Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ TRỌNG THIẾT

ĐỊNH LÝ MASON SUY RỘNG
ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG
ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ TRỌNG THIẾT

ĐỊNH LÝ MASON SUY RỘNG
ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG
ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2015


i

Mục lục
Mục lục . . . .
Lời cảm ơn . .
Bảng ký hiệu
Mở đầu . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

i
ii
iii
1

1 Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số,
đặc số không
4
1.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc số không. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc
số không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng
đại số, đặc số không và ứng dụng
2.1 Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng
đại số, đặc số không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tương tự của Định lý Mason đối với đa thức trên trường
đóng đại số, đặc số không với số nguyên. . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
18
36
37


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Hoài
An. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong Khoa

Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp
giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm,
tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Ngô Trọng Thiết


iii

Bảng ký hiệu
f
n(f, a)
T (f )
K
R

Hàm hữu tỷ
Hàm đếm của f tại điểm a
Hàm độ cao của f
Trường đóng đại số, đặc số không
Trường số thực


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Trong [5], "Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán Cơ
sở lý thuyết và Tính toán thực hành, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà
Nội, 2003", đã đề cập đến Định lý Mason đối với đa thức trên trường số
phức:
Định lí A. Giả sử a (t), b (t), c (t) là các đa thức với hệ số phức,
nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a (t) + b (t) = c (t).
Khi đó, nếu ký hiệu n0 (f ) số nghiệm phân biệt của một đa thức f thì ta
có
max {dega, degb, degc} ≤ n0 (abc) − 1.
Dưới góc độ của lý thuyết phân bố giá trị p-adic, là hệ quả của hai
Định lý nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ với đa thức trên trường đóng đại
số, đặc số không. Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại
số, đặc số không đã đưa ra trong [1] "Vũ Hoài An, Tương tự của định lý
Mason suy rộng cho đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không, bản
thảo", và được trình bày trong [3] "Vũ Thị Thùy Dung, Vấn đề nhận giá
trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không và áp dụng, Luận
văn thạc sỹ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,
2014". Năm 2002 trong [8] "Hu, P.C. and Yang, C.C, A Generalized abc Conjeture over Function Fields, Journal of Number Theory 94, 268 - 298,
2002" đã đưa ra một tổng quát của Định lý Mason đối với hàm nguyên
p-adic sau đây:
Định lý B. Cho K là trường đóng đại số, đặc số không, đầy đủ
đối với chuẩn không Archimedean. Cho fj (j = 1, ..., k + 1) là các hàm
nguyên trên K sao cho fj , f1 không có không điểm chung, j = 2, ..., k + 1;
fj (j = 1, ..., k + 1) là độc lập tuyến tính trên K và f2 + ... + fk+1 = f1 .
Khi đó
k+1

max {T (r, fj )} ≤

1≤j≤k+1

Nk−1 r,
i=1

1
fi

−

k (k − 1)
log r + O
2

Phương pháp chứng minh Định lý B là thiết lập hàm g , g là thương


2

của Wronskian và f2 ...fk+1 . Đánh giá môđun của hàm g , sử dụng Bổ đề
đạo hàm loga của lý thuyết phân bố giá trị p-adic.
Dưới góc độ của lý thuyết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình
p-adic, công việc xét Định lý B và tương tự của nó đối với đa thức trên
trường đóng đại số, đặc số không đã được đề cập trong [1] "Vũ Hoài An,
Tương tự của định lý Mason suy rộng cho đa thức trên trường đóng đại
số, đặc số không, bản thảo". Mặt khác, Định lý Mason đối với đa thức
trên trường đóng đại số, đặc số không sẽ có ứng dụng trong toán học phổ
thông. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề:
Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng
đại số, đặc số không và ứng dụng.
2. Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, trình bày lại các bài giảng trong [1] về Định lý Mason suy
rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không. Các kết quả
của công việc này có tựa đề là Định lý Mason suy rộng đối với đa thức
trên trường đóng đại số, đặc số không.
Đưa ra các ví dụ trong toán học phổ thông thể hiện sự tương tự của
Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không với
số nguyên.
3. Nội dung nghiên cứu
Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không
được trình bày ở Chương 1. Kết quả chính là Định lý 1.2.2, Định lý 1.2.3.
Định lý 1.2.2 là Định lý Mason trên C, Định lý 1.2.3 là Định lý Mason
trên K. Chúng tôi trình bày lại hai cách chứng minh: Một cách được giới
thiệu trong [5], một cách được đề cập trong [1] và trình bày lại trong [3].
Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường K, K là trường
đóng đại số, đặc số không và ứng dụng được trình bày ở Chương 2. Hai
kết quả chính ở đây là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2. Đây là hai dạng của
Định lý Mason suy rộng. Ngoài ra, luận văn đưa ra các ví dụ thể hiện ứng
dụng của Định lý Mason với số nguyên. Ý tưởng của sự ứng dụng này là
như sau:
Phương trình Fermat đối với đa thức trên K là một ứng dụng thú vị
của Định lý Mason. Từ đây dẫn đến việc xét phương trình Fermat trên
trường có đặc số khác không. Từ đó tạo ra được nhiều bài toán về chia
hết đối với số nguyên.


