tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC








Nguyễn Văn Sang







TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER SINE, FOURIER COSINE
VÀ ỨNG DỤNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên- 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






Nguyễn Văn Sang







TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

FOURIER SINE, FOURIER COSINE
VÀ ỨNG DỤNG



Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN MINH KHOA




Thái Nguyên- 2011
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của TS.
Nguyễn Minh Khoa. Nhân dịp này, tôi xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành và sâu
sắc nhất.
Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô công tác tại khoa Toán - trường Đại học Khoa
Học - Đại học Thái Nguyên, khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại học Thái Nguyên,
Viện toán học Việt Nam về sự nhiệt tình giảng dạy trong quá trình tôi học tập.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Ban giám hiệu, Tổ
Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Ba Bể, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc
Kạn đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá tr ình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện

luận văn cao học.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em học viên lớp cao
học toán K3A và bạn bè đồng nghiệp động viên và khích tôi trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày tháng 08 năm 2011
Tác giả luận văn
Nguyễn Văn Sang
1
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 1. Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier
sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Các tính chất của biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine . . . . . . . . 13
1.2.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Phép biến đổi tích phân Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi tích phân. . . . . 19
2.1. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay) đối với các phép biến
đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine-3 . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Định nghĩa và các tính chất của tích chập suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay)đối với các phép biến
đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine-4 . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Định nghĩa và các tính chất của tích chập suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 3. Một số ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.0. Định lý Wiener-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1. Giải phương trình tích phân kiểu Toeplizt-Halken . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1. Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2. Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3.2. Giải hệ phương trình tích phân dạng chập. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1. Xét hệ phương tr ình tích phân dạng chập ứng với tích chập (2.1.1). . . . . 44
3.2.2. Xét hệ phương tr ình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Giải gần đúng phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . . 50
3.3.1. Tích phân kỳ dị, tích phân dạng Cauchy, các công thức Sokhotski . . . . . 50
3.3.2. Lớp hàm thỏa mãn điều kiện H
¨
older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3. Bài toán bờ Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4. Giải gần đúng phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI MỞ ĐẦU
Phép biến đổi tích phân được nghiên cứu và phát triển từ rất sớm và nó có vai trò
quan quan trọng trong giải tích toán học cũng như một số ngành khoa học tự nhiên
khác. Phép biến đổi tích phân là công cụ hiệu quả trong việc giải các bài toán điều
kiện đầu, điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương
tr ình đạo hàm riêng và một số lớp các bài toán Vật lý toán. Cùng với sự phát triển
của các phép biến đổi tích phân, tích chập của các phép biến đổi tích phân được
xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Các tích chập được nghiên cứu đầu tiên là tích
chập của phép biến đổi Fourier [15], [16], tích chập của phép biến đổi Laplace [8],
[ 16], tích chập của phép biến đổi Mellin [8] và sau đó là sự ra đời của các tích chập
của các phép biến đổi Hilbert [16], phép biến đổi Hankel [17], [18], phép biến đổi

Kontorovich-Lebedev [17], phép biến đổi Stieltjes [7] và tích chập của phép biến
đổi Fourier cosine [8], [15]. Các tích chập này có nhiều ứng dụng trong tính toán
tích phân, tính tổng của một chuỗi, các bài toán Vật lý toán, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương trình và hệ phương trình tích phân, lý thuyết
xác suất và xử lý ảnh.
Phép biến đổi Laplace L được xác định [8]
(L f )(y) =
+∞

0
e
−yx
f (x)dx,y ∈C. (0.1)
Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Laplace L được xác
định theo [7]
( f ∗
L
g)(x) =
x

0
f (x −t)g(t)dt,x > 0. (0.2)
và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
L( f ∗
L
g)(y) = (L f )(y)(Lg)(y),∀y > 0. (0.3)
Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỷ trước, các tích chập đã được biết
là các tích chập không có hàm trọng và nhiều phép biến đổi tích phân chưa xác
định được tích chập. Số lượng các tích chập đối với các phép biến đổi tích phân
rất hạn chế và gần như không phát triển được. Những bế tắc này được khai thông

