SKKN tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức

Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

I.
PHẦN MỞ ĐẦU
I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
a) Lý do khách quan
Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự nhiên không
thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà khoa học kỹ
thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan
trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng.
Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 6 nói
riêng, tôi thấy môn Toán 6 - phân môn Số học luôn tạo ra những những điều thú
vị đầy bí ẩn riêng biệt bởi kiến thức số học ở đây có nền tảng từ các lớp tiểu học,
mở rộng, nâng cao kiến thức hơn với các dạng toán về kiến thức của phép chia
hết, đặc biệt là phần kiến thức về lũy thừa. Đây là phần kiến thức mới lạ từ cách
viết các lũy thữa đến tư duy kiến thức, kĩ năng khi làm Toán. Để đam hiểu cặn
kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm
hiểu và ghi nhớ các công thức chính xác. Những kiến thức ở mức độ căn bản của
bộ môn thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở
rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê
bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục.
Môn Toán ở trường THCS gồm ba phân môn là Số học, Đại số, Hình học. Số
học là ngành học lâu đời nhất và đầy hấp dẫn của toán học, đã từng được một
nhà toán học nổi tiếng gọi phân môn Số học là “Bà chúa của toán học”. Các bài
toán số học đã làm say mê nhiều người, thế giới các con số, rất quen thuộc với
chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, là thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bí ẩn. Loài
người đã phát hiện ra trong đó biết bao tính chất hay, nhiều quy luật rất đẹp và
có khi rất bất ngờ. Điều lý thú là mệnh đề khó nhất của số học được phát biểu rất
đơn giản, ai cũng hiểu được, nhiều bài toán khó có thể giải rất sáng tạo với
những kiến thức số học phổ thông.
Phân môn Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt

chẽ lôgíc hơn, đặc biệt vai trò của Số học thật mạnh mẽ bởi nó là sợi chỉ vô hình
xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp học cho dù nó chỉ được nghiên cứu
chính thức ở đầu lớp 6. Điều này càng khẳng định được sự ly kì của môn Toán
với một thế giới những con số thật gần gũi nhưng vô cùng bí ẩn.
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 1


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

b) Lý do chủ quan
Trong quá trình giảng dạy Toán 6 và ôn thi Học sinh giỏi môn Giải toán
bằng may tính cầm tay Casio lớp 9, môn giải toán trên mạng Internet Violympic
các khối lớp THCS cũng như ôn Học sinh giỏi tạo nguồn các khối 6, 7, 8; 9 tôi
thấy rằng mảng kiến thức về tìm chữ số tận cùng của một biểu thức (biểu thức là
dãy các phép tính, biểu thức là một lũy thừa hoặc tổng hiệu các lũy thừa …)
không được giới thiệu cụ thể mà chỉ được đưa vào yêu cầu bài tập một số bài tập
cơ bản. Từ đó mở rộng, nâng cao yêu cầu đối với các đề thi Toán Violympic các
khối lớp hoặc trong các đề thi Học sinh giỏi. Phần lớn kiến thức để giải quyết
các bài tập này là sự tích hợp, tích lũy của Giáo viên và học sinh để vận dụng
giải quyết bài toán cho phù hợp trên cơ sở các dấu hiệu chia hết, các nhận xét về
các tổng - tích đặc biệt, các kiến thức cơ bản và mở rộng về lũy thừa.. . Chẳng
hạn như, với yêu cầu là: “Tìm chữ số tận cùng của biểu thức 2.3.4.5.6.7 + 9100 ”
thì nhiều học sinh thấy rất khó, cảm thấy “sợ” suy nghĩ để làm bài…Hơn nữa,
đối với học sinh THCS, phân môn Số học nói chung là một mảng khó trong
chương trình toán. Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình
bày bài toán tìm chữ số tận cùng, tìm số dư trong một phép chia số quá lớn, hay

chứng minh bài toán chia hết về lũy thừa. Nguyên nhân cơ bản của những khó
khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học chính là những lập luận (suy
luận) từ những kiến thức lí thuyết trừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển
thành lời giải của bài toán. Trong đó điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập
toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học
sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng.
Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Tìm một chữ số
tận cùng của một biểu thức” trong chương trình Toán lớp 6 nói riêng và vận
dụng trong Toán học THCS nói chung với mong muốn được tích lũy thêm kiến
thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được
thật nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà
trường để SKKN này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu
ra sẽ chưa thật trọn vẹn, song tôi luôn hy vọng rằng sự tích lũy của tôi sẽ góp
được một điều nhỏ bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 2


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

kiến thức khó này. Đây là mong muốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu
SKKN này.
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
1. Yêu cầu với giáo viên:
- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài tìm chữ số tận cùng cho một số
dạng toán điển hình.

- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó.
- Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo
kiến thức trong nghiên cứu.
- Hướng mở rộng SKKN trong điều kiện thực thi được nội dung mở rộng.
2. Yêu cầu với học sinh:
- Củng cố được các kiến thức nền tảng liên quan phục vụ cho SKKN và
nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụmg phương pháp hợp lý của từng dạng
vào giải toán. Từ đó hiểu được bản chất các dạng bài tập.
- Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ
đến bài khó với cách giải hay hơn.
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra một số bài toán điển hình
về cách tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức chứa dãy các phép tính và
biểu thức về lũy thừa trong chương trình Toán 6 và một số vấn đề mở rộng cơ
bản liên quan. Cụ thể:
- Hệ thống hoá một số bài toán điển hình về cách tìm một chữ số tận cùng
của một biểu thức chứa dãy các phép tính và biểu thức về lũy thừa trong chương
trình toán 6, từ dó mở rộng với một số bài toán cơ bản.
- Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sáng kiến. Từ đó phân
tích rút ra bài học kinh nghiệm.
- Một điều nữa là bản thân tôi dần được làm quen với công tác nghiên cứu
khoa học giáo dục, ngày càng nâng cao nhận thức, những lí luận cần thiết về
chuyên môn phục vụ cho công việc giảng dạy của bản thân.
I.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một tổng – hiệu – tích,
của một lũy thừa, tổng – hiệu các lũy thừa, lũy thừa của lũy thừa trong chương
trình toán 6 và một số tài liệu liên quan.

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 3


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

- Học sinh lớp 6 ở bậc trung học cơ sở Trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana các năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Do tuổi đời và tuổi nghề chưa nhiều, với sự tích lũy có hạn của bản thân, tôi
chỉ mạn phép nghiên cứu về cách tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức
chứa dãy các phép tính và biểu thức về lũy thừa trong chương trình toán 6, từ đó
mở rộng với một số bài toán cơ bản phân môn Số học 6 và mở rộng ở mức độ cơ
bản trong chương trình toán số học THCS nói chung.
I.5. Phương pháp nghiên cứu
1/ Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
2/ Phương pháp thực nghiệm.
3/ Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
4/ Phương pháp tác động giáo dục.
5/ Phương pháp đàm thoại.
II.
PHẦN NỘI DUNG
II.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
II.1.1. Cơ sở lý luận thực tiễn
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành
khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai
không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác
và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỉ
XX nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật
lí “không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học,
ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả”. Sự phát

triển của các nhà khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một
khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”.
Môn số học tuy chỉ được học ở 6 năm đầu của trường phổ thông, nhưng
các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi học sinh giỏi toán ở hầu hết các
nước trên thế giới. Trong thực tế, nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số
hay một biểu thức mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của chúng.
Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4; 8 hoặc chia hết cho 5; 25;
125 hay không ta chỉ cần lần lượt xét một, hai, ba chữ số tận cùng của số đó.
Vấn đề tìm chữ số tận cùng của những biểu thức đơn giản hay những luỹ thừa
bậc thấp thì học sinh dễ dàng biết được. Vấn đề đặt ra là đứng trước những biểu
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 4


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

thức phức tạp hay những luỹ thừa bậc cao thì làm thế nào học sinh định hướng
được cách giải ?
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài
tập cơ bản liên quan đến cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức. Ngoài ra,
mở rộng đối với một số bài toán về tìm hai, ba chữ số tận cùng của một biểu
thức về lũy thừa trong phần bài tập tự luyện. Mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý
nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng. Mặc dù đã cố gắng
để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những sai sót trong trình bày,
trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận được sự góp
ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc để SKKN của
tôi được hoàn thiện hơn nữa. Một điều nữa là bài tập về tìm chữ số tận cùng của

một biểu thức và các bài tập vận dụng về dạng toán này rất đa dạng và phong
phú, nhiều mức độ, có những bài rất hay, rất khó. Trong phạm vi nghiên cứu
SKKN này, tôi xin phép giới thiệu một số tính chất, nhận xét và phương pháp
giải bài toán “tìm một chữ số tận cùng” qua việc vận dụng kiến thức THCS làm
cơ sở khoa học giải quyết vấn đề của SKKN này liên hệ mở rộng một số bài ở
các lớp sau.
II.1.2. Cơ sở khoa học
Kiến thức Lí thuyết
1/ Chữ số tận cùng của một biểu thức dạng tổng, tích
- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số
hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số
hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0, 2, 6.
- Một số chính phương có tận cùng là 0,1,4,5,6,9.
2/ Chữ số tận cùng của một lũy thừa
2.1) Định nghĩa: a n = a. a. ... .a ; (n thừa số a); (với a,n ∈ N; n ≥ 1 )
2.2) Nhân (chia) hai luỹ thừa cùng cơ số
a) a m . a n = a m+n
b) a m : a n = a m-n (a ≠ 0 ; m ≥ n )
Quy ước: a 0 = 1 (a ≠ 0) ;
Người viết: Đoàn Công Nam

a1 = a

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 5

Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

2.3) Lũy thừa của một tích:

( a . b)

n

= a n . bn
n

an
a
Lũy thừa của một thương:  ÷ = n ;b ≠ 0
b
b
2.4) Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m ) n = a m.n
2.5) Một số tính chất nhận xét về chữ số tận cùng của một lũy thừa
* Tính chất 1 :
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì
thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ
số tận cùng vẫn không thay đổi.
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n
thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n
thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
* Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1
(n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
* Tính chất 3 :

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc
4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
3/ Một số dạng tổng quát cần nhớ về chữ số tận cùng của một lũy
thừa: Với n là số tự nhiên, ta có:
1.

( )

n

2.

( ...1)

n

3.

( )

n

...0

= ...0 , với mọi số tự nhiên n
= ...1 , với mọi số tự nhiên n

...5 = ...5 , với mọi số tự nhiên n

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 6


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

4.

( ...6)

5.

( ...4)

n

6.

( ...9)

n

7.

( ...2)

4n

8.

( ...3)

4n

9.

