bài tập và hướng dẫn giải chi tiết môn toán rời rạc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.75 KB, 58 trang )
TOÁN RỜI RẠC
Bài 2: ta có bảng chân trị sau:
p
q
T
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Từ bảng chân trị trên ^( ^ q) = ^
F
T
F
T
^q
F
F
T
F
^
F
F
F
T
v( ^ q))
F
F
F
T
Bài 3:
Ta có bảng giá trị:
p
q
pΛq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Ta thấy : VT=VP (đpcm).
pvq
1
1
1
0
(p Λ q)→( p v q)
1
1
1
1
T
1
1
1
1
Câu 4
Ta có bảng giá trị
p
q
p→q
q→p
p↔q
(p → q) ˄ (q → p)
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Theo bảng giá trị ta thấy mệnh đề (p ↔ q) và mệnh đề (p → q) ˄ (q → p) có cùng
các giá trị chân lý
Vậy (p ↔ q) = (p → q) ˄ (q → p)
Bài 6: Sử dụng bảng giá trị, chứng minh :
(p→ r)∨ (q→ r)=(p∧ q)→ r
Giải
p
q
r
p→r
q→r
p∧q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
( p → r ) ∨ ( q → ( p ∧ q) →
r)
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
Vậy ( p → r ) ∨ ( q → r ) = ( p ∧ q ) → r
Bài 7: Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Sử dụng thuật toán sinh hoán vị theo thứ tự
từ điển,tìm 4 hoán vị liền kề tiếp theo của hoán vị 568397412.
Bài làm:
j=3 , k=7 => hoán vị tiếp theo 568421379
j=6 k=8 => hoán vị tiếp theo 568427913
j=8 k=9 => hoán vị tiếp theo 568427931
j=5 k=8 => hoán vị tiếp theo 568431297
Bài 8:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
n=9; a[]=(458796321).
Hoán vị 1: i=4; k=5 → a[]=(4587912367).
Hoán vị 2: i=8; k=9 → a[]=(458912376).
Hoán vị 3: i=7; k=9 → a[]=(458912637).
Hoán vị 4: i=8; k=9 → a[]=(458912673).
Vậy 4 hoán vị liền kề tiếp theo của hoán vị 45879321 là:
458912367
458912376
458912637
458912673
Bài 9: Cho tập A={1, 2, … , 9}. Sử dụng phương pháp sinh hội theo thứ tự từ điển,
tìm 4 hoán vị liền kề tiếp theo của 236897541.
Giải:
*Phương pháp:
Cho hoán vị ban đầu: a1a2...an.
+Bước 1: Tìm từ phải qua trái của hoán vị ban đầu phần tử ak đầu tiên thỏa mãn ak
thỏa mãn: ai là phần tử nhỏ nhất mà ai>ak.
+Bước 3: Đổi chỗ ai và ak.
+Bước 4: Đảo ngược thứ tự các phần tử từ ak+1 đến an.
*Bài giải:
Hoán vị đầu tiên: 236897541.
+n=9.
+k=4: ak=a4=8 < ak+1=a5=9.
+i=5: ai=a5=9.
+Đổi chỗ a4 và a5. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a5 đến a9, ta được hoán vị kế tiếp:
236914578.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9.
+k=8: a8=7
+Đổi chỗ a8 và a9. Sau đó đảo ngược thứ thự từ a9, ta được hoán vị kế tiếp:
236914587.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9.
+k=7: a7=5
Bài 10: Cho tập A={1, 2, … , 9}. Sử dụng phương pháp sinh hội theo thứ tự từ
điển, tìm 4 hoán vị liền kề tiếp theo của 139587642.
Giải:
Hoán vị đầu tiên: 139587642.
