SKKN kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật

Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục
1

Tên đề mục
Lý do chọn đề tài

Trang
2

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3

5

Phương pháp nghiên cứu

3

PHẦN II: NỘI DUNG
Mục
1

Tên đề mục
Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài

Trang
3

2

Thực trạng

3

3

Giải pháp, biện pháp

6

4

Kết quả

24
PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Mục
1

Tên đề mục
Kết luận

Trang
24

2

Kiến nghị

24

PHẦN I

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong trường THCS, mơn tốn là mơn học cơ bản cung cấp những tri thức và kĩ năng
tốn học, những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động cần thiết để học tập các
mơn học khác. Vì vậy việc học tập mơn tốn là rất quan trọng, học phải liên tục khơng
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 1

Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

ngừng. Học sinh ln giữ vai trò trung tâm, chủ động trong mọi hoạt động học tập. Để
giúp các em học tốt mơn tốn, người giáo viên ngồi việc giúp các em nắm được những
kiến thức cơ bản, còn phải bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các dạng
tốn là rất quan trọng. Do vậy, mỗi giáo viên chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo tìm ra
phương pháp dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Trong chương trình Tốn học ở trường trung học cơ sở hiện nay thì phần lớn hệ thống
câu hỏi và bài tập đã được biên soạn phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học
sinh. Tuy nhiên có những dạng tốn mà trong sách giáo khoa chỉ đưa ra một vài bài tốn
dạng sao (*), chưa có phương pháp giải cụ thể, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức
đã học để tư duy cách giải. Dạng tốn “tính tổng của dãy số viết theo quy luật” là dạng
tốn tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, các bài tốn này rất
phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi tốn qua mạng internet. Qua nhiều
năm thực tế giảng dạy khối 6, tơi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi đứng trước dạng
tốn này, học sinh chưa tìm ra quy luật của dãy số, khơng nhận dạng được từng bài tốn
và chưa định ra được phương pháp giải. Chính vì vậy, ngay từ lớp 6 giáo viên cần trang
bị cho các em học sinh các dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật và cách
giải cho từng dạng để các em có được kĩ năng tính tốn và tư duy sáng tạo khi giải các
bài tốn dạng này. Với những lý do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải
các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật” với mong muốn góp phần nâng cao
chất lượng bộ mơn tốn ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải được các bài tốn tính
tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tơi cũng mong
muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo,
rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Mục tiêu:
Thực hiện đề tài này nhằm mục đích:

- Góp phần nâng cao chất lượng bộ mơn tốn ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải
được các các dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao.
-Rèn cho học sinh kĩ năng giải tốn, khả năng dự đốn, tư duy sáng tạo, tính tự giác tích
cực.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về phương pháp tính tổng của dãy số viết theo
quy luật
- Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm
Nhiệm vụ:
Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:
- Liệt kê một số dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải
cho từng dạng, đề xuất bài tốn tổng qt thơng qua các ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học
sinh tìm tòi lời giải, xem xét bài tốn dưới dạng đặc thù riêng lẻ và lựa chọn phương pháp
giải hợp lý.
3. Đối tượng nghiên cứu:

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 2


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình
Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk.
4. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp giải một số dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo
quy luật .
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao tốn 6.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết.

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Đưa ra tập thể tổ chun mơn thảo luận
- Thực nghiệm giảng dạy chun đề cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình
Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chun đề.
PHẦN II

NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục tồn diện cho học sinh, con đường duy nhất là
nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thơng. Là giáo viên ai
cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy
sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn tốn là mơn học đáp ứng đầy đủ những u cầu đó.
Việc học tốn khơng phải chỉ là học trong sách giáo khoa, khơng chỉ làm những bài
tập do thầy, cơ ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng qt hố
vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy
luật là dạng tốn rất quan trọng trong chương trình tốn 6 và làm cơ sở để học sinh làm
tốt các bài tốn có liên quan trong chương trình tốn trung học cơ sở sau này. Vấn đề
đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật
một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi
giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài
tốn, đặc biệt là kĩ năng giải tốn, kĩ năng vận dụng bài tốn, tuỳ theo từng đối tượng
học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và
các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt hơn.
2. Thực trạng:
a. Thuận lợi, khó khăn:
Thuận lợi:
- Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu là người
Quảng nam đi kinh tế mới từ năm 1977, nhân dân có truyền thống hiếu học. Đặc biệt có
sự quan tâm của Đảng uỷ, UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đồn thể trong xã

đối với cơng tác giáo dục, đảm bảo cơ sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca. Xã

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 3


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện nay đang phấn đấu xây dựng xã nơng thơn
mới vào năm 2015
- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các hoạt
động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong cộng đồng địa phương.
- Hội khuyến học hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói
chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
- Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xun quan tâm tới tất cả các hoạt
động chun mơn của trường.
- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cơ
trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say cơng việc.
- Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ mơn tốn.
Khó khăn:
- Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu bằng nghề nơng đời sống kinh tế còn nhiều
khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo còn khá cao, trình độ dân trí khơng đồng đều, thuộc lưu vực
sơng KrơngAna nên hằng năm xã Quảng Điền cũng chịu ảnh hưởng của lũ lụt. Do đó
một số bộ phận dân cư, hồn cảnh gia đình còn khó khăn, chưa thực sự quan tâm đến
việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật
chất, tinh thần cho con em học tập, nên ảnh hưởng phần nào đến kết quả học tập và rèn
luyện của một số học sinh và kết quả phấn đấu của nhà trường.
- Cơ sở vật chất còn chưa đảm bảo tốt cho việc dạy và học, nguồn đầu tư của địa
phương cho giáo dục hàng năm còn thấp.

