sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm phywe

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SƢ PHẠM VẬT LÝ

SỰ DÃN NỞ NHIỆT CỦA CHẤT RẮN VỚI BỘ THÍ NGHIỆM
PHYWE
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: Sƣ phạm Vật lý – Công nghệ

Giáo viên hƣớng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

Ths. Lê Văn Nhạn

Trần Thúy Hằng
Mã số SV: 1117587
Lớp: TL1192A1
Khoá: 37

Cần Thơ, 2015


LỜI CẢM ƠN
Trải qua một thời gian dài nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi. Cuối cùng
tôi cũng đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học. Để có đƣợc thành
quả đó, tôi đã nhận đƣợc rất nhiều sự giúp đỡ của thầy cô và bạn bè.
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin gửi đến toàn thể quý thầy cô trƣờng Đại
học Cần Thơ, đặc biệt là thầy cô trong bộ môn Vật lí đã dạy dỗ, tận
tình hƣớng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu làm nền
tảng cho tôi. Những kiến thức mà tôi học đƣợc ở quý thầy cô là những

tài sản vô cùng quý giá góp phần hỗ trợ tôi nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Riêng đối với thầy Ths-GVC Lê Văn Nhạn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy đã không ngại mệt nhọc, khó
khăn, vất vả chỉ dẫn và góp rất nhiều ý kiến bổ ích giúp tôi hoàn thành
luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh chị đi trƣớc cùng tất
cả bạn bè trong khoa sƣ phạm đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi rất nhiều
trong việc tìm tài liệu cũng nhƣ truyền đạt những kinh nghiệm hữu ích
trong quá trình nghiên cứu đề tài.
Cuối lời, xin kính chúc quý thầy cô và các bạn dồi dào sức khỏe và
công tác tốt.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện và hoàn thiện luận
văn nhƣng cũng không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi
rất mong nhận đƣợc những ý kiến của quý thầy cô và bạn bè để đề tài
đƣợc phong phú và hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Trân trọng!
Sinh viên thực hiện
Trần Thúy Hằng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện. Các số liệu,
kết quả phân tích trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chƣa từng đƣợc công bố trong
bất kỳ công trình nghiên cứu nào trƣớc đây.
Mọi tham khảo, trích dẫn đều đƣợc chỉ rõ nguồn trong danh mục tài liệu tham khảo của
luận văn.

Cần Thơ, ngày 24 tháng 04 năm 2015

Tác giả

Trần Thúy Hằng


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Giả thuyết của đề tài ......................................................................................... 1
3. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 1
4. Phƣơng pháp và phƣơng tiện nghiên cứu ......................................................... 1
5. Các bƣớc tiến hành thực hiện ........................................................................... 2

PHẦN NỘI DUNG ...................................................................3
CHƢƠNG 1:CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA CHẤT RẮN ..................... 3
1.1 Đối xứng tịnh tiến và mạng Bravais ............................................................... 3
1.1.1 Đối xứng tịnh tiến............................................................................................... 3
1.1.2 Mạng Bravais ..................................................................................................... 4
1.1.3 Ô đơn vị và ô cơ sở............................................................................................. 4
1.1.4 Các phép đối xứng của mạng tinh thể ................................................................ 5
1.1.5 Các loại mạng Bravais ........................................................................................ 6
1.2 Kí hiệu mặt phẳng và hƣớng trong tinh thể .................................................... 7
1.2.1 Kí hiệu mặt phẳng .............................................................................................. 7
1.2.2 Kí hiệu hƣớng trong tinh thể .............................................................................. 7
1.3 Mạng đảo ........................................................................................................ 7
1.4 Các liên kết hóa học trong tinh thể ................................................................. 8
1.5 Nhiễu xạ các sóng bởi tinh thể ....................................................................... 8

CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA VẬTRẮN 9
2.1 Chuyển động của electron trong trƣờng tuần hoàn của tinh thể..................... 9

2.1.1 Bài toán chuyển động của electron trong trƣờng tuần hoàn .............................. 9
2.1.2 Năng lƣợng E ..................................................................................................... 11
2.1.3 Dạng của hàm sóng ............................................................................................ 12
2.2 Nguyên lí hình thành vùng năng lƣợng .......................................................... 13
2.3 Các mặt đẳng năng và mặt Fermi ................................................................... 13
2.4 Một số tính chất của điện tử chuyển động trong tinh thể ............................... 14
2.4.1Vận tốc của điện tử .............................................................................................. 14
2.4.2 Chuẩn xung lƣợng của điện tử trong tinh thể ..................................................... 15
2.4.3 Gia tốc và khái niệm khối lƣợng hiệu dụng ....................................................... 15

CHƢƠNG 3: KHÍ ELECTRON TRONG KIM LOẠI ........................... 17
3.1 Lýthuyết cổ điển về các electron trong kim loại và những thiếu sót của nó .. 17
3.1.1 Các giả thuyết chính của thuyết electron cổ điển (Drude)....................................... 17
3.1.2 Giải thích định luật Ohm, định luật Joule - Lenz và hiệu ứng Hall ................... 17
3.2 Phân bố Fermi-Dirac....................................................................................... 18

i


3.3 Lý thuyết lƣợng tử về các electron dẫn trong kim loại .................................. 18

CHƢƠNG 4: TÍNH CHẤT TỪ CỦA VẬT RẮN .................................. 20
4.1 Sự từ hoá các chất. Từ trƣờng của các vật nhiễm từ ...................................... 20
4.2 Từ tính của nguyên tử ..................................................................................... 20
4.2.1 Mô men từ quĩ đạo của nguyên tử ...................................................................... 20
4.2.2 Mô men từ Spin của nguyên tử .......................................................................... 21
4.2.3 Mô men từ hạt nhân............................................................................................ 22
4.2.4 Mô men từ tổng hợp của nguyên tử ................................................................... 22
4.2.5 Sự phân loại vật liệu từ....................................................................................... 22
4.3 Bản chất của nghịch từ ................................................................................... 22

4.4 Bản chất của thuận từ ..................................................................................... 23

CHƢƠNG 5: DÃN NỞ VẬT CHẤT ...................................................... 24
5.1 Hệ số dãn nở nhiệt .......................................................................................... 24
5.1.1 Hệ số dãn nở thể tích .......................................................................................... 24
5.1.2 Hệ số dãn nở nhiệt theo chiều dài ...................................................................... 24
5.1.3 Hệ số dãn nở diện tích ........................................................................................ 25
5.1.4 Hệ số dãn nở thể tích .......................................................................................... 25
5.2 Dãn nở nhiệt trong các chất rắn ...................................................................... 26
5.3 Dãn nở nhiệt của chất khí ............................................................................... 27
5.4 Dãn nở nhiệt của chất lỏng ............................................................................. 27
5.5 Dãn nở tƣơng đối và tuyệt đối ........................................................................ 27
5.6 Một số ứng dụng của sự nở vì nhiệt ............................................................... 27