( ...7 )

4n

( ...8)

4n

= ...6;

n

= ...6 , với mọi số tự nhiên n

( )

n

( )

n

= ...4 , nếu n lẻ; ...4
= ...9 , nếu n lẻ; ...9
= ...6;

( ...2 )

4 n +1

= ...1;

( ...3)

4 n +1

= ...1;

( ...7 )

( ...8)

4 n +1

4 n +1

= ...8;

= ...6 , nếu n chẵn
= ...1 , nếu n chẵn

= ...2;

( ...2 )

4 n+2

= ...3;

( ...3)

4 n+2

= ...7;

( ...7 )

4 n+ 2

( ...8)

4 n+ 2

= ...4;

= ...4;

( ...2 )

4 n +3

= ...9;

( ...3)

4 n +3

= ...9;

( ...7 )

4 n +3

( ...8 )

4 n +3

= ...8
= ...7
= ...3

= ...2

II.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
a. Thuận lợi – khó khăn
Thuận lợi:

SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một
khoảng thời gian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh
nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình
một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hoàn thành. Với lượng kiến thức
nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của
SKKN đề ra. Đồng thời thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi
người để SKKN hoàn thiện hơn.
Khó khăn:
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt
thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do những năm
đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh nghiệm
trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học, lại
là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do đó
việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi
như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 6 còn nhỏ, tính tự giác trong
học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức
đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa,
uốn nắn nhiều, có như thế các em mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được
học một cách có hệ thống, giúp các em có thể tự làm những bài tập tương tự tốt
hơn.
b. Thành công – hạn chế
Thành công:
SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh trong nhiều tiết
luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) cũng như
trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt kết quả tốt. Đồng thời tôi đã áp
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 7

Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio (năm học
2012 – 2013; 2013 – 2014), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2013 –
2014), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2012; 2012 – 2013), thi
Violympic khối 9 (2013 – 2014). Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính
xác hơn và kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi
các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp
phần thúc đẩy kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến
thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
Hạn chế:
Học sinh khối 6 mới bắt đầu làm quen cách học mới của cấp THCS. Các
em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu phép toán cụ thể, trực
quan, tốc độ nghe – ghi – nghĩ – nói chậm hơn. Vì thế, năng lực tư duy logic của
các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và
các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do vậy,
việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về phép chia hết nói riêng đối với các em là
một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng
hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng
túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào
là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
c. Mặt mạnh – Mặt yếu
Mặt mạnh
Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá
trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội
dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng
được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi
dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS.

Mặt yếu:
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ kiến thức logic, đề bài quá “cồng
kềnh” hoặc quá “đơn giản”, dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ,
trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một vấn đề để chúng ta trăn trở,
suy nghĩ và chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, chúng ta tự
rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về
nội dung của SKKN đề ra.
d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên
những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong
học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay
giảm sút nhiều, học sinh có xu hướng thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học
thêm, học ôn quá nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học rất giỏi, có ý
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 8


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

thức rèn luyện và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài
tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho
đúng chưa nhiều, còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ
(quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt,
các em lười học bài và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó,
chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến thức về lũy thừa, tìm chữ số tận cùng của
lũy thừa, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày. Vì vậy mà các em
nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương

tự. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng
hiệu quả là luyện giải bài tập.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng
Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức,
lấy lại sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ
thống lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của
một bài tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó.
Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh.
II.3. GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
II.3.1. MỤC TIÊU CỦA GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương
pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của
trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em
để các em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức cho bản thân...
Để áp dụng tốt một số kiến thức về phép chia hết vào làm bài tập cần sử
dụng hợp lý tất cả các phương pháp dạy học: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở,
trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối
với các em. … để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
II.3.2. NỘI DUNG VÀ CÁCH THỨC THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN
PHÁP.
NỘI DUNG
Một số dạng bài tập điển hình.
Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức dạng tổng, tích
Ví dụ 1:
a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tích của chúng có thể là
một số lẻ được không?
b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tổng của chúng có thể là
một số lẻ được không?
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 9


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được
không?
Gợi ý:
a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm một số chẵn và
một số lẻ, do đó tích của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ
được).
b) Tích hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tích đó gồm hai thừa số đều
là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ được).
c) Lấy “tổng” cộng với “hiệu” ta được hai lần số lớn, tức là được một số
chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (không thể
một số là chẵn, số kia là lẻ được).
Ví dụ 2 : Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay
sai?
a) 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744
b) 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115.
c) 5674 . 163 = 610783
Gợi ý:
a) Sai. Vì đây là tổng của 5 số lẻ nên kết quả là một số lẻ.
b) Sai. Vì đây là tổng của các số chẵn nên kết quả là một số chẵn.
c) Sai. Vì tích của một số chẵn với bất kỳ một số nào cũng là một số chẵn.
Ví dụ 3: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024
Gợi ý: Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số
tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán). Do đó

4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9. Ta
có:

24 024 > 10 000 = 10 . 10 . 10 . 10
24 024 < 160 000 = 20 . 20 . 20 . 20

Nên tích của 4 số đó là : 11 .12 . 13 .14 hoặc 16 . 17 . 18 .19. Vì :
11 . 12 . 13 . 14 = 24 024
16 . 17 . 18 . 19 = 93 024.
Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14
Ví dụ 4: Tính 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ... . 48 . 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 10