3

4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này gồm các phần như sau.
Chương 1: Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số

không.
Kết quả chính được trình bày lại ở Chương 1 là Định lý 1.2.2 (Định
lý Mason trên C) và Định lý 1.2.3 (Định lý Mason trên K, K là trường
đóng đại số, đặc số không).
Chương 2: Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại
số, đặc số không và ứng dụng.
Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 là hai dạng của Định lý Mason suy rộng
đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không. Ngoài ra, chúng tôi
cũng trình bày các ví dụ là ứng dụng của Định lý Mason trong toán học
phổ thông.


4

Chương 1
Định lý Mason đối với đa thức trên
trường đóng đại số, đặc số không
Mục tiêu thứ nhất của Chương 1 là trình bày Định lý Mason theo hai
cách:
Một là, dùng đạo hàm để xét mối quan hệ giữa số nghiệm của đa thức
với bậc của nó; từ đó nhận được Định lý Mason.
Hai là, dùng hai kiểu định lý chính đối với hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc số không để đưa ra mối quan hệ giữa bậc của hàm và
hàm đếm không tính bội; từ đó nhận được Định lý Mason như một hệ quả.
Mục tiêu thứ hai của Chương 1 là: Xác định cách tiếp cận thứ hai
trên đây, cho phép mở rộng Định lý Mason cho n đa thức thỏa mãn điều
kiện nào đó.
Để thực hiện hai mục tiêu này, trước tiên chúng ta trình bày vấn
đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không
đã đề cập trong [1] và trình bày ở [3].

1.1

Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc số không.

Định nghĩa 1.1.1. Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa
thức một ẩn có bậc dương với hệ số trong K đều có nghiệm trong K.
Trường số phức C là trường đóng đại số.


5

Trường Q không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) = x10 + 2
không có nghiệm trong Q mặc dù các hệ số của đa thức đều thuộc Q.

√
Trường R không là trường đóng đại số vì đa thức P (x) = 5x2 + 11
không có nghiệm trong R mặc dù các hệ số của đa thức đều thuộc R.
Tiếp theo, ta định nghĩa khái niệm đặc số của trường.
Định nghĩa 1.1.2. Số 0 được gọi là đặc số của trường K nếu n1 = 0 với
mọi số tự nhiên n khác không. Khi đó ta gọi K là trường có đặc số không.
Nếu có một số tự nhiên n khác không sao cho n1 = 0 thì số nhỏ nhất thỏa
mãn tính chất này được gọi là đặc số của trường K, ký hiệu là char(K).
Ví dụ, trường R có đặc số 0, trường Z13 có đặc số 13 vì 13 ≡ 0
và 13 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này.
Nếu char(K) = n > 0 thì nx = 0 với mọi x ∈ K vì nx = n(1x) =
(n1)x = 0x.
Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc số không.
Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm

của f . Khi đó viết
f = (z − a)m p (z)
với p (a) = 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f . Giả sử d ∈ K và l
là số nguyên dương, ta ký hiệu:
n (f ) là số các không điểm của f tính của bội;
n(f, d) = n(f − d);
nl (f ) = qi=1 min{mi , l}; ở đó f = (z − a1 )m1 . . . (z − aq )mq
nl (f, d) = nl (f − d);
n0 (f ) = q ; n0 (f, d) = n0 (f − d).
Giả sử f = ff12 là hàm hữu tỷ trên K, ở đó f1 , f2 ∈ K[x] và không có
không điểm chung, d ∈ K, ta ký hiệu:
n(f ) = n(f1 ); n(f, d) = n(f1 − df2 );
n1 (f ) = n1 (f 1); n1 (f, d) = n1 (f1 − df2 );
n0 (f, d) = n0 (f1 − df2 ); n(f, ∞) = n(f2 );
n1 (f, ∞) = n1 (f2 ); n0 (f, ∞) = n0 (f2 );
degf = degf1 − degf2 ; T (f ) = max {degf1 , degf2 }.


6

Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
số không đưa ra trong [1] và trình bày ở [3] như sau:
Cho f là hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số K, đặc số không,
a1 , ..., aq ∈ K ∪ {∞}. Hãy xét:
1. Mối quan hệ giữa độ cao và hàm đếm của f trong trường hợp không
tính đến ảnh hưởng của đạo hàm.
2. Mối quan hệ giữa độ cao và hàm đếm của f trong trường hợp tính
đến ảnh hưởng của đạo hàm.
Khái niệm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ f lần lượt sẽ được
định nghĩa thông qua bậc, không điểm của các đa thức xác định f .

Chú ý rằng khi K không là trường đầy đủ thì ta không được dùng
khái niệm giới hạn trong xây dựng khái niệm và chứng minh các định lý.
Chẳng hạn không được dùng tích phân, không dùng được hoàn toàn các
chứng minh định lý liên quan đến môđun của không điểm tiến ra vô hạn.
Cũng vì vậy mà chỉ xét được vấn đề trên đối với hàm hữu tỷ. Giả
thiết K là trường đóng đại số là cần thiết. Các ví dụ sau đây sẽ minh họa
cho điều này.
Ví dụ 1. Xét đa thức f (x) = (x − 1) (x − 2)2 ∈ R [x], R là trường
số thực. Khi đó bậc của f là d (f ) = 3 và số các không điểm của f là
n (f ) = 3. Ta có d (f ) = n (f ).
Ví dụ 2. Xét g (x) = f (x) f1 (x) ∈ R [x], f1 (x) = x2k+1 + 1 ∈ R [x],
k là số nguyên dương. Chú ý rằng f1 (x) không có nghiệm trong R. Khi
đó bậc của g (x) là d (g) = 2k + 3 và số không điểm của f1 trong R là
n (g) = 2. Ta có d (g) > n (g).
Ví dụ 3. Xét f1 (x) = x2k + 1 ∈ R [x], k là số nguyên dương. Khi
đó bậc của f1 (x) là d (f1 ) = 2k và số không điểm của f1 trong R là
n (f ) = 0. Ta có d (f1 ) > 0.
Để ý rằng R là trường không đóng đại số. Vì vậy, ở Ví dụ 1 và Ví dụ
2, mối quan hệ giữa bậc và không điểm của đa thức là tầm thường. Ngoài
ra, giả thiết K là trường đóng đại số còn cần thiết để định nghĩa khái niệm
độ cao của đường cong hữu tỷ từ K vào Pn (K).


7

Định nghĩa 1.1.3. Đường cong hữu tỷ f : K → P n (K) là một lớp tương
đương của các bộ (n + 1) đa thức (f1 , ..., fn+1 ) sao cho f1 , ..., f(n+1) không
có không điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f1 , ..., fn+1 ) và
(g1 , ..., gn+1 ) là tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho
gi = cfi với mọi i = 1, ..., n + 1.

Ký hiệu f˜ = (f1 : ... : fn+1 ) là một biểu diễn của f . Khi đó ta viết
f : K → P n (K)
z → f˜(z) = (f1 (z) : ... : fn (z)).
Giả sử f và g là hai đường cong hữu tỷ từ K vào P n (K) với hai biểu
diễn f˜ = f1 (z) : ... : fn+1 (z) và g˜ = (g1 : ... : gn+1 ) tương ứng. Ta nói f
đồng nhất g và viết f ≡ g khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho gi = cfi
với mọi i = 1, ..., n + 1.
Các định lý sau đây đã được trình bày trong [3].
Định lý 1.1.4. (Định lý chính thứ nhất)
Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng trên K, a1 , ..., aq ∈ K ∪{∞}.
q

Khi đó (q − 1)T (f ) ≤

n(f, ai ).
i=1

Từ Định lý 1.1.4 ta thấy rằng nếu f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K
và q > 1 thì f luôn nhận ít nhất một trong số các giá trị ai , i = 1, ..., q .
Định lý 1.1.5. (Định lý chính thứ hai)
Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a1 , ..., aq ∈ K ∪ {∞}.
Khi đó:
q
(q − 1)T (f ) ≤ n0 (f, ∞) +
n0 (f, ai );
q

(q − 2)T (f ) ≤

i=1

n0 (f, ai ) − 1.
i=1

Để ý rằng, số không điểm không tính bội của đa thức bằng số không
điểm được tính với bội 1. Vì vậy, Định lý 1.1.5 vẫn đúng trong trường hợp
mỗi không điểm được tính với bội 1.