THỰC NGHIỆM .....................................................................33
I. MỤC ĐÍCH .......................................................................................................... 33
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................................................... 33
1. Nguyên tắc ........................................................................................................ 33
2. Thiết bị thí nghiệm............................................................................................ 35
III. HƢỚNG DẪN CÁC BƢỚC THỰC HÀNH .................................................... 38
IV. KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM................................................................................. 39

KẾT LUẬN ...............................................................................50
ĐỀ XUẤT BÀI THỰC HÀNH ............................................................... 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................... 55

ii

Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ xƣa đến nay và trong tƣơng lai, “vật liệu” đặc biệt là “vật liệu rắn” luôn gắn liền
với văn minh nhân loại. Con ngƣời đã trải qua các thời kỳ đồ đá, đồ đồng, đồ sắt…Nền
văn minh hiện đại dựa trên sự phát triển và sử dụng rất nhiều vật liệu mới có tính đặc
biệt. Hiểu biết chúng là sự cần thiết cho việc chế tạo các vật liệu mới ấy. Ta biết rằng
trong khoa học và kĩ thuật có những ý tƣởng mới mà không thể thực hiện đƣợc vì thiếu
vật liệu. Chúng đòi hỏi những tính chất đặc biệt nhƣ: Chịu nhiệt độ cao, áp suất cực lớn,
điện trƣờng và từ trƣờng cực mạnh…
Việc sử dụng các kiến thức hiện đại của Vật Lý học lƣợng tử, đi sâu vào nhiều khía
cạnh: nhiệt học, điện học, quang học… ở vật rắn, tạo nên một hệ thống kiến thức sâu sắc
về mọi mặt nhằm giải thích và dự đoán mọi hiện tƣợng có liên quan đến môi trƣờng vật
chất cần thiết cập nhật này với nhiều ứng dụng kĩ thuật hiện đại.
Với sự tiến bộ của khoa học và kĩ thuật hiện nay cũng nhƣ trong việc giảng dạy thì
mọi vấn đề cần phải rõ ràng và chính xác. Chính vì lí do đó mà tôi đã chọn đề tài: “Sự
dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe” để kiểm chứng lại kết quả mà nhà
sản xuất Phywe đƣa ra.

2. Giả thuyết của đề tài
Có thể nghiên cứu kĩ hơn sự dãn nở nhiệt của chất rắn để có thể ứng dụng vào khoa
học kĩ thuật và chống lại tác hại của chúng trong đời sống hằng ngày.
Trƣớc hết ta cần nắm cấu trúc mạng tinh thể của chất rắn, lý thuyết vùng năng lƣợng của
vật rắn, dãn nở vật chất.

3. Mục đích nghiên cứu
Khảo sát sự dãn nở nhiệt của chất rắn và so sánh kết quả thí nghiệm đó với kết quả mà

nhà sản xuất Phywe đƣa ra, từ đó thiết kế một bài thí nghiệm khảo sát sự dãn nở nhiệt của
chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe.

4. Phƣơng pháp và phƣơng tiện nghiên cứu
 Phƣơng pháp nghiên cứu:
 Đọc, tra cứu, sƣu tầm và nghiên cứu các nội dung lý thuyết có liên quan đến đề
tài.
 Xác định mục đích thí nghiệm, xây dựng tiến trình thí nghiệm, tiến hành thí
nghiệm, xử lý và nhận xét kết quả thí nghiệm.
 Phƣơng tiện nghiên cứu:
 Các dụng cụ thí nghiệm thực hiện đề tài.
 Các loại sách, giáo trình, tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài.
 Mạng Internet.

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 1

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

5. Các bƣớc tiến hành thực hiện
Bƣớc 1: Nhận đề tài.
Bƣớc 2: Nghiên cứu lý thuyết.
Bƣớc 3: Tiến hành đo đạc bằng thực nghiệm.
Bƣớc 4: Thực hiện viết đề cƣơng.

Bƣớc 5: Viết bài luận, chỉnh sửa, hoàn thiện bài viết.
Bƣớc 6: Viết báo cáo
Bƣớc 7: Báo cáo luận văn.

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 2

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA CHẤT RẮN
1.1 Đối xứng tịnh tiến và mạng Bravais
1.1.1 Đối xứng tịnh tiến
Phép tịnh tiến T( r ) là một phép biến đổi mà sau đó mỗi điểm có tọa độ r1 bất kỳ
nào đó đều đƣợc tịnh tiến đi một véctơ r để trở thành điểm có tọa độ r1  r ; tức là:

T( r ) : r1  r1  r (với mọi r1 )
Nếu một tinh thể, sau khi thực hiện một phép tịnh tiến đối với nó mà mỗi nguyên
tử dịch chuyển đến vị trí của nguyên tử cùng loại và tinh thể chuyển sang vị trí mới, trùng
khít với nó ở vị trí cũ thì ta nói tinh thể có đối xứng tịnh tiến.
Tinh thể lý tƣởng (hay hoàn hảo và vô tận, tức là các nguyên tử đƣợc sắp xếp một
cách trật tự đến vô hạn) có đối xứng tịnh tiến.
Tuy nhiên, do tinh thể là gián đoạn, nên nếu xét theo 1 phƣơng x nào đó, sẽ phải
có một véc tơ ngắn nhất a x mà tinh thể chỉ bất biến khi và chỉ khi ta tịnh tiến nó đi một

đoạn bằng số nguyên lần a x (về cả hai phía), hay tinh thể sẽ có đối xứng tịnh tiến khi và
chỉ khi ta thực hiện phép tịnh tiến T( nax ) , với n là số nguyên (dƣơng, âm hoặc bằng 0), a x
đƣợc gọi là véc tơ cơ sở của trục x. [4]
Do tinh thể là 3 chiều, tọa độ một điểm bất kỳ trong không gian 3 chiều đƣợc biểu
diễn thông qua 3 tọa độ của nó trên 3 trục tọa độ. Nếu kí hiệu a1 , a2 , a3 là các véctơ cơ sở
tƣơng ứng trên 3 trục tọa độ đƣợc chọn theo 3 hƣớng x, y, z phù hợp với nhau, thì tinh
thể sẽ có đối xứng tịnh tiến đối với phép tịnh tiến T( R ) với :

R  n1a1  n2a2  n3a3

(1-1)

Trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên. R đƣợc gọi là véc tơ mạng.

