tìm hiểu về nguyên tử hydro

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

----------

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

T

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Nguyễn Thị Thúy Hằng

Nguyễn Huyền Trâm
Mã số SV: 1110222
Lớp: TL1102A1
Khóa: 37

Cần Thơ, năm 2014


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

----------

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

T

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Nguyễn Thị Thúy Hằng

Nguyễn Huyền Trâm
Mã số SV: 1110222
Lớp: TL1102A1
Khóa: 37

Cần Thơ, năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian dài tìm hiểu, nghiên cứu và
làm việc nghiêm túc, tôi đã hoàn thành luận văn của
mình. Để đạt được kết quả ấy chính là nhờ sự cố
gắng của bản thân trong những năm tháng trên
giảng đường, giúp đỡ của gia đình và sự hướng dẫn
tận tình của quý thầy cô, cũng như bạn bè trong suốt
những năm học tại trường.
Và em xin chân thành cám ơn đến quý thầy cô

đã tạo mọi đều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn.
Đặc biệt em xin tri ân đến cô ThS-GVC Nguyễn Thị
Thúy Hằng. Cô đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt từng
bước giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Với tất cả mọi sự cố gắng của mình, tôi hy
vọng cuốn luận văn này sẽ mang đến cho người đọc
những điều mới mẻ. Mặc dù vậy, luận văn này chắc
hẳn sẽ còn thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của
quý thầy cô và các bạn bè để đề tài này ngày càng
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Cần Thơ, ngày 15 tháng 11 năm 2014
Nguyễn Huyền Trâm



Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

MỤC LỤC
MỤC LỤC .......................................................................................................................i
PHẦN MỞ ĐẦU.............................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài....................................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài. .................................................................................................. 1
3. Giới hạn đề tài.......................................................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu. ......................................................................................... 2
5. Các bước thực hiện đề tài. ........................................................................................ 2
PHẦN NỘI DUNG.........................................................................................................3
CHƯƠNG 1. SỰ RA ĐỜI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ HÀM SÓNG CỦA

HẠT VẬT CHẤT. ...................................................................................................... 3
1.1. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA MÔN CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ............................................................................................................. 3
1.1.1. Max Planck và vấn đề về bức xạ vật đen.....................................................3
1.1.2. Albert Einstein và hiệu ứng quang điện. .....................................................5
1.1.3. Neils Bohr và quang phổ nguyên tử. ...........................................................7
1.2. SÓNG VẬT CHẤT CỦA DE BROGLIE. ........................................................... 9
1.2.1. Bản chất sóng của electron..........................................................................9
1.2.2. Giả thuyết de Broglie................................................................................10
1.3. HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. .............................................................. 10
1.4. NGUYÊN LÍ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI................................................... 12
1.5. SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG........................................................................ 12
CHƯƠNG 2. TOÁN TỬ. ......................................................................................... 13
2.1. ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH. ..................................... 13
2.1.1. Định nghĩa. ...............................................................................................13
2.1.2. Các ví dụ về toán tử. .................................................................................13
2.2. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ................................................................. 13
2.3. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN
TỬ. ........................................................................................................................ 14
2.4. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC). .............. 15
2.4.1. Định nghĩa toán tử hermitic. .....................................................................15
2.4.2. Các tính chất của toán tử hermitic.............................................................15
2.5. CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC.................. 17
CHƯƠNG 3. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ. .................................. 18
3.1. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ..................................................... 18
3.2. TÍNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC. .......................... 19
3.3. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH................................................................................ 21
3.4. TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC.............................................. 22
3.4.1. Biểu thức xác suất.....................................................................................22
3.4.2. Giá trị trung bình. .....................................................................................23

3.4.3. Tính hệ số phân tích..................................................................................23
3.5. TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG. ....................................................... 24
3.5.1. Toán tử tọa độ xˆ .......................................................................................24
3.5.2. Toán tử xung lượng. .................................................................................24
i


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

3.6. DẠNG CỦA CÁC TOÁN TỬ KHÁC. .............................................................. 25
3.6.1. Toán tử năng lượng...................................................................................25
3.6.2. Toán tử mômen động lượng......................................................................26
3.7. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC. .......................................... 26
3.8. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG. ............................................................ 28
CHƯƠNG 4. MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG. ............................................................... 29
4.1. TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.............................................................. 29
4.2. TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.................................. 32
4.3. HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG............................... 33
4.4. MẪU VECTƠ VÀ PHÉP CỘNG MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG. .......................... 40
4.4.1 Mẫu vectơ mômen động lượng. .................................................................40
4.4.2. Phép cộng mômen động lượng..................................................................41
4.5. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÔNG
GIAN. .................................................................................................................... 41
4.5.1. Toán tử nghịch đảo không gian.................................................................41
4.5.2. Tính chẵn lẻ của hàm cầu..........................................................................42
CHƯƠNG 5. THẾ XUYÊN TÂM- NGUYÊN TỬ HYDRO. ................................. 44
5.1. THẾ XUYÊN TÂM- CHUYỂN ĐỘNG TRONG MỘT THẾ XUYÊN TÂM. ... 44
5.1.1. Thế xuyên tâm. .........................................................................................44

