chuyên đề dãy số lớp 11

Chuyên đề 1: Dãy số và giới hạn của dãy số.

I. Các kiến thức cần nhớ.

1. Dãy số đơn điệu.
+) Dãy số (un) là dãy số tăng un+1 un với n N *
+) Dãy số (un) là dãy số giảm un+1 un với n N *
+) Dãy số (un) là dãy số đơn điệu (un) hoặc là dãy số tăng hoặc là dãy số giảm.
2. Dãy số bị chặn.
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn trên M R : un M với n N *
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn dới m R : un m với n N *
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn M , m R : m un M với n N *
3. Các định lý.
+) Định lý 1.
Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn.
un lim vn
+) Định lý 2. Nếu un vn với n N * thì nlim

n
+) Định lý 3. [nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba dãy số thoả mãn:
vn = lim wn = a thì lim un = a
vn un wn với n N * và nlim

n
n
4. Các giới hạn cơ bản.
C = C và lim qn = 0 với q 1.
+) nlim

n

1

un
1
0
+) Nếu un thì
un
5. Cấp số cộng và cấp số nhân.
+) Cho ữ u1 , u2 ,..., un ,... là cấp số cộng với công sai d. Khi đó:
un = un1 + d = u1 + (n 1)d và
n
n
S n = u1 + u2 + ... + un = [u1 + un ] = [2u1 + (n 1)d]
2
2


+) Cho u1 , u2 ,..., un ,... là cấp số nhân với công bội q với q 1 . Khi đó:
+) Nếu un 0 thì

n1

un = un1q = u1q

và S n = u1 + u2 + ... + un =

II) Các bài toán về dãy số.

u1 (1 qn )

1 q

u1 = 1

n
*
Bài 1. Cho dãy số (un) xác định bởi:
1 với n N
un+1 = un +
2

a) Tính (un) theo n.
b) Tìm lim un
n

HD Giải.
a) Theo giả thiết ta có:
n1
n 2
n 3
1
1 ;
1 ;
1 ;;
1 .
un = un1 +
un1 = un2 +
un2 = un3 +
u2 = u1 +
2

2
2
2
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
1


2

3

n1

2

3

n1

1 1 1
1 1 1
1
1
un = u1 + + + + ... + =1 + + + + ... +
2 2 2
2 2 2
2
2
1 n
11

1 n
n
2




un = lim 21 = 2.

1
=
b) Ta có: nlim
= 21

n
2
1
2






1
2
u1 = 1

Bài 2. Cho dãy số (un) xác định bởi:
với n 1

1
u
=
u
+
1
n+1 3 n
un
a) Tính (un) theo n.
b) Tìm nlim

HD Giải.
a) Theo giả thiết ta có:
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
un = un1 + 1 ; un1 = 2 un2 + ; 2 un2 = 3 un3 + 2 , n2 u2 = n1 u1 + n2 .
3
3
3 3
3
3
3
3

3
3
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
2
3
n 2
2
n1
1
1 1 1
1 = 1 1
1
un = n1 u1 + 1 + + + + ... +
1 + + + ... +
3 3 3
3 3
3
3
3
n
1
11
n
n
3 1 3
3

lim
u
=
lim


3
1
= 1
=
b) Ta có: n n n 1 = .

2 3 2
1
2 3
1
3
u = 11
Bài 3. Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
với n 1
u
=
10
u
+
1

9
n
n+1

n
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n.
HD Giải. (Phơng pháp quy nạp)
Theo giả thiết ta có: u1 = 11 = 10 + 1
Với n = 1 ta có: u2 = 10u1 + 1 9.1 = 102 = 10 2 + 2
Với n = 2 ta có: u3 = 10u2 + 1 9.2 = 1003 = 103 + 3
...
Ta chứng minh đợc un = 10n + n với n 1
Ta giả sử (*) đúng với n = k ( k 1 ) tức là ta có uk = 10 k + k
Ta sẽ chứng minh: uk+1 = 10 k+1 + k + 1
Thật vậy ta có uk+1 = 10uk + 1 9k = 10(10 k+1 + k) + 1 9k = 10 k+1 + k + 1
Chứng tỏ: un = 10n + n với n 1
u1 = 3

Bài 3. Cho dãy số (un) xác định bởi:
un + 1 với n 1
u
=
n
+
1

1 un

Xác định số hạng tổng quát (un) theo n.
HD giải.
2

+ tan
u +1

3
4 = tan +
Ta có: u1 = 3 = tan
u2 = 1
=
1 u1 1 tan tan
3
3 4
3
4


tan + + tan
u +1

4

3 4
u3 = 2
=
= tan + 2.
1 u2
4

3
1 tan + tan

4
3 4


Ta chứng minh đợc un = tan + (n 1). với n 1
4
3


1


5
Khi đó: u2007 = tan + 2006 = tan + 501 + = tan =
4
2
3
3
3
6


3 1



u2008 = tan + 2007 = tan + 502 = tan =
4
4
3

3
3 4 1+ 3
u1 = 2

Bài 4. Cho dãy số (un) xác định bởi:
un + 3 với n 1
u
=
n+1
1 3.un

Xác định số hạng tổng quát (un) theo n.

HD giải. Ta có: u1 = 2 = tan với ;
2 2

tan + tan
u + 3
3 = tan +
u2 = 1
=
3
1 3.u1 1 tan tan

3



tan + + tan
u + 3

3
3


u3 = 2
=
= tan + 2.