Hình 1.1 Véc tơ tịnh tiến

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 3

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

 Chú ý:
- Ba hƣớng x, y, z phải đƣợc chọn phù hợp, nếu không sẽ có những điểm R bị bỏ sót.
- Không chỉ có một cách chọn bộ ba véc tơ a1 , a2 , a3 mà có thể có nhiều cách chọn. [4]

1.1.2 Mạng Bravais
Mạng Bravais dùng để mô tả hình học mạng tinh thể.
Mạng Bravais là tập hợp tất cả các điểm có bán kính R đƣợc xác định theo (Hình
1.1) với a1 , a2 , a3 là các véc tơ cơ sở trên 3 hƣớng đƣợc chọn thích hợp. Mỗi điểm trên
đƣợc gọi là một nút của mạng Bravais.Với cách xây dựng này, mạng Bravais mô tả đƣợc
tính tuần hoàn tịnh tiến của tinh thể.Có 14 loại mạng Bravais chia thành 7 hệ.
Mạng Bravais không phải mạng tinh thể thực. Mạng tinh thể thực có đƣợc bằng
cách gắn nền tinh thể với mạng Bravais. Mạng tinh thể thực là cấu hình nguyên tử tƣơng
ứng với mỗi nút mạng Bravais. Ở mỗi nút mạng có thể là 1 loại nguyên tử (tinh thể đơn
giản nhất), có thể là một vài loại, cũng có thể là hàng trăm nguyên tử (nhƣ các phân tử
hữu cơ), thậm chí gồm 104 nguyên tử (nhƣ tinh thể abumin).
Trong vật lý chất rắn, chủ yếu nghiên cứu các vật liệu vô cơ, nên về cơ bản sẽ chỉ
xét những tinh thể đơn giản nhất. Nếu tinh thể đƣợc cấu tạo từ 2 loại nguyên tử trở lên, có
thể coi mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais của riêng mình (mạng con). Khi đó,
mạng tinh thể sẽ gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào nhau và để tiện cho
việc nghiên cứu,với việc coi mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais, ngƣời ta coi
các nguyên tử nằm chính ở nút mạng Bravais.
Các đƣờng thẳng chứa các nút mạng gọi là đƣờng mạng, các đƣờng mạng song
song với nhau ứng với 1 phƣơng mạng của tinh thể.
Mặt phẳng chứa các nút mạng gọi là mặt phẳng mạng, các mặt phẳng mạng song song
với nhau lập thành một họ mặt phẳng mạng. [4]
1.1.3 Ô đơn vị và ô cơ sở
Ô đơn vị là thể tích mà nếu lặp đi lặp lại thể tích này sẽ đƣợc toàn bộ tinh thể
(Hình 1.2).

Hình 1.2 Ô đơn vị

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 4

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Ô cơ sở là ô đơn vị có thể tích nhỏ nhất.
Ô cơ sở thƣờng đƣợc tạo bởi 3 véc tơ cơ sở đƣợc chọn theo 3 hƣớng thích hợp.
Nếu 3 hƣớng không thích hợp thì chỉ tạo đƣợc ô đơn vị.

Hình 1.3 Ô cơ sở
Việc tạo ô cơ sở không phải là duy nhất (Hình 1.3), tuy nhiên các ô cơ sở đều có
thể tích bằng nhau. Có một cách đặc biệt để chọn ô cơ sở (do Wigner- Seitz đề nghị): lấy
một nút trên mạng Bravais, vẽ các mặt phẳng vuông góc và đi qua điểm giữa của các
đoạn thẳng nối nút mạng trên với tất cả các nút mạng lân cận với nó, hình không gian
nằm trong các mặt phẳng này chính là ô cơ sở (Hình 1.4). Đây là ô có thể tích nhở nhất
mà nếu lặp đi lặp lại sẽ cho toàn bộ tinh thể.Với cách xây dựng nhƣ vậy, ô Wigner- Seitz
có tính duy nhất. Mỗi mạng Bravais chỉ xây dựng đƣợc mỗi ô Wigner- Seitz, đồng thời
với cách xây dựng này ô Wigner- Seitz mang đầy đủ tính đối xứng của tinh thể mà các ô
cơ sở khác (đƣợc xây dựng từ các véc tơ cơ sở) nói chung là không có. [4]

Hình 1.4 Ô Wigner- Seitz
1.1.4 Các phép đối xứng của mạng tinh thể:
Phép đối xứng tịnh tiến: Nếu sau một phép biến đổi cứng (không làm thay đổi
khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong tinh thể) nào đó, mạng tinh thể chuyển sang vị trí
mới giống hệt nhƣ vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại) thì phép biến
GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 5

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

đổi đó đƣợc gọi là phép đối xứng tịnh tiến của tinh thể. Để tinh thể chuyển sang vị trí mới
giống hệt nhƣ vị trí cũ, phải dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ:

R  n1a1  n2a2  n3a3 , với n1 , n2 , n3 là các số nguyên là các số nguyên. R gọi là vectơ
tịnh tiến, chính là véc tơ nối hai nút mạng. [4]
Tất cả các tinh thể đều có đối xứng tịnh tiến, ngoài ra tùy vào các trƣờng hợp cụ
thể, chúng còn có thể có những đối xứng khác.
Các phép đối xứng chủ yếu của tinh thể :
- Tịnh tiến.
- Quay quanh 1 trục
- Phản xạ gƣơng.
1.1.5 Các loại mạng Bravais
Các loại mạng Bravais đƣợc phân chia theo tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh
tiến. Có14 loại mạng chia thành 7 hệ:

Hệ lập phƣơng
Hệ trực thoi
a1  a 2  a3

      90 0

Hệ tam tà
a1  a 2  a3

  