b. Thành cơng, hạn chế:
Thành cơng:
Với nội dung của đề tài nghiên cứu: “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy
số viết theo quy luật” sau khi đưa ra tập thể tổ chun mơn thảo luận và áp dụng vào
thực tiễn tơi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải tốn có khoa học, lập
luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập.
Hạn chế:
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có
lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình mơn tốn 6 khơng có
thời lượng dành riêng cho vấn đề này. Hơn nữa, sách giáo khoa chưa đề cập về cách giải
bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Với những lý do trên đề tài khó có thể
áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn.
c. Mặt mạnh, mặt yếu:
Mặt mạnh:
Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tơi nhận thấy phần lớn học sinh khơng còn
lúng trong khi gặp dạng tốn này, đa số các em đã nhận dạng được bài tập và đã biết lựa
chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ.
Mặt yếu:
Dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng tốn tương đối trừu tượng
đối với học sinh lớp 6. Khi gặp dạng tốn này, khơng ít học sinh lúng túng khơng biết
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 4


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

xử lý thế nào. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số
bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao qt hết các dạng thì lại khơng nhiều, khơng có
sức thuyết phục để lơi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức độ kiến thức của dạng

toán này tương đới trừu tượng và phức tạp.
d. Ngun nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành
thạo trong việc giải bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Ngun nhân chủ
́u của khó khăn trên là:
- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của một số học sinh hạn chế.
- Học sinh khơng nhận ra được quy luật của dãy số.
- Học sinh chưa phân loại được các dạng bài tập và chưa xác định được phương pháp
giải cho từng dạng.
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ơn
tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều.
- Học sinh chưa thật sự u thích và khơng hứng thú đối với việc học mơn Tốn nên
còn lười học ở nhà, trên lớp khơng chú ý nghe thầy cơ giảng bài.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Đề tài : “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật” góp
phần nâng cao kiến thức, tư duy tốn học, khả năng phân tích, tính tốn cho học sinh,
đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng
dạy.
- Để giải được bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật đòi hỏi các em phải tìm ra
được quy luật của dãy số, nhận ra những dạng bài tâp cơ bản thường gặp và phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng. Các bài tập đưa ra trong đề tài này theo mức độ từ thấp
đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài tốn ở mức độ trung bình,
đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của mơn tốn 6 khơng có thời lượng
dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần phải
lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ơn tập chương, các tiết ơn tập học kì 2, các tiết
phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú
cho học sính đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xun đưa học sinh

vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng
tốn. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân
trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ.
- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích cực,
điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt
u cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải
tận tụy với cơng việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 5


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

sài, thiên về cung cấp lời giải. Sự đầu tư thoả đáng của giáo viên sẽ được đền bù bằng
khả năng giải bài tập chắc chắn, linh hoạt cuả học sinh.
3. Giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị cho
học sinh lớp 6 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tính tổng của
dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả năng
vận dụng tốt dạng tốn này, định hướng được các thao tác: quan sát, nhận dạng, lựa
chọn phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Việc tính tổng của các biểu thức thơng thường (hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng
thứ tự và quy tắc phép tốn là có thể giải được bài tốn. Vấn đề đặt ra là cách khai thác
để giải bài tốn tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+...+an (n=1,2,3…) thì chúng ta phải làm
như thế nào ?
Sau đây là một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bài tốn

đó.

Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Phương pháp giải:
Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:
- Tính số các số hạng của tổng theo cơng thức:
(Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ...+ 100
Giải:
Tổng A có: 100 − 1 + 1 = 100 (số hạng)
A=

( 1 + 100 ) .100 = 101.100 = 5050
2

2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1 + 2 + 3 + ...+ n (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
1 + 2 + 3 + ... + n =

n ( n + 1)
2

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n (Với n ∈ N* ) như sau:
n ( n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =

(Với n ∈ N* )
2
Ví dụ 2: Tính tổng B = 2 + 4 + 6 + ...+ 100
Giải:
Tổng B có: ( 100 − 2 ) : 2 + 1 = 50 (số hạng)
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 6


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
B=

( 2 + 100 ) .50 = 102.25 = 2550
2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 2 + 4 + 6 + ...+2n (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
2 + 4 + 6 + ... + 2n =

( 2 + 2n ) .n = n
2

( n + 1)

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 2 đến 2n (Với n ∈ N* ) như
sau:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1) (Với n ∈ N* )
Ví dụ 3: Tính tổng C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49

Giải:
Tổng C có: ( 49 − 1) : 2 + 1 = 25 (số hạng)
C=

( 1 + 49 ) .25 = 50.25 = 252 = 625
2

2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1 + 3 + 5 + ...+(2n – 1) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 3, ta có:
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) =