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Gợi ý: Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,
40, 45.
Hay 5 = 1 . 5 ; 10 = 2 . 5 ; 15 = 3 . 5; ........; 45 = 9 . 5.
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa
số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.
Ví dụ 5: Hùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không
tính tổng đó em cho biết Hùng tính đúng hay sai?
Gợi ý: Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ. Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Hùng tính
tổng của số lượng các số lẻ là 50 – 10 = 40 (số)

Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên
Hùng đã tính sai.
Ví dụ 6: Tích 20 . 21 . 22 . 23 . ... . 28 . 29 tận cùng bằng mấy chữ số 0?
Gợi ý: Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0
Ta lại có 25 = 5 . 5 nên 2 thừa số 5 này khi nhân với 2 số chẵn cho tích tận cùng
bằng 2 chữ số 0. Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.
Ví dụ 7: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0: 13 . 14 . 15 . ... . 22
Gợi ý: Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ
số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích.
Vậy tích trên có 2 chữ số 0.
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 2492008
Nhận xét: Các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa bậc chẵn được số có tận
cùng bằng 1. Do đó ta có: 2492008 = ....1 . Vậy chữ số tận cùng của 2492008 là 1
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của:

a) 81997

b) 71995

Nhận xét:
a) Các số có tận cùng bằng 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng
bằng 6. Các số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số
tận cùng bằng 6. Do đó ta có:
81997 = 84.499 + 1 = ( 84 )

499

( )

. 8 = ...6

499

( )

. 8 = ...6 . 8 = ...8 .

Vậy chữ số tận cùng của 81997 là 8

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 11


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận
cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có
chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có:
71995 = 7 4.498 + 3 = ( 7 4 )

498

( )

. 73 = ...1

498

( )( ) ( )

...3 = ...1 ...3 = ...3

Vậy chữ số tận cùng của 71995 là 3
Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của các số :
a) 799

b) 141414

c) 4565

Gợi ý:

( )

a) Ta có: ...7

4n

( ...7 )

= ...1;

99
4.24 + 3
= 7 4k
Dó đó: 7 = 7

( ...4)

b) Ta có

n

( ...7 )
.7 = ( ...1) .( ...3 ) =...3
4 n +1

4 n+ 2

= ...7;

= ...9;

( ...7 )

4 n +3

= ...3

3

( ...4)

= ...4 , nếu n lẻ;

n

= ...6 , nếu n chẵn. Do đó:

141414 = 142n = ...6
c) Ta có 4565 = 44.141 + 1 = ( 44 )

( )

.141

.4 = ...6

141

.4 = ...4

Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của 182324
Nhận

( )
...2

xét:

4n

= ...6;

( )
...2

4 n +1

Ta

( )

= ...2;

...2

( )

Do đó: 182324 = ( 1824 ) = ...6
81

81

4 n+ 2

= ...4;

( )
...2

4 n +3

thấy

= ...8

= ...6 .

Vậy chữ số tận cùng của 182324 là 6
Ví dụ 5: Tìm chữ số tận cùng của ( 3245324 )

( )

209

n

Nhận xét: Ta thấy ...5 = ...5 với mọi số tự nhiên n.

( 3245324 )

209

( )

= ...5

209

=...5 . Vậy chữ số tận cùng của ( 3245324 )

209

là 5

Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một tổng – hiệu các lũy thừa
Ví dụ 6: Tìm chữ số tận cùng của các hiệu, tổng :
a) 77 2001 − 212001

b) 12591 + 12692

a) Nhận xét cách làm:

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 12


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

+ Tìm chữ số tận cùng của 77 2001 và 212001
+ Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được.
77 2001 − 212001 = ... = ...7 − ...1 = ...6
Vậy chữ số tận cùng của hiệu 772001 – 212001 là 6
b) Nhận xét cách làm:
+ Tìm chữ số tận cùng của 12591 và 12692
+ Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được.
uur
12591 + 12692 = ...= ...5 + ...6 = ...1
Vậy chữ số tận cùng của tổng 12591 + 12692 là 1
Ví dụ 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 +49 +... +20048009
Nhận xét:
Theo tính chất 2 ta có: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1

(n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
- Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa bằng tổng các chữ số tận cùng của
từng lũy thừa trong tổng ấy.
Ta thấy mọi luỹ thừa trong tổng S có số mũ khi chia cho 4 đều dư 1 (các
luỹ thừa đều có dạng n 4(n - 2) + 1 , với n ∈ { 2;3;...2004} ). Do đó, mọi luỹ thừa trong
S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận
cùng của chính mỗi lũy thừa đó.
Nên:
S = 21 + 35 + 49 + ... + 20048009 =

= ( 21 + 35 + 49 + ...929 ) + 200 ( 1033 + 2073 + ... + 20007993 ) + ( 1137 + .. + 19997989 ) + ( 20017997 + ... + 20048009 )
= ( 2 + 3 + 4... + 9 ) + 221( 1 + 2 + ... + 9 ) + 1 + 2 + 3 + 4 = 222 ( 1 + 2 + ... + 9 ) + 9 = 9999

Vậy tổng: S = 21 + 35 +49 +... +20048009 có chữ số tận cùng là 9
Ví dụ 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng: A = 23 +37 +411 +... + 20048011.
Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong A đều có số mũ là một số khi chia cho 4 dư 3
(các luỹ thừa đều có dạng n 4(n-2)+3 ; n ∈ {2;3; ...;2004}.
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8.
37 có chữ số tận cùng là 7
411 có chữ số tận cùng là 4…
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 13


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Như vậy, tổng A có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng sau:

S = 23 + 37 + 411 + ... + 20048009 =

= ( 23 + 37 + 411 + ...93 ) + 200 ( 1035 + 2075 + 30115... + 20007995 ) + ( 1139 + 12 43... + 1999 7989 ) + ( 20017997 + ... + 20048011
= ( 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 ) + 221( 1 + 8 + 7 + ... + 9 ) + 1 + 8 + 7 + 4 = 222 ( 1 + 8 + 7 + ... + 9 ) + 19 = 10009

Vậy chữ số tận cùng của A là 9.
Sau khi học sinh đã thành thạo cách tìm chữ số tận cùng của một biểu
thức, ta có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng
minh và tìm số dư trong phép chia thông qua một số bài tập sau:
Dạng 4: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để chứng minh bài toán về phép
chia hết
Ví dụ 9: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau chia hết cho 10
a)175 + 24 4 − 1321
b)8102 − 2102
Nhận xét:
- Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0.

( )

- Ta đã biết: ...4

( ...7 )

4n

( ...3)

4n

n

( )

= ...4 , nếu n lẻ; ...4

= ...1;

( ...7 )

= ...1;

( ...3)

4 n +1

4 n +1

n

= ...6 , nếu n chẵn

= ...7;

( ...7 )

4 n+2

= ...3;

( ...3)

4 n+2

= ...9;

( ...7 )

4 n +3

= ...9;

( ...3)

4 n +3

= ...3
= ...7

a) Ta thấy:
175 = 17 4 . 17 = ...1 .17 = ...7 => chữ số tận cùng của 175 là 7
244 = ...6

=> chữ số tận cùng của 244 là 6

1321 = ( 1320 ) .13 = ( 134 ) .13 =...1.13 = ...3 => chữ số tận cùng của 13 là 3
5

21

Vậy chữ số tận cùng của 175 + 244 − 1321 = ...7 + ...6 − ...3 =...0 . Mà một số có

chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho 10 do đó 175 + 244 − 1321 chia hết cho 10
b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số
có chữ số tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác
0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có:

( )

8102 = ( 84 ) . 82 = ...6
25

Người viết: Đoàn Công Nam

25

. 64 =...6 . 64 =...4 => Chữ số tận cùng của 8102 là 4
Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 14


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

2102 = ( 24 ) .22 =1625 .4 =...6.4 = ...4 => Chữ số tận cùng của 2102 là 4
25

Vậy 8102 − 2102 tận cùng bằng 0 nên 8102 − 2102 chia hết cho 10
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ; n >1 thì 22 +1 có chữ số tận
n

cùng là 7

n −2

n

Ta xét số mũ 2n , ta có: 2n = 22 . 2n-2 =4. 2n-2 , do đó 22 = 24.2 (24 ) 2

n−2

= ( 16 )

2n − 2

có chữ số tận cùng là 6.
n

Vậy 22 +1 có chữ số tận cùng là 7.
Dạng 5: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để tìm số dư trong phép chia
Ví dụ 11: Tìm số dư trong phép chia 7129 cho 5

( )

Vì 7129 = 7 4.32+1 = ( 7 4 ) .7 = ...1
32

32

.7 = ...7 ⇒ 7129 có chữ số tận cùng là 7 nên

khi chia 7129 cho 5 thì dư 2
Vậy số dư của phép chia 7129 cho 5 là 2

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Không làm phép tính, hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận
cùng bằng chữ số nào?
a) (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 + 736 + 89)
b) 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . ... . 99
c) 6 . 16 . 116 . 1216 . 11996
d) 31 . 41 . 51 . 61 . 71 . 81 . 91
e) 56 . 66 . 76 . 86 - 51 . 61 . 71 . 81
Bài 2: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0
a) 1 . 2 . 3 . ... . 99 . 100;

b) 85 . 86 . 87 . ... . 94;

c) 11 . 12 . 13 . ... . 62

Bài 3: Không làm tính, xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại sao?
136 . 136 − 41 = 1960
Bài 4: Cho số a = 1234567891011121314. . . được viết bởi các số tự nhiên liên
tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931; 8732 ; 58337 ; 2335
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (2345) 42 ;

(5796)35

Bài 7: Cho A =51n + 47102 (n ∈ N) . Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 15


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau. Từ đó tìm số dư khi chia
mỗi tổng, hiệu đó cho 2, cho 5?
a) 132001 − 82001
b) 7552 − 218
c) 12591 +12692

d) 116 +126 +136+146 +156 +166
e) 7 2008 +7 2009 +7 2010
f) 22004 + 22005 + 2 2006
g) 22007 + 22008 + 22009
Bài 9: Chứng tỏ rằng với mọi n ∈ N * (n > 1) thì (22 ) 2n +1 + 1 có chữ số tận cùng
là 5
Bài 10: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n:
a) ( 7 4n − 1) M5

c) ( 24n+1 +3) M 5

b) ( 34n+1 +2 ) M5

d) ( 92n+1 +1) M10
BÀI TẬP MỞ RỘNG

* Dạng toán: Tìm hai chữ số tận cùng
Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến những số
đặc biệt như sau:

- Các số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ
số tận cùng bằng 01
- Các số có tận cùng bằng 25 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ
số tận cùng bằng 25
- Các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ
số tận cùng bằng 76
- Các số ...320 , ...815 , ...7 4 , ...512 , ...992 có chữ số tận cùng bằng 01
- Các số ...220 , ...65 , ...184 , ...242 , ...684 , ...742 có số chữ tận cùng bằng 76
- Số ...26n (n > 1) có chữ số tận cùng bằng 76
Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 16


