HD HS vận dụng linh hoạt các PP giải pT vô tỷ

Kinh nghiệm :

Hớng dẫn HS vận dụng linh hoạt các
phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
A- Đặt vấn đề

1- Lí do chọn đề tài

Trong chơng trình toán học phổ thông, kiến thức về phơng trình là một kho báu
vô tận. Càng đi sâu vào nghiên cứu chúng ta càng thấy đợc cái khó, cái hay vô
cùng của nó .
Trong kho báu vô tận đó thì phơng trình vô tỉ chiếm một phần không nhỏ. Mặc
dù trong chơng trình cơ bản của toán 9, PT vô tỉ chỉ chiếm phần khá ''khiêm tốn
'' chủ yếu tập trung ở chơng I: '' Căn bậc hai - căn bậc ba ''. Với hệ thống bài tập
còn ít ỏi, tơng đối đơn giản mà HS có thể áp dụng một vài phơng pháp nh nâng lên
luỹ thừa, hay đa PT về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối...là có thể
giải đợc .
Song thực tế trong các đề thi HS giỏi, đề thi chuyển cấp vào THPT và trờng
chuyên của tỉnh của mấy năm gần đây thì các bài toán về ''PT vô tỉ'' lại xuất hiện
khá nhiều và rất đa dạng. Chúng đòi hỏi HS phải nắm chắc các phơng pháp giải về
phơng trình vô tỉ, từ đó biết vận dụng linh hoạt các phơng pháp giải phù hợp với
bài toán của mình. Thực tế HS lại rất hay lúng túng và gặp nhiều khó khăn trớc
điều này .
Vì thế với kinh nghiệm bản thân đã từng gặp phải vấn đề này trong quá trình
giảng dạy của mình, bản thân tôi cố gắng tìm cách tháo gỡ điều này bằng cách
tham khảo các tài liệu và rút ra kinh nghiệm hớng dẫn, cung cấp cho HS các phơng pháp giải thật đa dạng về phơng trình vô tỉ; Phân tích ra các sai lầm mà các em
có thể gặp phải trong quá trình tìm tòi và trình bày lời giải. Nhằm để các em nắm
thật chắc mỗi phơng pháp giải, chú ý tránh các sai lầm có thể xảy ra.
Từ đó hớng dẫn các em biết vận dụng thật linh hoạt các phơng pháp đã biết.
Tìm ra phơng pháp giải phù hợp cho mỗi bái toán về ''phơng trình vô tỉ'' của
mình -đáp ứng với sự mong mỏi đợc khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm

phong phú hơn hành trang về kiến thức các em mang theo khi học lên THPT .

2- Mục đích, nhiệm vụ của đề tài :

Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục theo hớng đổi mối phơng pháp giảng dạy của
giáo viên và đổi mới cách học của HS theo hớng chủ động sáng tạo, phát huy đợc
tính tích cực tối đa của học sinh. Rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và giải
phơng trình vô tỉ nói riêng một cách chủ động, linh hoạt hơn. Từ đó xây dựng đợc
lòng say mê, hứng khởi với việc học toán của học sinh. Qua đó góp phần vào việc
1


giáo dục một thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, giàu kĩ năng trong công việc đáp ứng
với công cuộc xây dựng và bảo vệ đất nớc theo yêu cầu mới của nớc nhà hiện nay .
Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao
năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là
công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ.
Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp
học sinh giải đợc một số bài tập .
Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải phơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học .
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp
dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc
học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ .Đồng thời góp phần nâng
cao chất lợng giáo dục .
3. Phạm vi nghiên cứu- Đối tợng nghiên cứu :
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng
trình vô tỉ đối với học sinh THCS.
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các
giờ luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi HS giỏi các

cấp và thi vào cấp 3.
4. Các phơng pháp nghiên cứu và tiến hành :
*Tham khảo thu thập tài liệu : SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD,Một số vấn đề
phát triển Đại số 9-, Toán bồi dỡng Đại số 9 ,Toán nâng cao và các chuyên đề Đại
số 9,Để học tốt Đại số 9 ,Phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực ,
23chuyên đề bài toán sơ cấp- Nhà xuất bản GD , Những đề thi và những tài liệu
khác có liên quan .
*Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .
*Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh .
*Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc
phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải .

B- Giải quyết vấn đề :
I- Cơ sở khoa học

1- Cơ sở lí thuyết :

Khái niệm :Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
2


Để giải PT vô tỉ tức là ta cần tìm cách biến đổi nhằm '' Hữu tỉ hoá '' các PT đó và
các phơng pháp để giải quyết vấn đề đó là:
1- Phơng pháp nâng lên luỹ thừa
2- PP đa PT vô tỉ về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
3- PP đặt ẩn phụ
4- PP hệ PT
5- PP bất đẳng thức
6- PP nhân với lợng liên hợp
7- PP đa về dạng tích

8- Một số PP khác
Để giải quyết tốt việc tìm lời giải phù hợp cho mỗi phơng trình vô tỉ, ngời giáo
viên phải cung cấp cho HS các phơng pháp giải đa dạng để từ đó có thể hớng dẫn
cho các em biết cách phân tích bài toán, biết vận dụng linh hoạt các phơng pháp đó
vào giải các phơng trình vô tỉ.

2. Cơ sở thực tiễn :
Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề, trong chơng trình cơ bản toán 9 thì phơng
trình vô tỉ còn chiếm mức '' khiêm tốn ''về cả khối lợng bài tập và cả phơng pháp
giải. Vì vậy cha đáp ứng đợc nhu cầu học tập của HS nhằm đạt kết quả cao trong
các kì thi học sinh giỏi, các kì thi chuyển cấp .Và là cơ sở cho kiến thức của các
lớp trên .
Tôi nhận thấy đa số học sinh '' rất sợ '' gặp phải các phơng trình vô tỉ và cực kì
lúng túng với việc phân tích đề bài để tìm ra lời giải tốt ( kể cả các em học sinh
khá giỏi )
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm
bài kiểm tra khảo sát với nội dung ''về phơng trình vô tỉ'' có cả bài dể và bài khó
đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt các phơng pháp giải .
Kết quả thu đợc thật đáng buồn: Với 30 bài kiểm tra (đã trừ những em quá yếu
kém) chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại không đạt - Lí
do cha biết trình bày lời giải, cũng có thể cha tìm ra cách giải, cũng có một số em
đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc .

Nội dung bài khảo sát nh sau :
Hãy giải các PT sau :
Bài 1: a; 4 - 2 x 3 =3
b, x 2 2 x + 1 = 2
3

Bài 2:

x 1 5 x 1 = 3 x 2 (1)

Bài 3: a, 3x2 +21 x +18 +2 x 2 + 7 x + 7 =2
b. 3 2 x + 1 + 3 x = 1

Kết quả cụ thể :

Bài 1: Đa số các em biết cách giải và giải khá tốt vì các em đã đợc luyện nhiều
dạng này trong chơng trình
Bài 2: Một số ít các em khá giải tốt ; còn đa số giải nh sau :
Lời giải sai: Chuyển vế : x 1 = 5 x 1 + 3x 2 (2)
Bình phơng hai vế ta đợc :
x- 1 = 5x -1 +3x -2 +2 15 x 2 13x + 2 (3)
2-7x = 2 15 x 2 13x + 2 (4)
Bình phơng 2 vế ta đợc :
4 - 28 x + 49x2 = 4( 15x2 -13x +2 ) (5)
Rút gọn : 11 x2 - 24 x + 4 =0
Giải ra: x1 = 2/11; x2 = 2

Sai lầm của các em là :
1- Bỏ qua một bớc rất quan trọng là không đặt điều kiện đễ các căn thức có
nghĩa ( ĐK : x 1) nên không loại bỏ nghiệm x1 =2/11
2- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng các PT (4) và (5) . Đáng ra PT (4)
2 7 x 0

tơng đơng với hệ :

2

2
(2 7 x ) = 4(15 x 13 x + 2)

tức là phải có thêm ĐK: x 2/7 - Vì

thế nghiệm x2 = 2 cũng không phải là nghiệm của (1)
3- Đối với PT này sau khi bình phơng ta đợc PT(4) không em nào thấy đợc với
điều kiện x 1 thì vế trái < 0 => PT (4) vô nghiệm nên PT (1) vô nghiệm .
Bài 3: Đa số các em không giải đợc vì không tìm ra lời giải đúng
Vì thế với trăn trở là làm thế nào học sinh của mình ''tự tin'' hơn với dạng toán
này tôi đã mạnh dạn tìm tòi, thử nghiệm và rút ra kinh nghiệm là cần cung cấp các
phơng pháp giải phơng trình vô tỉ một cách đa dạng, và thông qua một số ví dụ từ
dễ đến khó nhằm hớng dẫn các em nắm chắc từng phơng pháp giải ; từ đó rèn
luyện hớng dẫn các em biết vận dụng một cách thật linh hoạt các phơng pháp giải
phù hợp nhất cho mỗi một phơng trình vô tỉ cụ thể của mình .

II- Nội dung:

1-Các phơng pháp giải và VD minh hoạ
Nguyên tắc chung của việc giải PT vô tỉ là dùng các phép biến đổi đa PT về
dạng hữu tỉ để giải tìm nghiệm của nó, điều đó thể hiện ở mổi phơng pháp khác
nhau .
4


I- Phơng pháp nâng lên luỷ thừa :
Bớc 1: Nâng cả 2 vế lên cùng một luỹ thừa ta sẽ đợc một PT tơng đơng
hoặc PT hệ quả ( có thể 1 hoặc nhiều lần ) có dạng hữu tỉ
Bớc 2: Giải PT tơng đơng hoặc PT hệ quả đó rồi đối chiếu điều kiện hoặc
thử lại để xác định nghiệm của PT ban đầu

VD1-Giải PT: a, 3x 2 = 2 3 (BT77 Toán 9-SBT trang15)
b; x 1 5 x 1 = 3x 2
c; 3 2 x + 1 + 3 x = 1 ( Đề thi chọn HS giỏi tỉnh 2004-2005)
H dẫn HS tìm tòi lời giải:
Đối với PT vô tỉ thì đầu tiên phải chú
ý là phải đặt điều kiện của ẩn để PT có
nghĩa .
ĐK của x ở bài a, là gì ?

Lời giải:
a,
ĐK: 3x -2 0 x 2/3
Vì hai vế của PT đều không âm nên
Bình phơng hai vế của PT ta có:
3x - 2 = 7 -4 3
Hãy tìm cách làm mất dấu căn của
PT ? Từ đó hãy tìm nghiệm ?
3
x= 3 - 4 .
( thoã mãn x 2/3)
3

GV lu ý :
Đối với PT trên bình phơng hai vế ta
đợc PT tơng đơng vì hai vế đều không
âm .
Còn đối với VD b;
*Ta đã phân tích sai lầm trên là từ
PT(4) để tơng đơng với (5) cần có thêm
ĐK để cả hai vế không âm là x 2/7 Giải xong cần đối chiếu với cả hai đkiện

(*) và (**) mới trả lời nghiệm của PT
*- Nếu trong quá trình giải các em
quên đặt ĐK thì cả quá trình giải các
em không đặt dấu tơng đơng và sau khi
giải phải thử lại rồi mới trả lời nghiệm
của PT
* Cách giải khác:
Có thể dựa vào Điều kiện của ẩn ta
có thể sớm nhận ra PT này vô nghiệm .
Quá trình giải hớng dẫn HS nh trên đa
về PT(4)
Từ điều kiện của PT(1) là x 1 các
em có nhận xét gì về giá trị Vế trái và
vế phải của PT (4) ?
Từ đó ta có kết luận gì về nghiệm
của PT ?

Vậy PT có nghiệm : x= 3 - 4 . 3
3

b, x 1 5 x 1 = 3x 2 (1)
ĐK: x 1(*)
x 1 = 5 x 1 + 3x 2 (2)
Bình phơng hai vế ta đợc :
x-1 =5x -1+3x-2+2 15 x 2 13x + 2 (3)
2-7x = 2 15 x 2 13x + 2 (4)
ĐK: x 2/7
(**)
Bình phơng 2 vế ta đợc:
4 - 28 x+ 49x2 =4(15x2 -13x +2 ) (5)

Rút gọn: 11 x2 -24 x +4 =0
Giải ra: x1 = 2/11 ; x2 = 2 (loại vì
không thoã mãn (*) và(**) vậy PT(1) vô
nghiệm

Đặt ĐK tồn tại của (1) là: x 1 Do
đó x<5x x-1 < 5x -1 Nh vậy vế trái
5


c,Với bài tập này ta giải nh thế nào?
Liệu ta có thể dùng phơng pháp nâng
lên luỹ thừa đợc không?
Hãy cố gắng tìm cách làm mất căn ?
Nghiệm của PT là bao nhiêu ?
GV lu ý: Đối với các căn thức bậc lẻ
không cần phải đặt điều kiện ;song giải
xong các em nên thay vào PT để thử lại
xem có thích hợp không rồi mới kết
luận nghiệm. (Bài c)

của (4) âm, còn vế phải không âm.
Nên PT(4) vô nghiệm .suy ra PT(1)
vô nghiệm .

c, 3 2 x + 1 + 3 x = 1
Lập phơng 2 vế :
2x +1 +x +3 3 (2 x + 1) x .1 =1
3

(2 x + 1) x .= -x

Lập phơng 2 vế : x(2x+1) =-x3
x.(x2 +2x +1) =0 Nên x =0 (TM )
hoặc x = -1 (không thoã mãn)
Vậy PT chỉ có 1 nghiệm : x = 0

* Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình
vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa
bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngợc lại (n= 1,2,3.....)
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó
là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp
này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều
phơng pháp khác lại với nhau .
*/ Bài tập áp dụng:
1. x 2 4 = x- 2

4. 3 x + 45 - 3 x 16 =1

2. 1 + x x 2 + 4 = x+ 1

5. 1 x = 6 x - (2 x + 5)