+n=9
+k=4: a4=5
+Đổi chỗ a4 và a7. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a5 đến a9, ta được hoán vị kế tiếp:
139624578.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9
+k=8: a8=7
+i=9: a9=8
+Đổi chỗ a8 và a9. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a9, ta được hoán vị kế tiếp:
139624587.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9
+k=7: a7=5
+Đổi chỗ a7 và a9. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a8 đến a9, ta được hoán vị kế tiếp:
139624758.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9
+k=8: a8=5
+Đổi chỗ a8 và a9. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a9, ta được hoán vị kế tiếp:
139624785.
+Đổi chỗ a7 và a9. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a8 đến a9, ta được hoán vị kế tiếp:
236914758.
Sinh hoán vị kế tiếp:
+n=9.
+k=8: a8=5
+Đổi chỗ a8 và a9. Sau đó đảo ngược thứ tự từ a9, ta được hoán vị kế tiếp:
236914785.
Bài 11:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Tổ hợp liền kề của tổ hợp chập 4 {2,6,8,9} của tập A phải là tổ hợp lớn hơn và là
tổ hợp lớn hơn {2,6,8,9} nhỏ nhất.
Do đó, tổ hợp tiếp theo sẽ là: {2,7,8,9}.
Gọi tổ hợp này là tổ hợp 1.
Tiếp tục như vậy, tổ hợp tiếp theo của tổ hợp 1 là: {3,4,5,6}. Đây là tổ hợp 2.
Tiếp theo tổ hợp 3 sẽ là: {3,4,5,7}.
Và cuối cùng tổ hợp 4 là: {3,4,5,8}.
Vậy 4 tổ hợp liền kề tiếp theo của tổ hợp chập 4 {2,6,8,9} là:
{2,7,8,9}; {3,4,5,6}; {3,4,5,7}; {3,4,5,8}.
Bài 12 : Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Sử dụng phương pháp sinh tổ hợp chập k
của một tập hợp theo thứ tự từ điển,hãy tạo 4 tổ hợp chập 4 liền kề tiếp theo của tổ
hợp 3,5,7,8
i=4 => tổ hợp tiếp theo 3,5,7,9
i=3=> tổ hợp tiếp theo 3,5,8,9
i=2=> tổ hợp tiếp theo 3,6,7,8
i=4=> tổ hợp tiếp theo 3,6,7,9
Bài 13: Cho tập A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sử dụng phương pháp sinh tổ hợp
chập k của một tập hợp theo thứ tự từ điển, hãy tạo 4 tổ hợp chập 4 liền kề
tiếp theo của tổ hợp 4,6,7,9.
Giải
Tổ hợp liền kề của tổ hợp chập 4 {4,6,7,9} của tập A phải là tổ hợp lớn hơn và tổ
hợp {4,6,7,9}nhỏ nhất
Do đó các tổ hợp tiếp theo là:
{4,6,8,9} - Tổ hợp thứ 1
{4,7,8,9}- Tổ hợp thứ 2
{5,6,7,8}- Tổ hợp thứ 3
{5,6,7,9}- Tổ hợp thứ 4
Bài 14. Tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Cấu hình hiện tại : (1,5,6,8)
n=4,k=4 tổ hợp tiếp theo : 1,5,6,9
n=4,k=3 tổ hợp tiếp theo : 1,5,7,8
n=4,k=4 tổ hợp tiếp theo : 1,5,7,9
n=4,k=3 tổ hợp tiếp theo : 1,5,8,9
Câu 15
TH1
2 thành phần đầu là các chữ cái in hoa
3 thành phấn sau là các chữ số từ 0 → 9
Ta có
262
cách chọn 2 chữ cái để đưa vào 2 thành phần đầu
Có
103
cách chọn 3 chữ số để đưa vào 3 thành phần sau
Theo quy tắc nhân ta có
262 103
.
biển số thỏa mãn
TH2
2 thành phần đầu là các chữ cái in hoa
4 thành phấn sau là các chữ số từ 0 → 9
Ta có
Có
104
262
cách chọn 2 chữ cái để đưa vào 2 thành phần đầu
cách chọn 4 chữ số để đưa vào 4 thành phần sau
Theo quy tắc nhân ta có
262 104
.