( 1 + 2n − 1) .n = n.n = n 2
2

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với n ∈ N* ) như
sau:
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2 (Với n ∈ N* )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 301
Giải:
Tổng D có: ( 301 − 4 ) : 3 + 1 = 100 (số hạng)
D=

( 4 + 301) .100 = 305.50 = 15250
2

Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + 8 +3
Giải:

Tổng E có: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 (số hạng)
E = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010

Dạng 2: Tính tổng của các tích số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1:
Chứng tỏ rằng: k( k+1) =

k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
(Với
3
3

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

k ∈ N* )
Trang 7


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Từ đó tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
Giải:
Với k ∈ N* , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) .3
k(k + 1)(k + 2) − (k − 1)k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
=
3
3
3

k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
Vậy: k( k+1) =
(Với k ∈ N* )
3
3
⇒ k( k+1) =

Áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
1.2.3 0.1.2
−
3
3
2.3.4 1.2.3
2.3 =
−
3
3
3.4.5 2.3.4
3.4 =
−
3
3

Ta có: 1.2 =

………………..
99.100 =

99.100.101 98.99.100

−
3
3

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
A= −

0.1.2 99.100.101 99.100.101
=
= 33.100.101 = 333300
+
3
3
3

Ví dụ 2:
Tính tổng B = 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99
Giải:
10.11.12 9.10.11
−
3
3
11.12.13 10.11.12
11.12 =
−
3
3
12.13.14 11.12.13
12.13 =
−

3
3

Ta có: 10.11 =

………………………….
98.99 =

98.99.100 97.98.99
−
3
3

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
B= −

9.10.11 98.99.100 98.99.100 9.10.11
+
=
–
= 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070
3
3
3
3

Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1) (Với n ∈ N* )
Giải:
1.2.3 0.1.2
−

3
3
2.3.4 1.2.3
2.3 =
−
3
3

Ta có: 1.2 =

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 8


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
3.4 =

3.4.5 2.3.4
−
3
3

………………..
n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2) (n − 1)n(n + 1)
−
3
3

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: S = −
Ta có cơng thức:
1.2 + 2.3 + 3.4... + n ( n + 1) =

0.1.2 n(n + 1)(n + 2)
+
3
3

n(n + 1)(n + 2)
(Với n ∈ N* )
3

Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200
Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với
nhau ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ
nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng
cuối cùng.
Giải:
6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6
6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8+…+196.198.200-194.196.198+198.200.20296.198.200
6.C = 198.200.202
⇒ C = 198.200.202 : 6 = 1 333 200
Bài tốn tổng qt:
Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n – 2).2n (Với n ∈ N, n > 1 )
Giải:

(
Với cách làm như ví dụ 3, ta có: 6.S = (2n – 2).2n.(2n + 2) ⇒ S =

Ta có cơng thức:

2n − 2 ) 2n ( 2n + 2 )
6

( 2n − 2 ) 2n ( 2n + 2 )

(Với n ∈ N, n > 1 )
6
Ví dụ 4: Tính tổng D = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99
Phương pháp giải: Ở tổng D, mỗi số hạng là tích của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Ta thực
hiện phương pháp như ví dụ 3 tức là ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết
dưới dạng: (5 + 1) ở số hạng thứ nhất, (7 - 1) ở số hạng thứ hai, (9 - 3) ở số hạng thứ ba,
...., (101 - 95) ở số hạng cuối cùng.
Giải: 6.D =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 95.97.6 + 97.99.6
6.D =1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) + … + 95.97.(99 – 93) + 97.99.(101 – 95)
6.D =1.3.5+1.3.1+3.5.7–1.3.5+5.7.9–3.5.7+ … +95.97.99–93.95.97+ 97.99.101–
95.97.99
2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + (2n - 2).2n =

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 9


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

6.D = 3 + 97.99.101
D = (3 + 97.99.101) : 6 = 161 651
Bài tốn tổng qt:
Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1).(2n + 1) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
6.S = 3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3) ⇒ S =

3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3 )
6

Ta có cơng thức:

3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3 )
(Với n ∈ N* )
6
Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
Phương pháp giải: Để tính tổng E ta khơng nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp
mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết
cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải:
E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
= 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
= 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
= (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n - 1).(2n + 1) =

=

99.100.101

99.100
+
= 333300 + 4950 = 338250
3
2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 5, ta có:
1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 7)
+
=
3
2
6

Ta có cơng thức:
1.3 + 2.4 + 3.5... + n ( n + 2 ) =

n(n + 1)(2n + 7)
(Với n ∈ N* )
6

Ví dụ 6: Tính tổng F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp giải như ví dụ 5.
Giải:
F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
= 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + ... + 99(100 + 2)

= 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + ... + 99.100 + 99.2
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 99)
=

99.100.101
99.100
+ 2.
= 333300 + 9900 = 343200
3
2

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 10


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 6, ta có:
1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) =

n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1) n(n + 1)(n + 5)
+ 2.
=
3
2
3

Ta có cơng thức:
1.4 + 2.5 + 3.6... + n ( n + 5 ) =

Ví dụ 7:
Chứng tỏ rằng: k( k+1)(k+2) =

n(n + 1)(n + 5)
3

(Với n ∈ N* )

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
−
(Với
4
4

k ∈ N* )

Từ đó tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100
Giải:
Với k ∈ N* , ta có k(k+1)(k+2)(k+3) – (k-1)k(k+1) (k+2)
= k( k+1)(k+2) [ (k + 3) − (k − 1)] = k (k+1)(k+2) .4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) − (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
=
4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
−
4

4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
−
Vậy: k( k+1)(k+2) =
(Với
4
4

⇒ k( k+1)(k+2) =

k ∈ N* )

Áp dụng: Tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100
1.2.3.4 0.1.2.3
−
4
4
2.3.4.5 1.2.3.4
2.3.4 =
−
4
4
3.4.5.6 2.3.4.5
3.4.5 =
−
4
4

Ta có: 1.2.3 =

………………..
98.99.100 =

98.99.100.101 97.98.99.100
−
4
4

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
G= −

0.1.2.3 98.99.100.101 98.99.100.101
=
= 24 497 550
+
4
4
4

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n+1)(n+2) (Với n ∈ N* )
Giải:
1.2.3.4 0.1.2.3
−
4
4
2.3.4.5 1.2.3.4
2.3.4 =
−
4
4

Ta có: 1.2.3 =

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 11


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
3.4.5 =

3.4.5.6 2.3.4.5
−
4
4

………………..
n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2) ( n + 3 )
4

−

(n − 1)n(n + 1)(n + 2)
4

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n+1)(n+2) =

n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
4

Ta có cơng thức:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) =

n(n + 1)(n + 2) ( n + 3)
4

(Với n ∈ N* )

Dạng 3: Tính tổng các lũy thừa của số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
b) B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
c) C = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 +... + 7 2007

Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng cơ số, số mũ của các lũy
thừa là các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để giải bài tốn này, ta nhân
cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa, sau đó trừ từng vế của biểu thức mới
cho biểu thức ban đầu rồi suy ra kết quả bài tốn.
Giải:
a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
2A =
2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211
2A – A = 211 – 1
A = 211 – 1
b)
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
3B =

3 + 32 + 33 + 34 +... + 3100 + 3101
3B – B = 3101 – 1
2B = 3101 – 1
B=
c) C = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 +... + 7 2007
7C =

7 + 7 2 + 7 3 + ... + 7 2007 + 7 2008

7 C − C = 7 2008 −1
6C = 7 2008 −1

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 12


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

C=

7 2008 −1
6

Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + … + an (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N )
Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
a.S – S = an+1 – 1
(a – 1)S = an+1 – 1
S=

a n +1 − 1
a −1

Ta có cơng thức:
an +1 − 1
(Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N )
a −1
Ví dụ 2: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002
Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng số mũ, cơ số của các lũy
thừa là các số tự nhiên liên tiếp. Để tính tổng này, tách ngay một thừa số trong mỗi số
hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải:
12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002
= 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1)
= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100)
= 333300 + 5050
= 338350
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (Với n ∈ N* )
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = (1 + 2 +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n]
1 + a + a2 + a3 + ... + an =

=

n(n + 1) (n − 1)n(n + 1) 3n(n + 1) + 2(n − 1)n(n + 1) n(n + 1)[3 + 2(n − 1)] n(n + 1)(2n + 1)
+
=
=
=

2
3
6
6
6

Ta có cơng thức tính tổng các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 =
(Với n ∈ N* )
6
Ví dụ 3: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + 1003
Giải: 13 + 23 + 33 + … + 1003
= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 +…+ 1003 – 100 + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + …+ 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= (1.2.3 + 2.3.4 + …+ 99.100.101) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100 )
= 101989800 + 5050 = 101994850
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + n3 (Với n ∈ N* )
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
13 + 23 + 33 + … + n3
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 13


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n )
= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + …+ n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n )
= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )

=

( n − 1) n ( n + 1) ( n + 2 ) + n ( n + 1)
4

= n ( n + 1)

2

 ( n − 1) ( n + 2 ) 1 
= n ( n + 1) 
+ 
4
2


n ( n + 1)  n(n + 1) 
n2 + n − 2 + 2
= n ( n + 1)
=
4
4
 2 

2

Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
2
 n(n + 1) 
3

3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 
(Với n ∈ N* )

 2 
3
3
3
3
Ví dụ 4: Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 99
Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính tổng trên
ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần
cộng thêm.
Giải:
13 + 33 + 53 + … + 993 = (13 + 23 + 33+…+ 993) - (23 + 43 + 63+…+983)
= (13 + 23 + 33+…+ 993) - 23(13 + 23 + 33 +…+493)
2

2

 99.100 
3  49.50 
2
2
=
÷ −2 
÷ = 4950 − 8.1225 = 24502500 − 12005000 = 12497500

 2 
 2 
3
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) (Với n ∈ N )
Giải: Với cách làm như ví dụ 4, ta có:

3
3
3
3
13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) = 13 + 23 + 33 + ... + ( 2n ) + ( 2n + 1)  − 23 + 43 + 63 + ... + ( 2n ) 

 

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + ... + ( 2n ) + ( 2n + 1)  − 2 1 + 2 + 3 + ... + n 





 ( 2n + 1) ( 2n + 1 + 1) 
 2 ( 2n + 1) ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
=
 −2 
 =
 −2 