4
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
khi một lớp tích chập mới mở rộng hơn, tích chập có hàm trọng xuất hiện. Năm
1958 lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời. Đó là tích chập với hàm trọng
γ
0
(x) =
π
xsh(πx)
[Γ(p + ix +
1
2
)]
−2
đối với phép biến đổi tích phân Mehler Fox [20]
được tìm ra bởi Vilenkin Y. Ya. Dẫu vậy phải gần 10 năm sau, năm 1967 Kakichev
V. A.[17] mới tìm ra phương pháp kiến thiết để định nghĩa tích chập của phép biến
đổi tích phân K với hàm trọng γ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
K( f
γ
∗g)(x) = γ(x)(K f )(x)(Kg)(x).
Với ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này các nhà toán học đã tìm ra được một
số tích chập đối với các phép biến đổi tích phân khác. Các tích chập của hàm trọng
được tìm ra chẳng hạn như tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Hankel
[17], [19], Meijer [19], Kontorovich Lebedev [17], Fourier sine [17], Somemerfeld
[19].
Nhờ tích chập với hàm trọng ra đời mà bức tranh về tích chập đối với các phép
biến đổi tích phân được phong phú hơn. Tuy nhiên với sự bổ sung của lớp tích chập
suy rộng, nhiều điều lý thú trong lĩnh vực này mới được phát hiện, mở rộng và phát
tr iển. Khởi xướng việc xây dựng tích chập của hai hàm đối với các phép biến đổi

tích phân là Chuchill R. V. Năm 1941, lần đầu tiên tích chập suy rộng của hai hàm
đối với hai phép biến đổi tích phân khác nhau được công bố. Đó là tích chập suy
rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier
cosine [15]
( f ∗
1
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f (y)[g(|x −y|)−g(x + y)]dy,x > 0. (0.4)
với đẳng thức nhân tử hóa
F
s
( f ∗
1
g)(y) = (F
s
f )(y)(F
c
g)(y),∀y > 0. (0.5)
Nhưng tới tận những năm 90 của thế kỷ trước, một vài trường hợp của tích chập
suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân mới được công bố.
Năm 1998, Kakichev V.A và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp thiết
kế để xác định tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ với hàm
trọng γ(y) mà đối với chúng luôn có đẳng thức nhân tử hóa
K

1
( f
γ
∗g)(y) = γ(y)(K
2
f )(y)(K
3
f )(y). (0.6)
5
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Tư tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mở đường cho một số tích chập suy rộng
với hàm trọng của hai phép biến đổi tích phân. Một số tích chập mới tiếp tục được
xuất hiện. Chẳng hạn như tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier
cosine và Fourier sine được xác định bởi
( f ∗
2
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f (y)[sign(y −x)g(|y −x|) + g(y +x)]dy,x > 0. (0.7)
với đẳng thức nhân tử hóa
F
c
( f ∗
2
g)(y) = (F

s
f )(y)(F
s
g)(y),∀y > 0. (0.8)
Như ta đã biết, các tích chập đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các phép
biến đổi tích phân và đang được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc xây
dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng thực sự có ý nghĩa khoa học trong lĩnh
vực lý thuyết tích chập, phương trình và hệ phương trình tích phân. Vì vậy chúng
tôi đã chọn hướng nghiên cứu luận văn là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập
suy rộng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine. Qua
đây chúng tôi cũng đã ứng dụng thành công vào việc giải một số lớp phương trình
tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập và nghiên cứu giải gần đúng phương
tr ình tích phân dạng chập.
Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương.
Chương 1. Chúng tôi nghiên cứu ba phép biên đổi tích phân Fourier, Fourier
cosine và Fourier sine. Các tính chất của ba phép biến đổi tích phân nói trên được
đề cập trong chương này, kèm theo đó là một số ví dụ minh họa cho các tính chất
đó.
Chương 2. Xây dựng hai tích chập mới với hàm trọng đối với hai phép biến
đổi tích phân đã nói trong Chương 1 là phép biến đổi tích phân Fourier cosine và
Fourier sine.
Các tích chập mới đã được xây dựng trong chương này là: 2 tích chập suy rộng
với hàm trọng γ(y) = sin(ay) đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và
Fourier sine.
Chương 3. Chúng tôi tập trung vào việc ứng dụng hai tích chập suy rộng đã xây
dựng được ở Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân kiểu Toeplizt-
Hankel, hệ phương tr ình tích phân dạng chập. Ngoài ra chúng tôi còn nghiên cứu
việc giải gần đúng phương trình tích phân dạng chập.
6
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Danh mục ký hiệu
R : Tập các số thực.
C : Tập các số phức.
∀x : Với mọi x.
L(R) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