3. 1 x + 4 + x =3

6. 3 x 1 + 3 x 2 = 3 2 x 3

2- Phơng pháp đa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị

tuyệt đối

Bớc 1:Tìm cách đa các biểu thức chứa ẩn trong căn về dang bình phơng để
đa ra khỏi căn có mang theo giá trị tuyệt đối .
6


Bớc 2: Giải PT chứa dấu giá trị tuyêt đối đó ; Kiểm nghiệm lại tính phù
hợp của nghiệm và trả lời kết quả
VD2: Giải các phơng trình :
a, x 2 2 x + 1 = 2
b, x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2
c, x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2
H.Dẫn HS tìm tòi lời giải:
a, Ta sẽ sử dụng kiến thức nào để có
thể giải đợc các PT dạng này ?
Sử dụng hằng đẳng thức:
A nếu A 0
A2 = A =
A nếu A < 0

Hãy trình bày lời giải của câu a, ?
b, Các em hãy tìm cách đa các căn
thức về dạng bình phơng một tổng hoặc
một hiệu ?
Bây giờ hãy vận dụng phơng pháp
trên giải tiếp ?
Ta sẻ giải PT (*) nh thế nào để tìm

nghiệm ?
( Phá dấu giá trị tuyệt đối )
Kết luận về nghiệm của PT nh thế
nào?

Lời giải
( x 1) 2 = 2 x 1 = 2
x 1 = 2

a,
x 1 = 2
x = 1 + 2

x = 1 2

b, ĐK:x 1
2

( x 1 + 1)2 + ( x 1 1) = 2
x 1 + 1 + x 1 1 = 2 (*)
+ Nếu x 2 PT trở thành :
x 1 +1+ x 1 1 = 2


x 1 = 1 x = 2(TM )

+Nếu 1 x<2 PT trở thành :
x 1 +1 x 1 +1 = 2

c, PTrình c, có đa đợc về dạng nh PT

b, không ?
Làm thế nào để đa đợc các biểu thức
dới dấu căn về dạng Hằng đẳng thức ?
Bây giờ các em hãy giải tiếp nhPT
b,và cho biết kết quả về nghiệmcủaPT ?

0x = 0 ( Đúng vói mọi x )
Vậy PT b, có vô số nghiệm: 1 x 2

c,ĐK: x 1/2

2x 1 + 2 2x 1 + 1 + 2x 1 2 2x 1 + 1 = 2

2x 1 + 1 + 2x 1 1 = 2

Ví dụ 2 : Giải phơng trình :

Giải ra ta có nghiệm của PT là : 1/2
x 1
2
x 4 x = 4 + x 2 8 x + 16 = 5 ĐKXĐ: x R
7


Phơng trình tơng đơng : x 2 + x 4 = 5
Lập bảng xét dấu :

x
x- 2

-

x- 4

-

2
0

4
+

+

-

0

+

Ta xét các khoảng :
x = 0,5(thoả mãn x 2)
+ Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5
+ Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm

+ Khi x > 4 ta có (2) 2x 6 =5
x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:

x 4 x 1 + 3 +

x 6 x 1 + 8 = 1 ; ĐKXĐ: x 1

Phơng trình đợc viết lại là :
( x 1) 4 x 1 + 4 +



( x 1) 6 x 1 + 9 = 1

( x 1 2) 2 +



x 1 2 +

( x 1 3) 2 = 1
x 1 3 =1 (1)

- Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- x 1 + 3 - x 1 = 1


x 1 =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét

- Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10

* Nhận xét :

Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử
dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức

A2 = A

- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn
nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
*.Bài tập áp dụng
1. x 2 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25 = 8
2. x 2 + 2 x + 1 + x 2 4 x + 4 = x 2 + 4 x + 4
3. x + 3 + 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 5
8


4. x + 3 + 3 2 x 5 + x 2 2 x 5 = 2 2
3- Phơng pháp đặt ẩn phụ :
Bớc1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ .
Bớc 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ ; Giải PT chứa ẩn phụ - Đối
chiếu điều kiện của ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp cho PT này
Bớc 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ .
Trong 3 bớc thì bớc 1 là quan trọng nhất, vì nó quyết định đến tính chính
xác ; ngắn gọn và độc đáo của lời giải .
VD1: Giải các PT :
a, 3x2 +21 x +18 +2 x 2 + 7 x + 7 =2
b, x(x+5 ) = 2 3 x 2 + 5 x 2 2
HDẫn HS tìm tòi lời giải
Lời giải:
Với PTa, ta có thể dùng phơng pháp

a, Ta đặt x 2 + 7 x + 7 = T (T 0)
nâng lên luỹ thừa đợc không ? Vì sao ?
PT trở thành :
(Không đơc vì nếu chuyển vế rồi
3 T2 +2T - 5 =0
bình phơng 2 vế ta cũng đợc pt bậc 4
cha giải đợc hoặc giải rất phức tạp)
Giải ra T1= -5/3 (Loại )
Vậy ta có thể làm theo cách nào ?
T2 = 1
Để ý:
Suy ra :x2 +7x +7=1
2
2
3x +21 x +18= 3(x +7x +7) -3
x2 +7x +6 =0
Nên ta có thể đặt ẩn phụ nh thế nào?
X1 = -1 ;x2 = -6 ( thoã mãn cho x2
Hãy giải PT theo ẩn phụ đó rồi tìm
+7x +7 0 )
nghiệm của ẩn chính ?
b; Sử dụng PP đặt ẩn phụ các em
hãy giải bài b, tơng tự câu a,
Ta đặt ẩn phụ nh thế nào?
b,
Nếu đặt 3 x 2 + 5 x 2 = y
Đặt 3 x 2 + 5 x 2 = y
Thì PT trở thành PT nh thế nào ?
Đây là PT bậc ba kiến thức của
chúng ta cha giải đợc ; Vậy chúng ta

PT trở thành : y3 -2y +4 =0
phải làm thế nào để giải ?
(y+2)( y2 -2y +2 ) =0
Các em hãy biến đổi về dạng tích để
giải ?
+ y+2 =0 y=-2
GV cho HS tự giải tiếp rồi kiểm tra
+ y2 -2y +2 =0 ( vô nghiệm )
lại kết quả .
Vậy y=2 Suy ra x2+ 5x -2 =- 8
x2 +5x +6 =0
X1= -2 ; x2 =-3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình:
(ĐKXĐ : x o)
x + 4 x = 12
Đặt

4

x =y 0

x = y2 ta có phơng trình mới

9


y2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
4 x = 3 x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3:

Giải phơng trình:
x + 1 0
3 x 0

x 1

x 3



ĐKXĐ :

x +1 +

3 x -



( x + 1)(3 x) = 2 (1)

-1 x 3

Đặt x + 1 + 3 x = t 0 t2 = 4 + 2 ( x + 1)(3 x)


t2 4
=
(2) .thay vào (2) ta đợc
( x + 1)(3 x)

2

t2 2t = 0 t(t-2) = 0



t = 0
t = 2


+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :

( x + 1)(3 x) = 0 x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn)

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4:
Ta có

Giải phơng trình :

x3 + 1 =

x +1

5 x 3 + 1 = 2( x2 + 2)

x2 x +1

Đặt x + 1 = a 0 ; x 2 x + 1 = b 0 và a2 + b2 = x2 + 2

Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0


2a b = 0
a 2b = 0


+ Trờng hợp: 2a = b
2

x +1 =

x2 x +1

4x + 4 = x2 x +1
x2 5x -3 = 0

Phơng trình có nghiệm x1 = 5 37 ; x2 = 5 + 37
2

2

+ Trờng hợp: a = 2b


x +1 = 2 x2 x +1

x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0

4x2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm.