2
2


 2  

 2 
2

2

2

2

n 2 ( n + 1)
2
2
= ( 2n + 1) ( n + 1) − 8.
= ( n + 1) ( 2n + 1) − 2n 2 



4
2

2

( 4n
= ( n + 1) ( 2n
= ( n + 1)

2

2

2

2

2

+ 4n + 1 − 2n 2 )
+ 4n + 1)

Ta có cơng thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n + 1
như sau:
3
2
13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) = ( n + 1) ( 2n 2 + 4n + 1) (Với n ∈ N )

Dạng 4: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 14


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Ví dụ 1: Tính tổng
Giải:
Với k ∈ N* , ta có:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
2014.2015

( k + 1) − k = k + 1 − k = 1 − 1
1
=
k(k + 1)
k(k + 1)
k(k + 1) k(k + 1) k k + 1

Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; …; 2004 ta có:

1
1
= 1−
1.2
2
1
1 1
= −
2.3 .2 3
1 1 1
= −
3.4 3 4

………….
1
1
1
−
=
2014.2015 2014 2015

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1

2014
+
+
+ ... +
−
= 1−
=
= 1 − + − + − + ... +
2 2 3 3 4
2014 2015
2015 2015
1.2 2.3 3.4
2014.2015
1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) (Với n ∈ N* )

Giải:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
n
+

+
+ ... +
1 − + − + − + ... + −
= 1−
=
=
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
2 2 3 3 4
n n +1
n +1 n +1

Ta có cơng thức :
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N* )
1.2 2.3 3.4
n(n + 1) n + 1

Ví dụ 2: Tính tổng

5 5 5
5

5
5
5
5
+ +
+ + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2011 2012)
Nhận xét: Tổng trên là tổng của các phân số có tử là 5, mẫu là tích của 2 số tự nhiên
liên tiếp. Do đó, nếu ta đặt 5 làm thừa số chung thì biểu thức trong ngoặc sẽ có dạng
như ví dụ 1.
Giải:
5 5 5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1 
1 1 1
+ +
+ + + + +
= 5 + +
+ +
+ + + ÷

6 12 20 30 42 56 72 90
 6 12 20 30 42 56 72 90 
1
1
1
1
1
1
1 
 1
= 5
+
+
+
+
+
+
+
÷
 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 
 5 1
= 5  − + − + − + − + − + − + − + − ÷ = 5  − ÷ = 5  − ÷ = 5. = 2
10
 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 
 2 10 
 10 10 

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 15


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Ví dụ 3: Tính tổng
Giải:
Với k ∈ N* , ta có:

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
2013.2015

( k + a) − k = k + a − k = 1 − 1
a
=
k(k + a)
k(k + a)
k(k + a) k(k + a) k k + a

Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; …; 2003 và a = 2 ta có:
2

1
= 1−
1.3
3
2
1 1
= −
3.5 3 5

…………
2
1
1
=
−
2013.2015 2013 2015

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
2
2
2
2
1 1 1 1 1
1
1
1
2014
+
+
+ ... +

−
=
=1 − + − + − + ... +
= 1−
1.3 3.5 5.7
2013.2015
3 3 5 5 7
2013 2015
2015 2015
2
2
2
2
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ)

Giải:
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
+
+
+ ... +
− + − + − + ... + −
1−

=
=
=
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 1 3 3 5 5 7
n n+2
n+2 n+2

Ta có cơng thức :
2
2
2
2
n +1
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N,n lẻ )
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) n + 2
Ví dụ 4: Tính tổng

1
1
1
1
+
+
+ ... +

1.3 3.5 5.7
2009.2011

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2010 - 2011)
Giải:
1
1
1
1
1 2
2
2
2

+
+
+ ... +
= 
+
+
+ ... +
÷
1.3 3.5 5.7
2009.2011 2  1.3 3.5 5.7
2009.2011 
1 1 1 1 1 1
1
1  1
1  1 2010 1005
= 1 − + − + − + ... +

−
=
÷ = 1 −
÷= .
2 3 3 5 5 7
2009 2011  2  2011  2 2011 2011

Thơng qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp:

1
1 1
= −
3.5 3 5

là sai
Cách khác:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
2009.2011
2
2
2
2
2S =

+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
2009.2011

S=

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 16


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1 1 1 1 1
1
1
2S = 1 − + − + − + ... +
−
3 3 5 5 7
2009 2011
1
2S = 1 −
2011
2010
2S =
2011
1005
S=
2011

1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ)

Giải:
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1  1
1  n +1
+
+
+ ... +
1 − + − + − + ... + −
1−
=
=

÷

÷=
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 2  3 3 5 5 7
n n + 2  2  n + 2  2n + 4

Ta có cơng thức :
1
1
1
1
1 n +1
+
+
+ ... +
= .
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 2 n + 2
Ví dụ 5: Tính tổng

(Với n ∈ N,n lẻ )

5
5
5
5
+
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2012 - 2013)
Giải:

5

5
5
5
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 6 −1 5
+
+
+ ... +
= − + − + − + ... + − =
−
=
=
11.16 16.21 21.26
61.66 11 16 16 21 21 26
61 66 11 66 66 66
1 1
1
1
1
+
+ ... +
Ví dụ 6: Tính tổng + +
6 66 176 336
248496

