luyện thi đại học 2011 cấp tốc hệ phương trình đại số

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Bài 1 : Giải hệ phương trình :
 x 2  y 2  x  y  102
2 x  y  7
a) 
b) 
( x  y )( x  y  2)  4
 x  xy  y  69
HD :
2 x  y  7 (1)
a) 
( x  y )( x  y  2)  4 (2)
Từ (1)  y=2x-7 thay vào (2) ta được : (3x-7)(-x+5)=4  -3x2+22x-39=0
13
5
, y=
Khi đó : x=3 , y=-1 hoặc x=
3
3
2
  x  y   2 xy  x  y  102
b) Biến đổi hệ : 
(là hệ đối xứng loại (I))
 x  y  xy  69
Đặt ẩn phụ : S=x+y, P=xy và S2-4P  0
 S 2  2 P  S  102 (1)

Ta có hệ đơn giản hơn : 
 S  P  69 (2)
Từ (2) P=69-S thay vào (1) ta được : S2-2(69-S)=S+102  S2+S-240 =0  S=15, S=-16
i)
S=15, P=54 => hệ có nghiệm : (x=9, y=6) hoặc (x=6, y=9)
ii)
S=-16,P=85 ( không thõa mãn)
Bài 2 : Giải hệ phương trình

 x2  2 y 2  7 x
a)  2
2
 y  2x  7 y

 x 2  2 xy  y 2  25
b) 
xy  y 2  10


HD
 x2  2 y 2  7 x
a)  2
hệ đối xứng loại (II)
2
 y  2x  7 y
Trừ theo vế của hai phương trình ta được : 3(x2-y2)=7(x-y)  (x-y)(3x+3y-7)=0
x-y=0 . 3x+3y-7=0
i) x=y , hệ có nghiệm : x=y=0 , x=y=-7
7  3x
ii) 3x+3y-7=0 => y 

Khi đó : x2 9 x 2  21x  98  0 ( vô nghiệm )
3

 x 2  2 xy  y 2  25
b) 
( hệ đẳng cấp )
xy  y 2  10

i) x=0 , hoặc y=0 không thõa mãn

 x 2  2tx 2  t 2 x 2  25
ii) x, y khác 0 , đặt y=tx , hệ phương trình trở thành : 
tx 2  t 2 x 2  10

 3t 2  t  2  0
  2
2
(t  t ) x  10
Ta có : 3t2+t-2=0  t=-1, t=2/3
t=-1 không thõa mãn
t=2/3 ta có (x=3, y=2) , (x=-3, y=-2)
Bài 3 : Giải hệ phương trình :

xy  y 2  3 y  1  0
a)  2
2
 x  4 y  4 xy  3 x  6 y  2  0


x 2  y 2  xy  3

b)  2
 x  2 xy  9  7 x  5 y

HD :
1


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


xy  y 2  3 y  1  0 (1)
a)  2
2
 x  4 y  4 xy  3 x  6 y  2  0 (2)
Từ phương trình (2) x 2  (4 y  3) x  4 y 2  6 y  2  0 ,   (4 y  3)2  4(4 y 2  6 y  2)  1
(2)  x   2 y  1, x   2 y  2
i) x   2 y  1, (  2 y  1) y  y 2  3 y  1  0
 ( x  3  2 2 , y  1 

2 ), ( x   3  2 2 , y  1 

2)

2

ii) x   2 y  2, (  2 y  2) y  y  3 y  1  0
 ( x  3 

5, y 

1

5
2

), ( x   3 

5, y 

1

5
2

)


x 2  y 2  xy  3
b)  2
 x  2 xy  9  7 x  5 y
Cọng theo vế ta được : 2x2+ y2+3xy+9=3+7x+5y
 y2 + (3x-5)y +2x2-7x+6=0
Ta có :   (3 x  5)2  4(2 x 2  7 x  6)  ( x  1) 2
Khi đó : y= -x+2 , y=-2x+3
i)
y=- x+2 , x2 +(2-x)2 +x(2-x)=3  x=y=1
ii)

y=-2x+3 , x2 +(3-2x)2+x(3-2x)=3  (x=y=1),( x=3, y=-1 )
Vậy nghiệm của hệ (1,1) ,(3,-1)
Bài 3 : Giải hệ phương trình
1
 4
3

2

 x3 3
x
y
4
2
2
2

 x  3x  y  4 x y
4
a) 
b) 
2



x
x
y
2
xy


 y4  2 x3  1  y  3 3

4
HD :
 x 2  y 2  3 x 2 (1  2 y )  0 (1)
 x4  3x2  y 2  4 x2 y
a)  2
 
 x  x  y  2 xy
 x 2  y  x (2 y  1) (2)