biển số thỏa mãn
TH3
3 thành phần đầu là các chữ cái in hoa
3 thành phấn sau là các chữ số từ 0 → 9
Ta có
Có
103
263
cách chọn 3 chữ cái để đưa vào 3 thành phần đầu
cách chọn 3 chữ số để đưa vào 3 thành phần sau
Theo quy tắc nhân ta có
263 103
.
biển số thỏa mãn
TH4
3 thành phần đầu là các chữ cái in hoa
4 thành phấn sau là các chữ số từ 0 → 9
Ta có
263
cách chọn 2 chữ cái để đưa vào 2 thành phần đầu
Có
104
cách chọn 4 chữ số để đưa vào 4 thành phần sau
Theo quy tắc nhân ta có
263 104
.
biển số thỏa mãn
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số biển số xe thỏa mãn là
262 103
.
+
262 104
.
+
263 103
.
+
263 104
.
= 200 772 000
Bài 16:
Số cách chọn chữ:
1.
2.
Số cách chọn 3 chữ cái in hoa đầu biển số : 263
Số cách chọn 4 chữ cái in hoa đầu biển số : 264
Số cách chọn số:
1.
2.
Số cách chọn 2 chữ số kết thúc biển số : 102
Số cách chọn 3 chữ số kết thúc biển số : 103
⇒ Số cách tạo biển số xe thỏa mãn là: (102+103)(263+264)= 522007200.
Câu 17: Có bn so nguyên từ 1000 đến 5000 chia hết cho
6 hoặc 9:
+[0;1000]6 : 166 số.
+[0;5000]6 : 833 số.
=>[1000;5000] 6 :833-166=677 số.
+[0;1000]9 : 111 số.
+[0;5000]9 : 555 số.
=>[1000;5000] 9 :555-111=444 số.
Những số chia hết cho 18 thì chia hết cho cả 6 và 9
Nên [1000;5000] có 5000:18-1000:18 = 222 số chia hết cả 6 và 9.
Vậy [1000;5000]có 677+444-222 = 899 số chia hết cho 6 hoặc 9.
Bài 18:
Số các số chia hết cho 8 trong khoảng từ 5000 đến 9999 là :
(số)
Số các số chia hết cho 12 trong khoảng từ 5000 đến 9999 là :
(số)
Ta có BCNN của 8 và 12 là 24.
Số các số vừa chia hết cho 12 và 8 trong khoảng từ 5000 đến 9999 là :
(số)
Số các số chia hết cho 12 hoặc 8 trong khoảng từ 5000 đến 9999 là :
Theo nguyên tắc bù trừ :
.Câu 19:
+)Ta có:Chọn bắt đầu bằng mã quốc gia dài từ 1 đến 3
=>Có 10+100+1000=1110(cách)
+)Tiếp theo là 10 chữ số dạng NXX-NXX-XXXX ,N có thể nhận giá trị từ 1 đến 6
=>Có 62(cách chọn N)
+)X biểu thị một chữ số từ 0 đến 9
=>Có 108(cách chọn X)
Vậy:Số số điện thoại có thể dùng là 1110.62.108=39960.108(số)
Bài 20:
Có 3 dạng số điện thoại:
X – NNX – NXX - XXXX
XX – NNX – NXX - XXXX
XXX - NNX- NXX - XXXX
*Dạng 1:
Chọn 8 số X: Có 108 cách
Chọn 3 số N: Có 53 cách
Lập được 108 x 53 số dạng 1
*Dạng 2:
Chọn 8 số X: Có 109 cách
Chọn 3 số N: Có 53 cách
Lập được 109 x 53 số dạng 2
*Dạng 3:
Chọn 8 số X: Có 1010 cách
Chọn 3 số N: Có 53 cách
Lập được 1010 x 53 số dạng 3
Lập được 53 x (108 + 109 + 1010) số điện thoại thỏa mãn.