−∞
|f (x)|dx < +∞.
L(R
+
) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0,+∞) sao cho:
+∞

0
|f (x)|dx < +∞.
L
2
(R) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

−∞
f
2
(x)dx < +∞.
L(R
+
,e
x
) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0,+∞) sao cho:

+∞

0
e
x
|f (x)|dx < +∞.
C(R) : Tập hợp tất cả các hàm f liên tục trên R sao cho:
f = sup
t∈R
|f (t)|< +∞.
f

: Đạo hàm của hàm f.
f

: Đạo hàm cấp 2 của hàm f.
f

: Đạo hàm cấp 3 của hàm f.
f
(n)
: Đạo hàm cấp n của hàm f.
7
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier cosine và
Fourier sine
Thông qua các phép biến đổi tích phân ta có thể xây dựng được đại số với các
phép toán nhân chập tương ứng. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu ba phép

biến đổi tích phân. Đó là phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân
Fourier cosine và Fourier sine. Nội dung của chương được trình bày như sau
Mục 1.1 Trình bày về phép biến đổi tích phân Fourier và một số tính chất của
nó.
Mục 1.2 Trình bày về phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và
một số tính chất của chúng. Tài liệu tham khảo chính trong chương này là [1].
8
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier F của hàm thực (hoặc phức) f của biến thực x
được ký hiệu là
˜
f (y) hoặc F( f ) và được định nghĩa bởi
˜
f (y) = (F f )(y) =
1
√
2π
+∞

−∞
f (x)e
−iyx
dx,y ∈ R. (1.1.1)
Biến đổi Fourier ngược của
˜
f (y) là
f (x) = (F
−1

˜
f )(x) =
1
√
2π
+∞

−∞
˜
f (y)e
iyx
dy,x ∈R. (1.1.2)
Quá trình nhận được (F f )(y) từ f (x) đã cho gọi là phép biến đổi Fourier hoặc tắt
là biến đổi Fourier.
Người ta chứng minh được điều kiện đủ tồn tại biến đổi Fourier sau đây
Định lý 1.1.1. Giả sử f (x) liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và khả tích
tuyệt đối trên R. Khi đó sẽ tồn tại biến đổi Fourier (1.1.1) của f (x).
Định nghĩa 1.1.2. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier F của hai hàm f và g
được xác định như sau
( f ∗
F
g)(x) =
1
√
2π
+∞

−∞
f (x −y)g(y)dy,x ∈ R. (1.1.3)
1.1.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử f thuộc L(R), khi đó (F f )(y) thuộc C(R).
Chứng minh. Ta có f ∈ L(R) : f  =
1
√
2π
+∞

−∞
|f (t)|dt.
|(F f )(y)|≤
1
√
2π
+∞

−∞
|f (t)|dt = f  và do đó tồn tại
(F f )= sup
y∈R
|(F f )(y)|.
9
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nếu h ∈ R đủ nhỏ và T > 0 thì:
|(F f )(y + h) −(F f )(y)| ≤
1
√
2π
+∞

−∞

|e
−ihy
−1||f (y)|dy
≤
1
√
2π
T

−T
|e
−ihy
−1||f (y)|dy +
2
√
2π
[
−T

−∞
|f (y)|dy +
+∞

T
|f (y)|dy]
Vì |e
−ihy
−1| trở nên rất nhỏ nếu h đủ bé và hai tích phân sau trở nên rất nhỏ nếu T
đủ lớn.
Vì vậy ta có (F f ) ∈C.

