Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Mục lục
• Bµi to¸n 1
VÝ dô 1
VÝ dô 2

• Bµi to¸n 2
TiÕp tuyÕn t¹i 1 ®iÓm
TiÕp tuyÕn ®i qua 1 ®iÓm
TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k
VÝ dô 3
®å thÞ vµ c¸c tiÕp tuyÕn
Sù tiÕp xóc cña hai ®êng

• Bµi to¸n 3
®Ò bµi tËp
®å thÞ (C)
®å thÞ (C1)
®å thÞ (C2)
®å thÞ (C3)
KÕt luËn


Tiết 41
Một số bài toán liên
quan đến khảo sát hàm
số

Bài toán 1: Xác định giao điểm của hai đờng
Bài toán 2: Viết PT tiếp tuyến
Bài toán 3: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối

1. Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đờng
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x)
có đồ thị là (C1). Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1).
Giải:
M0(x0; y0) là giao điểm
của (C) và (C1) khi và
chỉ khi (x0; y0) là
nghiệm của hệ:

y = f ( x)

y = g ( x)

y

(C1)

(C)
Mo

y0
O

x0

x


®Ó x¸c ®Þnh hoµnh ®é giao

®iÓm cña (C) vµ (∆) ta lµm nh
thÕ nµo?
Do ®ã ®Ó x¸c ®Þnh hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm
cña (C) vµ (C1) ta gi¶i PT:
f(x) = g(x)

(1)

 NÕu x0, x1, … lµ nghiÖm cña (1) th× c¸c ®iÓm
M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) … lµ c¸c giao ®iÓm cña (C) vµ
(C1)


Ví dụ 1:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số:
x2 6x + 3
y=
(C ) và
x+2

y = x m ()

Giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và ():
(8 m) x = 2 m + 3 (2)
x2 6x + 3
= x m ( x 2)
x+2
x 2

m 8: (2) có nghiệm duy nhất x = 3 + 2m
8m
Nghiệm này khác 2.
(do 3 + 2m = 2 3 = 16 vô lý)

8m


VËy trong trêng hîp nµy, (C) vµ (∆) cã mét giao ®iÓm lµ:

 2m + 3 m 2 − 6m + 3 
M
;
÷
−
m
+
8
8
−
m


• NÕu m = 8: PT cã d¹ng 0x – 19 = 0 (V« nghiÖm)

⇒ (C) kh«ng c¾t (∆).


Ví dụ 2
a) Vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3x2 - 4

b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận theo m số nghiệm
y
của phơng trình : x3 + 3x2 - 4 = m (*)
Giải:
a) Ta có đồ thị (C) nh
hình vẽ
b) Số nghiệm của ph
ơng trình (*) chính là số
giao điểm của (C) và đ
ờng thẳng (d):
y=m

1
-3

-2

-1

1

0
-2

-4

2

x

Sè giao ®iÓm cña (C) vµ (d) tuú theo m?
y

y=m

1
-3

-2

-1

1
0

-2

-4

x


KÕt luËn:
+

m>0
⇒ (*) cã 1 nghiÖm
m<-4

+

m=0
⇒ (*) cã 2 nghiÖm
m=-4

+ NÕu - 4 < m < 0 ⇒ (*) cã 3 nghiÖm


®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña PT:
F(x, m) = 0 (*) dùa vµo ®å thÞ (C) cã
PT
y = f(x). Ta biÕn ®æi (*) ⇔ f(x) =
g(m), sau ®ã biÖn luËn sè giao ®iÓm
cña (C) víi ®êng th¼ng y = g(m), tõ
®ã rót ra kÕt luËn.


Bài toán 2 : Viết phơng trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x). Gọi (C) là đồ thị, viết phơng trình
tiếp tuyến của (C) biết :
Trờng hợp 1 : Tiếp tuyến tại M0(x0 ; y0) (C)
Giải :
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
y
y - y = f (x ) (x - x )
0

0

0

+ x0 y0 ; f(x0)
+ f(x0) x0 ; y0
+ y0 x0 ; f(x0)

M0

y0
O

x0

x


Trêng hîp 2:

TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M1(x1; y1 )

Gi¶i:
- §êng th¼ng d ®i qua ®iÓm
M1(x1; y1) vµ cã hÖ sè gãc k cã
ph¬ng tr×nh:
y- y1 = k(x - x1)
⇔ y = k (x- x1) + y1
- §Ó cho d lµ tiÕp tuyÕn cña
(C), hÖ sau ph¶i cã nghiÖm :
f(x) = k(x- x1) + y1
f ’(x) = k

Gi¶i hÖ ta sÏ cã x0 ⇒ k = f'(x0)

y

M1

y1
O

x1

x


Trêng hîp 3:

TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc lµ k

Gi¶i:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:

f'(x) = k

⇒ Hoµnh ®é c¸c tiÕp ®iÓm x0, x1, ...
⇒ PTTT cã d¹ng:

y – yi = k(x – xi)

(i = 0, 1, ...)

