Đề thi thử THPT có đáp án

PHONG GD & ĐT NAM ĐÀN
————————

KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các trường THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————

Câu 1. (1,5 đ) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
1 3
x + y = 2

b) 
 −5 + 7 = 12
 x y

a) x2 – 3x – 5 = 0

Câu 2. (2,25 đ) Cho biểu thức A =

x
x −1

−

2

2
.
x + 1 x −1

−

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x - 1).
Câu 3. (1,5đ) Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1 (m là tham số m ≠ 0 )
a) Vẽ Parabol (P) trên mặt phẳng Oxy.
b) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 4. (1 đ) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi
quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô
trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 5. (2.75 đ) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao
BM,CN của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b) Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
c) Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn.
Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất
Câu 6. (1 đ) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.
2 x 2 + 2 y 2 + 12 xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
x+ y

------------------------------Hết-----------------------------Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh: ………………….……
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm !


BIỂU ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN
Câu 1 (1,5 đ)
a) 0,75 đ
Nội dung trình bày

Điể
m

x2 – 3x – 5 = 0
∆ = (- 3)2 – 4.1.(-5) = 29
∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
3 + 29
x1 =
2
3 − 29
x2 =
2
b) 0,75 đ
1 3
x + y = 2


 −5 + 7 = 12
 x y
1
1
,v=
Ta được HPT
y
x
5u + 15v = 10
 22v = 22
 u = −1
⇔ 

⇔

 −5u + 7v = 12
 −5u + 7v = 12
v = 1

ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 0

Đặt u =

1
 x = −1  x = −1
⇔
(TMĐK)
1
y = 1
 =1
 y

0,25

0,25
0,25

 u + 3v = 2

 −5u + 7v = 12

0,25
0,25

Vậy HPT có nghiệm là (- 1, 1)
0,25

Câu 2. (2,25 đ)
x
2
2
−
−
A=
.
x −1
x +1 x −1
a) ĐKXĐ: x ≥ 0 và x ≠ 1
x
2
−
−
x −1
x +1

A=

x

=

(

(

(

0,25
2

)(

x +1

) ( x − 1) − 2 = x +
(
( x + 1) ( x − 1)
x +1 − 2

x− x

)(

x +1

)

x −1

)

=

x −1

0,25

x −2 x +2−2

)(

x +1

)

x −1

0,25

0,25


=

x

(

(

)

x −1

)(

x +1

) (

x −1

=

x

Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1 A =

)

x +1

b) x = 9 A = 3/4
c) B = A(x-1) =

(

x ( x − 1)

)

x +1

=

x

(

)(

x +1

)

0,25

x +1

0,25

) = x−

x −1

x +1

(

x

x=
0,25

2

1 1

 x − ÷ − ≥ - 1/4 Mọi x thuộc ĐKXĐ
2 4

1
⇔ x = 1/ 4 (TM ĐKXĐ)
Dấu bằng xảy ra khi x =
2
Vậy Min B = - 1/ 4 khi x = 1/ 4
Câu 3. (1,5đ) a)
x
y = x2

-2
4

-1
1

0
0

0,25
0,25

1

1

2
4
0,25

y
y=x2

4

b)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x2 = mx – 1 ⇔ x2 –mx +1 = 0
∆ = m2 – 4
1
(P) và (d) cắt nhau ⇔ m2 – 4 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = - 2
m
x
1 2
Hoành độ tiếp điểm của (P) và (d) là: x=
2
Với m = 2 thì x = 1 y = 1 Tọa độ tiếp điểm là T1(1, 1)
Với m = -2 thì x = -1 y = 1 Tọa độ tiếp điểm là T2(-1, 1)
Câu 4. (1 đ)
Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h, x > 4)
Vận tốc canô khi nước xuôi dòng là x + 4 và thời gian canô chạy khi nước xuôi dòng là

48
.
x+4

Vận tốc canô khi nước ngược dòng là x − 4 và thời gian canô chạy khi nước ngược dòng

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


là

48
.
x−4

48
48
+
=5
x+4 x−4
2
2
pt ⇔ 48( x − 4 + x + 4) = 5( x − 16) ⇔ 5 x − 96 x − 80 = 0
Giải phương trình ta được x = −0,8 (loại), x = 20 (thỏa mãn)
Theo giả thiết ta có phương trình

Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 20 km/h
Câu 5. (2.75 đ)

0,25
0,25
0,25

0,25

1. Chứng minh tg BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Lấy I là trung điểm BC. Suy ra:BI= CI = MI = NI
nên B ,C, M, N cách đều điểm I nên tứ giác BCMN nội tiếp trong một đường tròn
2. Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình
hành. Ta có:
ABK = 900 =

1

ΑΚ (góc nội tiếp) => BK⊥AB nên BK∥CH(*). Tương tự:

ACK = 900 = (góc nội tiếp) => CK⊥AC nên CK∥BH(**). Từ (*) và (**) suy ra
BHCK là hình bình hành.
Gọi I là giao điểm AH và BC, F là trung điểm của BC. Vì khi A thay đổi BC cố định và
lam giác ABC luôn nhọn nên H nằm trong tam giác ABC. Nên S∆BCH = BC.HI lớn nhất
khi HI lớn nhất (BC cố định), HI lớn nhất => AI lớn nhất => I≡ F mà F là trung điểm của
BC nên ∆ABC cân tại A => AB = AC=> A bằm chính giữa lớn cung BC
Câu 6. (1 đ)

1

0,5

2

2 x 2 + 2 y 2 + 3.4 xy 2 x 2 + 2 y 2 + 3 2  ( x + y ) − 2 xy  + 3 2.( x + y ) 2 − 4 xy + 3
=
=
=
A=
x+ y
x+ y
x+ y
x+ y

=

2.( x + y ) 2 − 1 + 3 2.( x + y ) 2 − 1 + 3
=
x+ y
x+ y

0,25


2
2.( x + y ) 2 + 2 2. ( x + y ) + 1 2( x + y ) 2 + 2
=
=
=
x+ y
x+ y
x+ y

2


1 
= 2 ( x + y ) +
x+ y
x + y 

1
Xét ( x + y ) +
x+ y

= 2( x + y ) +

Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và (
(x+y) + (

1
)≥2
x+ y

( x + y ) .(

0,25

1
) ta có:
x+ y

1
) =2
x+ y


1 
Do đó: A = 2 ( x + y ) +
≥4
x + y 

1
Vậy Min A = 4  (x+y) = (
)  (x+y)2 =1
x+ y
1
Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = 2

0,25
 x + y = ±1
1
x=y=
2

0,25