Phép biến đổi F rõ ràng là tuyến tính. Từ
(F f ) −(F f
n
) = sup
τ∈R
|F( f − f
n
)(τ)| ≤ f − f
n

ta nhận được tính liên tục của (F f ). 
Ví dụ 1.1.1. Nếu f ∈ L(R) thì (F f ) ∈C nhưng (F f ) /∈ L(R).
Thật vậy
cho
f (x) =



1 nếu |t| ≤ 1
0 nếu |t| > 1
rõ ràng f ∈L(R), nhưng
(F f )(y) =
1
√
2π
1

−1
e
−iyt

dt =
1
√
2π
2
y
.sin y
không thuộc L(R).
Mệnh đề 1.1.2. Nếu f ∈ L(R) thì (F f )(y) → 0 khi y → ±∞.
Chứng minh. Giả sử f là hàm đặc trưng của khoảng [a,b] ⊂ R, tức là
f (t) = χ
[a,b]
(t) =



1 , t ∈ [a,b]
0 , t ∈ R \[a,b]
. Khi đó ta có
(F f )(y) =
1
√
2π
b

a
e
−iyt
dt =
1

√
2π
i
e
−iby
−e
−iat
y
.
Như vậy ta sẽ có (F f )(y) → 0 khi y → ±∞. 
10
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mệnh đề 1.1.3. (Tuyến tính). Nếu f (x) và g(x) có biến đổi Fourier thì với các số
thực α,β bất kỳ ta có
F(α f + βg)(y) = α(F f )(y)+ β(Fg)(y),y ∈ R. (1.1.4)
Chứng minh. Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. 
Mệnh đề 1.1.4. (Biến đổi của đạo hàm). Giả sử f(x) liên tục trên R và có f

(x) là
hàm khả tích tuyệt đối trên R. Giả sử f (x) →0 khi |x| → +∞. Khi đó
(F f

)(y) = iy(F f )(y),y ∈R. (1.1.5)
Chứng minh. Tích phân từng phần và sử dụng giả thiết f (x) → 0 khi |x| → +∞, ta
được
(F f

)(y) =
1
√

2π
+∞

−∞
f

(x)e
−iyx
dx
=
1
√
2π

f (x)e
−iyx



+∞
−∞
−(−iy)
+∞

−∞
f (x)e
−iyx
dx

= 0 + iyF( f )(y).


Chú ý 1.1.1. Giả sử các giả thiết có thể áp dụng liên tiếp Mệnh đề 1.1.2 thỏa. Khi
đó áp dụng lần thứ hai ta có
(F f

)(y) = iy(F f

)(y) = (iy)
2
(F f )(y) = −y
2
(F f )(y).
Tương tự, ta có biến đổi đạo hàm cấp cao hơn, chẳng hạn
(F f

)(y) = iy(F f

)(y) = −iy
3
(F f )(y),
(F f
(n)
)(y) = i
n
y
n
(F f )(y). (1.1.6)
Để áp dụng công thức (1.1.6), ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.1.2. Biết F(e
−x

2
) =
1
√
2
e
−y
2
/4
từ bảng biến đổi Fourier. Tính F(x
2
e
−x
2
).
Ta có
(e
−x
2
)

= (−2xe
−x
2
)

= −2e
−x
2
+ 4x

2
e
−x
2
11
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do (1.1.4) và (1.1.6) ta được
i
2
y
2
F(e
−x
2
) = F(e
−x
2
)

= −2F(e
−x
2
) + 4F(x
2
e
−x
2
).
Từ đây ta rút ra được
F(x

2
e
−x
2
) =
1
4
[2 −y
2
]F(e
−x
2
) =
2 −y
2
4
√
2
e
−y
2
/4
.
Mệnh đề 1.1.5. (Biến đổi của tích chập). Giả sử f (x) và g(x) là các hàm liên tục
từng khúc, giới nội và khả tích tuyện đối trên R. Khi đó
F( f ∗
F
g)(y) = (F f )(y)(Fg)(y),y ∈ R. (1.1.7)
Chứng minh. Từ (1.1) và (1.3) ta có
F( f ∗

