he pt luyen thi dh

Trường THPT Hùng Vương

Ôn tập hệ phương trình Đại số

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
1. Định nghĩa: Hệ Pt đối xứng loại 1 có dạng:
 f ( x, y ) = 0
 f ( x, y ) = f ( y , x )

,
trong đó 
 g ( x, y ) = 0
 g ( x, y ) = g ( y , x )

(Trong mỗi pt nếu thay x cho y và y cho x thì pt đó không thay đổi )
2.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2 ≥ 4 P .
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

II. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1. Định ghĩa:

 f ( x, y ) = 0 ( 1 )

 f ( y , x) = 0 ( 2 )

2. Cách giải: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0. Khi đó x−y=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới
thông thường vô nghiệm).

III. Hệ đẳng cấp bậc hai
1. Lý thuyết:
ax 2 + bxy + cy 2 = d
(1)
* Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng:  2
2
a ' x + b' xy + c' y = d '
(2)
2. Phương pháp giải:
+ Kiểm tra x = 0 có thỏa hệ hay không?
 x 2 (a + bt + ct 2 ) = d
+ Xét x ≠ 0 . Đặt y = tx ⇒  2
 x (a '+b' t + c' t 2 ) = d '
+ Kiểm tra a '+b' t + c' t = 0 có thỏa hệ hay không?
(1)
+ Xét x ≠ 0 và a '+b' t + c' t ≠ 0 . Ta lấy
ta được:
(2)
a + bt + ct 2
d
= ⇔ (cd '−dc ' )t 2 + (bd '−db' )t + ad '− da ' = 0 ; giải PT này để tìm t và thay t vào hệ trên ta tìm
2
d'
a '+b' t + c' t
được x sau đó tìm được y = tx .

Bài Tập: Giải các hệ pt sau:
x − xy − y = 1 x 2 + y 2 + xy = 7
 xy ( x − y ) = −2
 x 2 y + xy 2 = 30
Bài 1: a)  3
b)  3
c)  2
d)  4
e)
3
2
3
4
2 2
x − y = 2
 x + y = 35
x y − xy = 6 x + y + x y = 21
GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán

 x y + y x = 30

 x x + y y = 35
1


Trường THPT Hùng Vương

Ôn tập hệ phương trình Đại số

Bài 2:

1 1
 x y 13
x + y = 5

 + =
a)  1 1
b)  y x 6
 +
x + y = 5
= 13

 x 2 y 2
Bài 3:

 x 2 + y 2 10
=

3
 x+y
c) 
1 + 1 = 3
 x y 4

1 1
1


x + y + x + y = 4

( x + y )(1 + xy ) = 5


a) 
b) 
c)
 x 2 + y 2 + 1 + 1 = 4 ( x 2 + y 2 )(1 + 1 ) = 9


x2 y 2
x2 y2

2
 x +
d)  x
 +
 2

y
=3
3
3 3
=
y 2

 1
 x − 2y + x + 2y = 5

e)  x + 2y


= −6
 x − 2y

1
1

 x
x
+
+
y
+
=5
y
7

+
=
+1
x
y


x
x y
d)  y

 x 3 + y 3 + 1 + 1 = 2  x xy + y xy = 78



x3 y 3

Bài 4:
 x 2 + y 2 = 5
 x 4 + y 4 = 1
 x3 + y 3 = 1
 x5 + y 5 = 1
x 4 + y 4 = 82
a)  4
b)
c)
d)
e)
ĐS:(0;1),(1;0)


 9 9

2 2
4
6
6
5
5
2
2
4
4
 x − x y + y = 13
 x + y = 1

 x + y = x + y
xy = 3
 x + y = x + y

Bài 5
2
2
x + y + x 2 + y2 = 8
 x ( x + 2)(2 x + y) = 9
 x (3 x + 2 y )( x + 1) = 12
 x + x + y + y = 18
a) 
b) 
c)  2
d)  2
 xy ( x + 1)( y + 1) = 72
 xy(x + 1)(y + 1) = 12  x + 4 x + y = 6
x + 2y + 4x − 8 = 0
2
2
 x + 1 + y + 1 = 3
 x 2 + y 2 + 4 x + 4 y = 10
 x + y − 3 x + 4 y = 1
e)  2
f)
g) 

2
 xy ( x + 4)( y + 4) = 1
3 x − 2 y − 9 x − 8 y = 3

x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 = 6
Bài 6:
2
2
3 3
3
 xy + x + 1 = 7 y
1
1
−1
 y + xy = 6 x
1 + x y = 19 x
 1
a) 
ĐS: (1; 2), ( ;1) b) 
ĐS:( ; −2), ( ;3) c)  2 2
ĐS:  1; ÷, (3;1)
2
2 2
2
2
2
2
3
2
 3
1 + x y = 5 x
 y + xy = −6 x
 x y + xy + 1 = 13 y
2

3 3
3
 3− 5
6   3+ 5
6 
( x + 1) + y ( y + x) = 4 y
8 x y + 27 = 18 y
*
d)  2
ĐS: (-2;5) e)  2
ĐS: 
;
, 
;
÷
÷.
2

÷
3+ 5   4
3 − 5 ÷
 4
( x + 1)( y + x − 2) = y
 4 x y + 6 x = y
Bài 7: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x + y = m
 x + y + xy = m
21
Ú m ³ 3 + 2 3;
a)  2