2

Thay (2) vào (1) ta được :  x (2 y  1)   3 x 2 (1  2 y )  0  3 x 2 (1  2 y )(2 y  4)  0

1
2
i)
x=0=> y=0
ii)
y=2=> x2-3x+2=0=> x=1,x=2
1
1
iii)
y= => x2+ =0 vô nghiệm

2
2
1
 4
3
x

2
y

 x3 3

4
b) 
 y4  2 x3  1  y  3 3

4
1
1
Cộng theo vế ta được : x 4  2 y 3   y 4  2 x 3   x  y
4
4
1
1
1
1
 ( x 4  2 x 3  x  )  ( y 4  2 y 3  y  )  0  ( x 2  x  )2  ( y 2  y  )2  0
4
4
2

2
1
 2
 x  x  2  0
  1  3  1  3 
,
 
 x, y  

2
2


 y2  y  1  0

2
 x=0, y=2, y=

2


Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

1
1
3 1
3

 0 , khi đó : t 2  t  , t 3  t  , t 4  2t 
2
2 2
4
2
1 1
3
 2 y     x  3 3
2 4
2
 x  y  3
1 1
3
 2 x    y 3 3
2 4
2

Ta có : x,y là nghiệm của phương trình : t 2  t 

3

1
 4
3
2 x 
x

2
y



x

3
3


4

4
 

 y4  2 x3  1  y  3 3
2 y  3


4
4

1  3
 1  3 
,y
=> Nghiệm của hệ :  x 

2
2


Bài 4 : Giải hệ phương trình
5

 2
3
2
 x  y  x y  xy  xy   4
 xy  x  1  7 y
a) 
(A.08)
b)  2 2
(B.09)
2
 x y  xy  1  13 y
 x 4  y 2  xy (2 x  1)   5

4
HD :
5
5
 2
 2
3
2
2
 x  y  x y  xy  xy   4
 x  y  xy ( x  y )  xy   4
 
a) 
5
 x 4  y 2  xy (2 x  1)   5

( x 2  y ) 2  xy  



4
4
2
Đặt : u= u  x  y , v  xy
5

 u  uv  v   4
Hệ phương trình trở thành : 
 u2  v   5

4
2
Trừ theo vế ta được : u  uv  u  0  u  0, u  v  1
i) u  x 2  y  0 , v  xy  

5
=> hệ có nghiệm ( x 
4

3

5
,y
4

3

25

)
16

ii) u  v  1
Khi đó : u  x 2  y  

1
3
3
, v  xy   => hệ có nghiệm (x=1,y=  )
2
2
2

 xy  x  1  7 y
b)  2 2
2
 x y  xy  1  13 y
x 1


 7
x

y y

Ta có y=0 không thõa mãn , biến đổi hệ phương trình : 
 x 2  x  1  13

y y2

1
x
Đặt u  x  , v 
y
y
 uv7
hệ phương trình trở thành :  2
 u  v  13
Cọng theo vế của hệ ta được : u2+u-20=0  u=-5, u=4
1
x
i) u  x    5, v   12 vô nghiệm
y
y
1
x
1
ii) u  x   4, v   3  ( x  1, y  ), ( x  3, y   1)
y
y
3
3


Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Bài 3 : Giải hệ phương trình
1
1


x   y 
x
y (A.03
a) 
3
 2y  x 1


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

3
 4 x  x  ( y  3) 5  2 y  0
b) 
(A.10)
2
2
 4 x  y  2 3  4 x  7

)

HD:
1
1

(1)
x   y 
x
y
a) 

( x,y khác 0)
 2 y  x 3  1 (2)

1
1
1
1
)  0  y  x, y  
Từ (1)  x   y   0  ( x  y )(1 
x
y
xy
x
i) x=y
1  5
Ta có x3-2x+1=0  (x-1)(x2+x-1)=0  x=1 , x=
2
1  5
1  5
1  5
1  5
Nghiệm của hệ : (x=1,y=1) , (x=
,y=
) , (x=
, y=
)
2
2
2
2

1
2
ii) y   Ta có : x 3  1    x 4  x  2  0
x
x
1
Đặt f(x)=x4+x+2 , f’(x)=4x3+1 , f’(x)=0 x=  3
4
1
f ( x)  f ( 3 )  0
4
Trong trường hợp này vô nghiệm

 4 x 3  x  ( y  3) 5  2 y  0 (1)
b) 
2
2
 4 x  y  2 3  4 x  7 (2)
3
5
ĐK : x  , y 
4
2
2