8

1.2

Định lý Mason đối với đa thức trên trường đóng
đại số, đặc số không
Trước tiên, chúng ta trình bày Định lý Mason đã được đề cập trong

[4].
Định nghĩa 1.2.1. Cho a là một số nguyên. Ta định nghĩa căn của a, ký
hiệu qua N0 (a), là tích các ước nguyên tố của a:

p

N0 (a) =
p|a

.
Định lý 1.2.2. (Định lý Mason)
Giả sử a (t) , b (t) , c (t) là các đa thức với hệ số phức và không phải
tất cả là hằng, nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức:

a (t) + b (t) = c (t).
Khi đó, nếu ký hiệu n0 (f ) là số nghiệm phân biệt của một đa thức f
thì ta có
max {dega, degb, degc} ≤ n0 (abc) − 1.
Chứng minh.
Đặt f = ac , g = cb ta có: f + g = 1. Lấy đạo hàm hai vế của phương
trình này, ta được f + g = 0. Nhằm mục đích xét số nghiệm của đa thức,
ta xét thương của đạo hàm và hàm số. Ta có

f
f

f+

g
g

f

b
f
g = 0, = − g .
a
g

Mặt khác, giả sử R (t) là một hàm hữu tỷ sau đây:

R (t) =

(t − vi )qi , qi ∈ Z.

Tính toán đơn giản suy ra

R
=
R

qi
.
t − vi

Bây giờ giả sử a, b, c tương ứng có các nghiệm phân biệt αi , βj , γk . Ta
có

a (t) =

(t − αi )mi , b (t) =

(t − βj )nj , c (t) =

(t − γk )rk .


9

Như vậy

b
=
a

f
f
g
g

=

mi
t−αi
nj
t−βj

−
−

rk
t−γk
rk
t−γk

.

Mẫu số chung của các phân số trong phần tử số và mẫu số của thương
sau cùng là
N0 =
(t − αi )
(t − βj )
(t − γk ).
Đó là một đa thức bậc n0 (abc). Như vậy,

bậc không quá n0 (abc) − 1. Mặt khác ta có

N0 f
f

, Ng0 g là các đa thức có

b
N0 f /f
=−
.
a
N0 g /g
Vì a, b nguyên tố cùng nhau nên từ đẳng thức này suy ra bậc của a
và bậc của b đều không vượt quá n0 (abc) − 1. Điều này tương tự cũng
đúng đối với c do vai trò đối xứng của a, b, c trong phương trình xuất phát.
Định lý được chứng minh.
Quan sát chứng minh trên, ta thấy rằng cách ước lượng số nghiệm và
bậc của đa thức qua việc xét thương của đạo hàm và hàm số khó mở rộng
cho n đa thức.
Nhằm mở rộng Định lý Mason cho n đa thức, chúng ta xét chứng
minh sau đây đã trình bày trong [3].
Định lý 1.2.3. (Định lý Mason trên K)
Giả sử a, b, c là các đa thức trên K và không phải là tất cả là hằng,
nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a + b = c. Khi đó

max {dega, degb, degc} ≤ n0 (abc) − 1.
Chứng minh
Từ a + b = c và c không đồng nhất 0 ta có:

a b
+ = 1.
c c

(1.2.1)

Hay

a
b
−1=− .
c
c


10

Theo giả thiết, ta có ac , cb là các hàm hữu tỷ khác hằng. Áp dụng Định
lý 1.1.5 cho hàm ac với các giá trị 0, ∞, 1 và chú ý rằng

n0 ac = n0 (a) ,
n0 ac , ∞ = n0 (c) ,
n0 ac , 1 = n0 ac − 1 = n0 cb = n0 (b) .
n0 (a) + n0 (b) + n0 (c) = n0 (abc) .
Ta có

T ac ≤ n0 ac + n0 ac , ∞ + n0
= n0 (a) + n0 (b) + n0 (c) − 1

a

c, 1

−1

= n0 (abc)−1.
(1.2.2)
a
b
Từ Phương trình 1.2.1 ta có c − 1 = − c .
Lại áp dụng Định lý 1.1.5 cho hàm cb và tương tự như (1.2.2) ta có
T cb ≤ n0 (abc)−1.
(1.2.3)
Theo định nghĩa
T
T

a
c
b
c

= max {dega, degc}
= max {degb, degc} .

Từ đây và (1.2.3) ta có

max {dega, degb, degc} ≤ n0 (abc) − 1.
Vậy

max {dega, degb, degc} ≤ n0 (abc) − 1.

11

Chương 2
Định lý Mason suy rộng đối với đa
thức trên trường đóng đại số, đặc
số không và ứng dụng
2.1

Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên
trường đóng đại số, đặc số không

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại sự mở rộng của Định lý Mason
đối với ba đa thức sang trường hợp n đa thức thỏa mãn điều kiện nào đó
[1]. Kết quả của sự mở rộng này là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 và chúng
tôi gọi đó là Định lý Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại
số, đặc số không.
Định lý Mason đã được chứng minh bằng hai cách ở Mục 1.2. Trong
trường hợp n đa thức, chúng tôi phát biểu, trình bày chứng minh cho hai
kiểu Định lý Mason suy rộng, cách chứng minh dùng đạo hàm dường như
không mở rộng cho trường hợp tổng quát.
Trước tiên ta phát biểu và chứng minh dạng thứ nhất của Định lý
Mason suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không.
Định lý 2.1.1. (Định lý Mason suy rộng, dạng thứ nhất)
Cho f1 , f2 , ..., fn+2 là các đa thức nguyên tố cùng nhau từng cặp với
f1 , f2 , ..., fn+1 độc lập tuyến tính trên K và thỏa mãn hệ thức

f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2 .
Khi đó

n+2

max degfi ≤ n

1≤i≤n+2

n0 (fi ) −
i=1

n (n + 1)
.
2


12

Chứng minh. Cho {α1 , α2 , ..., αn+1 } là một tập con của I = {1, 2, ..., n + 2}.
Khi đó, từ f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2 suy ra

W fα1 , fα2 , ..., fαn+1 = cW (f1 , f2 , ..., fn+1 ) ,
Ở đó c = 0, c phụ thuộc vào (α1 , α2 , ..., αn+1 ).
Vì f1 , f2 , ..., fn+1 độc lập tuyến tính nên

W (f1 , f2 , ..., fn+1 ) = 0.
Khi đó, đặt

W (f1 , f2 , ..., fn+1 )
;
f1 f2 ...fn+1

f1 f2 ...fn+2
Q=
.
W (f1 , f2 , ..., fn+1 )
P =

Từ đây, ta có

fn+2 = P Q.
Trước tiên, ta chứng minh
n+2

degQ ≤ n

n0 (fi ) .
i=1

Cho α là một không điểm của hàm Q. Khi đó α là một không điểm của
đa thức fi nào đó, i = 1, 2, ..., n + 2.
Theo giả thiết f1 , f2 , ..., fn+2 là các đa thức nguyên tố cùng nhau từng cặp
nên tồn tại v (1 ≤ v ≤ n + 2) sao cho (1 ≤ v ≤ n + 2).
Xét {i1 , i2 , ..., in+1 } là một tập con của I − {v}.
Khi đó,
fi1 fi2 ...fin+1
Q=
fv .
W (f1 , f2 , ..., fn+1 )
Ký hiệu

R=

R=

W fi1 , fi2 , ..., fin+1
,
fi1 fi2 ...fin+1
1

1

(1)
fi1

(1)
fi2

...

1
(1)

fin+1

... fi
n+1
fi1 fi2
.
...
... ... ...
(n)

(n)
(n)
fin+1
fi1 fi2
...
fi1 fi2
fin+1


13

Khi đó, R là một tổng của các hàm số sau:
(1)

(n)

fα ...fαn+1
T =δ 1
.
fα1 ...fαn+1
Ở đó 1 ≤ α1 , ..., αn+1 ≤ n + 2 và δ = 1 hoặc δ = −1. Khi đó


ordT (α) = ord

(1)

fα1
fα1

(α) + ... + ord

(n)

fαn+1
fαn+1




(α) ≥ −n 



fi (α) = 0
1≤i≤n+2

Mặt khác, do fv = RQ nên ordR (α) = −ordQ (α).
Do đó ta có





ordR (α) ≥ −n 



fi (α) = 0
1≤i≤n+2




1 .