F
g)(y) =
1
2π
+∞

−∞
e
−ixy
dx
+∞

−∞
f (x −u)g(u)du
=
1
2π
+∞

−∞
g(u)du
+∞

−∞
f (x −u)e
−ixy
dx
Với phép đổi biến x −u = v ta nhận được
F( f ∗
F

g)(y) =
1
2π
+∞

−∞
g(u)du
+∞

−∞
f (v)e
−iy(u+v)
dv
=
1
√
2π
+∞

−∞
g(u)e
−iyu
du.
1
√
2π
+∞

−∞
f (v)e

−iyv
dv = F( f )(y).F(g)(y).
Suy ra điều phải chứng minh. 
Nhận xét. Công thức này có nhiều ứng dụng trong khi giải một số phương trình đạo
hàm riêng.
12
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier
sine
1.2.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi Fourier cosine của f (x) được ký hiệu là
˜
f
c
hoặc F
c
( f )
và được xác định bởi công thức
˜
f
c
(y) = F
c
( f )(y) =

2
π
+∞

0

f (x)cos(yx)dx,y ∈ R. (1.2.1)
Biến đổi Fourier cosine ngược của
˜
f
c
là
f (x) = F
−1
c
(
˜
f
c
)(x) =

2
π
+∞

0
˜
f
c
(y)cos(yx)dy,x ∈ R. (1.2.2)
Quá trình nhận được hàm
˜
f
c
từ hàm f đã cho được gọi là phép biến đổi Fourier
cosine hay gọi tắt là biến đổi Fourier cosine.

Định nghĩa 1.2.2. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai hàm
f ,g ∈ L(R
+
) được xác định như sau
( f ∗
F
c
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f (y)[g(|x −y|)+g(x + y)]dy,x > 0. (1.2.3)
Mệnh đề 1.2.1. Cho f ,g ∈ L(R
+
) khi đó tích chập (1.2.3) đối với phép biến đổi
Fourier cosine thuộc L(R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
F
c
( f ∗
F
c
g)(y) = (F
c
f )(y)(F
c

g)(y),∀y > 0. (1.2.4)
Chứng minh. Từ (1.2.3) và giả thiết f ,g ∈ L(R
+
), ta có
+∞

0
|( f ∗
F
c
g)(x)|dx =
1
√
2π
+∞

0
+∞

0
|f (y)|.|g(|x −y|) + g(x + y)|dydx
≤
1
√
2π
+∞

0
|f (y)|


+∞

0
|g(|x −y|)|dx +
+∞

0
|g(x + y)|dx

dy.
(1.2.5)
13
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mặt khác
+∞

0
|g(|x −y|)|dx +
+∞

0
|g(x + y)|dx
=
+∞

−y
|g(|t|)|dt +
+∞

y

|g(t)|dt
=
+∞

0
|g(|t|)|dt +
0

−y
|g(|t|)|dt +
+∞

y
|g(t)|dt
=
+∞

0
|g(|t|)|dt +
y

0
|g(|t|)|dt +
+∞

y
|g(t)|dt
= 2
+∞


0
|g(t)|dt
(1.2.6)
Từ (1.2.5) và (1.2.6) ta đi đến
+∞

0
|( f ∗
F
c
g)(x)|dx ≤

2
π
+∞

0
|f (t)|dt
+∞

0
|g(t)|dt < +∞.
Vì vậy ( f ∗
F
c
g)(x) ∈ L(R
+
).
Bây giờ ta đi chứng minh đẳng thứ nhân tử hóa (1.2.4).
Thật vậy, từ biểu thức về phải của (1.2.4) ta có

(F
c
f )(y)(F
c
g)(y) =
2
π
+∞

0
+∞

0
cos(yu)cos(yv) f (u)g(v)dudv
=
1
π
+∞

0
+∞

0
[cos(u + v)y + cos(v −u)y] f (u)g(v)dudv
=
1
π
+∞

0

+∞

0
cos[(u + v)y] f (u)g(v)dudv
+
1
π
+∞

0
+∞

0
cos[(v −u)y] f (u)g(v)dudv
(1.2.7)
14
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Với phép đổi biến u = x,u + v = t ta nhận được
+∞