5.1.2. Chuyển động trong một thế xuyên tâm. ....................................................44
5.2. PHẦN PHỤ THUỘC R CỦA HÀM SÓNG....................................................... 45
5.3. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG COULOMB. NGUYÊN TỬ HYDRO.
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI R(r)........................................................................... 47
5.4. BIỂU THỨC NĂNG LƯỢNG. THÀNH PHẦN PHỤ THUỘC R CỦA HÀM
SÓNG. ................................................................................................................... 50
5.5. CÁC HÀM RIÊNG............................................................................................ 52
5.6. CÁC LƯỢNG TỬ SỐ VÀ TRẠNG THÁI SUY BIẾN CỦA NĂNG LƯỢNG.. 54
5.6.1. Các lượng tử số.........................................................................................54
5.6.2. Trạng thái suy biến của năng lượng. .........................................................54
5.7. QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HYDRO. ............................................................ 55
5.8. SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HYDRO. ... 57
5.9. HIỆU ỨNG ZEEMAN. ..................................................................................... 59
PHẦN KẾT LUẬN ......................................................................................................61
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... I
PHỤ LỤC 1. .................................................................................................................I
PHỤ LỤC 2. .................................................................................................................I
PHỤ LỤC 3. .................................................................................................................I
PHỤ LỤC 4. ............................................................................................................... II
PHỤ LỤC 5. .............................................................................................................. III
PHỤ LỤC 6. .............................................................................................................. IV
PHỤ LỤC 7. ............................................................................................................... V
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... VII

ii


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

iii


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Ngày nay, khoa học có sự phát triển không ngừng, nó đòi hỏi con người phải luôn
luôn phấn đấu, nghiên cứu và sáng tạo. Đối với Vật lý, việc nghiên cứu ngày càng có vai
trò quan trọng vì ứng dụng của nó ngày càng rộng rãi. Việc nghiên cứu Vật lý là cơ sở
cho việc phát triển khoa học, kỹ thuật và có một ý nghĩa to lớn trên con đường tiến tới thế
giới văn minh của loài người.
Vật lý cổ điển ra đời dựa trên hai hệ thống thuyết cơ bản là cơ học của Newton và
thuyết điện trường của Maxwell, là một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và phù hợp với
thực nghiệm trong phạm vi của nó. Nhưng đến cuối thế kỉ XIX trở về sau, có nhiều hiện
tượng vật lý mà Vật lý học cổ điển không thể giải thích được như giải thích sự bền vững
của nguyên tử, bức xạ vật đen tuyệt đối, sự tách vạch quang phổ của nguyên tử Hydro
trong trường ngoài...Do đó đòi hỏi phải có một thuyết mới ra đời để giải thích vấn đề này.
Từ đó Vật lý học hiện đại ra đời đánh dấu một bước phát triển cao hơn trong ngành Vật
lý học.
Cơ học lượng tử là cơ sở lý thuyết cơ bản để nghiên cứu về các hạt vi mô, thuộc
nhiều các chuyên ngành khác nhau của Vật lý và Hóa học như Vật lý chất rắn, Hóa lượng
tử, Vật lý hạt, và còn nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Khái niệm lượng tử để chỉ
một số đại lượng vật lý như năng lượng, không liên tục mà rời rạc.
Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn cơ học lượng tử và vì
bài toán về nguyên tử Hydro là bài toán cơ bản của cơ học lượng tử, có tầm quan trọng và
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học nên tôi quyết định chọn đề tài này: “ TÌM

HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO” làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu của đề tài.
Tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong nguyên tử Hydro để làm được điều
này ta cần tìm hiểu rõ một số vấn đề sau:
- Hàm sóng vật chất.
- Toán tử, hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng của toán tử.
- Các tiên đề của cơ học lượng tử.
- Hàm riêng và trị riêng của toán tử mômen động lượng.
- Thế xuyên tâm, chuyển động trong thế xuyên tâm.

3. Giới hạn đề tài.
Tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong nguyên tử Hydro ở trạng thái liên
kết.
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

1

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các tài liệu.
- Sử dụng sách, báo, khai thác thông tin trên Internet để tìm hiểu về cơ học
lượng tử, cụ thể hơn là nguyên tử Hydro.

5. Các bước thực hiện đề tài.
- Bước 1: Nhận đề tài.
- Bước 2: Tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài.
- Bước 3: Tiến hành viết đề cương và trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
- Bước 4: Viết luận văn.
- Bước 5: Nộp bản thảo cho giảng viên hướng dẫn, xin ý kiến.
- Bước 6: Chỉnh sửa và hoàn tất nội dung đề tài.
- Bước 7: Báo cáo nội dung đề tài.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

2

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. SỰ RA ĐỜI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ
HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT.
1.1. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA MÔN
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.
Cuối thế kỉ XIX, vật lý cổ điển đã được công nhận và phát triển hoàn thiện. Đối
tượng nghiên cứu của vật lý cổ điển là các tính chất vật lý của các hệ vĩ mô. Nhưng cũng
vào cuối thế kỉ XIX, nhờ sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà khoa học có cơ hội
tiếp cận các hệ vi mô ở cấp độ phân tử, nguyên tử, các hạt hạ nguyên tử,… Từ đó xuất

hiện những hiện tượng vật lý không thể giải thích bằng các lí thuyết cổ điển, ví dụ như:
hiện tượng bức xạ của vật đen tuyệt đối, hiệu ứng quang điện, quang phổ vạch của
nguyên tử,… dẫn đến việc xây dựng một khái niệm mới về lượng tử, đó là bước đầu của
việc hình thành cơ học lượng tử.
Cơ học lượng tử là học thuyết nghiên cứu về quy luật vận động và tính chất của các
hệ vi mô.[1]
1.1.1. Max Planck và vấn đề về bức xạ vật đen.
1.1.1.1. Bức xạ nhiệt.