Vậy




ordQ (α) = −ordR (α) ≤ n 





fi (α) = 0
1≤i≤n+2




1 .



Từ bất đẳng thức này đúng cho mọi không điểm α của Q nên ta có

n+2

degQ ≤ n

n0 (fi ) .
i=1

Tiếp theo ta chứng minh

degP ≤ −
Ta có

P =

n (n + 1)
.
2

W (f1 , f2 , ..., fn+1 )
,
f1 f2 ...fn+1





1 .



14

1

1

(1)

P =

f1
f1

...
(n)

f1
f1

...

1
(1)
fn+1

(1)
f2

...

f2
fn+1 .
... ... ...
(n)
(n)
fn+1
f2
...
f2
fn+1

Ta có P là một tổng của các số hạng sau:
(1)

(n)

fα ...fαn+1
δ 1
.
fα1 ...fαn+1
Ở đó

1 ≤ α1 , ..., αn+1 ≤ n + 2.
và

δ = 1.
hoặc

δ = −1.
Mặt khác ta có

(1)

(1)

(n)

fα ...fαn+1
deg δ 1
fα1 ...fαn+1

= deg

(n)

fα1
fα1

+ ... + deg

=

− (1 + 2 + ... + n) = −
Do đó

degP ≤ −

fαn+1
fαn+1

n (n + 1)

.
2

n (n + 1)
2

Vậy

degfn+2 = degP + degQ
n+2

≤n

n0 (fi ) −
i=1

n (n + 1)
2

Lý luận tương tự cho f1 , f2 , ..., fn+1 ta nhận được
n+2

max degfi ≤ n

1≤i≤n+2

n0 (fi ) −
i=1

n (n + 1)

.
2


15

.
Tiếp theo, ta phát biểu và chứng minh dạng thứ hai của Định lý Mason
suy rộng.
Định lý 2.1.2. (Định lý Mason suy rộng, dạng thứ hai)
Cho f1 , f2 , ..., fn+2 là các đa thức với f1 , f2 , ..., fn+1 độc lập tuyến
tính, không có điểm chung trên K và thỏa mãn hệ thức

f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2 .
Khi đó
n+2

max degfi ≤ n

1≤i≤n+2

nn (fi ) −
i=1

n (n + 1)
2

Chứng minh. Do f1 , f2 , ..., fn+1 độc lập tuyến tính và f1 + f2 + ... + fn+1 =
fn+2 nên fi (1 ≤ i ≤ n + 2) không đồng nhất không.
Từ đây suy ra tồn tại αn+2 ∈ {1, 2, ..., n + 2} sao cho

degfαn+2 = max degfi .
1≤i≤n+2

Xét {α1 , α2 , ..., αn+1 } là một tập con gồm các phần tử phân biệt của
{1, 2, ..., n + 2} − {αn+2 }
Để ý rằng do f1 , f2 , ..., fn+1 độc lập tuyến tính nên W (f1 , f2 , ..., fn+1 ) = 0.
Từ f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2 ta có

a1 fα1 + a2 fα2 + ... + an+1 fαn+1 = fαn+2 .
Ở đó ai (1 ≤ i ≤ n + 1) hoặc bằng 1 hoặc bằng −1.
Do đó
W fα1 , fα2 , ..., fαn+1 = cW (f1 , f2 , ..., fn+1 ) ,
ở đó c ∈ K, c = 0 và c phụ thuộc vào (α1 , α2 , ..., αn+1 ).
Từ chứng minh của Định lý 2.1.1 ta có

deg

W fα1 , fα2 , ..., fαn+1
n(n + 1)
≤−
.
fα1 fα2 ...fαn+1
2

Bây giờ ta có

fα1 fα2 ...fαn+1
f1 f2 ...fn+2
=

fαn+2 .
cW (f1 , f2 , ..., fn+1 ) W fα1 , fα2 , ..., fαn+1


16

Đặt

A=

fα1 fα2 ...fαn+1
f1 f2 ...fn+2
,B =
.
cW (f1 , f2 , ..., fn+1 )
W fα1 , fα2 , ..., fαn+1