0
+∞

0
cos[(u + v)y] f (u)g(v)dudv =
+∞

0
+∞


x
cos(ty) f (x)g(t −x)dxdt
=
+∞

0
+∞

0
cos(ty) f (x)g(|x −t|)dxdt +
+∞

0
0

x
cos(ty) f (x)g(|x −t|)dxdt.
(1.2.8)
Tương tự
+∞

0
+∞

0
cos[(v −u)y] f (u)g(v)dudv =
+∞

0
+∞


−x
cos(ty) f (x)g(t +x)dxdt
=
+∞

0
+∞

0
cos(ty) f (x)g(x +t)dxdt +
+∞

0
0

−x
cos(ty) f (x)g(|x +t|)dxdt.
(1.2.9)
Hơn nữa ta lại có
+∞

0
0

−x
cos(ty) f (x)g(|x +t|)dxdt = −
+∞

0

0

x
cos(ty) f (x)g(|x −t|)dxdt. (1.2.10)
Từ (1.2.7), (1.2.8), (1.2.9) và (1.2.10) ta rút ra được
(F
c
f )(y)(F
c
g)(y) =
1
π
+∞

0
+∞

0
f (x)[g(|x −t|) + g(x + t)]cos(ty)dxdt
=

2
π
+∞

0

1
√
2π

+∞

0
f (x)[g(|x −t|) + g(x + t)]dx

cos(ty)dt
= F
c
( f ∗
F
c
g)(y).
Định lý được chứng minh. 
1.2.2. Phép biến đổi tích phân Fourier sine
Định nghĩa 1.2.3. Biến đổi Fourier sine của f (x) được ký hiệu là
˜
f
s
hoặc F
s
( f ) và
được xác định bởi công thức
˜
f
s
(y) = F
s
( f )(y) =

2

π
+∞

0
f (x)sinyxdx,y ∈ R. (1.2.11)
15
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Biến đổi Fourier sine ngược của
˜
f
s
là
f (x) = F
−
s
1(
˜
f
s
)(x) =

2
π
+∞

0
˜
f
s
(y)sin yxdy,x ∈ R. (1.2.12)

Quá trình nhận được hàm
˜
f
s
từ hàm f đã cho được gọi là phép biến đổi Fourier sine
hay gọi tắt là biến đổi Fourier sine.
Ví dụ 1.2.1. Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm
f (x) =



x nếu 0<x<a
0 nếu x>a
Ta có
F
c
( f ) =

2
π
a

0
x cosyxdx =

2
π

x
y

sinyx



a
0
−
1
y
a

0
sinyx dx

=

2
π

x
y
sinyx



a
0
+
1
y

2
cosyx



a
0

=

2
π

a
y
sinax +
1
y
2
cosay −
1
y
2

.
còn
F
s
( f ) =


2
π
a

0
x sinyxdx = −

2
π

x
y
cosyx



a
0
−
1
y
a

0
cosyx dx

= −

2
π


x
y
cosyx



a
0
−
1
y
2
sinyx



a
0

= −

2
π

a
y
cosax −
a
y

−
1
y
2
sinay

.
1.2.3. Các tính chất
Mệnh đề 1.2.2. (Tính tuyến tính). Nếu f và g có biến đổi Fourier cosine và Fourier
sine, thì với α,β ∈ R,
F
c
(α f + β g) = αF
c
( f ) + β F
c
(g),
F
s
(α f + β g) = αF
s
( f ) + β F
s
(g).
16
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. 
Mệnh đề 1.2.3. (Biến đổi đạo hàm). Giả sử f (x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên
R, f


(x) liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) →0 khi x →+∞. Khi đó
F
c
( f

(x)) = yF
s
( f (x)) −

2
π
f (0),
F
s
( f

(x)) = −yF
c
( f (x)).
Chứng minh. Tích phân từng phần ta được
F
c
( f

) =

2
π
+∞


0
f

(x)cos yxdx
=

2
π
[ f (x)cos yx



+∞
0
+ y
+∞

0
f (x)sinyxdx]
= −

2
π
f (0) + yF
s
( f ).
Công thức thứ hai chứng minh tương tự. 
Hệ quả 1.2.1. Giả sử các biến đổi Fourier dưới đây đều tồn tại. Khi đó ta có mối
quan hệ sau
F