Hình 1.1. Năng lượng bức xạ của vật đen phụ thuộc vào bước
sóng và nhiệt độ của vật.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

3

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Mỗi vật thể có nhiệt độ lớn hơn 0K sẽ phát ra bức xạ có phổ bước sóng liên tục.
Nếu vật thể đen hoàn toàn (do đó nó không phản xạ ánh sáng), thì ánh sáng phát ra từ nó
được gọi là bức xạ của vật đen.
Năng lượng bức xạ của vật đen không chia đều cho tất cả các bước sóng ánh sáng.
Từ (Hình 1.1) ta thấy một số bước sóng ánh sáng có năng lượng lớn hơn những bước
sóng ánh sáng khác. Có ba phổ năng lượng ở ba nhiệt độ được thể hiện trên đồ thị (trong
đó có một đường cong thể hiện phổ năng lượng của bức xạ bề mặt Mặt Trời, 5770 K).

Đây là một vài kết quả thí nghiệm về bức xạ của vật đen:
- Phổ năng lượng bức xạ của vật đen chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật thể chứ
không phụ thuộc vào vật liệu làm vật.
- Khi nhiệt độ của vật tăng, vật sẽ càng phát ra nhiều năng lượng ở tất cả các bước
sóng.
- Khi nhiệt độ của vật tăng, bước sóng ứng với điểm cao nhất của đồ thị càng ngắn.
Ví dụ: những ngôi sao màu xanh thì nóng hơn những ngôi sao màu đỏ.
1.1.1.2. Cách giải thích của vật lý cổ điển.
Theo vật lí cổ điển, mật độ năng lượng bức xạ dρ được biểu diễn bởi phương trình:
d  f , t  

8KT 2
f df
c3

(1.1)

(công thức Rayleigh)
Điều này dẫn đến vấn đề tai biến vùng tử ngoại. Khi tần số ánh sáng f tăng, mật độ
năng lượng bức xạ tiến đến vô cực. Tuy nhiên, khuynh hướng này không xảy ra. Theo
thực nghiệm, phổ năng lượng của vật đen luôn nhỏ hơn khi tần số tăng trong phổ tia cực
tím.
1.1.1.3. Phân tích của Planck năm 1900.
Quy tắc của Planck cho một lượng tử năng lượng của một electron đang dao động:
năng lượng của một lượng tử = (hằng số hiệu chỉnh) x (tần số dao động)
hay   hf
Trong đó h là hằng số hiệu chỉnh, được gọi là hằng số Planck; h  6,6256.10 27 .
Vậy làm cách nào công thức này có thể giải thích được phổ năng lượng của bức xạ
vật đen? Planck nói rằng một electron đang dao động với một tần số f chỉ có thể có một
trong các giá trị năng lượng 1 hf , 2 hf , 3 hf , 4 hf ,…; tức là

năng lượng của một electron đang dao động = (một số nguyên) x hf
hay E  nhf

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

4

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Nhưng electron phải có ít nhất một lượng tử năng lượng nếu nó muốn dao động nếu
không nó sẽ hoàn toàn không thể dao động và không sinh ra ánh sáng được. Theo Planck,
tại các giá trị tần số cao, lượng năng lượng trong một lượng tử ( hf ) là quá lớn do đó các
dao động ở tần số cao không bao giờ đạt được. [2]
Từ kết luận của Planck và phương pháp thống kê ta có công thức cho mật độ năng
lượng bức xạ là:
d  f ,T  

8h f 3df
 hf
c3
e KT  1

(1.2)

Mật độ năng lượng

bức xạ

Từ (1.1) và (1.2) ta có đồ thị:

Cổ điển

Lượng tử
Tần số (Hz)

Hình 1.2. Mật độ năng lượng của bức xạ
vật đen phụ thuộc vào tần số.

[3]

Từ đồ thị này dễ dàng nhận thấy công thức Rayleigh chỉ đúng khi f nhỏ. Còn công
thức (1.2) phù hợp với thực nghiệm cả khi f nhỏ và khi f lớn, không có hiện tượng tai
biến vùng tử ngoại.
1.1.2. Albert Einstein và hiệu ứng quang điện.
1.1.2.1. Đề xuất của Einstein.
Năm 1905, Einstein đề xuất rằng chúng ta cần thay đổi cách nhìn cơ bản về cấu tạo
của bức xạ.
Quan niệm truyền thống được kế thừa từ những thành tựu vật lí thế kỉ XIX là: ánh
sáng là sóng lan truyền. [4]

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

5

Khoa Sư Phạm

Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Hình 1.3. Quan niệm của vật lí cổ điển về bản chất ánh sáng.

[4]

Dựa vào các tính chất quan sát được của ánh sáng có tần số cao, Einstein cho rằng
ánh sáng được cấu tạo từ các gói năng lượng định xứ trong không gian và công thức của
Planck cho phép tính năng lượng của mỗi gói. Ông cho rằng ánh sáng thực sự được cấu
tạo từ các đơn vị năng lượng rất nhỏ gọi là lượng tử. Năm 1905, một lượng tử ánh sáng
chỉ được hiểu là một “đơn vị ánh sáng”.