Bài 21: Lớp học có 55 bạn nam và 35 bạn nữ. Hãy cho biết có bao nhiêu cách
chọn đội văn nghệ của lớp sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ, biết rằng đội
văn nghệ cần ít nhất 6 thành viên và nhiều nhất 10 thành viên.
Giải
Ta có đội văn nghệ cần ít nhất là 6 nhiều nhất là 10 người và số nam phải bằng số
nữ nên ta chỉ có thể chọn 3 nam-3 nữ hoặc 4 nam-4 nữ hoặc 5 nam-5 nữ
Chọn ngẫu nhiên 3 bạn nam trong số 55 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 3 của
55: C(55,3)
Chọn ngẫu nhiên 3 bạn nữ trong số 35 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 3 của 35:
C(35,3)
Chọn ngẫu nhiên 4 bạn nam trong số 55 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 4 của
55: C(55,4)
Chọn ngẫu nhiên 4 bạn nữ trong số 35 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 4 của 35:
C(35,4)
Chọn ngẫu nhiên 5 bạn nam trong số 55 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 5 của
55: C(55,5)
Chọn ngẫu nhiên 5 bạn nữ trong số 35 bạn: số cách chọn là 1 tổ hợp chập 5 của 35:
C(35,5)
Số cách chọn đội văn nghệ là : C(55,3) x C(35,3) + C(55,4) x C(35,4) + C(55,5)
x C(35,5) = 1.147 x 10^12 (cách)
Câu 22: Lớp học có 60 bạn nam và 42 bạn nữ. Hãy cho biết có bao nhiêu cách
chọn đội văn nghệ của lớp sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ, biết rằng đội văn
nghệ cần ít nhất 4 thành viên và nhiều nhất 8 thành viên.
Bài giải
Gọi số bạn nam trong đội văn nghệ là , số bạn nữ là .
Vì số nam và nữ trong đội băng nhau nên ta có: =.
Mà đội cần ít nhất 4 thành viên và nhiều nhất 8 thành viên nên:.
Vậy có thể nhận các giá trị 2,3,4 . Do nên cũng có thể nhận các giá trị là 2,3,4.
TH1: số nam= số nữ=2:
Số cách chọn đội văn nghệ là: .
TH2: số nam= số nữ =3:
Số cách chọn đội văn nghệ là: .
TH3: số nam = số nữ =4:
Số cách chọn đội văn nghệ là: .
Vậy số cách chọn đội văn nghệ thỏa mãn bài toán là:
.
Bài 23. Số người trong đội văn nghệ thóa măn yêu cầu bài toán là : 6,9,12 trong 3
trường hợp.
TH 1. Đội văn nghệ có 6 người :
Số cách chọn 4 bạn nam từ 50 nam và 2 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn
nghệ 6 người là :
(cách)
TH 2. Đội văn nghệ có 9 người :
Số cách chọn 6 bạn nam từ 50 nam và 3 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn
nghệ 9 người là :
(cách)
TH 3. Đội văn nghệ có 12 người :
Số cách chọn 9 bạn nam từ 50 nam và 4 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn
nghệ 12 người là :
(cách)
Vậy có cách lập thành một đội văn nghệ là :
Bài 24. Số người trong đội văn nghệ thóa măn yêu cầu bài toán là: 3,6,9 theo 3
trường hợp.
TH 1: Đội văn nghệ có 3 người:
Số cách chọn 2 bạn nam từ 60 nam và 1 bạn nữ từ 25 bạn nữ tạo thành đội văn
nghệ 3 người là:
(cách)
TH 2: Đội văn nghệ có 6 người:
Số cách chọn 4 bạn nam từ 60 nam và 2 bạn nữ từ 25 bạn nữ tạo thành đội văn
nghệ 6 người là: (cách)
TH 3: Đội văn nghệ có 9 người:
Số cách chọn 6 bạn nam từ 60 nam và 3 bạn nữ từ 25 bạn nữ tạo thành đội văn
nghệ 9 người là: (cách)
Vậy có cách lập thành một đội văn nghệ là:
+
+
(cách),
Câu 25: Thi đại học có 2 môn lý, hóa. Mỗi môn có 50 câu, mỗi câu có 4 p/a. Tối
đa chọn 1 p/a mỗi câu, đúng được 0,25, sai chả sao.