c
( f

) = −y
2
F
c
( f ) −

2
π
f

(0),
F
s
( f

) = −y
2
F
s
( f ) +

2
π
y f (0).
Chứng minh. Áp dụng cả hai công thức ở Mệnh đề 1.2.2 ta có
F
c

( f

) = yF
s
( f

) −

2
π
f

(0) = −y
2
F
c
( f ) −

2
π
f

(0),
F
s
( f

) = −y
2
F

c
( f

) = −y[yF
s
( f ) −

2
π
f (0)].
Từ đây dẫn đến điều phải chứng minh. 
Ví dụ 1.2.2. Tính F
c
(e
−ax
),a > 0.
Ta có
f

(x) = (e
−ax
)

= −a.(e
−ax
)

= a
2
.e

−ax
= a
2
. f (x).
17
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do tính tuyến tính và áp dụng Hệ quả 1.2.1 ta có
a
2
F
c
( f ) = F
c
( f

) = −y
2
F
c
( f ) + a

2
π
.
Biến đổi ta được (a
2
+ y
2
)F
c

( f ) = a

2
π
.
Suy ra F
c
(e
−ax
) =

2
π
.(
a
a
2
+ y
2
).
Mệnh đề 1.2.4. Cho f ∈ L(R
+
). Khi đó tồn tại các đạo hàm (F
c
f )

,(F
s
f )


và có
các đẳng thức sau:
(F
c
f )

(y) = F
s
[−t f (t)](y),
(F
s
f )

(y) = F
c
[t f (t)](y).
Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.2.1 và Định nghĩa 1.2.3 ta dễ dàng suy ra điều phải
chứng minh. 
18
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Tích chập suy rộng đối với hai
phép biến đổi tích phân
Tiếp tục hướng nghiên cứu về tích chập suy rộng với hàm trọng. Trong chương
này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu hai tích chập suy rộng với hàm trọng của hai
hàm f và g đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine đã nói
trong Chương 1. Các tích chập chúng tôi nghiên cứu trong chương này luôn thỏa
mãn đẳng thức nhân tử hóa
K
1

( f
γ
∗g)(y) = γ(y)(K
2
f )(y)(K
3
g)(y)
trong đó K
1
,K
2
,K
3
∈ {F
c
,F
s
}. Các tính chất cơ bản của các tích chập đưa ra đều
được chứng minh.
Một phần của chương chúng tôi trình bày các kết quả đã đạt được trong các bài
báo [20], [21] của TS. Nguyễn Minh Khoa và tác giả.
19
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay)
đối với các phép biến đổi tích phân Fourier co-
sine và Fourier sine-3
2.1.1. Định nghĩa và các tính chất của tích chập suy rộng
Định nghĩa 2.1.1. Tích chập suy rộng đối với hàm trọng γ(y) = sin(ay),a ∈ R,a >
0 đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của hai hàm f
và g được xác định bởi

( f
γ
∗
3
g)(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f (y)[g(|x + y −a|) + g(|x −y + a|)
−g(x + y +a) −g(|x −y −a|)]dy, x > 0.
(2.1.1)
Định lý 2.1.1. cho f ,g ∈ L(R
+
). Khi đó tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) =
sin(ay),a ∈ R,a > 0 đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine
(2.1.1) thuộc L(R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
F
c
( f
γ
∗
3
g)(y) = sin(ay)(F
s

f )(y)(F
c
g)(y), y > 0. (2.1.2)
Chứng minh. Từ (2.1.1) và giả thiết f ,g ∈ L(R
+
) ta có
+∞

0



( f
γ
∗
3
g)(x)



dx =
1
2
√
2π
+∞

0
+∞


0
|f (y)|.|[g(|x + y −a|) + g(|x −y + a|)
−g(x + y +a) −g(|x −y −a|)]|dydx
≤
1
2
√
2π
+∞