Hệ đơn tà
a1  a 2  a3

    90 0 ,    90 0

Hệ 3 phƣơng
a1  a 2  a3

      120 0  90 0

Hệ 4 phƣơng
a1  a 2  a3

      90 0

Hệ 6 phƣơng
a1  a 2  a3

    90 0 ,   120 0

Bảng 1: Các loại mạng Bravais

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 6

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

1.2 Kí hiệu mặt phẳng và hƣớng trong tinh thể
1.2.1 Kí hiệu mặt phẳng
Các mặt phẳng có những tính chất phản xạ khác nhau đối với các sóng (hoặc các
chuyển động trong tinh thể). Các mặt phẳng song song với nhau thƣờng có cùng tính
chất, do đó ngƣời ta tìm cách ký hiệu cho các mặt phẳng song song với nhau (gọi là họ
mặt phẳng). Để chỉ một họ mặt phẳng song song, ta sử dụng bộ chỉ số miller (h k l).
 Cách tìm:
- Xác định tọa độ giao điểm của mặt phẳng với 3 trục tọa độ, các giao điểm này
đƣợc viết theo đơn vị là các véc tơ cơ sở ( n1 , n2 , n3 ).
- Nghịch đảo bộ ba số này.
- Quy đồng mẫu số.
- Bộ ba tử số là bộ ba chỉ số miller đƣợc kí hiệu là (h k l).
Việc sử dụng bộ chỉ số miller thuận tiện ở chỗ: 1 bộ chỉ số miller không chỉ biểu
diễn một mặt phẳng mà biểu diễn cả một mặt phẳng. [5]
1.2.2 Kí hiệu hƣớng trong tinh thể
Chọn véc tơ mạng ngắn nhất theo hƣớng xét: R  ua1  va2  wa3 , hƣớng này
đƣợc ký hiệu: [u v w].
Đối với tinh thể lập phƣơng, hƣớng [h k l] bao giờ cũng vuông góc với mặt phẳng
có bộ chỉ số miller (h k l). [5]

1.3 Mạng đảo
Mạng đảo là khái niệm quan trọng trong Vật lý chất rắn, do Gibbs đề nghị. Sự

xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể.
Do mạng tinh thể có tính tuần hoàn theo tọa độ với chu kỳ véc tơ mạng R , các đại
lƣợng vật lý trong mạng tinh thể phụ thuộc tọa độ cũng có tính tuần hoàn theo tọa độ
với chu kỳ véc tơ mạng R : f ( r )  f ( r  R )

(1-2)

Có thể khai triển Fourier 1 hàm tuần hoàn theo 1 véc tơ G nào đó:

f ( r )  VG .eiGr

(1-3)

G

f( r G )  VG .eiG ( r  R )  VG .eiGr .eiGR
G

Do đó: e

iGr

(1-4)

G

 1 hay GR  2 , nghĩa là G và R là tƣơng đƣơng nhau: nếu đầu mút các

véc tơ R tạo thành mạng Bravais (mạng thuận) thì đầu mút các véc tơ G cũng tạo nên
một mạng, đó là mạng đảo.

Nhƣ vậy sự xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến
của mạng tinh thể (mạng thuận). [5]

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 7

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Các véc tơ cơ sở của mạng đảo
Các véc tơ cơ sở của mạng đảo đƣợc xây dựng trên mối quan hệ giữa véc tơ R và

G ,và mối quan hệ giữa véc tơ R với các véc tơ cơ sở của mạng thuận a1 , a2 , a3 . Các
véctơ cơ sở của mạng đảo:

2
 a2  a3 
v
2
b2 
 a3  a1 
v
2
b3 
 a1  a2 

v
b1 

(1-5)
(1-6)
(1-7)

Với v   a1  a2 .a3 (1-8) là thể tích ô cơ sở của mạng thuận.
Ký hiệu  là thể tích ô cơ sở của mạng đảo thì  

(2 )3
v

(1-9)

1.4 Các liên kết hóa học trong tinh thể
- Liên kết cộng hóa trị
- Liên kết ion.
- Liên kết kim loại.
- Liên kết Hiđrô.
- Liên kết VanderWalls.

1.5 Nhiễu xạ các sóng bởi tinh thể
Định luật phản xạ Bragg

Hình 1.5 Định luật Bragg [4]

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 8

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

CHƢƠNG 2:LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA VẬT RẮN
2.1 Chuyển động của electron trong trƣờng tuần hoàn của tinh thể
2.1.1 Bài toán chuyển động của electron trong trƣờng tuần hoàn
Mô tả chính xác tính chất của electron trong tinh thể là một bài toán phức tạp do
phải xét một hệ rất nhiều hạt tƣơng tác với nhau: electron, hạt nhân nguyên tử. Số lƣợng
các hạt này rất lớn (cỡ 6.1023), riêng việc viết phƣơng trình cũng không thể, chƣa nói đến
việc giải. Do đó ngƣời ta phải tìm cách đơn giản hoá các phép tính nhờ sử dụng các mô
hình gần đúng. [2]
Gần đúng một electron: giả thiết có thể xét chuyển động của từng electron riêng rẽ
với trƣờng thế năng V( r ) nào đó không phụ thuộcvào bản thân electron đang xét.
Trƣờng này đƣợc gây bởi tất cả các electron còn lại và các lõi nguyên tử trong tinh
thể.
Trƣờng thế này có đặc điểm là có tính tuần hoàn trong không gian:

V( r  R )  V( r )

(2-1)

Với R là véc tơ mạng R  n1a1  n2a2  n3a3
Phƣơng trình Schrodinger cho electron trong tinh thể là:

 2 2


  2m   V( r )   ( r )  E ( r )



(2-2)

Với  ( r ) vàE là hàm sóng và năng lƣợng của electron. [2]
Xét trường hợp V( r )  V0 =const
Đây là trƣờng hợp electron chuyển động tự do hoặc trƣờng hợp khi trƣờng tinh thể
là yếu. Nếu chọn gốc thế năng ở vị trí V0 thì V( r )  0 Nghiệm của phƣơng trình
Schrodinger trong trƣờng hợp này có dạng sóng phẳng:

 0k (r )  Aeikr
với k là véc tơ sóng, A là biên độ. Đƣa vào  0k (r )

(2-3)
(2- 2)

Ta tìm đƣợc năng lƣợng của electron tự do là :
2

k 2 p2
E (r ) 

2m 2m
0
k

(2-4)

với p  k (2-5) là xung lƣợng của elctron.

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 9

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Nghĩa là electron tự do đƣợc mô tả bằng hàm sóng phẳng là sóng chạy mang theo
xung lƣợng p và năng lƣợng Ek0 xác định, năng lƣợng này phân bố liên tục từ giá trị
bằng 0 đến những giá trị vô cùng lớn. [2]
Xét chuyển động của electron trong tinh thể
Trong trƣờng hợp này V( r ) là hàm của toạ độ, toán tử xung lƣợng p  i  không
giao hoán với Haminton ở (2-2) nữa xung lƣợng của electron không đƣợc bảo toàn
trạng thái của electron không đƣợc biểu diễn dƣới dạng sóng phẳng (2-3) (vì hàm sóng
phẳng ứng với xung lƣợng xác định (2-5).
Hàm sóng của electron trong trƣờng hợp này là chồng chất của nhiều hàm sóng
phẳng ứng với các véc tơ sóng k khác nhau. Vì k liên tục nên có thể viết:

 ( k ) (r )   C( k ) .eikr .dk

(2-6)

k

với C( k ) là các hệ số tích phân của  ( k ) (r ) theo các sóng phẳng đơn sắc. Tích phân lấy
trong không gian k . Để tìm  ( k ) (r ) , phải biết các hệ số tích phân C( k ) . Sau đây là cách
để tìm C( k )
Vì V( r ) có tính tuần hoàn trong không gian mạng thuận, có thể phân tích V( r ) thành
chuỗi Fourier :

V( r )  VG eiGr

(2-7)

G

với VG là các hệ số phân tích.