Hình 1.4. Quan niệm của Einstein về bản chất ánh sáng.
1.1.2.2. Hiệu ứng quang điện.
Khi ánh sáng chiếu vào một bề mặt vật liệu kim loại, các electron trong kim loại
hấp thụ năng lượng của ánh sáng và chúng có thể thoát ra khỏi bề mặt kim loại. Hiện
tượng này được gọi là hiệu ứng quang điện, và nó được dùng để tạo ra dòng điện dùng để
chạy các thiết bị năng lượng mặt trời.
Vật lí cổ điển coi ánh sáng là sóng (sóng điện từ) dao động với các giá trị tần số và
biên độ có phổ liên tục, trong đó biên độ quyết định cường độ ánh sáng. Vật lý cổ điển
giải thích rằng các electron của kim loại sẽ dao động cùng tần số với tần số ánh sáng tới
và cuối cùng thoát khỏi bề mặt với động năng ban đầu phụ thuộc vào cường độ của ánh
sáng, vì cường độ ánh sáng tới càng lớn thì biên độ dao động càng lớn. Việc ứng dụng
quan điểm ánh sáng là sóng với năng lượng được phân bố đồng đều trong toàn bộ sóng,
vật lí cổ điển mong đợi rằng khi dùng ánh sáng rất mờ thì sẽ mất nhiều thời gian để có đủ
năng lượng làm bật electron khỏi bề mặt kim loại.
Einstein đã theo dõi các thí nghiệm về hiệu ứng quang điện. Thí nghiệm lại cho thấy

cường độ ánh sáng không ảnh hưởng đến khả năng tạo ra các quang tử (electron). Vấn đề
ở đây không phải là cường độ mà là tần số ánh sáng. Nếu ánh sáng có tần số thấp, nó
không thể đánh bật quang tử cho dù cường độ của nó rất mạnh. Nếu ánh sáng có tần số
cao, nó có thể làm các electron bật ra mặc dù cường độ ánh sáng thấp. [4]
Einstein cho rằng nếu năng lượng ánh sáng tập trung trong 1 lượng tử có giá trị
được tính bởi công thức Planck thì tất cả những gì ta phải giả định là chỉ cần một lượng
tử để giải phóng một electron.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

6

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Einstein đã sửa lại khái niệm năng lượng lượng tử cùa Planck để mô tả kết quả thực
nghiệm. Ông giả định rằng ánh sáng có thể chuyển động dưới dạng những hạt mang năng
lượng lượng tử (photon) thay vì chuyển động một cách nghiêm ngặt như sóng trong
VLCĐ. Einstein đã chỉ ra rằng động năng ban đầu của electron bứt ra khỏi bề mặt kim
loại bằng năng lượng photon của bức xạ tới trừ đi phần năng lượng dùng để bứt electron
khỏi kim loại đó. Điều đó được mô tả bằng phương trình sau: [3]
Eđ 

1 2
mv  hf  A
2

(1.3)

1.1.3. Neils Bohr và quang phổ nguyên tử.
1.1.3.1. Quang phổ nguyên tử.
Phân tích về bức xạ vật đen và hiệu ứng quang điện đã cung cấp những manh mối
đầu tiên về dạng vật chất có lưỡng tính sóng-hạt. Năm 1896, Thomson đã tìm ra manh
mối về tính chất sóng của các electron từ việc quan sát quang phổ nguyên tử. [4]
Nếu các chất khí được cung cấp năng lượng bằng cách nung nóng hoặc phóng điện
qua chúng, các chất khí đó sẽ phát sáng. Ví dụ như đèn hơi natri màu cam hoặc đèn hơi
thủy ngân màu trắng được sử dụng trong các bãi đỗ xe. Quá trình ngược lại cũng xảy ra,
các chất khí sẽ hấp thụ ánh sáng. [4]
Điều được mong chờ là sự phát xạ (hay hấp thụ) chứa tất cả các tần số ngay cả khi
cường độ ánh sáng trên quang phổ có thay đổi. Nhưng không phải vậy, các chất khí có
chọn lọc các tần số mà chúng phát ra và hấp thụ. Các tần số đó có giá trị gián đoạn và
chúng có thể được dùng để xác định các chất khí chưa biết. [4]

Hình 1.5. Quang phổ của khí Hydro
[4]

Đây là quang phổ của khí hydro. Ánh sáng phát xạ bởi các nguyên tử của nguyên tố
hydro ở trạng thái kích thích bị trải ra thành các tần số thành phần.
1.1.3.2. Sự thất bại của mẫu hạt nhân Rutherford.
Theo mẫu hạt nhân Rutherforde, một nguyên tử giống như một Hệ Mặt Trời thu
nhỏ. Nó có hạt nhân nặng, kích thước nhỏ và tích điện dương. Hạt nhân đó gây ra một lực
hấp dẫn lên các electron nhẹ hơn nó, tích điện âm, chuyển động trên quỹ đạo rất giống
với cách mà các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo quanh Mặt Trời. [4]

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

7

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Theo mẫu này, kích thích một chất khí bằng cách phóng điện (với hiệu điện thế lớn)
qua nó sẽ cung cấp năng lượng cho các electron, vì thế nó có thể chuyển động ra xa, thoát
khỏi lực hút của hạt nhân. Còn khi chúng rơi trở về phía hạt nhân, năng lượng mà nó có
sẽ bị mất đi và chuyển thành năng lượng ánh sáng; ánh sáng phát xạ đó tạo nên quang
phổ phát xạ. [4]
Điều trở ngại đầu tiên là khi các electron rơi về phía hạt nhân, chúng sẽ đi qua một
dãy liên tục các tần số quỹ đạo và do vậy chúng sẽ phát ra một dãy tần số ánh sáng liên
tục. Không có cách nào giới hạn được việc ánh sáng phát xạ chỉ ở một số giá trị tần số
đặc biệt. [4]

Hình 1.6. Electron rơi về phía hạt

[2]

Trở ngại thứ hai còn nghiêm trọng hơn. Đó là không thể dừng lại sự phát xạ năng
lượng từ cá electron trong quá trình phát xạ ánh sáng. Chúng sẽ lên tục phát xạ ánh sáng
và mất năng lượng cho đến khi chúng đâm vào hạt nhân (Hình 1.5). Theo điện động lực
học cổ điển, các nhà vật lí đã tính được rằng electron sẽ mất hết năng lượng và chuyển
động theo đường xoắn ốc rơi vào proton chỉ trong 10-12 giây, hay nói cách khác nguyên
tử không thể tồn tại quá 10-12 giây. Vậy là theo mẫu Rutherford, vật chất không thể cấu
tạo từ các nguyên tử để tồn tại được. [2]

1.1.3.3. Thuyết Bohr.
Theo điện động lực học cổ điển, một electron chuyển động theo quỹ đạo quanh hạt
nhân với vận tốc tăng dần và do đó nó phải phát ra năng lượng. Và nó sẽ phát ra sóng
điện từ. Trong quá trình này, nó phải bị mất năng lượng, rơi về phía hạt nhân và cuối
cùng sẽ đâm vào hạt nhân.
Bohr chỉ đơn giản thừa nhận rằng điều này là không đúng. Ông khẳng định có các
quỹ đạo ổn định xung quanh hạt nhân để một electron có thể chuyển động vô thời hạn mà
không bị mất năng lượng.
Tiếp đó, ông giả sử rằng các electron có thể nhảy lên hay xuống giữa các quỹ đạo
cho phép này. Nếu một electron nhảy lên (Hình 1.7), tức là ra xa hạt nhân đến quỹ đạo có
năng lượng cao hơn, nó cần được cung ấp năng lượng để thắng lực hút của hạt nhân tích
điện dương của nguyên tử. Nó nhận phần năng lượng đó khi bị một lượng tử ánh sáng
đập vào, điều đó kích thích bước nhảy. Lượng tử ánh sáng phải có năng lượng bằng chính
xác độ chênh lệch năng lượng giữa hai quỹ đạo. [4]

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

8

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Năng lượng
ánh sáng
=hxf

Năng lượng
ánh sáng
=hxf

Hình 1.7. Một electron nhận năng lượng
từ một photon ánh sáng.

Hình 1.8. Một electron phát ra
một photon ánh sáng.

Thêm vào đó Bohr giả định rằng năng lượng của lượng tử ánh sáng tuân theo công
thức của Planck, do đó năng lượng của nó chỉ bằng   hf . Kết quả là chỉ có ánh sáng có
một giá trị tần số cụ thể mới có thể kích bước nhảy của electron giữa các quỹ đạo cụ thể.
Ở quá trình ngược lại, đầu tiên, một electron nhảy lên quỹ đạo có năng lượng lớn
hơn, nó sẽ không ở lại quỹ đạo đó. Electron sẽ nhảy về quỹ đạo có năng lượng thấp hơn
(Hình 1.8). Trong quá trình đó, nó sẽ phát ra lại năng lượng mà nó nhận được khi nhảy
lên nhờ năng lượng của một lượng tử ánh sáng. Lại một lần nữa năng lượng ánh sáng
phát ra thỏa mãn công thức của Planck và bằng   hf . Kết quả là khi một electron nhảy
xuống một quỹ đạo khác, nó phát ra ánh sáng có tần số xác định mà nó đặc trưng cho
bước nhảy giữa hai quỹ đạo đó. [4]
Từ việc phát triển các ý tưởng của Planck, Einstein và các giả định trên, N.Bohr đã
đưa ra thuyết nguyên tử với các tiên đề sau đây:[1]
- Nguyên tử chỉ tồn tại trong những trạng thái với năng lượng xác định gọi là các
trạng thái dừng. Năng lượng En của những trạng thái này tạo thành một phổ gián đoạn.
- Nguyên tử chỉ phát xạ hoặc hấp thụ năng lượng khi nó chuyển từ trạng thái dừng
này sang trạng thái dừng khác. Tần số  của photon do nguyên tử phát xạ hoặc hấp thụ
bằng


En  En '



(1.4)

trong đó En và En ' là năng lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Thuyết nguyên tử Bohr cho phép giải quyết hai bế tắc của vật lí học cổ điển là tính
bền vững của nguyên tử và hiện tượng quang phổ vạch của nguyên tử.[1]

1.2. SÓNG VẬT CHẤT CỦA DE BROGLIE.
1.2.1. Bản chất sóng của electron.
Khi còn là sinh viên trường đại học Paris, Louis de Broglie đã chịu ảnh hưởng bởi
thuyết tương đối và hiệu ứng quang điện. Hiệu ứng quang điện cho thấy ánh sáng có tính
chất hạt, điều mà trước đó vốn được coi là hiện tượng sóng. Ông tự đặt câu hỏi liệu các
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

9

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

electron và các hạt vi mô khác có thể hiện tính chất sóng hay không? Việc áp dụng hai ý
tưởng mới này cho ánh sáng đã nêu ra một khả năng thú vị: [5]
Thuyết tương đối

khối lượng
nghỉ = 0

Động lượng của
một photon

Năng
lượng
nghỉ

Động
năng

Mối liên hệ
giữa bước
sóng và năng
lượng

Hiệu ứng quang điện

Đối với
photon

Giả thuyết de Broglie

có đúng với electron?