0
|f (y)|

+∞

0
|g(|x + y −a|)|dx +
+∞

0
|g(|x −y + a|)|dx
+
+∞

0
|g(x + y + a)|dx +
+∞

0
|g(|x −y −a|)|dx


dy
(2.1.3)
20
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mặt khác,
+∞

0
|g(x + y + a)|dx +
+∞

0
|g(|x −a −y|)|dx
=
+∞

y+a
|g(t)|dt +
+∞

−a−y
|g(|t|)|dt
=
+∞

y+a
|g(t)|dt +
+∞


0
|g(|t|)|dt +
y+a

0
|g(|t|)|dt = 2
+∞

0
|g(t)|dt
(2.1.4)
Tương tự,
+∞

0
|g(|x + a −y|)|dx +
+∞

0
|g(|x −a + y|)|dx =
+∞

a−y
|g(t)|dt +
+∞

y−a
|g(|t|)|dt
=
+∞


0
|g(t)|dt +
y−a

0
|g(|t|)|dt +
+∞

y−a
|g(|t|)|dt = 2
+∞

0
|g(t)|dt.
(2.1.5)
Từ (2.1.3), (2.1.4) và (2.1.5), ta đi đến
+∞

0



( f
γ
∗
3
g)(x)




dx ≤

2
π
+∞

0
|f (t)|dt
+∞

0
|g(t)|dt < +∞.
Vì vậy ( f
γ
∗
3
g)(x) ∈ L(R
+
).
Bây giờ ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.1.2).
Từ
sin(ax)(F
s
f )(x)(F
c
g)(x) =
2
π
+∞


0
+∞

0
sin(ax).sin(x u). cos(xv). f (u).g(v)dudv
và
sin(ax).sin(x u). cos(xv) =
1
4
[cosx(u −v −a) + cos x(u + v −a)
−cos x(u + v + a) −cos x(u −v + a)]
ta nhận được
sin(ax)(F
s
f )(x)(F
c
g)(x) =
1
2π
+∞

0
+∞

0
[cosx(u −v −a) + cos x(u + v −a)
−cos x(u + v + a) −cosx(u −v +a)] f (u)g(v)dudv
(2.1.6)
21

21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Với phép đổi biến y = u,t = u + v + a, ta nhận được
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosx (u +v + a). f (u).g(v)dudv
=
1
2π
+∞

0
+∞

y+a
cosxt. f (y).g(t −y −a)dtdy
=
1
2π
+∞

0
+∞

0

cosxt. f (y).g(|t −y −a|)dtdy
−
1
2π
+∞

0
y+a

0
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy.
(2.1.7)
Tương tự, với phép đổi biến y = u,−t = u −v + a ta có
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosx (u −v + a). f (u).g(v)dudv
=
1
2π
+∞

0
+∞


−a−y
cosxt. f (y).g(t + y + a)dtdy
=
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosxt. f (y).g(t + y + a)dtdy
+
1
2π
+∞

0
0

−y−a
cosxt. f (y).g(t + y + a)dtdy.
(2.1.8)
Hơn nữa
+∞

0
0

−y−a

cosxt. f (y).g(t + y + a)dtdy
= −
+∞

0
0

y+a
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy
=
+∞

0
y+a

0
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy
(2.1.9)
22
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ (2.1.7), (2.1.8) và (2.1.9), ta nhận được
−
1
2π
+∞

0
+∞

0

[cosx(u +v + a) + cos x(u −v + a)] f (u).g(v)dudv
= −
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosxt.[g(|t −y −a|) + g(t + y + a)]. f (y)dtdy.
(2.1.10)
Với phép đổi biến y = u,t = y −a + v, ta có
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosx (u −a + v). f (u).g(v)dudv
=
1
2π
+∞

0
+∞


y−a
cosxt. f (y).g(t −y + a)dtdy
=
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosxt. f (y).g(|t −y + a|)dtdy
−
1
2π
+∞

0
y−a

0
cosxt. f (y).g(|t −y + a|)dtdy.
(2.1.11)
Với phép đổi biến y = u,t = v −u + a, ta nhận được
1
2π
+∞

0
+∞


0
cosx (u −a −v). f (u).g(v)dudv
=
1
2π
+∞

0
+∞

a−y
cosxt. f (y).g(t + y −a)dtdy
=
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosxt. f (y).g(|t + y −a|)dtdy
−
1
2π
+∞

0
a−y


0
cosxt. f (y).g(|t + y −a|)dtdy.
(2.1.12)
23
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên