cảnh khác nhau. Các kết quả về nhóm phạm trù ñã ñược nâng lên
cho các nhóm phạm trù phân bậc và cho vành phạm trù (hay Ann-phạm trù).
Phạm trù các môñun chéo ñã ñược chỉ ra là tương ñương với phạm trù các nhóm
phạm trù chặt chẽ. ðiều này gợi ý cho chúng tôi nghiên cứu về các ñại số phạm trù
phức tạp hơn ñể từ ñó nghiên cứu các cấu trúc gần với môñun chéo. Những kết quả
chính của luận án như sau:
1. Xác ñịnh kiểu của một hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù và lý thuyết
cản trở của một hàm tử. Từ ñó ñưa ra ñịnh lý phân lớp chính xác cho phạm trù các
nhóm phạm trù.
2. Sử dụng lý thuyết nhóm phạm trù chặt chẽ ñể phân lớp các môñun chéo và xây
dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môñun chéo.
3. Nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ. Từ ñó phân lớp các môñun chéo
ñẳng biến và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm ñẳng biến kiểu Γmôñun chéo.

4. Nghiên cứu Ann-phạm trù chặt chẽ. Từ ñó phân lớp các song môñun chéo trên
vành và phân lớp các mở rộng vành kiểu song môñun chéo.
5. Sử dụng tương ñương Grothendieck xây dựng ñẳng cấu giữa phạm trù các nhóm
phạm trù bện Γ-phân bậc và phạm trù các giả hàm tử trên nhóm Γ lấy hệ tử trong phạm
trù các nhóm phạm trù bện kiểu (M,N).
Ý kiến của tập thể hướng dẫn

PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang

Nghiên cứu sinh

Phạm Thị Cúc


HUE UNIVERSITY
COLLEGE OF EDUCATION

SOCIALIST REPUBLIC OF VIETNAM
Independence – Freedom – Happiness
-o0o-

BRIEF SUMMARY OF PhD. THESIS
Title: Factor sets in graded categorical group
Specialization: Algebra and Number Theory
Code: 62. 46. 05. 01
PhD. Student: Pham Thi Cuc
Scientific advisors: 1. Assoc. Prof. Dr. Nguyen Tien Quang
2. Prof. Dr. Le Van Thuyet
Training institute: College of Education – Hue University
New results presented in the thesis

Crossed modules and categorical groups have been used widely and
independently, and in various contexts. The results oncategorical groups are raised to
graded categorical groups and to categorical rings (or Ann-categories).
The category of crossed modules is proved to be equivalent to the category of
strict categorical groups. This suggests us to study more complex categorical algebras
and then study structures which are analogous to crossed modules. The main results of
this thesis are the followings:
1. We describe type of a monoidal functor between two categorical groups and the
obstruction theory of a functor. Therefore, the precise theorems on the classification
categorical groups and on that of braided categorical groups are stated.
2. Based on the results of the strict categorical group theory, we classify crossed
modules and construct the Schreier theory for group extensions of the type of a crossed
module.
3. We study strict graded categorical groups to classify equivariant crossed modules and
construct the Schreier theory for equivariant group extensions of the type of a Γcrossed module.
4. We study strict Ann-categories to classify crossed bimodules over rings and to
classify ring extensions of the type of a crossed bimodule.
5. We use the Grothendieck to construct an isomorphism between the category of Γgraded braided categorical groups and the category of pseudo-functors on the group Γ
with coefficients in the category of braided categorical groups of type (M, N).
Scientific advisors

Assoc. Prof. Dr. Nguyen Tien Quang

PhD. Student

Pham Thi Cuc