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Hướng dẫn: Chú ý rằng: 210 =1024 , bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì
được số có chữ số tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa
nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:

(

2100 =(210 )10 =102410 = ( 10242 ) = ...76
5

)

5

= ...76 Vậy hai chữ số tận cùng của

2100 là 76
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 62011
Hướng dẫn: Ta thấy: 65 = 7776 , số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào
(khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 76. Do đó ta có:

(

62011 = 62010 . 6 = (65 ) 402 . 6 = ...76

)

402

. 6 =...76 . 6 = ...56

Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56
* Dạng toán tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến các
số đặc biệt sau:
- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 001 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì
được số có ba chữ số tận cùng bằng 001
- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì
được số có ba chữ số tận cùng bằng 376
- Các số có ba chữ số tận cùng bằng 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì
được số có ba chữ số tận cùng bằng 625

- Các số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)
thì được số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625
Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 10012230 và 5016780
Hướng dẫn:
+) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được
số có ba chữ số tận cùng bằng 001
Ta có 10012230 = ...001
Vậy ba chữ số tận cùng của 10012230 là 001
+) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được
số có ba chữ số tận cùng bằng 001.
Do đó ta có:

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 17


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

5016780 = (5012 )3390 = 2510013390 =...001
Vậy ba chữ số tận cùng của 5016780 là 001
Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận cùng của 53404 ; 53405
Hướng dẫn: Ta có: 53404 =(54 )851 =625851 =0625851 =...0625
Vậy bốn chữ số tận cùng của 53404 là 0625
Suy ra 53405 = 53404 .5 = ...0625.5 = ...3125
Vậy bốn chữ số tận cùng của 53405 là 3125
Ví dụ 5: Chứng minh rằng 262375 chia hết cho 8
Hướng dẫn: Ta thấy: 265 = 11881376 , số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ

thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376. Do đó ta có:

(

262375 =(265 )475 = ...376

)

475

=...376

Mà 376 chia hết cho 8 nên ...376M8 (vì một số có ba chữ số tận cùng chia hết
cho 8 thì chia hết cho 8). Vậy 262375 chia hết cho 8
Bài tập tương tự:
1. Tìm hai chữ số tận cùng của 511999 (Đáp án: hai chữ số tận cùng của 511999 là
51)
2. Tìm chữ số hàng chục của tổng S = 7 2008 + 7 2009 + 7 2010 (Đáp án: chữ số hàng
chục của S = 7 2008 + 7 2009 + 7 2010 là 5)
Trên đây là một số bài tập điển hình tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể.
Qua việc áp dụng các kiến thức về lũy thừa và các nhận xét về chữ số tận cùng
của một tích, một tổng, ..để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách
chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học một cách logic, có
căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của
học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời
giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu các tình
huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụng kiến thức đã học vào thực tế.
CÁCH THỨC THỰC HIỆN:
Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về phép chia hết,
theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 18


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

1. Thứ nhất, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về cách tìm
chữ số tận cùng của một biểu thức như một số dạng nêu trên. Sau đó, cho học
sinh so sánh với kiến thức liên quan đã học ở bậc tiểu học để các em thấy những
kiến thức này thật ra là quen thuộc, ở lớp 6 có mở rộng và cao hơn.
2. Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết
dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản và các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ dễ
đến khó. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm cho học sinh vì
đây là học sinh đầu cấp, còn bỡ ngỡ nhiều với phương pháp học tập ở cấp
THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở
nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.
3. Thứ ba, bài tập về chữ số tận cùng của một biểu thức nhiều, muôn hình,
muôn vẻ nên với mỗi dạng giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các
kiến thức đã áp dụng như các quy tắc, các nhận xét, song sau khi giải hoặc
hướng dẫn giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi
gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
4. Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em,
tạo tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn
có nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta
buồn bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem
lại kết quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh.

5. Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến
thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các
mảng kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh
phần nào biết được mức độ năm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn
II.3.3. ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP.
Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học
của giáo viên – học sinh, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán các khối
lớp THCS với những kiến thức liên quan. Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và
sự chuẩn bị chu đáo cho nội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan
hơn. Bên cạnh đó, có thể mở rộng kiến thức vào các bài tập nâng cao đối với
học sinh khá giỏi trong những tiết học hai buổi…
II.3.4. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 19


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ tương tác, mang tính
biện chứng.
Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn
nhau. Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản cho quá trình dạy - học (là nền tảng). Giải
pháp (2) tạo sự bền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm. Giải pháp (3)
là nhân tố tác động có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả cho
người học khi người học có ý thức tự giác và cố gắng. Giải pháp (4) hỗ trợ, tạo
động lực cho người học, tạo phấn khích để tăng thêm ý chí cố gắng và lòng
quyết tâm, vững tin hơn đối với chủ thể của quá trình tiếp cận tri thức của nhân