1.2.2. Giả thuyết de Broglie.
Giả thuyết được đề ra bởi de Broglie vào năm 1924. Để đưa ra biểu thức tính bước
sóng cho một hạt vi mô, ông dùng sự tương tự với động lượng của một photon. Bắt đầu
với công thức Einstein:
E  mc 2  Eđ  m0c 2

(1.5)

Một cách viết khác của công thức (1.5): E  p 2c 2  m0 2c 4 .
Từ (1.6) ta có đối với một hạt vi mô có khối lượng nghỉ bằng 0 thì: p 
Đối với photon: E  hf 

hc
λ

Từ (1.7) và (1.8) suy ra: p 

(1.6)

E
c

(1.7)
(1.8)

h
λ

(1.9)

Hệ thức liên hệ giữa động lượng và bước sóng của một photon được suy ra và hệ
thức (1.9) cũng được áp dụng cho tất cả cá hạt vi mô khác.

1.3. HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT.
Theo giả thuyết de Broglie, một hạt chuyển động tự do với năng lượng E và động
lượng p thì tương ứng với một sóng phẳng có tần số ƒ và bước sóng λ được cho bởi các

hệ thức: E  hf và λ 

h
h
. Suy ra p  .
p
λ

Ta có:
Tần số góc: ω  2πf  2π

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

E
E
E

  E  ω
h
h

2π

10

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

và độ lớn của vectơ sóng là: k 



2π 2π
p
p


  p  k .
h
h
λ

p
2π

Hàm sóng mô tả sóng phẳng đó có dạng:

-i



Hàm sóng  r ,t   0e 



 r ,t   0e i ωt  kr 

(1.10)

-i
 Et  p r 


hay  r ,t   0e

(1.11)

 Et  p r 

phụ thuộc vào không gian và thời gian.

Trong đó: [7]

r là vectơ tia xác định vị trí của điểm nào đó trong không gian mà sóng có thể

truyền tới (hạt có thể tới).
0 là một hằng số tùy ý, không mô tả tính chất gì của hàm sóng.

Các thông tin về trạng thái của hạt chứa đựng trong hàm sóng. Hàm sóng nói chung
là một số phức.
Ta có thể tách hàm sóng thành hai phần:


Ψr ,t   Ψr Ψ t 

(1.12)

Trong đó:
-i



 Et  pr 

Ψr   0e 
là phần phụ thuộc không gian,

và

Ψt   e

i
Et


là phần phụ thuộc thời gian.

Trong cơ học lượng tử, ta thừa nhận tiên đề sau đây:


Tiên đề 1: Trạng thái của hạt ở mỗi thời điểm t được mô tả bởi một hàm số  r , t 


2

)nói chung là phức) gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái. Đại lượng  r , t  dV cho ta xác

suất dw để vào thời điểm t tìm được hạt trong phần tử thể tích dV bao quanh điểm có

tọa độ r .[1]
 2
dw   r , t  dV

Hàm sóng là một hàm phức do đó bản thân nó hoàn toàn không có một ý nghĩa vật
lý nào. Theo cách giải thích của Max Born thì mật độ xác suất ρ tìm thấy một hạt trong

2

nguyên tố thể tích dV tại điểm có tọa độ r tỷ lệ với  (viết Ψ thay cho Ψr ,t  ), tức là
2

ρ ~   *
Trong đó:
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

11

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

+ Nguyên tố thể tích dV trong một chiều là dx, trong hai chiều là dxdy và
trong ba chiều là dxdydz.
+ Ψ* là liên hiệp phức của  . VD: Ψ  e ix thì Ψ  e -ix .

2

Từ cách giải thích này chúng ta hiểu rằng  là một hàm mật độ xác suất, với ý
nghĩa là khi nhân nó với thể tích của một vùng không gian vô cùng nhỏ ở lân cận điểm có

2
tọa độ r thì ta được xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian đó: dw  ρdV~  dV .
Chú ý: Hàm sóng có thể là một số phức và có thể âm nhưng mật độ xác suất (bình
phương modul của số phức) là thực và không bao giờ âm.
Cách giải thích của Born được thừa nhận vì cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.

1.4. NGUYÊN LÍ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI.
Nếu một hạt (hoặc hệ hạt) có thể ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng 1 và cũng có
thể ở trạng thái biểu diển bởi hàm sóng 2 thì hạt có thể ở trạng thái biểu diễn bởi hàm
sóng  là tổ hợp tuyến tính của 1 và 2 [6]:
(1.13)

  c11  c2 2

trong đó c1 và c2 là những số phức bất kì.

1.5. SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG.
2

Ta đã có xác suất tìm thấy hạt trong nguyên tố thể tích dV là: dw  ρdV ~ Ψ dV .
Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian thể tích V mà hạt tồn tại phải bằng
1.
Suy ra: W   ρdV   Ψ * ΨdV  1 . Đây là điều kiện chuẩn hóa hàm sóng.
V

V

Như ta đã nói ở trên, hằng số Ψ0 không phản ánh tính chất gì của hạt. Do đó ta có
thể nhân một hằng số bất kì với hàm sóng mà không làm ảnh hưởng đến trạng thái của
hạt. Ta thừa nhận điều này như một tiên đề.
Từ đây ta có:
2

 ρdV  1  Ψ  Ψ
0

V

2

dV  1  Ψ 0

2

V

 Ψ * ΨdV  1 .
V

Đây là công thức dùng để tính hệ số chuẩn hóa Ψ0.[4]
Chương này đã dẫn ra hàm sóng vật chất và một số nguyên lý, phép
toán. Là tiên đề để giải quyết của bài toán về nguyên tử Hydro.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

12

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

CHƯƠNG 2. TOÁN TỬ.
2.1. ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH.
2.1.1. Định nghĩa.
Toán tử là một ánh xạ khi tác dụng lên một hàm bất kì thì nó biến hàm đó thành một
hàm khác.
Aˆ   

Trong đó:

Aˆ là toán tử.