10


Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 5 + 37 và x= 5 37
2

Ví dụ 5:

Giải phơng trình:

x + 1 + 2 (x+1) = x- 1 +

2

1 x + 3 1 x 2 (1)

Đặt x + 1 = u 0 và 1 x = t 0
ĐKXĐ: -1 x 1 thì phơng trình (1) trở thành.
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
(u t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
(u-t)(2u t +1 ) = 0


u = t

2u + 1 = t

x + 1 = 1 x


2 x + 1 + 1 = 1 x

x = 0

24

x = 25

thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho.

*Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn phụ nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng
giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm
*. Bài tập áp dụng:
1/ x2 5 + x 2 6 = 7

3/ 3 x 2 - 3 3 x =20

2/ x 1 - 2x 3 x = 20

4/ x 3 + 8 = 2x2 6x +4

x

5/ x + 6 x 9 + x 6 x 9 =

x + 23
6

Phơng pháp đặt ẩn phụ để ''hữu tỉ hoá '' còn đợc thể hiện dới dạng phơng pháp ''
Hệ phơng trình ''
4- Phơng pháp chuyển PT vô tỉ về hệ phơng trình hữu tỉ
Bớc 1: Trong 1 PT nhng ta đặt nhiều ẩn phụ ( 2 ẩn trở lên )
Tìm các mối liên hệ giữa các ẩn để lập thành một hệ PT hữu tỉ
Bớc 2: Giải hệ đó tìm các ẩn phụ phù hợp với hệ
Bớc 3: Từ ẩn phụ suy ra nghiệm chính của PT
Ví dụ 1: Giải các PT sau :
a; 25 x 2 10 x 2 = 3
b; 3 2 x + x 1 = 1
HDẫn HS tìm tòi lời giải

Lời giải:
11


a, PT này có nghĩa khi nào ?
Ta có thể chọn đặt ẩn phụ nh thế
nào ? ( Để có thể biểu thị đợc mối quan
hệ giữa các ẩn phụ )
Đặt 25 x 2 = a ; 10 x 2 = b thì ĐK
của a,b là gì ?
PT ban đầu trở thành hệ PT nh thế
nào?

Nếu bình phơng mỗi căn thức rồi lấy
hiệu để khữ ẩn ta sẽ đợc điều gì ?
Hãy giải hệ PT đó ?
Qua giá trị nghiệm của ẩn phụ hãy
tìm giá trị nghiệm của ẩn chính? và trả
lời bài toán ?

a, TXĐ : - 10 x 10
Đặt 25 x 2 = a ; 10 x 2 = b (a,b 0)
Theo PT ta có : a -b =3 (1)
Lại có:
a2-b2 = (25-x2) -(10 -x2) =15(2)
a b = 3

Ta có hệ PT:

2
2
a b = 15

Giải hệ PT này ta đợc :
a = 4 ; b= 1
25 x 2 = 3

Suy ra

10 x 2 = 1

b; Mặc dầu bài b, có các căn bậc
khác nhau song áp dụng cách giải trên

cũng tỏ ra rất hiệu quả .
GV hớng dẫn các bớc nh trên các em
sẽ dễ dàng giải đợc PT này

x1 = 3; x2=-3

b, TXĐ: x 1
Đặt 3 2 x = a; x 1 = b ( b 0 )
Theo PT đã cho thì : a +b = 1
Lại thấy : a3 +b2 = 1
a + b = 1

Chuyển về hệ :

3
2
a + b = 1

GIải hệ này ta đợc : (a = 0; b =1)
(a =1; b = 0 ) ; (a =-2 ;b =3 )
Từ đó suy ra các nghiệm của PT ban
đầu là: x1= 2; x2 =1; x3 = 10
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (5 x) 5 x + ( x 3) x 3 = 2 (1) (ĐKXĐ : 3 x
5 x + x3

5)
5 x = u (u 0)
x 3 = t (t 0)

Đặt

Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
2
2

u + t = 2
2
2

u ut + t = 2



ut = 0

u = 0

t = 0



x = 3
(thỏa mãn điều kiện )

x = 5

Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3:

Giải phơng trình:

Đặt: 3 x + 1 = a ;

3

3

( x + 1) 2 +

x 1 = b nên ta có:

3

( x 1) 2 +

a2 = 3 ( x + 1) 2

3

x2 1 = 1

;

b2 = 3 ( x 1) 2
12


ab = 3 x 2 1 . Ta đợc phơng trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
a 3 = x + 1
3

b = x 1

Ta đợc phơng trình : a3 b3 = 2 (2)
2
2

a + b + ab = 1
3
3

a b = 2

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :

Từ hệ phơng trình ta suy ra a b = 2 b = a 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc :
(a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
*.Nhận xét :
Qua cac ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm
sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này
đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ý một số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình
quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác nhu phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.

*Bài tập áp dụng:

Giải các phuơng trình sau :
1.

1
+
x

1
2 x2

=2

2. 2 3 2 x 1 = x3+ 1

3. 3 1 x + 3 1 + x =1
4. 3 x 1 +

3

x 21 =

3

2x 3

5. 4 4 + x = x

5) Phơng pháp bất đẳng thức:

Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỷ đợc thể hiện dới nhiều dạng

khác nhau:

Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không đồng nhất, khi
đó phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải pt: x 1 5 x 1 = 3x 2 (1)
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Lời giải
Điều kiện của phơng trình có nghiã là Điều kiện: x 1
gì?

13


Với điều kiện đó giá trị của vế trái nh Vì với x 1 thì x < 5x x - 1 < 5x -1
thế nào?
Nên x 1 5 x 1 < 0 còn 3x 2 > 0
(Hãy so sánh x và 5x)
Vậy nên phơng trình vô nghiệm
Còn vế phải có giá trị ra sao?
Qua đó em có nhận xét gì về nghiệm
của phơng trình này?

Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ: Giải pt: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 - 2x - x2
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Lời giải:
Hãy tìm điều kiện của phơng trình?
Điều kiện: -1 - 5 x -1 + 5 (*)
Các biểu thức 3x2 +6x +7; 5x2 +10x +14 Ta thấy:
có giá trị nh thế nào?

Do các biểu thức trong căn đều không VT= 3( x + 1)2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 4 + 9 =
âm nên phơng trình có nghiệm khi vế 5
phải nh thế nào? Từ đó tìm điều kiện
VP = 5 - (x +1 )2 5
của x?
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Vậy dấu "=" xẩy ra khi cả hai vế đều bằng
5. Khi đó x = -1 (thoả mãn điều kiện (*))
hai vế?
Từ đó có nhận xét gì? (phơng trình chỉ Vậy phơng trình có một nghiệm x =-1.
xẩy ra khi nào?)

Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ: Giải phơng trình 3 x 2 + x + 1 = 3
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Lời giải
Tìm điều kiện của phơng trình?
Nhận xét: + x = 3 là nghiệm của phơng
Hãy thử x = 3 có phải là nghiệm của ph- trình
ơng trình không?
+ Với x > 3 thì 3 x 2 >1, x + 1 >2, nên
Với x > 3 thì ta có điều gì?
vế trái của phơng trình lớn hơn 3.
Vậy x > 3 khồng thể là nghiệm của phơng trình.
Với - 1< x < 3 thì ta có đièu gì?
+ Với -1 x < 3 thì 3 x 2 < 1,
Từ đó ta có kết luận gì về nghiệm của
x + 1 < 2 nên vế trái của phơng trình
phơng trình đã cho?
nhỏ hơn 3.
Vậy - 1 x < 3 không thể là nghiệm của

phơng trình.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.

Dạng 4: Sử dụng điều kiện xẩy ra dấu bằng ở bất đẳng thức
không chặt.
Ví dụ: Giải phơng trình:

x
+
4x 1

Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải

4x 1 = 2
x

(1)

Lời giải
14


Điều kiện của phơng trình?
1
Điều
kiện:
x
>
Các em hãy quan sát kĩ các hạng tử của
4

vế trái từ đó nhận ra điều gì ?
x
Do
và 4 x 1 đều không âm
Do

x
và
4x 1

4 x 1 đều không âm
nên
x

nên giá trị của vế trái nh thế nào?
(Hãy áp dụng bất đẳng thức :
a b
+ 2 với a;b đều không âm )
b a

4x 1
x
+
4x 1

x
x
2
4x 1

Dấu "=" chỉ xẩy ra khi

x
=
4x 1

4x 1
x

x = 4 x 1 (2) x2 = 4x -1
Vậy đẳng thức chỉ xẩy ra khi nào?
x2 - 4x +1 = 0(2)
Hãy giải phơng trình (2).
Giải phơng trình này ta đợc:
Từ đó kết luận nghiệm của phơng trình
x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 - 3 (cả hai nghiệm
là gì?
đều thoả mãn điều kiện ban đầu)
Vậy phơng trình có hai nghiệm
x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 - 3

*. Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý
các bớc sau :
+ Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a
(a là hằng số )
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m
hoặc h (x) m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng

thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
+ /. Bài tập áp dụng:
1. 2 x 2 8 x + 12 = 3 - 4 3 x 2 12 x + 13

3. 19

x 1

+5

4

x 2 1

+ 95

6

x 2 3 x + 2

= 3

2. x 2 + 10 x = x2 -12x + 40
6- PP nhân với lợng liên hợp:
Ta đã biết: ( a + b ) . ( a b ) = a - b với a 0, b 0 trong đó a + b và
a b là hai biểu thức liên hợp với nhau. Thực chất của phơng pháp này là
nếu nhân một biểu thức dạng a b với biểu thức liên hợp mà xuất hiện
15

một nhân tử chung với biểu thức khác của phơng trình thì sau khi đặt nhân tử
chung ta chuyển về giải phơng trình đơn giản hơn:
Ví dụ: Giải phơng trình: a, 4 x + 1 - 3x 2 =

x+3
(1)
5

b, ( x + 9 + 3)( x + 1 + 2 x 7) = 8 x (2) (Đề thi vào lớp
10 năm học 2006-2007 )
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
Bài này ta có thể giải bằng phơng pháp
nào ?
Nếu giải bằng phơng pháp nâng lên luỹ
thừa ta sẽ đợc một PT bậc 4 mà bằng
kiến thức của chúng ta cha thể giải đợc .
Nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ ; hay phơng pháp bất đẳng thức .. củng đều rất
phức tạp . Do vậy chúng ta sẽ làm quen
với một phơng pháp giải mới đó là: PP
nhân với lợng liên hợp
Hãy tìm điều kiện của phơng trình?
Ta nhận thấy (4x +1) - (3x - 2) = x +3.
Vậy nhân cả hai vế của phơng trình (3)
với biểu thức nào để xuất hiện nhân tử
chung?

Lời giải
Điều kiện: x

2
3

Nhân hai vế của phơng trình (1) với
4 x + 1 + 3x 2 ta đợc:
(3) x+3 =

x+3
( 4 x + 1 + 3x 2 )
5

(x+3) ( 4 x + 1 + 3x 2 - 5) = 0


4 x + 1 + 3x 2 5 = 0

x + 3 = 0

+ x + 3 = 0 x =-3 (loại)
+ 4 x + 1 + 3x 2 - 5 = 0

4 x + 1 + 3x 2 = 5
phơng trình này với phơng pháp
Hãy giải phơng trình (3').và trả lời Giải
bình
phơng
hai vế hoặc so sánh giá trị
nghiệm của PT ban đầu?
2
của vế trái với 5 khi x < 2 và x > 2

3

để tìm thấy nghiệm duy nhất là x = 2.
b; Đây là câu 13 của đề thi tuyển sinh Thử lại ta thấy phơng trình (3) có một
vào lớp 10 Năm học 2006-2007 . Qua nghiệm là x = 2.
tìm hiểu đa phần các em thí sinh không
làm đợc bài này . Song thực ra bài này
cũng không phải giải đợc nếu ta vận
dụng PP nhân với lợng liên hợp kết
hợp một vài phơng pháp khác là có thể
giải dễ dàng .
Trớc hết hãy đặt điều kiện của PT ?
b;
Để ý : ( x + 9 + 3)( x + 9 3) = x
ĐK: x 7
Vậy các em hãy nhân hai vế PT với lợng
Nhân hai vế với của pt (2) với x + 9 3
liên hợp của x + 9 + 3 ?
ta đợc :
Hãy xem x=0 có phải là nghiệm của pt
x( x+1+2 x 7 ) = 8x.( x + 9 3)
không ?
Ta có thể chia 2vế với x ; sau đó đặt ẩn Ta thấy x =0 không phải là nghiệm nên
phụ x 7 = t thì t phải có điều kiện gì? chia 2 vế với x :
( x+1+2 x 7 ) = 8 ( x + 9 3) (3)
PT trở thành PT nào?
Hãy đa PT về dạng tích để giải ?
16

Các em có nhận xét gì vế giá trị của Đặt x 7 =t ( t 0) x =t2 +7
Biểu thức t3 +4t2 +4t + 128 ?
PT trở thành :
t2 +8 +2t = 8 t 2 + 16 24

Ngoài ra ta có thể hớng dẫn HS giải
theo cách ngắn gọn hơn nh sau:
Sau khi biến đổi nh trên đến pt (3). Hãy
chuyển các hạng tử về một vế, biến đổi
thành hằng đẳng thức, rồi nhận xét giá
trị mỗi hạng tử của vế trái từ đó suy ra
cách giải phơng trình đó nh thế nào?