VÝ dô 3. Cho ®êng cong (C): y = x3 . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp
tuyÕn cña ®êng cong ®ã :
a) T¹i ®iÓm (1 ; 1)
b) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm (1; 1)
c) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3
Gi¶i:
Ta cã: y’= 3x2
a) y’ (1) = 3 ⇒ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ :
y - 1 = 3(x - 1) ⇔ y = 3x - 2
b) PT®T (d) víi hÖ sè gãc k qua (1; 1) cã d¹ng:
y = k(x – 1) + 1


®Ó (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) th× hÖ sau cã nghiÖm:
 x = 1
 x 3 = k ( x − 1) + 1  
1
⇔  x = −
 2
2
3 x = k

k = 3 x 2
• x = 1 ⇒ k = 3 ⇒ PTTT: y = 3x +2
1
3
3
1
gx = − ⇒ k = ⇒ PTTT : y = x +

2
4
4
4
b) Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é tiÕp ®iÓm: 3x2 = 3 ⇔ x = ± 1
• x = 1 ⇒ y(1) = 1 ⇒ PTTT: y - 1 = 3(x - 1 ) ⇔ y = 3x - 2
• x = -1 ⇒ PTTT: y = 3x +2


® å thÞ (C) vµ c¸c tiÕp tuyÕn


(!) Chú ý:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tơng ứng là
(C) và (C)
(C ) và (C) tiếp
xúc với nhau nếu
và chỉ nếu tại
tiếp điểm chúng
có cùng một tiếp
tuyến
hệ PT sau có
nghiệm :
f(x) = g(x)
f(x) = g(x)

y
(C)

(C')

Mo

y0

O

x0

x


Bài toán 3: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối
(C): y = f(x)
(C1): y = | f(x) |

(C2): y = f(| x |)

x 3x + 3
Vẽ đths y =
(C) , từ đó suy ra đồ thị:
x 1
x 2 3x + 3
a) y = f1 (x) =
(C1 )
x 1
x2 3 x + 3
b) y = f 2 (x) =
(C 2 )
x 1

x 2 3x + 3
c) y = f 3 (x) =
(C3 )
x 1
2

Ví dụ 4

Các dạng khác ...


®å thÞ (C): y = f(x)
• B¶ng BT:

x
y′

0
0

−∞
+

y

1
−

2
0

−

−3

+∞
+

+∞

−∞

+∞
1

−∞
y
4

• ®å thÞ:

3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5


®å thÞ (C 1 ): y = |f(x)|
®å thÞ (C1) lµ ®êng
mµu ®á .
Nã ®îc suy ra tõ
(C) b»ng c¸ch:
- Gi÷ nguyªn phÇn ®å
thÞ phÝa trªn Ox
- LÊy ®èi xøng qua
Ox phÇn ®å thÞ phÝa d
íi.

y
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5

đồ thị (C 2 ): y = f(|x|)
đồ thị (C2) là đờng
màu đỏ .

y
4
3

Nó đợc suy ra từ
(C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần
đồ thị bên phải Oy
- Lấy đối xứng qua
Oy phần đồ thị vừa
vẽ.

2
1

x
-6

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5


đồ thị (C 3 )
đồ thị (C2) là đờng
màu đỏ .

y
4
3

Nó đợc suy ra từ (C)
bằng cách:

- Giữ nguyên phần
đồ thị bên phải Tcđ
- Lấy đối xứng qua
Ox phần đồ thị bên
trái Tcđ

2
1

x
-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5

2

3

4

5


Kết luận

(C): y = f(x)
Giữ nguyên phần đồ thị phía
trên Ox và Lấy đối xứng qua
Ox phần đồ thị phía dới.

Giữ nguyên phần đồ thị phía
bên phải Oy và Lấy đối xứng
qua Oy phần đồ thị đó.

(C1): y = | f(x) |

(C2): y = f(| x |)