Giải:
1 1
1
1

1
1
1
1
1
+ +
+
+ ... +
=
+
+
+ ... +
6 66 176 336
248496 1.6 6.11 11.16
496.501
1 5
5
5
5
1
1 
 1 1 1 1 1 1
+
+
+ ... +
−

÷ = 1 − + − + − + ... +
÷
5  1.6 6.11 11.16

496.501  5  6 6 11 11 16
496 501 
1
1  1 500 100
= 1 −
=
÷= .
5  501  5 501 501
1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.6 + 6.11 + 11.16 + ... + (5n − 4)(5n + 1) (Với n ∈ N* )

Giải:
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 
+
+
+ ... +
1 − + − + ... +
−
=

÷

1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1) 5  6 6 11
5n − 4 5n + 1 
1
1  1 5n
n
= 1 −
=
÷= .
5  5n + 1  5 5n + 1 5n + 1

Ta có cơng thức :

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 17


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N* )

1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1) 5n + 1

Ví dụ 7: Tính tổng

5
5
5
5
+
+
+ ... +
1002.1005 1005.1008 1008.1011
2010.2013

Giải:
5
5
5
5
+
+
+ ... +
1002.1005 1005.1008 1008.1011
2010.2013
5 
3
3
3
3


= ×
+
+
+ ... +
÷
3  1002.1005 1005.1008 1008.1011
2010.2013 
5  1
1
1
1
1
1
1
1 
= ×
−
+
−
+
−
+ ... +
−
÷
3  1002 1005 1005 1008 1008 1011
2010 2013 
5  1
1  5
1011

1685
= ×
−
=
÷= .
3  1002 2013  3 1002.2013 32017026

Dạng 5: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên
liên tiếp.
Phương pháp giải:
Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp, ta tiến
hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các cơng thức tổng qt sau đây:
2
1
1
*
=
−
n ( n + 1) ( n + 2 ) n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 2 ) (Với n ∈ N )
3
1
1
*
=
−
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) (Với n ∈ N )
4
1
1

*
=
−
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) (Với n ∈ N )

………………………………………………………………………………
k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
n(n + 1)(n + 2)...(n + k) n(n + a)... ( n + k − 1) (n + 1)(n + 2)...(n + k − 1)(n + k) (Với

- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối
rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1 2
1 1
1 

= .
= 
−
Phương pháp tách:
÷
1.2.3 2 1.2.3 2  1.2 2.3 
1
1 2
1 1
1 
= .
= 
−
÷
2.3.4 2 2.3.4 2  2.3 3.4 

Ví dụ 1: Tính tổng

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 18


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1
1 2
1 1
1 
= .
= 

−
÷
3.4.5 2 3.4.5 2  3.4 4.5 

………………………..
1
1
2
1 1
1 
= .
= 
−
÷
37.38.39 2 37.38.39 2  37.38 38.39 

Giải:
1 1
1  1 1
1 
1 1
1 
1
1
1
1
−
+
+
+ ... +


=  −  +  −  +…+ 
2  1.2 2.3  2  2.3 3.4 
2  37.38 38.39 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1 1
1
1
1
1
1  1 1
1  11
1 
+
−
+ ... +
−
−
= 
=  −

=  −
2  1.2 2.3 2.3 3.4
37.38 38.39  2  1.2 38.39  2  2 38.39 
1 741 − 1 1 740 1 370 185
= .
= .
= .
=

2 38.39 2 38.39 2 741 741
1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* )

Giải:

1
1
1
1
1 1
1
+
+
+ ... +
= . −
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1)(n + 2) 
n ( n + 3)
1  (n + 1)(n + 2) − 2  (n + 1)(n + 2) − 2 n 2 + 2n + n + 2 − 2
= .
=
=
=

2  2(n + 1)(n + 2) 
4(n + 1)(n + 2)

4(n + 1)(n + 2)
4(n + 1)(n + 2)

Ta có cơng thức :
n ( n + 3)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)

(Với n ∈ N* )

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
1
1
3

1 1
1 
= .
= 
−
Phương pháp tách:
÷
1.2.3.4 3 1.2.3.4 3  1.2.3 2.3.4 
1
1
3
1 1
1 
= .
= 
−
÷
2.3.4.5 3 2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 
1
1
3
1 1
1 
= .
= 
−
÷
3.4.5.6 3 3.4.5.6 3  3.4.5 4.5.6 

Ví dụ 2: Tính tổng

………………………..
1
1
3
1
1
1

= .
= 
−
÷
27.28.29.30 3 27.28.29.30 3  27.28.29 28.29.30 

Giải:
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1

+
+
+ ... +

= 
−
+
−
+ ... +
−
÷
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30 3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
27.28.29 28.29.30 
1 1
1
1353
451
 1 4059
= 
−
=
=
÷= .
3  1.2.3 28.29.30  3 24360 24360 8120

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 19


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1

1

1

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) (Với n ∈ N* )
Giải:
1
1
1
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )
1 1
1
1
1
1
1
= 
−
+
−
+ ... +
−
3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )


÷

÷=


1 1
1
−

3  1.2.3 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )


÷
÷


Ta có cơng thức :

1
1
1
1 1
1
+
+ ... +
= 
−
÷÷ (Với n ∈ N* )
1.2.3.4 2.3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 3  1.2.3 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 
Ví dụ 3:
18

18
18
18
+
+
+ ... +
10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15
96.97.98.99
18
3
1
1


= 6.
= 6. 
−
Phương pháp tách:
÷
10.11.12.13
10.11.12.13
 10.11.12 11.12.13 
18
3
1
1


= 6.
= 6. 