loại. Cuối cùng, giải pháp (5) như đòn bẩy, tạo sức bật cho người học, tạo sự hấp
dẫn, bí ẩn cho kiến thức toán học vốn dĩ khó, khô khan, bí ẩn.
Nhìn chung các giải pháp này đan xen, tương tác với nhau, tạo nên những
nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu quả riêng cho mỗi giáo viên bởi hiệu
quả đạt được của quá trình dạy học còn phụ thược vào nghệ thuật riêng của
mỗi nhà giáo
II.3.5. KẾT QUẢ KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA HỌC CỦA
VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
• Bản thân tôi đã trực tiếp vận dụng các giải pháp vào các lớp dạy
của mình thì thấy sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại hiệu quả một
cách thiết thực.
• Học sinh học tập một cách tích cực, chủ động.
• Mỗi tiết học đều có những chuyển biến tích cực trong việc lĩnh hội
kiến thức, kĩ năng thực thực đối với học sinh.
• Sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa đóng góp về mặt lý luận.
II.4. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC QUA KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA
HỌC CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
Qua quá trình tích lũy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân
tôi thấy trước hết tôi đã tích lũy cho mình được vốn kiến thức nho nhỏ về cách
tìm chữ số tận cùng của một biểu thức để có thể phục vụ công việc giảng dạy và
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân. Đối với học sinh, sau mỗi năm
học lớp 6, mỗi kì thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy đa số các em đã biết tích lũy
kiến thức cơ bản, nhiều em trong số đó đạt kết quả cao trong học tập, đạt giải
cao trong thi học sinh giỏi các môn về Toán học.
Cụ thể trong những năm qua, kết quả của chủ đề tìm chữ số tận cùng của
một lũy thừa mà tôi bổ trợ cho học sinh đã đạt kết quả như sau:

Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 20


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

Năm học

Năm học

Năm học

Kết quả thi học

2011 – 2012
2012 – 2013
2013 – 2014
sinh giỏi các cấp
- Đa số học sinh - Nhiều học sinh - Đa phần các em - Năm học
tính kết quả bằng học trung bình trong các lớp tạo 2011 – 2012: 6 em
máy tính rồi kết nên chỉ năm các nguồn đã rèn được đạt

HSG

luận chữ số tận bài tập đơn giản, cách trình bày bài Violympic

cấp

cùng

giải

của

biểu hiểu

nội

dung toán, bình tĩnh suy tỉnh :

thức. Khi gặp lũy kiến thức nhưng nghĩ
thừa có số mũ lớn mau quên

01

tìm hướng nhất,02 giải nhì,03

giải cẩn thận. Có giải khuyến khích

lúng túng và nản - Khi ôn thi HSG 06 em trong đội - Năm học
chí

với

chuyên

đề tuyển

thi

Toán 2012 – 2013: 1 em

- Vận dụng ôn này,

học

sinh Violympic Tỉnh

đạt

HSG

tập HSG khối 9 thích

thú,

vận

Violympic

các môn Toán : dụng

giải

toán

quốc gia : 01 công

cấp

Học sinh vững bằng máy tính tốt,

nhận

vàng, chủ động tự tin khi tìm một,

- Năm học

và tự tin khi làm hai, ba chữ số tận

2013 – 2014: đạt

dạng toán này.

03

cùng

khi

thi

HSG

Toán

Violympic Toán

Huyện, 01 HSG

9

Toán

Tỉnh

(giải

KK),

02

HSG

Casio Tỉnh (01 giải
Ba:01 KK)...
Theo tôi nghĩ nội dung nghiên cứu của SKKN này sẽ đáp ứng được lượng
kiến thức cần thiết cho các em học sinh có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng
thời đối với mỗi giáo viên, đã tạo cho chúng ta nhiều suy nghĩ để mỗi người tự
tích lũy thêm cho bản thân vốn kiến thức ngày một trọn vẹn để mỗi ngày dạy tốt
hơn, có nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau này hay và giá trị hơn những ý tưởng
có trước.
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
III.1. KẾT LUẬN
Việc giải các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một biểu thức là việc
làm cần thiết đối với học sinh khá giỏi ở lớp 6 và các lớp cao hơn. Tuy nhiên
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 21


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

việc đi tìm các chữ số tận cùng của một số viết dưới dạng luỹ thừa hay một biểu
thức có chứa luỹ thừa là một câu hỏi mà không ít các em học sinh học ở mức
khá giỏi lúng túng dẫn đến làm bài một cách máy móc, phán đoán, mò mẫm.
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên sau khi áp dụng giảng dạy cho
học sinh lớp 6 các năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011 và bồi
dưỡng học sinh giỏi môn Toán, môn giải toán trên máy tính cầm tay Casio, môn
giải toán trên Mạng Internet Violympic mà bản thân tôi đã đảm nhận tôi thấy
trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt khi giải các bài toán tìm các chữ số tận
cùng của một biểu thức và vận dụng nó vào giải các bài toán chia hết, tìm số
dư,....Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một biểu
thức, đồng thời các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để trình bày lời
giải một cách ngắn gọn và đầy đủ.
Học sinh không còn lúng túng khi gặp phải những bài tập dạng này mà các
em đã thấy hứng thú, vui vẻ khi gặp các loại toán này trong quá trình học cũng
như thi. Đặc biệt các em chủ động tìm tòi và phát huy khả năng sáng tạo trong
lời giải. Do vậy kết quả thi học sinh giỏi các cấp nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích
học môn toán hơn.
Trên đây là những suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo để giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi Toán của bản thân tôi trong quá trình thực hiện nhiệm vụ được
giao. Để thực sự nắm vững và có kĩ năng thành thạo trong việc vận dụng vào
giải toán thì ngay từ đầu khi học, giáo viên có thể chọn lọc từng phương pháp
phù hợp với từng khối lớp nhằm khai thác và phát triển từ bài toán cụ thể trong
SGK và sách bài tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư duy toán học cho những đối
tượng học sinh khá, giỏi từ đó gây được hiệu ứng tích cực và lòng say mê sáng
tạo trong học tập nói chung và trong học toán nói riêng.

