Mô hình tính toán ô nhiễm không khí

Website: Email : Tel : 0918.775.368
Mô hình tính toán ô nhiễm không khí
I. Phương trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong khí quyển
Khi mô tả quá trình khuyếch tán chất ô nhiễm trong không khí bằng mô hình
toán học thì mức độ ô nhiễm không khí thường được đặc trưng bằng trị số nồng độ
chất ô nhiễm phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian.
Trong trường hợp tổng quát, trị số trung bình của nồng độ ô nhiễm trong
không khí phân bố theo thời gian và không gian được mô tả từ phương trình
chuyển tải vật chất (hay là phương trình truyền nhiệt) và biến đổi hoá học đầy đủ
như sau:
x y z c
C C C C C C C C
u v w k k k C C w
t x y z x x y y z z z
α β
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
+ + + = + + + − +
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 

(1)
Trong đó:
C : Nồng độ chất ô nhiễm trong không khí.
x,y,z: Các thành phần toạ độ theo trục Ox, Oy, Oz.
t : Thời gian.
Kx, Ky, Kz : Các thành phần của hệ số khuyếch tán rối theo các trục Ox, Oy

Oz.
u,v,w : Các thành phần vận tốc gió theo trục Ox, Oy, Oz.
Wc : Vận tốc lắng đọng của các chất ô nhiễm
α
: Hệ số tính đến sự liên kết của chất ô nhiễm với các phần tử khác của
môi
trường không khí.

β
: Hệ số tính đến sự biến đổi chất ô nhiễm thành các chất khác do
những quá trình phản ứng hoá học xảy ra trên đường lan truyền.
1
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Tuy nhiên pt (20) trên rất phức tạp và nó chỉ là một hình thức mô phỏng sự
lan truyền ô nhiễm. Trên thực tế để giải phương trình này người ta phải tiến hành
đơn giản hoá trên cơ sở thừa nhận 1 số điều kiện gần đúng bằng cách đưa ra các giả
thuyết phù hợp với điều kiện cụ thể sau:
- Nếu hướng gió trùng với trục Ox thì thành phần tốc độ gió chiếu lên
trục Oy sẽ bằng 0, có nghĩa là v = 0.
- Tốc độ gió thẳng đứng thường nhỏ hơn rất nhiều so với tốc độ gió
nên có thể bỏ qua, có nghĩa là w = 0. Trong nhiều trường hợp, nếu
xét bụi nhẹ thì Ws = 0 (trong trường hợp bụi nặng thì lúc đó ta sẽ cho
Ws ≠0).
- Nếu bỏ qua hiện tượng chuyển pha (biến đổi hoá học) của chất ô
nhiễm cũng như không xét đến chất ô nhiễm được bổ sung trong quá
trình khuyếch tán thì
0
α β
= =
.

Như vậy sau các giả thiết và chấp nhận 1 số điều kiện gần đúng thì phương
trình ban đầu được viết dưới dạng là:
y z
C C C C
u k k
t x y y z z
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2)
Nếu giả sử rằng các hệ số
,
y z
k k
là không đổi thì pt (2) được viết lại là :
2 2
2 2
z
y
C C C C
u k k
t x

y z
∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂
∂ ∂
(3)
Trong trường hợp không tính đến thành phần phi tuyến
C
u
x
∂
∂
thì phương
trình (3) được viết là:
2 2
2 2
z
y
C C C
k k
t
y z
∂ ∂ ∂
= +
∂
∂ ∂
(4)
Ta thấy phương trình (4) là dạng phương trình truyền nhiệt 2 chiều. Tuỳ theo
điều kiện ban đầu và điều kiện biên mà ta có các nghiệm giải tích khác nhau.
2

Website: Email : Tel : 0918.775.368
Để tìm nghiệm giải tích phương trình (4), đầu tiên xét bài toán truyền nhiệt 1
chiều có dạng sau:
2
2
2
u u
a
t
x
∂ ∂
=
∂
∂

x−∞< <+∞
, t = 0 (5)
Với điều kiện ban đầu :
( , ) ( )u x t x
ϕ
=

x−∞ < < +∞
( )x
ϕ
: là một hàm liên tục
Đặt u(x, t) = X(x)T(t) vào phương trình truyền nhiệt ta được
2
' ''XT a X T=
hay

2
2
'' 'X T
const
X
a T
λ
= =− =
(6)
Từ đó suy ra :
2
'' 0X X
λ
+ =
(7)

2 2
' 0T a T
λ
+ =
(8)
Nghiệm của phương trình (7)
1 1
i x
X C e
λ
=

2 2
i x

X C e
λ
−
=
(Xem cách giải phương trình 7 trang 53 [7])
Nghiệm của phương trình (8)
2 2
3
a t
T C e
λ
−
=
Xem cách giải phương trình (8) trang 262 [6]
Khi đó nghiệm của phương trình vi phân (5) có dạng
2 2
( , ) ( )
a t i x
u x t A e
λ λ
λ
λ
− ±
=
(9)
λ
là số thực bất kỳ
( )
λ
−∞ < < ∞

.
Vì vậy ta chọn dấu dương của phương trình (9) và lập ra hàm số
2 2
( , ) ( )
a t i x
u x t A e d
λ λ
λ λ
+∞
− +
−∞
=
∫
(10)
3
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Nếu các đạo hàm của phương trình (5) có thể tính được bằng cách vi phân
thành phần dưới dấu tích phân của (10) thì có nghĩa phương trình (10) sẽ thoả mãn
phương trình (5) hay phương trình (10) sẽ là nngiệm của phương trình (5).
Ngoài ra ta còn phải thoả mãn điều kiện ban đầu t = 0 . Khi đó ta có:
( , ) ( )
i x
x t A e d
λ
ϕ λ λ
+∞
−∞
=
∫
(11)

Sử dụng công thức tính tích phân Fourier ngược ta được
1
( ) ( )
2
i
A e d
λζ
λ ϕ ζ ζ
π
+∞
−
−∞
=
∫
(12)
thay (12) vào (10) ta được
2 2
1
( , ) ( )
2
i
a t i x
u x t e d e d
λζ
λ λ
ϕ ζ ζ λ
π
 
 ÷
 ÷

 ÷
 
+∞ +∞
−
− +
−∞ −∞
=
∫ ∫

2 2
( )
1
( )
2
a t i x
e d d
λ λ ζ
λ ϕ ζ ζ
π
 
 ÷
 ÷
 
+∞+∞
− + −
−∞−∞
=
∫ ∫
Xét tích phân I
2

2 2
2
( )
( )
4
2
1 1
2
2
x
a t i x
a t
e d e
a t
ζ
λ λ ζ
λ
π
π
− −
− + −
= =
Như vậy
2
2
( )
4
2
1
( , ) ( )

2
x
a t
u x t e d
a t
ζ
ϕ ζ ζ
π
− −
+∞
−∞
=
∫
(13)
Đặt
2
2
( )
4
2
1
( , , )
2
x
a t
G x t e
a t
ζ
ζ
π

− −
=
Ta có
( , ) ( , , ) ( )u x t G x t d
ζ ϕ ζ ζ
+∞
−∞
=
∫
(14)
4
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Hàm số
( , , )G x t
ζ
được gọi là nghiệm cơ sở của phương trình truyền nhiệt.
Hàm số này thoả mãn phương trình truyền nhiệt theo các biến (x,t) và có thể
kiểm tra trực tiếp bằng cách lấy đạo hàm:
2
2
2 3/2
( )
1
.
2
4
2( )
x
x
x

G e
a t
a t
ζ
ζ
π
− −
−
=−

2 2
2
2 3/2 2 5/2
( ) ( )
1 1 1
2 2
4
( ) 4( )
xx
x x
G e
a t
a t a t
ζ ζ
π
 
 
 
 
 

− − −
= − +
2 2 2
2
2
2 3/2 2 5/2
( ) ( )
1
2
4
2( ) 4( )
t
a x x
a
G e
a t
a t a t
ζ ζ
π
 
 
 
 
 
− − −
= − +
Vậy
2
t xx
G a G=

Trở lại với phương trình lan truyền ô nhiễm 1 chiều () được viết lại với
nguồn thải Q tại x = 0
2
2
x
C C
k
t
x
∂ ∂
=
∂
∂
(15)
Đặt
2
x
a k=
thì nghiệm của phương trình (15) được viết lại là:
2
4
1/2
( , )
2
x
x
tk
x
Q
C x t e

tk
π
−
=
(16)
Đây là nghiệm cảu bài toán lan truyền ô nhiễm một chiều với nguồn thải Q.
Cùng với điều kiện biên
x → ∞
thì
0C →
(Nồng độ ô nhiễm tại một điểm càng
giảm khi điểm càng tiến xa khỏi chân nguồn thải )
Đối với bài toán hai chiều ta có phương trình tương tự
2
2
1
4
1/2
( , , )
4( )( )
x y
y
x
t
k k
x y
Q
C x y t e
t k k
π

 
 
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 
 
− +
=
(17)
5
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Đối với bài toán 3 chiều ta có:
2
2 2
1
4
3/2 1/2
( , , , )
8( ) ( )
z
x y

y
x z
t
k k k
z
x y
Q
C x y z t e
t k k k
π
 
 
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 
 
− + +
=
(18)
Trong các công thức trên
Q – lương phát thải chất ô nhiễm tại nguồn điểm tức thời, g hoặc kg.
II. Công thức xác định sự phân bố nồng độ chất ô nhiễm theo luật phân phối
chuẩn Gauss

1. Công thức cơ sở
Lượng chất ô nhiễm trong luồng khói có thể được xem như tổng hợp của vộ
số khói phụt tức thời, những khối phụt đó được gió mang đi và dần dần nở rộng ra
khí ra xa ống khói giống như một ổ bánh mì được cắt ra thành nhiều lát mỏng và
xếp chồng kề mép lên nhau (hình 1).
Lượng chất ô nhiễm trong từng lát mỏng trong luồng khói có thể được xem
như nhau, tức là bỏ qua sự trao đổi chất từ lát này sang lát nọ kề bên nhau trên trục
x. Từ cách lập luận đó, bài toán lan truyền chất ô nhiễm ở đây là bài toán hai chiều
và do đó ta chọn công thức (17) để áp dụng cho trường hợp này:
6
a)
b)
u
c)
d)
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Hình 1: Biểu đồ luồng khói bằng các khối phụt tức thời và liên tục
Nếu ta thiết lập sự cân bằng vật chất trong từng “lát” khói có bề dày 1m theo
chiều x vá các chiều y, z là vô cực khi các lát khói chuyển động cùng với vận tốc
gió u thì thời gian để từng lát đi qua khỏi ống khói là 1 m/u và do đó lượng chất ô
nhiễm chứa trong “lát” khói sẽ là Q = M x 1/u
Ngoài ra, cấn lưu ý rằng bài toán hai chiều ở đây là chiều y và z thay vì cho
chiều x và y trong công thức (17).
Khi đó công thức (17) sẽ trở thành :
2
2
1
4
1/2
4 ( )

z
y
y
z
t
k k
z
y
M
C e
ut k k
π
 
 
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 ÷
 
 
 
− +
=
(19)
Đặt :
2

0.5
y y
u
k
x
σ
=
(20)
2
0.5
z z
u
k
x
σ
=
(21)
x
t
u
=
(22)
Trong đó
y
σ
và
z
σ
- được gọi là hệ số khuyếch tán theo phương ngang và
phương đứng, có thứ nguyên là độ dài bằng m.