3

1 3.u2

1 tan + tan
3
3



Theo quy nạp ta chứng minh đợc: un = tan + (n 1) với n 1
3



Khi đó: u2007 = tan + 2006 = tan ( + 502 ) = tan = 3
3

2 3



u2008 = tan + 2007 = tan + 502 = tan =
3
3
3 1+ 6



u1 = 1

2
Bài 5. Cho dãy số (un) xác định bởi:
với n 1
un
u
=
+
u
n+1
n
2008

a) CMR: (un) là dãy tăng.
b) CMR: (un) là dãy không bị chặn trên.
tan

3

u u
u
c) Tính giới hạn: lim 1 + 2 + ... + n .
n u
un+1
2 u3
HD giải.
2
u
n
a) Ta có: un+1 un =
0 với n 1 { un } là dãy tăng.
2008
b) (Phơng pháp phản chứng)
Giả sử (un) là dãy bị chặn trên. Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn,
un = a a 1 . Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có:
tức là: nlim

a2
+ a a = 0 (vô lý).
2008
un = +
Chứng tỏ (un) là dãy không bị chặn trên, tức là: nlim

a=

2
un

1
1
u
n

=
c)Từ giả thiết ta biến đổi: un+1 un =


un un+1 2008un+1
2008
un
1
1
= 2008(
)
un+1
un un+1

Suy ra:

u
u1
u
1
1
1
1
1
1

= 2008( ) ; 2 = 2008( ) ;; n = 2008(
)
u2
u1 u2 u3
u2 u3
un+1
un un+1

u u
1
u
1
=2008.
Vậy lim 1 + 2 + ... + n = lim 2008
n u
un+1 n
2 u3
u1 un+1
Bài 6. Cho dãy số dơng (an) thoả mãn: an+1 < an an 2 với n 1
1
Chứng minh rằng: an < với n 1
n
HD: (Phơng pháp quy nạp)
Với n = 1 ta có: a2 < a1 a12 a1 a12 > 0 a1 < 1
1
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( k 1 ), tức là ak <
k
1
Ta cần chứng minh: ak+1 <
k +1

1
Thật vậy ta có: ak+1 < ak ak 2 . Hàm số: f ( x) = x x 2 đồng biến trên 0; mà
2
1 1
1
1 1 k 1
2
0 < ak < < nên f (ak ) < f ( ) ak ak < 2 = 2
k 2
k
k k
k
2
k 1
k 1
1
1
1
Do vậy ak+1 < 2 = 2
=
2
<
k
k (k + 1) k + 1 k (k + 1) k + 1
1
Chứng tỏ an < với n 1 (đpcm).
n
Bài tập tự luyện.

Bài 7. Cho hai dãy số (un) và (vn) xác định bởi:

4



2
v1 = 1
u1 =

2
2
và

1 + vn 1 với n 1
u = 2 1 1 u 2
vn+1 =
vn
n
+
1
n


2
Tìm công thức tổng quát của hai dãy số (un) và (vn).
u1 = 0; u2 = 1

Bài 8. Cho dãy số (un) xác định bởi:
un+1 + un
un+ 2 =
2

1
a) CMR: un+1 = un + 1
2
b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n.
un
c) Tìm nlim

0 < xn < 1, n 1

Bài 9. Cho dãy số (xn) xác định bởi:
1
xn+1 (1 xn ) 4
a) CMR: (xn) là dãy số tăng.
b) Tìm lim xn
n

u1 = 2

Bài 10. Cho dãy số (un) xác định bởi:
un với n 1
u
=
n
+
1

1 un

a) CMR: un < 0 với n 1
1 + un

b) Đặt vn =
. CMR: (vn) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của (un) và (vn).
un
u1 = 1

Bài 11. Cho dãy số (un) xác định bởi:
un + 8 với n 1
u
=
n
+
1

5
Đặt vn = un 2 . CMR: (vn) là một cấp số nhân và suy ra biểu thức của (vn) và (un).

u1 = 2
Bài 12. Cho dãy số (un) xác định bởi:
với n 1
un+1 = 2 + un
Tìm biểu thức của (un).
u1 =
Bài 13. Cho dãy số (un) xác định bởi:
với n 1 & > 1
2
2008
u
=
u
+

2007
u

n+1
n
n
a) CMR: (un) là dãy tăng.
1
=0
b) CMR: lim
n u
n
u
un
u2
.
c) Tính giới hạn: lim 1 +
+ ... +
n u 1
u3 1
un+1 1
2
5


1 2 3
k
+ + + ... +
2! 3! 4!
(k + 1)!

1 2 3
k
b*) Cho dãy số (xk) đợc xác định nh sau: xk = + + + ... +
2! 3! 4!
(k + 1)!

Bài 14. a) Rút gọn biếu thức: xk =

n
Tính lim n x1n + x2n + ... + x2007
n

II) Các bài toán về giới hạn của dãy số.

Bài toán 1. Tính các giới hạn sau:
2
n
a) lim 1 + a + a + ... + a với a < 1 & b < 1
n 1 + b + b2 + ... + bn
1

1
1
b) lim

+
+ ... +
n 1.2
2
.

3
n
.(
n
+
1
)





1
1
1

c) lim
+
+ ... +
n 2 1 + 2
3 2+2 3
(n + 1) n + n n + 1

1
1
1
d) lim (1 2 )(1 2 )...(1 2 )
n
2
3

n
1
3
5
2n 1
e) lim ( 2 + 2 + 2 + ... +
)
n n
n
n
n2
1

1
1

g) lim
+
+ ... +

2
2
2
n
n +2
n +n
n +1

[ (

)

(

h*) lim cos n3 n3 + 3n 2 + n + 1 + sin n3 n3 + 3n 2 + n + 1
n

)]

------------------------------------------ stop --------------------------------------------

6