V( r  R )  V( r )

Vì

V e

Nên

iG ( r  R )

G

 VG eiGr

G

(2-8)

G

Đẳng thức này thoả mãn với mọi R nếu : eiGR  1

(2-9)

hay : GR  2 n

(2-10)

Vậy G chính là véc tơ mạng đảo.
Thay  ( k ) (r ) và V( r ) vào phƣơng trình Schrodinger ta có :
2

C
2m 

(k )

.eikr .dk  VG eiGr  C( k ) .eikr .dk  E  C( k ) .eikr .dk
G

k

Nhân cả hai vế với e
2

k C e
2m 
2

(k )

k

r

i ( k k1 ) r

 iki r

k

(2-11)

k

rồi lấy tích phân theo r ta có :

dk .dr  VG  C( k ) .ei (G k k1 ) r dk .dr  E  C( k ) .ei ( k k1 ) r dk .dr
G

k r

k r

(2-12)

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 10

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Theo tính chất của hàm Delta Dirac, có:

e

i ( k G k1 ) r

r

dr   ei[k ( k1 G )]r dr  8 3 (k  (k1  G ))

(2-13)

r

Thay vào (2- 12) ta có:

 2 k12


 E( k1 )  C( k1 )  VGC(k G )  0

1
G
 2m


(2-14)

Vì k1 là một giá trị nào đó của k , nên một cách tổng quát có thể thay k1 trong (2-14)
bằng k , ta có:

 2k 2

 E( k )  C( k )  VGC(k G )  0

G
 2m


(2-15)

Đây là hệ gồm N phƣơng trình ( k có thể có N giá trị độc lập) có dạng giống hệt
nhau, mỗi phƣơng trình liên kết một hệ số khai triển C(k) với một số vô hạn các hệ số

C(k G ) khác. Giải hệ phƣơng trình này, tìm đƣợc các hệ số C(k) , từ đó xác định đƣợc hàm
sóng của điện tử trong tinh thể và năng lƣợng của nó. Tuy nhiên việc giải hệ này không
đơn giản, ngƣời ta tìm các cách giải gần đúng. [2]
2.1.2 Năng lƣợng E
Từ (2-15) có thể thấy ứng với một giá trị E và k đã cho, hệ số C(k) chỉ liên hệ với

hệ số C(k, ) khác mà k , và k khác nhau một véc tơ mạng đảo G : k ,  k  G
Do đó hàm sóng  ( k ) (r ) đƣợc viết dƣới dạng tổng:

 ( k ) (r )   C( k G )ei ( k G ) r

(2-16)

G

Tổng lấy theo mọi giá trị của G , kể cả G  0 . Các hệ số C( k G ) thỏa mãn phƣơng trình
(2-15), tức là :





2


(k  G ) 2
 E( k )  C( k G )  VGC(k G G )  0
1
2m
G1


(2-17)

Tƣơng tự nhƣ (2-15), (2-17) là một số vô hạn các phƣơng trình để tìm số vô hạn
ẩn là các hệ số C( k G ) , giải hệ này ta tìm đƣợc các hệ số C( k G ) , từ đó tìm đƣợc hàm sóng

 ( k ) (r ) theo (2-16).
Muốn cho hệ (2-17) có nghiệm không tầm thƣờng, các định thức của các hệ số
C( k G ) phải bằng 0. Nếu ký hiệu các định thức đó là D(E,k ) , thì:

D(E,k )  0

(2-18)

(2-18) chứa E với số mũ vô cùng lớn, nên nghiệm là vô số giá trị của E ứng với một giá
trị của k đã cho.Từ đó, ta thu đƣợc phổ năng lƣợng (hay một dải năng lƣợng) của điện tử
GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 11

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

trong tinh thể. Trong mỗi vùng, năng lƣợng là hàm tuần hoàn của k .Thật vậy, 2 phƣơng
trình (2-15) và (2-17) chỉ là một, chỉ khác nhau về thứ tự viết các phƣơng trình, nếu thay

k bằng k  G trong (2-17) thì nó trở thành (2-15), nên nghiệm E n ( k ) của phƣơng trình
(2-18) đối với 2 hệ là nhƣ nhau. [2]
Hay:

E n (k )  E n (k  G)

(2-19)

Nghĩa là: năng lượng En biến thiên tuần hoàn theo véctơ sóng k với chu kỳ là véctơ mạng
đảo G .
2.1.3 Dạng của hàm sóng
Viết lại hàm  ( k ) (r ) theo (2-16) :

 ( k ) (r )   C( k G )ei ( k G ) r  eikr  C( k G )iGr
G

G

Hay :

 ( k ) (r )  uk ( r ) .eiGr

(2-20)

Với

uk ( r )   C( k G )eiGr

(2-21)

G

Nghĩa là hàm uk ( r ) là một chuỗi Fourier theo véc tơ mạng đảo, vì vậy nó bất biến
với phép tịnh tiến véc tơ mạng thuận R , hay nó là 1 hàm tuần hoàn của véc tơ mạng
thuận.