ĐS: 2 − 2 ≤ m ≤ 2 + 2 ; b)  2
ĐS: m £
2
2
4
 x y + xy = 3m − 9
 x + y = 2m + 1

 x+

c) 

y =1

 x x + y y = 1 − 3m

ĐS: 0 £ m £

1
4

 x 2 + y 2 + 4 x + 4 y = 10
d) 
 xy ( x + 4)( y + 4) = m

Bài 8:
 x 2 = 3x + 2 y
a)  2
ĐS: (0,0), (5;5), (-1;2), (2;-1).b)
 y = 3 y + 2 x

ĐS: - 24 £ m £ 1

 −1 + 5 −1 +
 x3 + 1 = 2 y
;
ĐS: (1;1), 
 3
2
2
 y + 1 = 2 x

3

2 x + y = x 2
x3 = 2x + y

c)  3
ĐS:(1;1), e)
(0;0), ( 3; 3), ( − 3; − 3), (1; −1), ( −1;1). d) 
 y = 2y + x
2 y + x = 3

y2

GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán

5   −1 − 5 −1 − 5 
÷
÷,  2 ; 2 ÷

÷
 

1
 2
2x = y + y
ĐS:(1;1)

2y2 = x + 1

x

2


Trường THPT Hùng Vương

Ôn tập hệ phương trình Đại số

Bài 9:
 2x + y + y = 14
2
2
 x + x + 2y = 14
2

a/ 

2

2

2

2

2x − 3x = y − 2

2

b/ 

2y − 3y = x − 2

x = 2y − 1
 2
 y = 2x − 1

x − 2y = 2x + y

2

c)

2

2

d) 

 y2 − 2x2 = 2y + x

e)

1 3

2 x + y = x


2 y + 1 = 3

x y

Bài 10:
 x + 2 − y = 2

a) 

 y + 2 − x = 2

ĐS: (0;0),(2;2)

 x + 9 + y − 7 = 4

c) 

 y + 9 + x − 7 = 4

ĐS: (7;7)

 x + 5 + y − 2 = 7
b) 
ĐS:(11;11)
 y + 5 + x − 2 = 7

 x + y − x − y = 2

d) 

 x + y + x − y = 4
2

2

2

2

5
2




ĐS:  ; 6 ÷

Bài 11:
2
2
2

2
3
2
 x 2 + +2 xy + 3 y 2 = 9  x 2 + 2 xy − 3 y 2 = 0
3 x + 2 xy + y = 11
6 x − xy − 2 y = 56
 2 x + 3 x y = 5
a)  2
b)  2
c)  3
d)  2
e) 
2
2
2
2 x + 2 xy + y 2 = 2
 x + 2 xy + 5 y = 25
5 x − xy − y = 49
 y + 6 xy = 7
 x x + y y = −2

Bài 12:
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
a) 
.HD: xy + x + y = x 2 − 2 y 2 ⇔ (x + y)(x −2y −1) = 0.
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

 x 2 − xy + y 2 = 3( x − y )
b)  2
2

 2 x − 5 xy + 2 y = 0
Bài 13:

HD: 2 x 2 − 5 xy + 2 y 2 = 0 ⇔ (2 x − y )( x − 2 y ) = 0

1
1


1 
 x − x = y − y ( 1)
a) 
. HD: (1) ⇒ ( x − y ) 1 + ÷ = 0
xy 

2 y = x3 + 1


 −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5 
;
;
÷
÷
ĐS: ( 1;1) , 
÷, 
÷
2
2
2
2


 


5
 2
3
2
 x + y + x y + xy + xy = − 4
b) 
.HD: Biến đổi hệ phương trình thành:
 x 4 + y 2 + xy ( 1 + 2 x ) = − 5

4

5
x = 1
x = 3
2
u = x + y
4


∨
Đặt: 
.ĐS: 
−3 .
v = xy
 y = − 3 25  y = 2


16

( 2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0

c) 
HD: Đặt
1
=3
2 x + y +
2x − y


GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán

ĐS: x = 5; y = 2.

−5
 2
2
 x + y + xy x + y + xy = 4
.

 x 2 + y 2 + xy = −5

4

(

(

)

)

u = 2 x + y
3 1 3 1
ĐS:  ; ÷,  ; ÷

8 4 4 2
v = 2 x − y

3


Trường THPT Hùng Vương

Ôn tập hệ phương trình Đại số

Bài 14:
 3 y − x = y − x
a) 
. HD:
 x + y = x + y + 2

3

(

)

3 1
y − x = y − x ⇒ 3 y − x 1 − 6 x − y = 0 . ĐS: ( 1;1) ,  ; ÷
2 2

 x + y = 3 x + y
 3 x − y = x − y
 −7 + 3 7 −11 + 3 7 
 5 −3 
;
b) 
ĐS: (2; −2),  ; ÷ c) 
ĐS: (0;0), 
÷
÷
4
4
2 2 


 x − y = 3 x − y − 12
 x + 4 − 1 − y = 1 − 2 x
Bài 15:
 x 2  x 
 2x
2y
 ÷ +  ÷ = 12
+
=3
3
3


x
a)  y   y 
ĐS: (2;1), (-2;-1) b)  y
ĐS: (−1; −2), ( ;3), (2;1), ( −2; − )
2
2

 x − y + xy = 3
2
x
.
y
+
xy
=
6
(
)


x−y
x + y
+3
=4

c)  x − y
x+y
 xy = 2


Bài 16:
 x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9
( x, y ∈ ¡ ) .HD: rút x.y từ pt thứ hai thế vào pt thứ nhất đưa về pt bậc 4 chọn đc nghiệm.
 2
 x + 2 xy = 6 x + 6
ĐS: x = −4; y =

17
.
4

Bài 17:
 x 2 + y 2 + xy = 1
3
3
3
3
2
2
 3
HD: x + y = ( x + 3 y ).1 ⇔ x + y = ( x + 3 y ).( x + y + xy ) . ĐS: (1;0),(-1;0).
3
x
+
y
=
x
+
3
y



Các em cố gắng làm hết nhé! Chúc các em học tốt

GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán

4