Phương trình vi phân 1

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

TOÁN 4 – HK2 0506
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
(PHẦN 1)
•

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (4/2006)


NỘI DUNG

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – TỔNG QUAN
2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ
6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH
7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
8 – PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM
(SINH VIÊN TỰ XEM: SGK, TRANG 136 – 139)


TỔNG QUAN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện … ⇒ Phương trình vi phân!
C

R
i

V0

L

di
q
U R = iR, U L = L , U C =
dt
C
di
q
L
+
Ri
+
=0
Kirchhoff:
dt
C
dq
d 2q
dq q
i=

⇒ L 2 +R + =0
dt
dt
dt C

Vận tốc nguội đi tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật và
nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và
vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút.
Sau bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật sẽ là 30°C?


KHÁI NIỆM CƠ BẢN

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x),
biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 … n
dy
+ 3x = 0
VD:
dx

Cấp 1

y ' '+4 y '+3 y ( x ) = e x

Cấp 2

( x + y ) dx − ( x − y ) dy = 0

Cấp 1

Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n
Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: F ( x, y ( x ) , y ' ( x ) ) = 0
( n)
Dạng tổng quát cấp n: F ( x, y ( x ) , y ' ( x ) , y ' ' ( x ) ,  , y ( x ) ) = 0


NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nghiệm

PTVP:

Hàm số y = y(x),
x ∈ khoảng I ⊂ R

dy
− y = ex
VD:
dx

(a) Dạng hiện: y = f(x)
(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0
 x = x( t )
(c) Dạng tham số 
 y = y( t )

2x
Nghiệm: y = e
x
2x
Nghiệm: y = Ce + e nghiệm tổng quát

Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số:
y = ϕ ( x, C1 ,  , Cn ) . Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân
VD: xdx + ydy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn

VD: y ' = 1 − y 2


PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable)
2
→ Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: xdy − y dx = 0

VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình a / y ' = xy
b / x 2 ( y + 1) dx + y 2 ( x − 1) dy = 0

c / xdy + ( 4 y + x ) dx = 0

Tổng quát: 3 dạng  y ' = f ( x ) g ( y )

phương trình vi phân  f ( x ) dx + g ( y ) dy = 0
 f1 ( x ) g1 ( y ) dx + f 2 ( x ) g 2 ( y ) dy = 0

phân ly biến số
Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế.
Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn)


GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
VD: a / y ' = sin x

b / y' = e y

c / y' =

2y
x

4
VD: a / ( 2 x + cos x ) dx + 5 y dy = 0

b / ( y 2 + xy 2 ) dx + ( x 2 − yx 2 ) dy = 0

c / y '− xy 2 = 2 xy

VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ
thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí.
Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ
từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể
từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C?

ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c
VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1)
y
y

Tỷ số: y' = f   → Đổi biến: u = ⇒ y = ux ⇒ y ' = u ' x + u
x
x
Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xα yβ , α + β = n ⇒
Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!
y
VD: a / y ' = 1 +
x

y 2 + 2 xy
b / y' =
xy

VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!


PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y
2
3
VD: Xác đònh phương trình tuyến tính: a / y '− y = x
x
c / y '3 + xy = e x
d / 2 ydx + ( y 2 − 2 x ) dy = 0
b / y '+e x y 2 = x 3
Tuyến tính theo x = x(y)!
Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)
y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒
PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0)


NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y
VD: Giải các PTVP thuần nhất: a / y ' =
x

b / y ' = y ⋅ tgx

PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E 0)
có nghiệm tổng quát dạng: y = Cy0 ( x ) , C : hằng số

VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1
nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất
x

y
e
a / y' = + 3x3
b / y ' = y ⋅ tgx +
x
cos x
N0 riêng yr = C(x)y0(x): biến thiên hằng số ytq.tn = Cy0(x)
Thay yr = C(x)y0(x) vào (*) ⇒ C ' ( x ) y0 ( x ) = b( x )


TỔNG KẾT

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PTVP cấp 1 t/tính (E): y ' = a( x ) y + b( x ) hoặc y '+ p( x ) y = q( x )
1/ PT thuần nhất: y ' = a( x ) y hoặc y '+ p( x ) y = 0 ⇒ y = Cy0 ( x )
2/ Biến thiên hằng số C = C(x) ⇒ C ' y0 = b( x ) ⇒ C ( x ) = ∫ 
3/ Nghiệm sau cùng: Tổng 2 nghiệm bước 1 & bước 2
Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT
thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó)
Công thức nghiệm tổng quát PTVP cấp 1 tuyến tính:
p ( x ) dx
− ∫ p ( x ) dx
p ( x ) dx 



∫
∫
y ' = p( x ) y + q ( x) ⇔ y = Ce

+  ∫ f ( x )e
dx  e






VÍ DỤ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Giải

( x + 1) y '−2 y = ( x + 1)

4

2
3
⇒ y '−
y = ( x + 1)
x +1

2
y = 0 ⇒ y = Cy0 ( x )
1/ Phương trình thuần nhất: y '−
x +1
3
C

=
C
(
x
)
⇒
C
'
(
x
)
y
=
(
x
+
1
)
⇒ C( x)
2/ Biến thiên hằng số:
0
1
2
4
3/ Nghiệm sau cùng: y = C ( x + 1) + ( x + 1)
2
VD: Giải các phương trình a /
b / y' ( x + y 2 ) = y

dy 1

sin x
+ y=
dx x
x

y
VD: Tính y(2) với hàm y thoả: y '+ = 3 x , y (1) = 1
x