t2 +2t +32 = 8 t 2 + 16
Vì hai vế không âm ; nên bình phơng 2
vế ta đợc PT tơng đơng :
t4 +4 t3 +4t2 +128t =0
t (t3+ 4t2 +4t +128 ) =0
Vì t3 +4t2 +4t + 128 >0 do t 0 nên t =0
(TM ) Suy ra : x 7 =t=0 x =7 (thoả
mãn).Vậy PT chỉ có một nghiệm x =7
Cách 2:
(3) <=> x +1 + 2 x 7 = 8 x + 9 - 24
<=> x+9 - 8 x + 9 + 16 + 2 x 7 = 0
<=> ( x + 9 - 4)2 + 2 x 7 = 0
Vì ( x + 9 - 4)2 0
2 x 7 0 nên phơng trình tơng đ( x + 9 4) 2 = 0
ơng với
x 7 = 0

x + 9 = 16
<=> x = 7 (thoả mãn)
x - 7 = 0

<=>

7- PP đa về PT dạng tích
Nguyên tắc của dạng này là tìm cách biến đổi đa phơng trình về dạng tích
để giải các dạng phơng trình quen thuộc (có thể kết hợp cả các phơng pháp
giải khác nh đặt ẩn phụ ; nâng lên luỹ thừa ... )
Ví dụ 1: Giải phơng trình 3 2 x + x 1 = 1 (4)
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải
Ta đã giải phơng trình này bằng phơng
pháp đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình,
hoặc phơng pháp bất đẳng thức sử dụng
tính đơn điệu của hàm số...
Bây giờ chúng ta sẽ giải phơng trình này
bằng cách biến đổi đa về dạng tích nh
thế nào?
Điều kiện của phơng trình là gì?
Điều kiện: 1 x
Các em hãy đặt t = x 1 (t 0)
Phơng trình (4) trở thành phơng trình
Đặt t = x 1 (t 0)
nào với ẩn t?
17


Hãy biến đổi phơng trình (4') về dạng x = t2 +1

tích?
2 - x = 1 - t2
Hãy giải phơng trình dạng tích đó?
Phơng trình (4) trở thành:
3
1 t 2 +t = 1(4')
3 1 t2 = 1 - t
Lập phơng hai vế ta có:
1 - t2 = (1 - t)3
Từ nghiệm t hãy suy ra nghiệm x của (1- t)( - t2 + 3t) = 0
phơng trình (4)?
t (1 - t) (3 - t) = 0
t = 0

t = 3
t = 1

+ t = 0 x 1 = 0 x - 1 = 0
x =1 (thoả mãn)
+ t = 3 x 1 = 3 x = 10 (thoả
mãn)
+ t = 1 x 1 = 1 x = 2 (thoả
mãn)
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1, x
= 2 và x = 10.
Ví dụ 2:

Giải phơng trình:

x + 10 x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 - 6 (1)

ĐKXĐ : x -3
Phơng trình (1) có dạng :
( x + 3)( x + 7) - 3 x + 3 + 2 x + 7 +6 = 0


x + 3 ( x + 7 3) -2( x + 7 3) ) =3

( x + 7 3) ( x + 3 2 ) =0
x + 7 3 = 0
x + 7 = 9


x + 3 2 = 0
x + 3 = 4



x = 2
ĐKXĐ.

x = 1

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ3:

Giải phơng trình:

(4x-1) x 2 + 1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)

Đặt x 2 + 1 =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
2y2 - (4x -1) y + 2x 1= 0
18


( 2y2 - 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0
(y- 2x+1) (2y- 1) = 0

Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
Ví dụ4:

4
là nghiệm của phơng trình (1)
3

Giải phơng trình:

( 1 + x 1 )( 1 x + 1 ) = 2x
ĐKXĐ: -1 x 1 (1)
đặt 1 + x = u (0 u 2 )
suy ra x = u2 -1 phơng trình (1) trở thành :
(u -1 ) ( 2 u 2 + 1) = 2 ( u2 -1)
(u -1 ){ (

2 u 2 + 1) - 2 (u+1)} = 0

(u-1) (

u 1 = 0

2
2 u 2u 1 = 0


(+)
(+)

2 u 2 2u 1) = 0

u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
2 u 2 2u 1 = 0

2 u 2 = 2u + 1

2u + 1 0

(thoả mãn vì u 0 ) 5u2 + 4u - 1 = 0
2
2

u
=
(
2
u
+
1
)

u1 = 1 < 0(loai )

1

u2 = 5
1
5

nên có x = u22 -1 = ( )2 1 =

24
thoã mãn điều kiện (1)
25

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =

24
.
25

2 - Những điều cần lu ý:
Trên đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản mà ta thờng gặp ,
ngoài ra trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán về phơng trình vô tỉ và học lên
các em có thể biết thêm một số phơng pháp giải khác; các em phải tích cực thử
nghiệm và phát huy để tìm ra những lời giải hay, độc đáo.
Một phơng trình vô tỉ có thể có nhiều cách giải để các em lựa chọn.
19


Ví dụ nh với PT : 3 x 2 + x + 1 = 3 nh đã trình bày ở trên ta đã giải bằng 3

cách là Đặt ẩn phụ đa về hệ PT, PP bất đẳng thức nhờ sữ dụng tính đơn điệu của
hàm số, rồi PP đa về dạng tích để giải.
Cũng có những PT vô tỉ mà chỉ có thể áp dụng đúng một phơng pháp nào đó để
x+3

giải, còn các phơng pháp khác lại rất khó khăn; Ví dụ PT: 4 x + 1 - 3x 2 =
5
ta chỉ có thể giải bằng PP nhân với lợng liên hợp là hay nhất .
Lại có những phơng trình trong quá trình giải chúng ta phải vận dụng linh hoạt
đồng thời nhiều phơng pháp giải. Ví dụ PT: 3 2 x + x 1 = 1 (đã giải ở phơng pháp
đa phơng trình về dạng tích đồng thời dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, rồi biến đổi đa
về dạng tích, sau đó lại nâng lên luỷ thừa để giải)
Vấn đề ở chổ là khi đứng trớc một phơng trình vô tỉ nào đó, các em phải xem
xét, suy nghĩ xem với bài này mình nên sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp và
giải ra mình cảm thấy tin tởng nhất. Tóm lại phải nắm thật chắc các phơng pháp
giải PT vô tỉ mà các em đã biết. Từ đó có thể vận dụng linh hoạt vào quá trinh tìm
tòi lời giải cho bài toán của mình cách mà các em cho là phù hợp và tin tởng nhất.
Một số bài tập để HS tự luyện chung:
Giải các phơng trình sau :
Bài 1; x2 -4x =8 x 1
Bài2;

x+24 x2 + x+76 x2 =1

Bài 3; x 2 + 6 = x 2 x 2 1
Bài 4; ( 2 + 3 ) x + ( 2 3 ) x = 4
Bài 5; 12 x + 13 4 x + 13 = x + 1
Bài 6; 3 1 + x + 3 1 x = 2
2
Bài 7; 7 x + x 5 = x 12 x + 38

