Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận gò vấp thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

2015 -2016

ĐỀ THI HSG LỚP 9
QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016)
Thời gian: 150 phút
(NGÀY THI: 7/11/2015)
Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  1 và ab  0 . Chứng minh rằng:

2  ab  2 
a
b


b3  1 a3  1 a2 b2  3

Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x 2  9 9x 2  1  20x  1







2  2x
 5  9x
x
Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  1 . Tìm GTNN của biểu thức:
1 9

P  a b 
a b
Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Một đường
cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và AC. Chứng
minh: BF  KL
  300 . Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD . Chứng
Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC

b)

minh: AB2  BC2  BD2
Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn
Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng;
Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số
cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi
(mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng.
a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu?
b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng.

  HẾT  

Trang 1

Học Sinh Giỏi Lớp 9 –

–

Quận gò vấp 15-16

2015 -2016

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

ĐỀ THI HSG LỚP 9
QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016)
HƯỚNG DẪN
Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  1 và ab  0 . Chứng minh rằng:

a



2  ab  2 
a
b
 3
 2 2
b 1 a 1 a b  3
3

2

 2a2 b2  1
1  2ab   2a2 b2  1
a
b
a a b b
 3
 3 3 3



Ta có: 3
b  1 a  1 a b  a  b3  1 a3 b3   a  b  a2  ab  b2  1
a3 b3  1  3ab   1
4

4

2

 b2

4ab  2a2 b2 2ab  4 2  ab  2 
 3 3
 2 2

 vì ab  0 
a b  3ab
a b  3 a2 b 2  3

2





Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x 2  9 9x 2  1  20x  1













  x  3 x  3 3x  1 3x  1  20x  1  3x 2  10x  3 3x 2  10x  3  20x  1















 3x 2  3  100x 2  20x  1  3x 2  3  10x  1  0  3x 2  10x  4 3x 2  10x  2  0
2

2

2


5
13
2
2
x   




5  13 
5  19
3
3
  x      x      0  

3
9  
3
9

5
19



x  
3
3


13 5
19 
 5

; 
Vậy S   

3 3
3 
 3



b)

2  2x
 5  9x
x
2  2x
5
 9x  5 (Điều kiện: x  )
x
9
2
2  2x


  9x  5  81x3  90x 2  27x  2  0   3x  2  27x 2  12x  1  0
x

2
 x  3  nhận 

2 
1
2
  3x  2  3x  1 9x  1  0   x   loại   x 
Vậy S   
3
3
3

 x  1  loại 

9




Trang 2

Học Sinh Giỏi Lớp 9 –

–



Quận gò vấp 15-16


Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

2015 -2016

Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  1 . Tìm GTNN của biểu thức:
1 9
P  a b 
a b
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:

1
16a  a  8

16b  9  24

b
1 9
Mà 15  a  b   15 . Nên a  b    17  P  17
a b

1
a  4
Dấu “=” xảy ra khi 
b  3

4

1 3
Vậy Pmin  17 khi  x; y    ; 
4 4
Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Một
đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và
AC. Chứng minh: BF  KL
B

A

K
F

D

Cách 1:

L

C





  CBK;
A
 C
  900  AB  BK  AB  BC
Chứng minh được: ABK ∽ CBL ABK

BC BL
BK BL
Xét BKL và ABC , ta có:
  ABC
  90 0
KBL

  BCF

 BKL ∽ BAC  c  g  c   BLF
 AB BC


 cmt 
 BK BL
  BCL
  900  BF  KL
 Tứ giác BFCL nội tiếp  BFL





Cách 2:

  BAC

Ta có: ABK ∽ CBL  KBL ∽ ABC  BKL
HK HA
 HKF ∽ HAB 


 AHK ∽ BHF
HF HB
  HFB
  HFK
  HKA
  HBA
  900  BF  KL
 BFK

Trang 3

Học Sinh Giỏi Lớp 9 –

–

Quận gò vấp 15-16


Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

2015 -2016

  300 . Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD . Chứng
Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC
minh: AB2  BC2  BD2
D

A

B

C

L

  600  ABL
  300  600  900
Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều BCL  CBL
 AL2  AB2  BL2  Đònh lý Pytago ABL vuông tại B

 AL2  AB2  BC2  Vì BL = BC  (1)





  ACL

  BCL
  600  ACD
  ACB
  BCL
  ACB
  BCD
Ta có: ACD

Ta có: BCD  LCA  c  g  c   BD  AL  2 
Từ (1) và (2) suy ra: AB2  BC2  BD2
Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau:

Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số
trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả
này thay cho số cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau
và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng.
a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu?
Gọi x là số trên bảng.
Sau bước đi của Nhân, số mới là: 2x
2x  1
 x  0,5
Sau bước đi của Chia, số mới là:
2
Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 0,5.
Do đó sau 2016 lượt chơi số trên bảng là: x  0,5.2016  x  1008
Vậy x  1007
b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng.
x 1
 0,5x  0,5
2
Sau bước đi chảu Nhân, số mới là: 2  0,5x  0,5  x  1

Sau bước đi của Chia, số mới là:

Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 1.
Do đó sau 1008 lượt chơi thì số trên bảng là: 1007  1008  2015
Vậy Nhân sẽ là người thắng.

  HẾT  
Trang 4

Học Sinh Giỏi Lớp 9 –

–

Quận gò vấp 15-16