Khi đó

n+2

degfi − degW (f1 , f2 , ..., fn+1 ) ,

degA =
i=1

degA = degB + degfαn+2 ,
n(n + 1)
,
2

degfi = n (fi ) , i = 1, 2, ..., n + 2.
degB ≤ −

Vậy
n+2

n (fi ) −

degfαn+2 + degW (f1 , f2 , ..., fn+1 ) ≤
i=1

n(n + 1)
.
2

Chú ý rằng, nếu a là không điểm của fi với bội µ0fi (a) > n thì a là không
(n)

điểm của fi

với bội

µ0f (n) = µ0fi (a) − n,
i

tức là

µ0W (f1 ,f2 ,...,fn+1 ) = µ0fi (a) − n.
Từ đây và bất đẳng thức trên ta có
n+2

deg fi ≤
1≤i≤n+2

nn (fi ) −
i=1

n(n + 1)
.
2

Từ Định lý 2.1.2 ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.3. Cho f1 , f2 , ..., fn+2 là các đa thức với f1 , f2 , ..., fn+1 độc
lập tuyến tính, fn+2 , fi , (1 ≤ i ≤ n + 1) không có điểm chung trên K và
thỏa mãn hệ thức
f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2
Khi đó,
n+2

max degfi ≤ n

1≤i≤n+2

n0 (fi ) −
i=1

n (n + 1)
2

17

Chứng minh..
Do fn+2 , fi , (1 ≤ i ≤ n+1) không có điểm chung trên K nên f1 , f2 , ..., fn+2
không có điểm chung.
Áp dụng Định lý 2.1.2 và nn (fi ) ≤ nn0 (fi ) , i = 1, 2, ..., n + 2 ta nhận
được hệ quả.
Hệ quả 2.1.4. Cho

f1 , f2 , ..., fn+2
là các đa thức với

f1 , f2 , ..., fn+1
độc lập tuyến tính, không có điểm chung trên K và thỏa mãn hệ thức

f1 + f2 + ... + fn+1 = fn+2 .
Khi đó,
n+2

max degfi ≤ n

1≤i≤n+2

n0 (fi ) −
i=1

n (n + 1)
.
2

Chứng minh..
Từ nn (fi ) ≤ nn0 (fi ) , i = 1, 2, ..., n + 2 và định lý ta nhận được hê quả.
Nhận xét 2.1.5. Từ Định lý 2.1.2 ta nhận được Định lý 2.1.1 và Hệ quả
2.1.3, 2.1.4. Do đó, Dạng thứ hai của Định lý Mason suy rộng là mạnh hơn
dạng thứ nhất của định lý Mason suy rộng.


18

2.2

Sự tương tự của Định lý Mason đối với đa thức
trên trường đóng đại số, đặc số không với số
nguyên.

Định lý Mason (Định lý A, [5]), Định lý của Hu.Yang (Định lý B, [8])
là kết quả của toán học cao cấp. Trong Mục 2.1, Định lý B đã được sơ cấp
hóa một bước là các Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2.
Trong mục này, chúng tôi sẽ tìm sự tương tự của Định lý Mason với
phương trình nghiệm nguyên, phép chia hết trong tập hợp số nguyên Z.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại ứng dụng của Định lý Mason cho đa
thức trên K.
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh phương trình

x2 + y 2 = 1
vô nghiệm trên tập hợp các đa thức khác hằng.
Giải.
Giả sử ngược lại, tồn tại hai đa thức a, b khác hằng sao cho

a2 + b2 = 1

Gọi a1 , a2 là nghiệm của phương trình a2 + 1 = 0. Khi đó a1 + a2 = 0
và a1 a2 = 1.
Ta có

(a − a1 b) (a − a2 b) = a2 − (a1 + a2 ) ab + a1 a2 b2 = a2 + b2 .
Từ đây suy ra (a − a1 b) (a − a2 b) = 1 và a − a1 b = c, a − a2 b = d, ở
đó c, d là hằng. (Mâu thuẫn).
Vậy Phương trình x2 + y 2 = 1 vô nghiệm trên tập hợp các đa thức
khác hằng.
Ví dụ 2.2.2. Giải phương trình

x2 + y 2 = 1
trên K [x].
Giải.
ả sử (a, b) với a, b ∈ K [x]. là nghiệm của phương trình x2 + y 2 = 1. Khi
đó a2 + b2 = 1. Xét các trường hợp sau:


19

Trường hợp 1. a khác hằng. Khi đó b khác hằng. Từ Ví dụ 2.2.1 ta có
mâu thuẫn.
Trường hợp 2. a là hằng. Khi đó b là hằng và b là nghiệm của phương
trình z 2 = 1 − a2 .
Vậy nghiệm của phương trình x2 + y 2 = 1 trên K [x] là các đa thức
bậc không a, b thỏa mãn a2 + b2 = 1.
Ví dụ 2.2.3. Chứng minh rằng phương trình

x2 + y 2 = z 2
luôn có nghiệm trên K [x].

Giải.
Giả sử a, b, c ∈ K [x] thỏa mãn a2 + b2 = c2 . Gọi a1 , a2 là nghiệm của
phương trình z 2 + 1 = 0. Lý luận tương tự như Ví dụ 2.2.1 ta nhận được

(a − a1 b) (a − a2 b) = c2 .
Lấy c1 , c2 ∈ K [x] sao cho c1 c2 = 1 và xét hệ phương trình

(a − a1 b) = c1 c; (a − a2 b) = c2 c.
Giải hệ này ta có

a=

c (c2 − c1 )
c (a1 c2 − a2 c1 )
,b =
.
a1 − a2
a1 − a2

Vậy

c (a1 c2 − a2 c1 ) c (c2 − c1 )
,
,c
a1 − a2
a1 − a2
ở đó a1 , a2 , c1 , c2 thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = 0, a1 a2 = 1 và c ∈ K [x] là
một nghiệm của phương trình x2 + y 2 = z 2 .
Ví dụ 2.2.4. Chứng minh rằng phương trình

x+y =z
luôn có nghiệm trên K [x].
Giải.
Lấy x = a, y = b ta có z = a + b, ở đó a, b ∈ K [x]. Vậy (a, b, a + b)
là một nghiệm của phương trình x + y = z , ở đó a, b ∈ K [x].


20

Ký hiệu

Z/ = 0, 1, 2, ..., (n − 1) .
nZ
Định nghĩa phép cộng và phép nhân trong Z/nZ như sau:

x + y = x + y; x.y = xy; x, y ∈ Z/nZ.
Ta có Z/nZ lập thành một vành.
Z/ được gọi là vành các số nguyên mod n. Ta đã biết rằng Z/ là
nZ
nZ
một trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.
Từ định nghĩa Z/nZ ta thấy Z/nZ liên hệ mật thiết với phép chia hết
và chia có dư. Như vậy, nếu ta xét Định lý Mason đối với các đa thức trên
Z/ thì ta có hy vọng tìm được ứng dụng của Định lý Mason đối với phép
nZ
chia hết và chia có dư trên Z. Thực hiện ý tưởng này, trước tiên ta xét các
ví dụ sau:
Ví dụ 2.2.5. Chứng minh
1.(x + y)n = xn + y n ; x, y ∈ Z/nZ, n là số nguyên tố.
k

k
k
2. (x + y)n = xn +y n ; x, y ∈ Z/nZ, n là số nguyên tố, k là số nguyên
dương.
3.(x1 + x2 + ... + xm )n = xn1 + xn2 + ... + xnm ; x1 , x2 , ..., xm ∈ Z/nZ, n
là số nguyên tố, m là số nguyên dương, m ≥ 2.
k
k
k
k
4.(x1 + x2 + ... + xm )n = xn1 + xn2 + ... + xnm ; x1 , x2 , ..., xm ∈ Z/nZ,
n là số nguyên tố, m, k là số nguyên dương, m ≥ 2.
Giải.
n!
.
1. Để ý rằng Cnk = k!(n−k)!
Nếu n là số nguyên tố, 1 ≤ k ≤ n − 1, thì (n, k) = 1, (n, n − k) = 1.
(n−1)!
Mặt khác, do Cnk là số nguyên dương nên k!(n−k)!
là số nguyên dương.
k
Từ đây suy ra Cn = nnk . Hơn nữa ta có

(x + y)n = xn + Cn1 xn−1 y + ... + Cnk xn−k y k + ... + Cnn−1 xy n−1 + y n
.
= xn + nn1 xn−1 y + ... + nnk xn−k y k + ... + nnn−1 xy n−1 + y n
Do nn1 xn−1 y = 0 = ... = nnk xn−k y k = ... = nnn−1 xy n−1 nên
(x + y)n = xn + y n .
2. Ta chứng minh bằng quy nạp theo k .
Với k = 1, áp dụng 1. ta có (x + y)n = xn + y n .