Thật vậy :

uk ( r G )   C( k G )eiG ( r  R )   C( k G )eiGr .eiGR
G

Vì

G

eiGR  1, nên : uk ( r G )   C( k G )eiGr  uk ( r )
G

Hàm sóng có dạng nhƣ (2-20) gọi là hàm Bloch, đó là hàm sóng phẳng đơn sắc có
biên độ bị biến điệu theo chu kỳ mạng tinh thể.
Hàm Bloch là dạng chung của hàm sóng của điện tử trong tinh thể, nó là hệ quả
trực tiếp của tính tuần hoàn của tinh thể, dù sử dụng phƣơng pháp nào để giải bài toán về
chuyển động của điện tử trong tinh thể, thì dạng của hàm sóng của điện tử trong tinh thể
cũng phải có dạng hàm Bloch.
Từ dạng hàm Bloch của hàm sóng của điện tử trong tinh thể, ta thấy xác suất để
thấy điện tử đƣợc tính :
2

W   *   uk* ( r )uk ( r )  uk ( r )  uk ( r  R )

2

(2-22)

Nghĩa là xác suất để thấy điện tử trong tinh thể ở những vị trí tƣơng đƣơng nhau là
nhƣ nhau, điện tử không tự do, cũng không thuộc về một nút mạng nào chúng thuộc về

toàn bộ tinh thể.
Như vậy, điện tử chuyển động trong trƣờng tinh thể có hàm sóng là hàm Bloch,
năng lƣợng đƣợc phân bố thành vùng (vùng đƣợc phép), xen kẽ giữa các vùng đƣợc phép
GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 12

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

là những giá trị năng lƣợng mà điện tử không thể có (gọi là vùng cấm), đồng thời năng
lƣợng của điện tử phụ thuộc tuần hoàn vào véc tơ sóng k với chu kỳ mạng đảo G [2]

2.2 Nguyên lí hình thành vùng năng lƣợng
Trong nguyên tử cô lập, các điện tử nằm trên các mức năng lƣợng gián đoạn, mỗi
điện tử nằm trên một mức năng lƣợng khác nhau đƣợc đặc trƣng bởi 4 số lƣợng tử : n, l,
m, s. Khi các nguyên tử ở xa nhau (các nguyên tử hoàn toàn độc lập, không tƣơng tác với
nhau) thì vị trí các mức năng lƣợng của các điện tử có cùng số lƣợng tử là giống nhau
(hay trùng nhau). Nếu có N nguyên tử ta nói năng lƣợng bị suy biến N lần. Khi các
nguyên tử tiến lại gần nhau (cỡ A0 – cỡ hằng số mạng, tức là tạo thành mạng tinh thể) thì
chúng tƣơng tác với nhau, hàm sóng của các điện tử chồng lấn lên nhau, các mức năng
lƣợng không trùng nhau mà tạo ra thành các vùng năng lƣợng. Mỗi mức năng lƣợng tách
thành 1 vùng, mỗi vùng gồm N mức nằm rất gần nhau đến mức có thể coi chúng phân bố
gần nhƣ liên tục. Sự phủ hàm sóng của các điện tử thành một vùng năng lƣợng rộng hay
hẹp phụ thuộc vào sự hàm sóng của các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau là nhiều
hay ít.

Giữa các nguyên tử nằm trên lớp ngoài cùng (lớp điện tử hóa trị) có sự phủ hàm
sóng mạnh, do đó vùng năng lƣợng mở rộng.
Các điện tử nằm ở những lớp càng sâu thì sự phủ hàm sóng càng yếu, vùng năng
lƣợng càng hẹp.
Xen kẽ giữa các vùng đƣợc phép là các vùng cấm (là khoảng các giá trị năng
lƣợng mà điện tử trong tinh thể không có).
Vùng năng lƣợng phụ thuộc vào hƣớng trong tinh thể nên tính chất điện của chất rắn
cũng khác nhau theo những hƣớng khác nhau. [2]

2.3 Các mặt đẳng năng và mặt Fermi
Các mặt đẳng năng
Mặt đẳng năng là mặt trong không gian k mà tại đó năng lƣợng có cùng giá trị.
E(k) = const
(2-23)
Mặt đẳng năng mô tả hình học bức tranh vùng năng lƣợng. Việc nghiên cứu vùng
năng lƣợng dựa vào mặt đẳng năng giúp loại bỏ một phần sự suy biến của hàm sóng điện
tử khi có sự chồng lấn của hàm sóng (vì sự chồng lấn các vùng năng lƣợng ứng với sự
kiện : nhiều hàm sóng của điện tử cùng tƣơng ứng với một mức năng lƣợng). Sự giảm
suy biến có đƣợc là do các mặt đẳng năng có cùng năng lƣợng E nằm trong 2 vùng năng
lƣợng khác nhau hoàn toàn không có điểm chung, thì có thể coi các mặt đẳng năng này
ứng với 2 trạng thái khác nhau (vì chúng ở các vùng khác nhau trong không gian đảo).
Trong trƣờng hợp khi các mặt đẳng năng có điểm chung mới coi là có suy biến.Trong
gần đúng điện tử gần tự do, mặt Fermi là mặt cầu: [3]

Ek 

GVHD: Lê Văn Nhạn

2

k2
2m

Trang 13

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Véc tơ sóng k có đầu mút nằm trên mặt Fermi đƣợc gọi là véc tơ sóng Fermi k F ,
có độ dài thỏa mãn:
2

EF 

k F2

2m
2.4 Một số tính chất của điện tử chuyển động trong tinh thể

(2-24)

2.4.1 Vận tốc của điện tử
Khi không có trường ngoài
Điện tử chuyển động trong tinh thể tƣơng ứng với một sóng, sóng này đƣợc lan
truyền trong tinh thể, không xác định tại vị trí nào. Để mô tả chuyển động của điện tử, ta
phải dùng khái niệm bó sóng, mà vận tốc chuyển động của bó sóng là vận tốc nhóm,do

đó:

vnh 


1  E( k )
 gradk 
k
k
1
v  k E

(2-25)
(2-26)

Vận tốc chuyển động của điện tử có hƣớng vuông góc với mặt đẳng năng.
Khi không có tác dụng của trƣờng ngoài, mỗi điện tử trong tinh thể đều nằm ở 1
trạng thái k = k1 cố định nào đó. Do k cố định, năng lƣợng của điện tử cũng cố định, và
do đó vận tốc của điện tử trong tinh thể cũng cố định :
k = k1 = const 
1) = const
Từ biểu thức tính vận tốc của điện tử ta thấy: giả sử tại giá trị k = k0 nào đó, E có
giá trị cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) thì đạo hàm của E theo k tại k0 sẽ bằng 0, tức là vận
tốc của điện tử cũng bằng 0:

 Ek
k

 0  v ( k0 )  0

(2-27)

k0

Nghĩa là khi điện tử nằm ở trạng thái năng lƣợng có giá trị cực trị thì v = 0.
Nhƣ trên đã thấy, khi không có trƣờng ngoài điện tử chuyển động với vận tốc không đổi,
do đó gia tốc của nó cũng bằng 0. Nhƣ vậy chỉ có tác động của trƣờng ngoài mới làm cho
điện tử chuyển động có gia tốc.
Khi có trường ngoài tác dụng
Khi có trƣờng ngoài tác dụng, nếu ký hiệu Fa là lực của trƣờng ngoài tác dụng lên
điện tử, và Fa không phụ thuộc vào tọa độ, ta có phƣơng trình:

dEk
 vFa
dt

(2-28)