−
÷
11.12.13.14
11.12.13.14
 11.12.13 12.13.14 
18
3
1
1


= 6.
= 6. 
−
÷
12.13.14.15
12.13.14.15
 12.13.14 13.14.15 

Tính tổng

………………………..
18
3
1
1


= 6.
= 6. 

−
÷
96.97.98.99
96.97.98.99
 96.97.98 97.98.99 

Giải:
18
18
18
18
+
+
+ ... +
10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15
96.97.98.99
3
3
3
3


= 6. 
+
+
+ ... +
÷
96.97.98.99 
 10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15
1

1
1
1
1
1
1
1


= 6. 
−
+
−
+
−
+ ... +
−
÷
96.97.98 97.98.99 
 10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15
1
1
97.49.3 − 20
14239


= 6. 
−
=
÷= 6 ×

97.98.99.20 3136980
 10.11.12 97.98.99 
5
5
5
5
+
+
+ ... +
Ví dụ 4: Tính tổng
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
96.97.98.99

Giải:
5  3
3
3
3
5
5
5
5

+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
= ×

÷
3  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
96.97.98.99 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
96.97.98.99
1
1
1
1
1
1
1
5  1

−
+
−
+
−
+ ... +
−
= ×
÷
96.97.98 97.98.99 
3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 20

Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
5
1
1
5 97.49.33 − 1
5 78424
392120

−
= ×
=
÷= ×
3  1.2.3 97.98.99 
3 97.98.99
3 470547
1411641


= ×

Dạng 6: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên
cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1.
Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng
cách giữa hai thừa số lớn hơn 1, ta tiến hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các cơng thức tổng qt sau đây:
k
1
1
= −

(Với n, k ∈ N* )
n(n + k) n n + k
2k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
(Với
n(n + k)(n + 2k) n(n + k) (n + k)(n + 2k)
3k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
(Với
n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) n(n + k)(n + 2k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)
4k
1
1
=
−
(Với n, k ∈ N* )
n(n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k)

……………………………………………………………….
ak
1
1

=
−
n(n + k)(n + 2k)...(n + ak) n(n + k)(n + 2k)...(n + 2k − k) (n + k)(n + 2k)...(n + 2k − k)(n + ak)

(Với
n, k, a ∈ N )
*

- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối
rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
4
4
4
4
+
+
... +
3.5.7 5.7.9 7.9.11
23.25.27
4
1
1
=
−
Phương pháp tách:
3.5.7 3.5 5.7
4
1
1

=
−
5.7.9 5.7 7.9
4
1
1
=
−
7.9.11 7.9 9.11

Ví dụ 1: Tính tổng

…………………
4
1
1
=
−
23.25.27 23.25 25.27

Giải:
4
4
4
4
+
+
... +
3.5.7 5.7.9 7.9.11
21.23.25

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 21


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
3.5 5.7 5.7 7.9 7.9 9.11
23.25 25.27
1
1
45 − 1 44
=
−
=

=
3.5 25.27
675 675
36
36
36
36
+
+
+ ... +
Ví dụ 2: Tính tổng
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
36
4
1 
 1
= 9.
= 9. 
−
Phương pháp tách:
÷
1.3.5
1.3.5
 1.3 3.5 
36
4
1 
 1
= 9.

= 9. 
−
÷
3.5.7
3.5.7
 3.5 5.7 
36
4
1 
 1
= 9.
= 9. 
−
÷
5.7.9
5.7.9
 5.7 7.9 
=

…………………
36
4
1 
 1
= 9.
= 9. 
−
÷
25.27.29
25.27.29

 25.27 27.29 

Giải:
36
36
36
36
+
+
+ ... +
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
4
4
4
 4

= 9. 
+
+
+ ... +
÷
25.27.29 
 1.3.5 3.5.7 5.7.9
1 
1 
260 260
 1
 1
= 9. 

−
−
=
÷ = 9. 
÷ = 9.
783 87
 1.3 27.29 
 1.3 27.29 
6
6
6
6
+
+
... +
Ví dụ 3: Tính tổng
4.7.10 7.10.13 10.13.16
25.28.31
6
1
1
=
−
Phương pháp tách:
4.7.10 4.7 7.10
6
1
1
=
−