a,Có bn cách điền phiếu trắc nghiệm môn lý.
b,Cần có bn thí sinh tham gia để ít nhất 10 bạn có tổng lý, hóa bằng nhau.
a,
Có 50 câu trắc nghiệm môn lý, mỗi câu có 5 sự lựa chọn
vậy có cách điền phiếu trắc nghiệm môn lý.
b,
Tổng điểm lý + hóa nhận giá trị từ 0->20 với khoảng cách 0,2
Vậy có 101 giá trị khác nhau.
Để chắc chắn có 9 học sinh giống điểm nhau ta cần
101*9 = 909 học sinh
Gọi n là số thí sinh nhỏ nhất để có 10 học sinh giống điểm nhau
n = 909+1 = 910 học sinh.
Bài 29.
a)
Gọi N là số nghiệm của hệ phương trình:
Đặt
N cùng là số nghiệm của hệ:
=
b)
Gọi N là số nghiệm của HPT :
Gọi N1 là số nghiệm của HPT :
Đặt
N1 cùng là nghiệm của HPT :
N1 = =
Gọi N2 là số nghiệm của HPT :
Đặt :
N2 cùng là số nghiệm của hệ
N2 = = = 15
N = N1 – N2 = 66 – 15 =51
Bài 31.
a)
Gọi N là số nghiêm hệ phương trình :
Đặt :
N cùng là số nghiệm của hệ :
b)
Gọi N là số nghiệm của hệ phương trình :
Gọi N1 là số n0 của hệ :
Đặt
N1 cùng là số n0 của hệ :
Gọi N2 là số n0 của hệ :
Đặt :
N2 cùng là số n0 của hệ :
Bài 33:
a, Giải hệ thức truy hồi sau:
a0=2, a1=6, an=3an-1-2an-2 với n≥2
b, Tìm hệ thức truy hồi để tính số các xâu nhị phân độ dài n chứa 3 số 0 liên tiếp.
c, Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện ở câu b với n=7.
Giải:
a, Xét phương trình đặc trưng: k2-3k+2=0 (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt r1=1; r2=2
Do đó {an} có công thức tổng quát: an=α1.r1n+α2.r2n= α1+ α2.2n
a0=2, a1=6 nên ta có hệ :
Vậy an=
b,
Gọi an là số các xâu nhị phân có độ dài n và chưa ba số 0 liên tiếp.
Ta có:
a0=0
a1=0
a2=0
a3=1
Với n≥4 ta xét xâu nhị phân Xn có độ dài n và chứa 3 số 0 liên tiếp.
+, Nếu X[n]=1 có an-1 xâu thỏa mãn
+, Nếu X[n]=0 xét X[n-1] :
•
•
Nếu X[n-1]=0 ta xét X[n-2] :
o Nếu X[n-2]=0 có 2n-3 xâu thỏa mãn
o Nếu X[n-2]=1 có an-3 xâu thỏa mãn
Nếu X[n-1]=1 có an-2 xâu thỏa mãn
Vậy an=an-1+an-2+an-3+2n-3
C, n=7 ta có :
a4=a1+a2+a3+21=3
a5=a2+a3+a4+22=8
a6=a3+a4+a5+23=20
a7= a4+a5+a6+24=47
Câu 34:
a, giải hệ thức truy hồi sau a0=4, a1=8.
an = an −1 + 2an − 2
với
n≥2
Giải
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hôì là
r = 2
r2 − r − 2 = 0 ⇔
r = −1
Theo định nghĩa dãy {
an = α1 2n + α 2 (−1) n
với
an
} là nghiệm của hệ thức truy hồi:
α1 α 2
,
là hằng số.
α 0 = α1 + α 2 = 2
α1 = 2α1 + α 2 (−1) = 7
α = 3
⇔ 1
α 2 = −1
Vậy nghiệm của biểu thức truy hồi là:
α n = 3.2n + 2(−1) n
. Với
n≥2
b.tìm hệ thức truy hồi để tính xác xuất xâu nhị phân có độ dài n chứa 3 số 1 liên
tiếp.
Giải
Đặt Sn là số chuỗi nhị phân độ dài n, có 3 bit 1 liên tiếp:
Một chuỗi dài n (n>3) thoả mãn điều kiện đầu bài sẽ thuộc một trong các dạng sau:
A1 ( A là chuỗi có độ dài n -1, A chứa 3 bit 1 liên tục) , gọi số cách là S(n-1)
B10 (B là chuỗi có độ dài n - 2, B chứa 3 bít 1 liên tục), gọi số cách là S(n-2)
C100 (C là chuỗi có độ dài n - 3, C chứa 3 bít 1 liên tục, gọi số cách là S(n-3)
D000 (D là chuỗi tùy ý dài n - 3), số cách tính được luôn là 2(n-3)
Ta có công thức truy hồi:
Sn=S(n-1) + S(n-2) + S(n-3) + 2(n-3)
Khởi tạo:
S1 = S2 = 0; S3 = 1;
n≥4
c, tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện ở câu b với n = 6.
Với n=6 thì chuỗi a có độ dài 6 bit và có 3 bít 1 liên tiếp
Vì 3 bít liên tiếp có thể có 4 vij trí khác nhau trong xâu có 6 bít
Số xâu nhị phân có độ dài 6 bit và có 3 bít 1 liên tiếp là:
4!=24
Bài 35:
a,
Phương trình đặc trưng:
Phương trình tổng quát:
=
Theo đề bài ta có
b, Gọi là số xâu nhị phân bắt đầu bằng số 1 và chứa 2 số 1 liên tiếp.
Với n. Xét xâu nhị phân:
+, Nếu x[n] =1
+, Nếu x[n]=0
x[n-1] =1
hoặc x[n-1]=0
Vậy ta có hệ thức truy hồi:
Với: , n ≥4.
c,
=
= 2.( +
= 2.(5+2+4)+5+8+16
= 51
Bài 36:
a,
Phương trình đặc trưng:
Phương trình tổng quát:
Theo đề bài ta có:
Vậy
b, Gọi là số xâu nhị phân kết thúc bằng số 1 và có 2 số 1 liên tiếp.
Với n≥3 ta có:
+, Nếu a[1]=0 →
+, Nếu a[1]=1
•
•
a[2]=1
a[2]=0
Vậy (n≥3)
c, Với n=6.
→
= 2.5+2+4+8 =24
Bài 37:
a)Giải hệ thức truy hồi sau:
a0=5,a1=4,an=an-1+2an-2 với n>=2.
b)Tìm hệ thức truy hồi để tính số các xâu nhị phân độ dài n,bắt đầu bằng số 0 và có
chứa 2 số 1 liên tiếp.
c)Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện ở câu b) với n=7.
Lời giải:
a)
Phương trình đặc trưng : r2 - r – 2=0 Có hai nghiệm phân biệt là: r1
và r2 = -2;
Theo định lý dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu và chỉ nếu :
Theo bài ra ta có :
an = b1 2n + b2(-1)n với b1,b2 là hằng số nào đó.Từ các điều kiện đầu suy ra :
a0 = 5 = b1 + b2. (1)
a1 = 4 = 2b1 – b2. (2)
Từ (1) và (2) ta được : b1 = 3 và b2 = 2.
Vậy nghiệm của biểu thức truy hồi với điều kiệm đầu là dãy {an} với an = 3.2n + 2.
(-1)n.
b)
Gọi hệ thức truy hồi cần tìm là an.
+) Theo điều kiện đề bài thì : a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1.
+) Với n >= 3 .Xét xâu nhị phân :
Nếu X[n] = 0 => an-1.