Nghĩa là khi có trƣờng ngoài tác dụng, điện tử chuyển động có gia tốc và năng lƣợng của
điện tử biến đổi một lƣợng, lƣợng thay đổi này bằng công do lực trƣờng ngoài thực hiện.
2.4.2 Chuẩn xung lƣợng của điện tử trong tinh thể

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 14

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

Từ biểu thức (2-28), nếu biến đổi vế trái:
Và vế phải: Fa v 

1

dEk
 E dk j
dk

 k E
dt
dt
j  k j dt

 k EFa

(2-30)

dk 1
d( k )
 Fa hay :
 Fa
dt
dt

Do đó:

(2-29)

(2-31)

Đây là phƣơng trình chuyển động của điện tử trong tinh thể khi có tác dụng của
trƣờng ngoài, nó có dạng của định luật 2 Newton:

dp
 Fa với P  k
dt

(2-32)

Nghĩa là đại lƣợng P  k đóng vai trò là xung lƣợng của điện tử trong tinh thể ở
trạng thái ứng với véc tơ sóng k , khi điện tử này chịu tác dụng của trƣờng ngoài, nó
không phải là xung lƣợng thực của điện tử. Nó đƣợc gọi là chuẩn xung lƣợng. [3]
2.4.3 Gia tốc và khái niệm khối lƣợng hiệu dụng
Khi không có trƣờng ngoài, điện tử trong tinh thể chuyển động với vận tốc:

v( k ) 

1  E( k )
dk

Tại một giá trị k nhất định, v(k) = const và điện tử chuyển động không có gia tốc.
Khi có trƣờng ngoài tác động lên tinh thể, điện tử chịu tác động của trƣờng ngoài
và chuyển động có gia tốc:

dv 1 d   E( k ) 




dt
dt  dk 
Nghĩa là điện tử chuyển động có gia tốc a 
Vì

 E( k )
dk

(2-33)

dv
0
dt

chỉ phụ thuộc vào thời gian thông qua k nên ta có:

dv 1 d   E( k )  dk



dt
dk  dk  dt

dk 1
dv 1 d   E( k ) 
 Fa , có:
 2


 Fa
dt
dt
dk  dk 
dv 1
 2  k ( k E ).Fa
hay:
dt
Thay

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 15

(2-34)

(2-35)
(2-36)

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

1
m*
dv 1
thì (2-36) đƣợc viết lại:

Fa

dt m*
Nếu đặt:

1

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

2

 k ( k E ) 

(2-37)
(2-38)

Đây là một dạng khác của phƣơng trình chuyển động của điện tử dƣới tác dụng
của trƣờng ngoài, nó có dạng của định luật II Newton, với a 

dv
, còn khối lƣợng của
dt

điện tử đƣợc thay bằng m*. m* đƣợc gọi là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử.

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 16

SVTH: Trần Thúy Hằng

Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

CHƢƠNG 3: KHÍ ELECTRON TRONG KIM LOẠI
3.1 Lý thuyết cổ điển về các electron trong kim loại và những thiếu sót của nó
3.1.1 Các giả thuyết chính của thuyết electron cổ điển (Drude)
Thuyết electron cổ điển cho rằng, trong kim loại có các electron tự do, không liên
kết với các nguyên tử riêng biệt, tạo thành một “chất khí” electron tham gia vào các quá
trình nhiệt động học của kim loại và tuân theo các định luật nhiệt động học nhƣ khí lý
tƣởng. “Chất khí” electron này chuyển động nhiệt hỗn loạn trong tinh thể, tuân theo định
luật phân bố đều động năng theo các bậc tự do, nghĩa là năng lƣợng trung bình W của các
electron này đƣợc xác định bởi nhiệt độ T của vật:

3
W  k BT
2

(3-1)

Chúng chỉ tƣơng tác khi va chạm. Va chạm giữa các electron với nhau và với nút
mạng đƣợc coi là va chạm đàn hồi (khi va chạm electron truyền hết động năng đang có
cho đối tượng va chạm).
Khi không có điện trƣờng ngoài: các electron chuyển động hỗn loạn trong mạng
tinh thể, nên điện tích trung bình do chúng mang qua một diện tích bất kỳ sau một
khoảng thời gian nào đó bằng 0, trong kim loại không có dòng điện.
Khi có điện trƣờng ngoài  tác dụng, ngoài chuyển động nhiệt các electron tham
gia chuyển động có hƣớng làm dòng điện xuất hiện. Trong khi chuyển động các electron
va chạm với các ion ở nút mạng, nó nhƣờng cho ion động năng mà nó thu đƣợc do tác
dụng của trƣờng ngoài, do đó kim loại nóng lên.

Trên cơ sở này, lý thuyết cổ điển đã thành công trong việc giải thích định luật Ohm, định
luật Joule – Lenz và tính đƣợc hằng số Hall. [1]
3.1.2 Giải thích định luật Ohm, định luật Joule - Lenz và hiệu ứng Hall.
Các tính toán theo thuyết electron cổ điển cho thấy thuyết đã giải thích đƣợc định
luật Ohm, định luật Joule - Lenz và hiệu ứng Hall.
 Tuy nhiên có thể thấy:
Theo :  ~

1
1
1
nhƣng thực nghiệm lại cho thấy ở khu vực nhiệt độ phòng:  ~
~
T
u
T

Cũng nhƣ vậy, bằng thực nghiệm có thể đo đƣợc , từ đó có thể xác định đƣợc
quãng đƣờng tự do trung bình l của các electron. Kết quả đo thực nghiệm cho thấy quãng
đƣờng tự do trung bình l của các electron lớn gấp hàng trăm lần hằng số mạng, có trƣờng
hợp lên đến 108 khoảng cách giữa các nguyên tử. Lý thuyết cổ điển không giải thích đƣợc
vì sao electron lại ít va chạm với nút mạng nhƣ vậy, hay là vật chất đặc lại trong suốt đối
với electron nhƣ vậy.
Biểu thức (3-1) về hằng số Hall RH cho thấy RH phụ thuộc vào điện tích của điện
tử, mà electron mang dấu âm, nên hằng số Hall đối với các kim loại phải là âm, nhƣng
thực nghiệm cho thấy có đến khoảng 1 nửa số kim loại có hằng số Hall dƣơng.
Những khó khăn trên đây cho thấy, không thể ứng dụng đƣợc các quan niệm cổ
điển về khí electron tự do để giải thích triệt để các tính chất của kim loại. [1]
GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 17

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

3.2 Phân bố Fermi-Dirac
Hàm phân bố Fermi-Dirac

1

f ( E ,T ) 

E( k ) 

e

kT

(3-2)

1

Hàm này cho biết xác suất lấp đầy mức năng lƣợng E( k ) ở nhiệt độ T của hệ khí
electron ở trạng thái cân bằng nhiệt.
Để tìm số hạt có năng lƣợng E( k ) , phải nhân với hàm mật độ trạng thái Z(E).
Đại lƣợng là thế hoá học, nó là một hàm của nhiệt độ, nó còn đƣợc gọi là năng

lƣợng Fermi hay mức Fermi (EF). [1]
Mật độ trạng thái
Số trạng thái Z(E) trong 1 đơn vị thể tích tinh thể, ứng với một khoảng đơn vị
năng lƣợng E, gọi là mật độ trạng thái.
Biết mật độ trạng thái và xác suất lấp đầy, ngƣời ta có thể tính đƣợc số electron
(số hạt) có trong hệ, từ đó tính đƣợc năng lƣợng trung bình của hệ các electron.
3
* 2

2.(m )

Z (E) 

2

3

.E

1
2

(3-3)

Mặt Fermi
2

EF 

*

k F2

(3-4)

2m
4
Hình cầu Fermi có thể tích:  k F3 .
3
k F  (3 n)
2

1
3

(3-5)

3.3 Lý thuyết lƣợng tử về các electron dẫn trong kim loại
Biểu thức của điện dẫn suất ( σ )
Hình chiếu j trên trục x: jx 

e2
4

3



 v v (v
x

x

 x  v y  y  v z  z )dS

SF

hay: jx   xx . x   xy . y   xz . z
trong đó:  x 

e2
4 3

(3-6)
(3-7)



 v v .v dS
x

SF

tƣơng tự nhƣ vậy cho các trục y,z: j y   yx . x   yy . y   yz . z

jz   zx . x   zy . y   zz . z
Với:   

e2
4 3



 v v .v dS

(3-8)

SF

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 18

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

là thành phần của tenxơ điện dẫn suất (,= x,y,z).
Nhƣ vậy trong tinh thể, thành phần của mật độ dòng điện đƣợc gây bởi ba thành
phần  x ,  y ,  z của vectơ cƣờng độ điện trƣờng.
Trong trƣờng hợp tinh thể có đối xứng lập phƣơng thì trong 9 thành phần của
tenxơ điện dẫn suất chỉ có 3 thành phần chéo là khác không và bằng nhau. Khi đó ta có:



e2
4

3



 v .v .dS
2
x

(3-9)

SF

2e2 F 1 4 3
v2
kF
2
. .  kF
v  ;v 
;  4 k F   
(2 )3 m 3
3
m * SF
2
x

ne2 F
thay k  3 n   
m*
3

F

2

(3-10)

Nhiệt dung của khí electron

E (T ) 
Cel 

T
T



 f ( E ) EZ ( E )dE

(3-11)

0

Vì chỉ có f(E) phụ thuộc T nên có thể viết:


f ( E )
.E.Z ( E )dE
T
0

Cel  

(3-12)



Số N điện tử đƣợc tính: N 

 f ( E ).E.Z ( E )dE

(3-13)

0

Nhân 2 vế của (3-13) với EF, lấy đạo hàm 2 vế theo T ta có:



f ( E )
( EF . N )  
.EF .Z ( E )dE  0
T

T
0

(3-14)



Lấy (3-12) trừ (3-14): Cel 

f ( E )
0 T .( E  EF ).Z ( E )dE

(3-15)

1
3

(3-16)

Nhiệt dung khí e là: Cel  V .  2 Z ( EF )k B2T

1
3

3 N 2
1
kT
.kBT hay Cel   2 Nk B . B
2 EF
2
EF

hay Cel   2 . .

cd
So với kết quả cổ điển: Cee 

(3-17)

3
NkB (kB  1,38.1023 J / K ;1eV  1,6.1019 J )
2

Nghĩa là đóng góp của electron vào nhiệt dung của kim loại là không đáng kể. [1]

GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 19

SVTH: Trần Thúy Hằng


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm Phywe

CHƢƠNG 4: TÍNH CHẤT TỪ CỦA VẬT RẮN
4.1 Sự từ hoá các chất. Từ trƣờng của các vật nhiễm từ
Khi đặt một vật vào từ trƣờng không đổi H sẽ xuất hiện cảm ứng từ B (khác với
trong chân không) trong thể tích V của vật. Ngƣời ta nói vật đã bị từ hoá (hay nhiễm từ).
Các chất có khả năng bị từ hoá đƣợc gọi là các chất từ môi.
Từ trƣờng trong chất từ môi khác với từ trƣờng trong chân không.

tỉ số:

B  B0  Bi

(4-1)

Bi

B0

(4-2)

đƣợc gọi là độ cảm tƣơng đối của vật từ.

r 


 (1   )
0

(4-3)

Nhƣ vậy từ trƣờng của vật nhiễm từ khác với từ trƣờng trong chân không một hệ
số  (độ từ thẩm), theo (4-4)  phụ thuộc vào 
+   1 và mang dấu âm: vật liệu nghịch từ, các chất này bị nhiễm từ theo phƣơng
ngƣợc với từ trƣờng ngoài và có tác dụng làm giảm từ trƣờng ngoài.
+   1 mang dấu dƣơng: vật liệu thuận từ, các chất nhiễm từ theo phƣơng cùng chiều
với từ trƣờng ngoài.
+   1có từ tính mạnh: chất sắt từ, phản sắt từ và ferri từ.
Để giải thích tính chất từ của các chất, chúng ta nghiên cứu tính chất từ của
nguyên tử, vì các chất đều đƣợc cấu tạo từ các nguyên tử. [1]

4.2 Từ tính của nguyên tử
Từ tính của vật liệu đƣợc quyết định chủ yếu bởi chuyển động của điện tử trong

nguyên tử cấu tạo nên vật liệu (hạt nhân cũng có chuyển động quay, nhƣng khối lƣợng
của chúng lớn hơn nhiều so với electron, nên từ tính của chúng quá nhỏ so với electron,
tuy nhiên trong nhiều hiện tƣợng, tính chất từ của hạt nhân lại rất quan trọng). [7]
4.2.1 Mô men từ qũy đạo của nguyên tử

Hình 4.1 Mô men từ quỹ đạo của nguyên tử
GVHD: Lê Văn Nhạn

Trang 20

SVTH: Trần Thúy Hằng