7.10.13 7.10 10.13
6
1
1
=
−
10.13.16 10.13 13.16

…………………
6
1
1
=
−
25.28.31 25.28 28.31

Giải:
6
6
6
6
+
+
... +
4.7.10 7.10.13 10.13.16
25.28.31
1
1
1
1

1
1
1
1
=
−
+
−
+
−
+ ... +
−
4.7 7.10 7.10 10.13 10.13 13.16
25.28 28.31
1
1
31 − 1 30
15
=
−
=
=
=
4.7 28.31 868 868 434

c. Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 22

Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều kiện sau:
- u cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài tốn tính
tổng của dãy số viết theo quy luật. Ghi nhớ được các dạng bài tốn và phương pháp giải
cho từng dạng.
- Học sinh biết nhận dạng được từng bài tốn cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải
hợp lí.
- Học sinh biết cách biến đổi từ một bài tốn chưa biết cách giải về bài tốn quen thuộc
đã biết cách giải.
- Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và khoa học.
- Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp và bài tập cũng như u cầu phù
hợp.
- Thường xun kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi
của học sinh để có hướng điều chỉnh.
d. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng tốn khơng thể thiếu trong
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học cơ sở . Các dạng tốn đưa ra trong
đề tài này có mối liên quan mật thiết với nhau, đề tài này khơng chỉ áp dụng cho học
sinh khối lớp 6 mà còn làm cơ sở để giải các bài tốn liên quan ở lớp trên. Trong q
trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò của giáo viên trong việc tạo hứng thú học
tập cho học sinh đặc biệt quan trọng. Vì vậy mỗi giáo viên phải thường xun đưa học
sinh vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng
tốn. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân
trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
-Kết quả khảo nghiệm:
Đề tài này được thực hiện đối với lớp 6A3 và lớp 6A4 năm học 2013 - 2014. Mặc dù
hai lớp này có rất nhiều học sinh yếu nhưng sau khi áp dụng đề tài, các em đã có sự

hứng thú học tập và tiếp thu bài tốt. Những em học sinh trung bình và yếu thì tiến bộ rõ
rệt, những em học sinh khá giỏi thì ngày càng linh hoạt trong các bài tốn ở mức độ khó
có tính trừu tượng cao.
Bảng thống kê:
* Chất lượng học sinh khi chưa áp dụng đề tài:
GIỎI
LỚP

KHÁ

%
11,1

SL
7

%
19,4

TRUNG
BÌNH
SL
%
15 41.7

8,8

8

23,5

12

SĨ SỐ

6A3

36

SL
4

6A4

34

3

35,3

YẾU

KÉM

SL
8

%
22,2

SL
2

%
5,6

7

20,6

4

11,8

* Chất lượng học sinh khi đã áp dụng đề tài:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 23


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

GIỎI
LỚP

KHÁ

%
19,4

SL
12

%
33,3

TRUNG
BÌNH
SL
%
12 33,3

17,6

11

32,4

10

SĨ SỐ

6A3

36

SL
7

6A4

34

6

29,4

YẾU

KÉM

SL
5

%
13,9

SL
0

%
0

5

14,7

2

5,9

-Giá trị khoa học:
Bằng chút kinh nghiệm của bản thân và thực tiễn giảng dạy, tơi đã mạnh dạn đưa ra đề
tài “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật” và đã đưa
vào áp dụng. Với kết quả đạt được như đã thống kê ở trên tuy chưa cao nhưng phần nào
cũng đã góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập của các em học sinh. Tơi hy vọng
rằng đề tài này sẽ được góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao được chất lượng đại trà
trong dạy học bợ mơn toán trong ngành giáo dục nói chung và trường THCS Lê Đình
Chinh nói riêng.
4. KẾT QUẢ
- Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy việc hướng dẫn phương pháp giải
tốn theo từng dạng sẽ giúp cho học sinh hình thành kỹ năng tự giải tốn tốt hơn, học
sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống và hình thành được khả năng tư
duy logic, nâng cao năng lực tự học cho bản thân. Cụ thể, khi dạy học về bài tốn tính
tổng của dãy số viết theo quy luật, tơi đã hướng dẫn cho học sinh cách tìm ra quy luật
của dãy số, nhận dạng bài tập, tìm ra phương pháp giải và ghi nhớ cơng thức tổng qt
cho từng dạng. Kết quả đã cho thấy học sinh đã tiếp thu bài tốt hơn và có thể tự làm
được các bài tập tương tự và một số bài tập đòi hỏi sự tư duy sáng tạo.
PHẦN III

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Khi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo
quy luật” tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng
thú trong q trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài tốn, biết tự đặt
ra các bài tốn mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải.
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ khi giảng dạy bộ mơn tốn, tuy bước đầu chưa
đem lại kết quả mĩ mãn như mong đợi nhưng tơi nhận thấy tính ham học và lòng say mê
học tốn của các em được nâng cao rõ rệt. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn rằng
tơi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, rất mong các đồng chí đồng nghiệp

góp ý chân tình để đề tài này được hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
2. Kiến nghị:
* Đối với giáo viên:
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 24


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Tận tâm hơn nữa với nghề dạy học, tìm tòi các phương pháp để truyền thụ kiến thức
đến học sinh đạt hiệu quả hơn, thường xun quan tâm đến chất lượng học tập của học
sinh, trân trọng những thành quả đạt được của học sinh dù là nhỏ nhất.
* Đối với nhà trường:
Tổ chức triển khai các sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo viên có
thể áp dụng các đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy.
* Đối với phòng giáo dục:
Tổ chức triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để giáo viên được
nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.
Quảng Điền, tháng 1 năm 2015
Người thực hiện:
Nguyễn Văn Dũng
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 25