Qua quá trình nghiên cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để
học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao năng lực chuyên môn góp
phần thực hiện tốt nhiệm vụ được giao, tạo hứng thú cho các em trong học toán,
nâng cao chất lượng giáo dục và góp phần nhỏ bé của mình vào sự nghiệp giáo
dục của Đảng, Nhà nước.
Một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra trong quá trình giảng
dạy và thực hiện nhiệm vụ chuyên môn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 22


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

sót, rất mong được sự góp ý bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi
hoàn thiện hơn trong quá trình chỉ đạo chuyên môn để đáp ứng được với yêu cầu
của sự nghiệp giáo dục trong thời thời kì hiện nay.
- Sáng kiến kinh nghiệm mang lại những ý nghĩa nhất định:
 . Ý nghĩa thực tiễn:
- Vận dụng, một số giải pháp trên trong giờ dạy tôi đã mang đến những giờ học
trực quan cho học sinh, giúp các em tiếp thu bài được tốt hơn và nhớ lâu hơn
những gì mà các em đã học được. Đồng thời, cách làm này còn giúp chúng tôi
đỡ vất vả hơn trong việc quản lý và hướng dẫn học sinh học tập, tạo sự gần gũi
giữa giáo viên và học sinh, giúp các em mạnh dạn phát huy hết khả năng của
mình.
Phạm vi áp dụng:
- Có thể nói rằng đề tài này được nhiều đồng nghiệp quan tâm, thúc đẩy chúng
tôi cùng thực hiện và ngày càng bổ sung cho nhau hơn để mang lại hiệu quả tốt

nhất trong giờ dạy.
- Đề tài đã áp dụng cho học sinh khối 6 trường THCS Lương Thế Vinh – Krông
Ana – ĐắkLắk.
 Bài học kinh nghiệm
- Giáo viên linh hoạt khi giảng dạy đồng thời kích thích khả năng tư duy của học
sinh có biểu hiện tốt để khuyến khích động viên tinh thần những học sinh khác,
nhất là các học sinh yếu có thể học hỏi nhiều từ bạn mình.
- Giáo viên phải thực sự tâm huyết với nghề, nhiệt tình với học sinh, làm việc
với tinh thần đầy trách nhiệm.
- Giáo viên cần đầu tư kĩ cho bài dạy để học sinh có thể quan sát và vận dụng
kiến thức vừa tiếp thu thì các em sẽ khắc sâu hơn.
- Xây dựng nhóm học sinh nòng cốt của lớp để giúp đỡ học sinh yếu kém.
III.2. KIẾN NGHỊ
III.2. Kiến nghị
Qua quá trình giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua thực tế tìm hiểu quá
trình dạy và học của học sinh. Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến như sau:
- Ở các trường nên tăng thêm một vài hoạt động ngoại khóa toàn trường về
tìm hiểu kiến thức phổ thông theo từng môn để học sinh có cơ hội giao lưu, học
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 23


Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

hỏi và khẳng định bản thân, giúp các em hăng say học tập và đam mê nghiên
cứu để thể hiện mình hơn như ngoại khóa vui học cùng toán học, cùng khám phá
những ẩn số, những con số bí ẩn…

- Chúng ta cần có những buổi chuyên đề bàn sâu về một nội dung, một
trọng điểm hay một vấn đề cụ thể của Toán học để thu hút đông đảo sự tham gia
của toàn bộ giáo viên trong trường, trong cụm hoặc trong huyện (tùy vào phạm
vị tổ chức).
Trên đây là nội dung sáng kiến kinh nghiệm của tôi. Một lần nữa tôi xin
chân thành cảm ơn quý thầy cô, các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành
SKKN này. Do năng lực và kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN này không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
quý thầy cô, đồng nghiệp và quý bạn đọc để SKKN này được hoàn thiện hơn
Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu thêm về đề tài này nên
những ý kiến đóng góp của quý thầy cô sẽ giúp tôi hoàn thành đề tài một cách
trọn vẹn. Mọi ý kiến đóng góp, quý thầy cô xin gửi về địa chi e-mail:
Xin chân thành cảm ơn!
Krông Ana, Ngày 03 tháng 01 năm 2015
Người viết

Đoàn Công Nam

KÝ HIỆU VIẾT TẮT
TT

Chữ viết tắt

Người viết: Đoàn Công Nam

Viết đầy đủ
Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 24

Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

SKKN
SGK
THCS
GV
ƯCLN
THCS
HSG

Sáng kiến kinh nghiệm
Sách giáo khoa
Trung học cơ sở
Giáo viên
Ước chung lớn nhất
Trung học sơ sở
Học sinh giỏi
TƯ LIỆU THAM KHẢO

Các chuyên đề số học bồi dưỡng Học sinh giỏi – Tác giả Phạm Minh Phương
- Sách giáo khoa toán 6; Sách giáo viên toán 6; Sách bài tập toán 6 (tập 1)

- Sách Nâng cao và phát triển toán 6 – Tác giả Vũ Hữu Bình
- Một số chuyên đề về tìm một, hai, ba chữ số tận cùng của một lũy thừa trên
Tạp chí Toán tuổi thơ 2.
- Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS phần số học (nhóm
tác giả Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Đỗ Quang Thanh… ) của
nhà xuất bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
- Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi của tác giả phạm Minh
Phương – nhà xuất bản Giáo dục.

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
Người viết: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang: 25