3-Kết quả thực nghiệm s phạm:
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy tôi đã thấy rõ đợc thực trạng khả năng giải
Phơng trình vô tỷ của học sinh là còn rất yếu, do cảm giác khó cho nên các em
đâm ra rất ngại khi bắt gặp các phơng trình dạng này, gây ra sự hứng thú trong học
tập không cao. Song thực tế PT vô tỉ lại có rất nhiều ở các đề thi học sinh giỏi, đề
thi vào các trờng THPT ( đặc biệt là vào các trờng chuyên THPT ).
Tôi đã mạnh dạn áp dụng kinh nghiệm này vào trong việc giảng dạy của mình;
và đã thu đợc một số thành công nhất định. Do đợc hớng dẫn kĩ càng và cho học
20


sinh rèn luyện nhiều thông qua hệ thống bài tập đợc chọn lọc nên các em đã giải đợc rất nhiều bài tập về phơng trình vô tỉ với nhiều dạng khác nhau. Từ việc rất ngại
và sợ gặp phải phơng trình vô tỉ, bây giờ các em rất tự tin và hứng thú với loại phơng trình này. Từ đó cũng góp phần xây dựng cho học sinh lòng yêu thích ; sự
hứng khởi trong học tập và chủ động linh hoạt hơn việc chinh phục các kiến thức
mới của mình .
Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm dần
qua từng năm. Tôi cho HS của mình làm bài khảo sát với nội dung về '' PT vô tỉ ''
và kết quả thu đợc từ 25 em đợc chọn chất lợng qua kiểm tra đã đợc nâng lên đáng
kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt.

*Trớc khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS cha biết giải PT vô
tỉ ở mức yếu
18 em
33%

Số HS mới biết giải các
PT đơn giản thờng gặp
đạt mức TB

10 em
64%

Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
2 em
3%

*Sau khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS cha biết giải PT vô
tỉ ở mức yếu
2 em
6,6%

Số HS mới biết giải các
PT đơn giản thờng gặp
đạt mức TB
18 em
60,4%

Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
10em
33%

C- Kết Luận và kiến nghị :

Qua thực tế giảng dạy, từ việc nắm rõ thực trạng HS của mình về phơng

pháp và kĩ năng giải PT vô tỉ còn nhiều tồn tại. Bản thân tôi đã mạnh dạn rút ra
kinh nghiệm:'' Hớng dẫn học sinh nắm chắc và vận dụng linh hoạt các phơng pháp
giải PT vô tỉ ''; từ việc áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy bản thân tôi nhận
thấy đề tài đã mang lại hiệu quả rất tốt cho bản thân giáo viên và học sinh của
mình. Các em đã có kĩ năng khá tốt về chuyên đề này. Đặc biệt đã khắc phục đợc
21


t×nh tr¹ng c¸c em ¸i ng¹i vµ ''sỵ '' PT v« tØ, giê ®©y c¸c em ®· rÊt tù tin, yªu thÝch
vµ say mª, s¸ng t¹o, chđ ®éng t×m tßi c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i vµ gi¶i kh¸ thµnh th¹o
c¸c PT v« tØ, biÕt vËn dơng linh ho¹t h¬n c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i PT v« tØ nãi riªng vµ
gi¶i to¸n nãi chung . §Ị tµi nµy t«i ®· ¸p dơng gi¶ng d¹y trªn thùc tÕ hiƯn nay ë trêng THCS cho häc sinh ®¹i trµ còng nh trong qu¸ tr×nh «n lun , båi dìng häc
sinh giái .T«i cïng c¸c ®ång nghiƯp ®· thu ®ỵc kÕt qu¶ sau :
+ Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dƠ hiĨu h¬n, høng thó tÝch cùc trong häc tËp vµ
yªu thÝch bé m«n to¸n .
+ Häc sinh tr¸nh ®ỵc nh÷ng sai sãt c¬ b¶n, vµ cã kÜ n¨ng vËn dơng thµnh th¹o
còng nh ph¸t huy ®ỵc tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh .
Tuy nhiªn ®Ĩ ®¹t ®ỵc kÕt qu¶ nh mong mn , ®ßi hái ngêi gi¸o viªn cÇn hƯ
thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò ®Õn
kiÕn thøc míi tõ cơ thĨ ®Õn tỉng qu¸t, tõ dƠ ®Õn khã vµ phøc t¹p ,phï hỵp víi tr×nh
®é nhËn thøc cđa häc sinh .
Ngêi thÇy cÇn ph¸t huy chó träng tÝnh chđ ®éng tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cđa
häc sinh tõ ®ã c¸c em cã nh×n nhËn bao qu¸t, toµn diƯn vµ ®Þnh híng gi¶i to¸n
®óng ®¾n. Lµm ®ỵc nh vËy lµ chóng ta ®· gãp phÇn n©ng cao chÊt lỵng gi¸o dơc
trong nhµ trêng.
Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về
cách gi¶i ph¬ng trinh trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kó năng
thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác
nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi
có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác

nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi,
sáng tạo của học sinh trong học toán.
§Ĩ hoµn thµnh ®Ị tµi nµy ngoµi viƯc tù nghiªn cøu tµi liƯu, qua thùc tÕ gi¶ng
d¹y t«i cßn nhËn ®ỵc sù gióp ®ì cđa c¸c ®ång nghiƯp ,c¸c thÇy c« gi¸o chuyªn
m«n to¸n ®· gióp ®ì , híng dÉn t«i hoµn thµnh ®Ị tµi nµy.Víi kinh nghiƯm vµ
n¨ng lùc cđa b¶n th©n cßn h¹n chÕ. MỈc dï ®· rÊt cè g¾ng song bµi viÕt kh«ng
tr¸nh khái thiÕu sãt. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i vµ hƯ thèng bµi tËp minh ho¹ t«i ®· tr×nh
bµy trªn ®©y ch¾c r»ng cha ®Çy ®đ vµ thËt hay. B¶n th©n t«i rÊt mong nhËn ®ỵc sù
bỉ sung chØnh lÝ cđa c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiƯp ®Ĩ bµi viÕt ®¹t hiƯu
22


qu¶ tèt h¬n vµ ¸p dơng tèt cho nh÷ng n¨m häc sau . Nh»m ®¸p øng víi yªu cÇu ®ỉi
míi vµ n©ng cao hiƯu qu¶ gi¸o dơc trong giai ®o¹n míi hiƯn nay .
Hµ TÜnh th¸ng 4 n¨m 2010

1- LÝ do chän ®Ị tµi

A- §Ỉt vÊn ®Ị

Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc phỉ th«ng, kiÕn thøc vỊ ph¬ng tr×nh lµ mét kho b¸u
v« tËn. Cµng ®i s©u vµo nghiªn cøu chóng ta cµng thÊy ®ỵc c¸i khã, c¸i hay v«
cïng cđa nã .
Trong kho b¸u v« tËn ®ã th× ph¬ng tr×nh bậc cao, vô tỉ và phương trình không
mẩu mực ... chiếm mét phÇn kh«ng nhá. MỈc dï trong ch¬ng tr×nh c¬ b¶n cđa
to¸n 9, các dạng phương trình này chØ chiÕm phÇn kh¸ ''khiªm tèn ''. Víi hƯ
thèng bµi tËp cßn Ýt ái, t¬ng ®èi ®¬n gi¶n mµ HS cã thĨ ¸p dơng mét vµi ph¬ng
ph¸p đơn giản ...lµ cã thĨ gi¶i ®ỵc .
Song thùc tÕ trong c¸c ®Ị thi HS giái, ®Ị thi chun cÊp vµo THPT vµ trêng
chuyªn cđa tØnh cđa mÊy n¨m gÇn ®©y th× c¸c bµi to¸n về ph¬ng tr×nh bậc cao, vô

tỉ và phương trình không mẩu mực ...l¹i xt hiƯn kh¸ nhiỊu vµ rÊt ®a d¹ng. Mà
đa số HS lại rất lúng túng khi gặp phải các phương trình dạng này.Chóng ®ßi
hái HS ph¶i n¾m ch¾c c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i đa dạng vỊ ph¬ng tr×nh ,tõ ®ã biÕt vËn
dơng linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i phï hỵp víi bµi to¸n cđa m×nh. Đặc biệt gần
như bao trùm lên tất cả là phương pháp sử dụng hằng đẳng thức (A ± B) 2= A2
± 2AB +B2.Nếu biết khai thác phương pháp này vào giải trong một số trường
hợp thì việc giải phương trình sẽ trở nên rất đơn giản ,hiệu quả lại rất cao
23


V× thÕ víi kinh nghiƯm b¶n th©n ®· tõng gỈp ph¶i vÊn ®Ị nµy trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i cè g¾ng t×m tòi ,tham kh¶o c¸c tµi liƯu vµ rót ra kinh
nghiƯm cần phải híng dÉn, cung cÊp cho HS phương pháp sử dụng hằng đẳng
thức (A ± B)2= A2 ± 2AB +B2 vào giải phương trình và kết quả là HS của tôi đã
vận dụng khá tốt . Các em đã linh hoạt , sáng tạo và tự tin hơn khi gặp phải
các dạng phương trình phức tạp .
Vấn đề nêu trên chính là lí do , là ý tưởng để tôi thực hiện bài viết này . Với
hi vọng là phần nào ®¸p øng víi sù mong mái ®ỵc kh¸m ph¸; tù tin chiÕm lÜnh tri
thøc; lµm phong phó h¬n hµnh trang vỊ kiÕn thøc c¸c em học sinh lớp 9 mang theo
khi häc lªn THPT .

2- Mơc ®Ých viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiƯm
Nh»m n©ng cao chÊt lỵng gi¸o dơc theo híng ®ỉi mèi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y
cđa gi¸o viªn vµ ®ỉi míi c¸ch häc cđa HS theo híng chđ ®éng s¸ng t¹o, ph¸t huy
®ỵc tÝnh tÝch cùc tèi ®a cđa häc sinh. RÌn lun kÜ n¨ng gi¶i to¸n nãi chung vµ gi¶i
c¸c ph¬ng tr×nh nãi riªng mét c¸ch chđ ®éng, linh ho¹t h¬n. Tõ ®ã x©y dùng ®ỵc
lßng say mª, høng khëi víi viƯc häc to¸n cđa häc sinh. Qua ®ã gãp phÇn vµo viƯc
gi¸o dơc mét thÕ hƯ trỴ n¨ng ®éng, s¸ng t¹o, giµu kÜ n¨ng trong c«ng viƯc ®¸p øng
víi c«ng cc x©y dùng vµ b¶o vƯ ®Êt níc theo yªu cÇu míi cđa níc nhµ hiƯn nay .
B- Gi¶i qut vÊn ®Ị :

I- C¬ së khoa häc

1- C¬ së lÝ thut :
Trong quá trình dạy học việc giúp học sinh chủ động sáng tạo ,tự tin trong
việc sử dụng kiến thức đã học để áp dụng giải những bài toán liên quan ở từng
trường hợp cụ thể là hết sức quan trọng , giúp HS có kiến thức sâu rộng và hình
thành tính độc lập , chủ động suy luận để tìm ra để giải được bài toán và giải
ngắn gọn ,hiệu quả .
Để thực hiện thành công việc : Hướng dẫn HS phương pháp sử dụng hằng
đẳng thức (A ± B)2= A2 ± 2AB +B2 vào giải phương trình cần một số yêu cầu
sau:
a, Đối với giáo viên:
- Cần phải chọn ra được những bài toán giải phương trình có thể sử dụng
hằng đẳng thức và từ đó phân dạng cho HS .
-Giáo viên tìm ra những khó khăn của HS khi gặp phải những bài toán này ,
hướng cho HS sử dụng hằng đẳng thức để các em khéo léo khi giải phương
trình
b, Đối với học sinh:
24


Nắm chắc các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 , có kó năng phân tích đa thức
ở hai vế phương trình làm xuất hiện hằng đẳng thức . Từ đó biết vận dụng linh
hoạt vào giải phương trình của mình .

2. Cơ sở thực tiễn :
Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề , trong chương trình toán 9 cơ bản thì ph¬ng tr×nh bậc cao, vô tỉ và phương trình không mẩu mực ... chiếm mét phÇn khá
''khiêm tốn'' về cả lượng bài tập và cả phương pháp giải . Vì vậy chưa đáp ứng
được nhu cầu học tập của HS nhằm đạt được các kết quả cao trong các kì thi
học sinh giỏi và chuyển cấp vào THPT và là cơ sở cho các lớp trên . Tôi nhận

thấy học sinh rất lúng túng và có vẻ ''hơi sợ '' các phương trình nêu trên .
Trước khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy của mình tôi đã làm bài
kiểm tra khảo sát với nội dung sau đây:
Hãy giải các phương trình sau:
a, 4x2 +3x +2 = 1 -x
b, x6 - 16x3 +64 = 0
c,3 x − 2 x − 1 = 18
1
2

d, x+ x + + x +

1
=2
4

KÕt qu¶ thu ®ỵc thËt ®¸ng bn: Víi 30 bµi kiĨm tra (®· trõ nh÷ng em qu¸ u
kÐm ) chØ cã 15 em t¹m ®¹t yªu cÇu, kh«ng cã ®iĨm cao, sè cßn l¹i kh«ng ®¹t - LÝ
do cha biÕt tr×nh bµy lêi gi¶i, còng cã thĨ cha t×m ra c¸ch gi¶i, còng cã mét sè em
®· t×m ra lêi gi¶i song l¹i m¾c ph¶i mét sè sai lÇm ®¸ng tiÕc khi vận dụng hằng
đẳng thức . Cụ thể :
Sè HS cha biÕt gi¶i PT ë
møc u

Sè HS míi biÕt gi¶i ®¹t
møc TB

15 em
50%

14 em
47%

Sè HS n¾m kh¸ ch¾c pp
gi¶i vµ ®¹t kÕt qu¶ kh¸
tèt
1em
3%

Qua bảng số liệu về kết quả ta thấy rằng hầu hết HS chưa ý thức được việc
sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình mà các em loay hoay đi tìm một
số phương pháp khác để giải mà hiệu quả không cao hoặc một số em đã biết
dùng hằng đẳng thức nhưng kó năng biến đổi chưa tốt .
25