Thay (20), (21), (22) vào (19) ta được:
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
z
y
y
z
y
z
y
z
z z
y y
M M
C e e e
u u
σ σ
σ
σ
π σ σ π σ σ
 

 
 
 
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
     
− +
−
−
= =
(23)
Đây là công thức cơ sở của mô hình lan truyền chất ô nhiễm theo luật phân

phối chuẩn Gauss hay còn gọi là “mô hình Gauss” cơ sở
2. Diễn giải công thức mô hình Gauss cơ sở bằng phương pháp phân tích
thứ nguyên
7
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Công thức (23) còn có thể diễn giải bằng phương pháp phân tích thứ nguyên
như sau:
Từ miệng ống khói chất ô nhiễm được gío mang đi theo trục x trùng với
hướng gió với vận tốc bằng vận tốc gió u, m/s. Nếu lượng phát thải chất ô nhiễm
M, g/s là không đổi theo thời gian thì mật độ của chất ô nhiễm trên tất cả các mặt
cắt trực giao với trục gió (cũng là trục luồng khói) sẽ bằng M/u, g/m
Cường độ phát thải M = 4 đơn vị/s
u = 1 m/s u = 4 m/s


0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Khoảng cách dọc theo trục gió (x), m
Hình 2: Sơ đồ minh hoạ ảnh hưởng của vận tốc gió đến nồng độ chất ô nhiễm
do nguồn phát thài liên tục và hằng số gây ra
Nếu giả thiết chất ô nhiễm không có phản ứng hoá học với không khí xung
quanh tức không sản sinh ra cũng như không phân huỷ đi, thì mật độ chất ô nhiễm
trên tất cả các mặt cắt trực giao với trục gió ở mọi khoảng cách x đều như nhau như
thể hiện ở hình 2. Nhưng nồng độ chất ô nhiễm trong luồng khói thì giảm dần khi
khoảng cách x tăng do có hiện tượng khuyếch tán theo phương ngang (trục y) và
theo phương đứng (trục z) chính vì vậy mà luồng khói lan rộng ra xung quanh trục
luồng. Càng ra xa khỏi trục luồng theo phương y và z theo phương y và z nồng độ
càng giảm nhỏ, tức là nồng độ nghịch biến với khoảng cách y và z
8
Website: Email : Tel : 0918.775.368
Từ đó ta có thể viết

M
C
uyz
:
(24)
Bằng nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm người ta thấy rằng sự phân bố
nồng độ trên mặt cắt trực giao với trục luồng theo chiều ngang y và theo chiều
đứng z và tuân theo dạng hình chuông của luật phân phối chuẩn Gauss với sai
phương chuẩn
σ
nào đó
Khi đó biểu thức phân phối chuẩn Gauss có dạng
2
2
1
( )
2
2
e
ξ
χ ξ
σ
σ π
=
(25)
Áp dụng biểu thức (25) vào trường hợp cụ thể ở đây thì
ξ
có thể là y hoặc z
và hàm
( )y

χ
,
( )z
χ
nghịch biến với |y| và |z|. Do đó biểu thức (24) ta có thể viết
thành:
2
2
2
2
2
2
( ) ( )
2
y
z
y
z
z
y
M M
C y z e e
u
u
σ
σ
χ χ
π σ σ
−
−

= =
(26)
y
σ
và
z
σ
là hệ số khuyếch tán theo phương ngang y và phương đứng z và là
hàm số của khoảng cách x kể từ nguồn đến mặt cắt xem xét. Các hệ số này được
xác định bằng thực nghiệm phụ thuộc vào khoảng cách x với các điều kiện khác
nhau. Chính vì vậy dấu tỉ lệ trong biểu thức (24) được thay bằng dấu = ở đằng thức
(26). Biểu thức (26) cũng chính là nghiệm của cách giải phương trình vi phân đạo
hàm riêng của quá trình khuyếch tán.
3. Sự biến dạng của mô hình Gauss cơ sơ
Điều cần lưu ý trước tiên là trong các công thức (19),(23), (26) các toạ độ y
và z đều tính từ trục của luồng khói.
Khi chuyển về hệ trục x, y, z mà gốc O trùng với chân ống khói trên mặt đất
thì y không thay đổi nhưng z phải được thay thế bằng z - H hoặc H – z (hình 3), do
đó công thức (26) sẽ trở thành:
9