Nếu X[n] = 1 => X[n-1] = 0 =>an-2.
=>X[n-1] = 1 =>2n-3.
Vậy : an = an-1 + an-2 + 2n-3 .
c)
+) Với n = 7 ta có :
a7 = a6 + a5 + 24
Mặt khác a5 = a4 + a3 + 22 = 3 + 1 + 4 = 8.
a6 = a5 + a4 + 23 = 8 + 3 + 8 = 19.
Nên a7 = a6 + a5 + 24 = 19 + 8 + 16 = 43.
Vậy n=7 ta có 43 xâu thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 38 :
a, Giải hệ thức truy hồi sau:
a0=8, a1=3, an= -an-1+2an-2 với n≥2
b, Tìm hệ thức truy hồi để tính số các xâu nhị phân độ dài n, kết thúc bằng số 0 và
có chứa 2 số 1 liên tiếp.
c, Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện ở câu b với n=6.
Giải:
a, Xét phương trình đặc trưng: k2+k-2=0 (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là r1=1; r2= -2
Do đó {an} có công thức tổng quát:
an= α1.r1n+α2.r2n= α1+ α2.(-2)n
a0=8, a1=3 nên ta có hệ :
Vậy an =
b, Gọi an là số các xâu nhị phân có độ dài n kết thúc bằng số 0 và có chứa hai số 1
liên tiếp.
Ta có:
a0=0
a1=0
a2=0
a3=1
Với n≥4 xét xâu nhị phân Xn có độ dài n, kết thúc bằng số 0 và có chứa hai số 1
liên tiếp.
+, Nếu X[0]=0 suy ra có an-1 xâu thỏa mãn
+, Nếu X[0]=1 :
•
•
Nếu X[1]=0 suy ra có an-2 xâu thỏa mãn
Nếu X[1]=1 suy ra có 2n-3 xâu thỏa mãn
Vậy an=an-1+an-2+2n-3
c, n=6 ta có:
a4=a2+a3+21=3
a5=a3+a4+22=8
a6=a4+a5+23=19
Câu 39:
a)
Giải hệ thức truy hồi sau:
với n.
b)
c)
a)
Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân có độ dài n,bắt đầu bằng 1 và
có 2 số 0 liên tiếp.
Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện ở câu b với n=7.
Bài giải
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi có dạng:
có 2 nghiệm phân biệt
.
Khi đó dãy là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi:
Từ giả thiết:
Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là
b)
•
•
Vậy
Gọi là số xâu nhị phân có độ dài n,bắt đầu bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp.
Ta có:
Với n , xét xâu nhị phân có độ dài n, bắt đầu bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp.
Nếu X[n] = 1 thì có xâu thỏa mãn.
Nếu X[n] = 0:
Xét X[n-1] =0 thì có xâu thỏa mãn.
Xét X[n-1] =1 thì có xâu thỏa mãn.
c)
Ta có:
Câu 40:
a)
b)
c)
Giải hệ thức truy hồi:
với n.
Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân có độ dài n,kết thúc bằng 1 và
có 2 số 0 liên tiếp.
Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện trên với n=6.
Bài giải
a)
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi có dạng:
Có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó dãy là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi :
Từ giả thiết có:
b)
Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là:
.
Gọi là số xâu nhị phân có độ dài n,kết thúc bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp.
Ta có :
Với n,
Xâu thỏa mãn bài toán có thể có các trường hợp:
• A1(A là xâu có độ dài n-1,A chứa 2 số 0 liên tiếp) thì số cách là .
• B11(B là xâu có độ dài n-2,B chứa 2 số 0 liên tiếp)=>số cách là
• C101(C là xâu có độ dài n-3,C có 2 số 0 liên tiếp)=> số cách là .
• D001(D là xâu có độ dài n-3 thỏa mãn bt)=> có số cách là: .
Vậy hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân có độ dài n,kết thúc bằng 1 và
có 2 số 0 liên tiếp là:
với
c)