Ψ và  là các hàm số bất kì mô tả trạng thái vật lí của hệ lượng tử.
Ta nói toán tử Aˆ tác dụng lên hàm Ψ cho hàm  .
2.1.2. Các ví dụ về toán tử.
- Phép nhân với tọa độ x : Aˆ  x
Aˆ   x

d
- Phép lấy đạo hàm đối với x: Aˆ 

dx

dψ
Aˆ ψ 
dx

- Phép nhân với một hằng số: Aˆ  h ( h  const )
Aˆ   h

- Phép lấy liên hiệp phức: Aˆ   *

2.2. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ.
Cho 2 toán tử Aˆ , Bˆ và hàm số bất kì Ψ. Ta có:

   
Dˆ Ψ  Aˆ  Bˆ Ψ   Bˆ  Aˆ Ψ  Aˆ Ψ  Bˆ Ψ . Trong đó Dˆ là toán tử hiệu.
Pˆ   Aˆ Bˆ   Aˆ Bˆ    Bˆ Aˆ    Bˆ Aˆ  . Trong đó Pˆ là tích hai toán tử.

SˆΨ  Aˆ  Bˆ Ψ  Bˆ  Aˆ Ψ  Aˆ Ψ  Bˆ Ψ . Trong đó Sˆ là toán tử tổng.

Giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ được kí hiệu là [ Aˆ , Bˆ ] .
[ Aˆ ,Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ

Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì [ Aˆ , Bˆ ]  0 .
Nếu Aˆ và Bˆ không giao hoán thì [ Aˆ , Bˆ ]  0 .
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

13

Khoa Sư Phạm

Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Ví dụ 1: Cho hai toán tử Aˆ 

d
và Bˆ  x . Đặt Pˆ  Aˆ .Bˆ và Qˆ  Bˆ .Aˆ .
dx

Để tìm biểu thức của Pˆ ta cho Pˆ tác dụng lên một hàm   x  bất kì:
d
Pˆ   x   Aˆ Bˆ   x   x  x 
dx
d  x 
  x   x
dx
d 

 1  x   x 
dx 


Vậy

d
Pˆ  Aˆ .Bˆ  1  x
dx

(2.1)

ˆ ta cũng cho Q
ˆ tác dụng lên hàm ψ(x):
Tương tự, để tìm biểu thức của Q
dψ  x 
Qˆ ψ  x   Bˆ Aˆ ψ  x   x
dx

Vậy

d
Qˆ  Bˆ Aˆ  x
dx

(2.2)

ˆ và B
ˆ .B
ˆ . Vậy hai toán tử A
ˆ không
ˆ B
ˆA
Từ (2.1) và (2.2) ta thấy trong ví dụ này A
giao hoán.
Ví dụ 2: Cho hai toán tử Aˆ  x 3 và Bˆ  x . Dễ thấy Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  x 4 . Suy ra
[ Aˆ ,Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  0 . Vậy Aˆ và Bˆ giao hoán.

2.3. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ.
Xét toán tử Aˆ . Trường hợp tổng quát: Aˆ    (    ).

Nhưng cũng có trường hợp Aˆ   A . Trong đó A là một hằng số. Lúc này ta gọi
Ψ là hàm riêng của toán tử Aˆ ; A là trị riêng của toán tử Aˆ ứng với hàm riêng Ψ; phương
trình Aˆ   A là phương trình trị riêng của Aˆ .[7]
Dựa vào phổ của trị riêng ta phân toán tử thành hai loại:
Các trị riêng gián đoạn  toán tử có phổ gián đoạn.
Các trị riêng liên tục  toán tử có phổ liên tục.
Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của
toán tử đó.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

14

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

2.4. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ
HERMITIC).
2.4.1. Định nghĩa toán tử hermitic.
Cho toán tử Aˆ và các hàm số Ψ và  bất kì. Aˆ được gọi là toán tử hermitic nếu hệ
thức sau được thỏa mãn: [7]

 

* ˆ
ˆ Ψ * d  x   Aˆ * Ψ* d  x 

Ψ
A

d

x



A




x 

x

(2.3)

x

Các tích phân (2.3) được lấy trong toàn bộ miền biến thiên của x  .

x  là biến số nào đó ta chọn phù hợp với Ψ,  và Aˆ .
2.4.2. Các tính chất của toán tử hermitic.
2.4.2.1. Các trị riêng của toán tử hermitic là những số thực.
Chọn các hàm     n là hàm riêng của toán tử Aˆ
Phương trình trị riêng của toán tử Aˆ :
Aˆ n  An n

(2.4)

Vì Aˆ là toán tử hermitic nên theo định nghĩa ta có:

Ψ
 

*
n

x



(2.5)

x

x

Ψ
 



*
Aˆ Ψ n d  x    Ψ n Aˆ Ψ n d  x 

*

n

*

AΨ nd  x    Ψ n A* Ψ n d  x   A  A*
x

(Vì Ψ n và Ψ n* là các hàm số, A và A* là các hằng số)
A  A*  A  R

Vậy cá trị riêng của toáng tử hermitic là những số thực.
2.4.2.2. Các hàm riêng của toán tử hermitic trực giao với nhau.
Định nghĩa sự trực giao
b