Từ (1)  ((2 x ) 2  1)2 x  ( 5  2 y  1) 5  2 y  g (2 x )  g ( 5  2 y ), g ( t )  t ( t 2  1)
Hàm số g(t) xác định trên R , g’(t) =3t2+1>0 => g(t) đồng biến trên R
5  4x2
Khi đó : 5  2 y  2 x  x  0, 5  2 y  4 x 2  x  0, y 
2

2

 5  4x2 
x
4

Thay vào : (2) ta được :

  2 3  4x  7
2


2

2

 5  4x2 
1
Xét hàm số h ( x )  4 x  
  2 3  4 x  7 , h ( )  0 , x thuộc (0,3/4)
2
2


 5  4x2 
4
 3
h '( x )  8 x 2  8 x 
 0, x   0, 


2
3  4x
 4


Khi đó hệ có nghiệm duy nhất (x=1/2 , y=2)
b)
2

Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình :
 x 2 y 2  xy  1  7 y 2
1) 
 xy  x  1  5 y

 2 x 2  xy  2 y  1
2)  2
2
 xy  2 y  y  2
4


Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

2 xy
 2
2
x  y  x  y  1
3) 
 x2  y  x  y


 x  y  x  y  2 y
5) 
 x  5 y  3
 x 2  y 2  xy  1  4 y
7) 
2
2
 y ( x  y)  2 x  7 y  2

 x 3  x 2 y  2 y
9)  2
 x y  y 3  y

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

 ( x 2  1)( y 2  1)  10 z 2  2010
4) 
 ( xy  1)( x  y )  140 z  1985
4
3
2 2
x - x y  x y  1
6)  3
2
x y - x  xy  -1

 x  2 y  xy  0
8) 

 x  1  2 y  1  1
2
2
x  2y  x  y  xy
9) 
x 2y  y x  1  2x  2y

5


Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Hướng dẫn bài tập

 2
x 
 x y  xy  1  7 y

1) 
 
 xy  x  1  5 y
 x

2) ĐK : y  0
2

2

2

1
x
 2 7
y y
x 1
 5
y y

1
 2
2 x  x  y  2  0
đưa hệ về dạng
hệ  
2
1
   x20
 y 2 y

2 xy
 2
 1 1
x  y2 

3) 
x y
 x  y  x2  y  2


1   x  y 
 x  y

2

 2 xy 

 x  y 

2

2u 2  u  v  2  0
 2
2v  v  u  2  0

 dk x  y  0

3
2 xy
 1  0   x  y   2 xy  x  y   2 xy   x  y   0
x y



 1  2 xy  x  y  1   0

  x  y  1    x  y  x  y  1   2 xy   0
 x  y  1 3
  2

2
 x  y  x  y  0  4 
4) Đặt u=x+y, v=xy-1
Hệ phương trình trở thành : u2+v2+10z2=2010 , uv+140z=1985
Ta có (u-v)2=. . .=-10(z-14)2 => z=14
2 y  x  0
5) 2 x  2 x 2  y 2  4 y  x 2  y 2  2 y  x   2
5 y  4 xy
2
2
3
(x  xy )  1  x y
6) Biến đổi hệ tương đương với  3
2
x y  (x  xy )  1
2
u 2  1  v
x  xy  u
*Đặt ẩn phụ  3
, ta được hệ 
x y  v
v  u  1
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3)

*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
 x2  1
x y 4

y
 x 2  y 2  xy  1  4 y


7) Dễ thấy y  0 , ta có: 
.

2
2
2
 y(x  y)  2x  7 y  2
( x  y )2  2 x  1  7

y
2
x 1
 uv  4
 u  4v
 v  3, u  1
, v  x  y ta có hệ:  2
Đặt u 
 2

y
v  2u  7
v  2v  15  0
v  5, u  9
8)

x  y  ( y  xy )  0  ( x  y )( x  2 y )  0
 x 2 y 0

 x 2 y

 x  y  0
6


Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

9) Nhận xét (0 ; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
Xét y  0 , cho hai vế hệ phương trình cho y3 ta được hê:

 x 3  x  2
1
      2. 2 (1)
y
 y   y 

2
 x 
1
(2)
 y   1  y 2
 
3

2

x x
thay (2) vào (1) ta được       2  0

 y  y
x
Đặt t =  t 3  t 2  2  0  (t  1)(t 2  2t  2)  0  t  1
y
Với t = - 1 => y = - x ta được : x3 – x3 = - 2x => x = 0 và y = 0 (loại)
Vậy hệ phương chỉ có một nghiêm (0;0).

7