Nếu hệ các hàm f n x  ( n  1, 2, 3,... ) thỏa mãn

 f x  f x dx  0
*
n

m

khi m  n thì các

a

hàm f n x  trực giao với nhau trong khoảng (a,b).
Ví dụ: Các hàm sin nx  trực giao trong khoảng (0; 2π).
2π

 sin nx sin mx dx 
0

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

1
2

2π

 cosm  n x  cosm  n xdx  0
0

15

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

Chứng minh các hàm riêng của toán tử hermitic trực giao với nhau.
Gọi n và m là các hàm riêng của toán tử hermitic Aˆ Theo định nghĩa toán tử
hermitic ta có:
*
n

Ψ

 





(2.6)

*
Aˆ Ψ m d x    Ψ m Aˆ Ψ n d x 

x 

x

Vì n và m là các hàm riêng của toán tử Aˆ nên:





*
*
*
*
Aˆ m  Am m và Aˆ Ψ n   An n   An n

( Am và An là các số thực)
Từ đây ta có:

2.6  Am  n* m d x   An*  m n* d x 
x

x

  Am  An   n* m d  x   0
x

Trong trường hợp không có suy biến, tức là Am  An và m  n thì: Am  An  0 . Do
đó:

   d x   0
 
*
n

m

x

Vậy các hàm n trực giao với nhau.
Nếu hệ các hàm riêng n được chuẩn hóa thì:

   d x   1 .
 
*
n

n

x

Lúc này hệ các hàm n được gọi là hệ trực chuẩn (trực giao và chuẩn hóa).
Gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn hóa ta có điều kiện trực chuẩn:
0 khi m n

Ψ

*
m

Ψ n d  x   δmn

x 

(2.7)
1 khi m n

δmn là kí hiệu Kronecker.

2.4.2.3. Các hàm riêng của toán tử hermitic lập thành một hệ đủ.
Người ta chứng minh được tính chất này và ta thừa nhận.
Tính chất này có nội dung như sau:
Một hàm Ψ bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng n
( n  1, 2, 3,... ) của một toán tử hermitic.
  c11  c2 2  c33  ...
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

16

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Hay

Trường Đại học Cần Thơ

   cn n
n

2.5. CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC.
Ta đã biết toán tử có phổ liên tục là toán tử có các trị riêng là liên tục. Ví dụ toán
tử Aˆ  i

d
, nếu không có điều kiện gì về hàm riêng thì trị riêng của Aˆ có giá trị liên tục
dx

và thuộc khoảng  ,  .
Phương trình trị riêng của toán tử có phổ liên tục:
Aˆ A  AA

Vì toán tử có phổ liên tục nên ta dùng trị riêng A làm chỉ số chạy.
Toán tử có phổ liên tục cũng có 3 tính chất như toán tử có phổ gián đoạn.
Điều kiện chuẩn hóa của toán tử có phổ liên tục:

   d x   
*

A

A

x

Tích phân này tiến tới vô cực vì hàm Ψ hữu hạn khi x   .
Phần trên ta đã tìm hiểu về toán tử và các vấn đề quan trọng liên
quan đến toán tử như: các tính chất, các phép tính, hàm riêng, trị riêng,
phương trình trị riêng. Và từ những kiến thức trên, ta có thể vận dụng một
cách hiệu quả vào bài toán của nguyên tử hydro.

Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

17

Khoa Sư Phạm


Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37

Trường Đại học Cần Thơ

CHƯƠNG 3. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.
3.1. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.
Các tiên đề của cơ học lượng tử cung cấp cho ta mối liên hệ giữa thế giới vật lí thực
và toán học trong cơ học lượng tử được sử dụng để mô hình hóa các hệ mà ta xét tới.
Tiên đề 1: đã được nhắc đến trong mục 1.3, chương 1.
Tiên đề 2: Mỗi biến số động lực được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính xác
định.

Tính chất tuyến tính phản ánh nguyên lí chồng chất trạng thái đã nêu ở 1.4, chương
1.
Tiên đề 3: Khi đo một biến số động lực A nào đó, ta chỉ thu được các giá trị bằng
số là một trong những trị riêng Ak của toán tử Aˆ biểu diễn biến số động lực ấy.
Bởi vì trị riêng của toán tử Aˆ là số thực, do đó toán tử Aˆ biểu diễn biến số động lực
phải là toán tử Hermitic.
Tiên đề 4: Sau khi thực hiện phép đo lên hàm sóng Ψ ta được các trị riêng Ai , lúc
này hàm sóng chính là hàm riêng i , tức là hệ ở trạng thái biểu diễn bằng hàm sóng
  i . Vì vậy, việc đo lường ảnh hưởng đến trạng thái của hệ. Thực tế này được áp

dụng trong các thí nghiệm kiểm tra phức tạp của cơ học lượng tử.
Giả sử hệ mà ta xét ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ không trùng với hàm
riêng nào của toán tử Aˆ .
Vì các hàm riêng của toán tử Hermitic lập thành một hệ đủ nên ta có:
   ci i

(3.1)

i

Tập hợp các hệ số phân tích ci xác định hàm sóng Ψ và có một ý nghĩa quan trọng.
Tiên đề 5: Ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ thì xác suất Wk để phép đo biến số
động lực A được giá trị Ak bằng bình phương môđun của ck.
Wk  ck

2

(3.2)

Đây là xác suất tỉ đối, vì trong trường hợp tổng quát (hàm sóng Ψ có thể chưa chuẩn

hóa) thì tổng xác suất của tất cả các giá trị có thể khác 1:

W   c
i

i

i

2

 A 1

i

Xác suất tuyệt đối pk để A  Ak được xác định bằng cách chia xác suất tỉ đối Wk
cho A :
Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý

18

Khoa Sư Phạm