Phép đang cự trên một số đa tạp hcrranrt

Chương 1. ĐA TẠP raEVhNN
MỞ ĐẦU
Trong chương này chúrg tồi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả
\i

Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, đa tạp Riemann là một
và

đa
nộitạp Rienmann như đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đãng cự, một
số
dung quan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát. Một trong những
tính
phầnchất của ánh xạ đãng cự, và một số bất biến trong ánh xạ đãng cự. Các kiến thức
trình
quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đang cự.
bày ở đây
Đa được
tạp Riemann,
trích dẫnđược
trongbiết
tài liệu
như[1],
là một
[3], đa
[4],tạp
[5|.khả vi sao cho với mỗi phần tử
1.1 Đa tạp tôpô và
củađa tạp khả vi

đa

tạp,1.11.
không gianĐatiếp
tạpxúc
tôpô
tại(xem[l])
điểm đó được trang bị một metric Rietnann, tức là một
tích

Cho M là không gian tôpô Haudorff. Một bán đồ trên M là cặp (V, cp) trong vô
đó
hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó. Với mong muốn được tìm hiểu
V
là
và
một tập mở của M và (p : V —► V’ là một đồng phôi từ V lên một tập mở V’ của
nghiên cứu sâu hơn về các bất biến của ánh xạ đăng cự giữa các đa tạp Riemann và
gọi là một atlas của M. Không gian tôpô M có một atlas được gọi là một đa tạp tôpô.
đặc
biệt
1.12.
Đa tạp khá vi (xem[l])
các phép biến đôi đăng cự trên mô hình nửa phăng Poincaré và được sự hướng dẫn
ChoMlàỉdaôọggiantôpô Kbuscbríĩ! Adas {(Vj,(pj ) }jeI của M được gọi là atlas
tận
tình
khả
của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chúng tôi đã chọn đề tài “Phép đang cự trên một số
vi
(Vi,(p1),(V^,(p2)

đacủa M nếu với hai bản đồtatùy
: (p1(
n ^ -1
là mộtcủa
ánhatlas sao cho VlíTV^ 0 và tạp
: "V^—►
có ýánh
xạ: X
(p2o(p1
HcrranrT để nghiên cứu.
Nội dung nghiên cứu của luận văn làkliảo sát ánh xạ đang cự trong mối quan
Trên tập các atlas khả vi của không gian tôpô M ta xét một quan hệ hai ngôi
hệ
với
như
sau:
các khái niệm trên đa tạp Riemannn đặc biệt là tính bất biến đắng cự, ứng dụng đế
Cho
khảoA=Ị(Uj,(pj )}ieI, B= {(Vj[,(pj )}jejlà hai atlas của M. Khi đó A được gọi là tương
sát
đương với EỊ kí hiệu làphép
A~ Bbiến
nếuđổi
{(Uj
,(pj cự
),(V-,(pj
)}jeI^jej
một atlasđĩa
khả
của M. Quan

đãng
của nửa
phăng là
Poincaré,
mởviPoincaré,
đặc biệt là mở rộng
hệ hai ngôi ở trên là
củamột quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu
vi trên
nửa phang Poincaré trúc
trênkhảK3nửaM.không gian trên. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu
Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của nó nên
một
atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.
Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định bởi atlas
2
1


I.

13. Ví dụ
1. M11 là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(ỊẠid )}.
2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(Vị,(pị ) }ieI và Nlà một tập con mở

của

M.

Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas

Ị(N^A)L
3. XẾt siêu cầu n chiều trong Rn+1:

Ố1 = Ịx=

l) E Rn+1,xf +xf+ ...+ xj = lỊ.

Gọi N = (0, 0,0,1) e Rnt 1 và S=(0,0, -A_1) e Rn+1 làn lượt là điểm cực bắc và
cực nam của sn Xct LA = S?1 \ {N}, U5 = ẩ1\ {S} là các tập mở của Sn. Taoó {LA,
LA}

tạo

thành một phủ mở của sn
Xét phép chiếu nổi PN lên siêu phăng xn+1 = 0 sao cho với mỗi X e LA ảnh
PN(X)

là

giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng Xn+1 = 0 . Phép
chiếu
nổi từ cực nam ps được xác định tương tự. Khi đó sn là đa tạp khả vi với atlas
{(LTO,APS)}.
114.

Ánh xạ khả vi (xem [1D

Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n. Ảnh xạ f: M —►
N

được

gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản đồ (LỊcp) của M, bản đồ
(V, lịi)
của N sao cho u n f!(V) ^ 0 ta có ánh xạ cp0 f0 (p 1 từ tập con mở (p (U n f1(V )) của
vào M11 là ánh xạ khả vi. Ánh xạ khả vi f: M —*• N có ánh xạ ngược r1: N —»•
M

khả

vi

được gọi là vi phôi.
115.

Truờng inục tiêu trên đa tạp khả vi

115.1. Đinh nghĩa (xem [3])

Giả sử M là một đa tạp khả vi, c° (]V^ là tập các hàm khả vi trên M. khi đó ánh
xạ

3


1.1.53. Đinh nghĩa (xem [3])
a. Cho M là một đa tạp khả vi. Khi đó T(M) = Ị^J lp {M) được gọi là một phân

thớ tiếp

xúc trển Mvàkhông gianvéc-tơ Tj/M) được gọi là thớ đi qua p. Mỗi ánh xạ X : M —► TM
sao cho với mọi peM X(p) e Tp(M) được gọi là một trường véctơ trên M.
b. Trường mục tiêu trên đa tạp n- chiều M là họ n trường véctơ {Xi, X?,..., Xn}

trên

Msao

cho tại mọi p e M, hệ véctơ {X!(p), ^(p), ..... ^QCp)} là một cơ sở của không
gian

véc-tơ

TpM
1.2 Đa tạp Riemann
1.2.1. Đa tạp RkTixuin (xem [ 1])
Cho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt
tương
ứng với mỗi p G M một tích vô hướng trên TpMsaocho với hai trường véctơ (tiếp
xúc)

khả

\ĨX, Y trên M, hàm số p —► ^X(p),Y(p)|) làhàmkhả vi.
Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một đa
tạp
Riemann. Kí hiệu (M, (,) ).
1.22.
Độ dài cung (xem [4])
M là một đường cong lớp c1 trên đa tạp Riemann (M (,)lvl). Độ dài của a được

xác định như sau:
L(a) = |i|y,(t)|pt=y{y'(t),y'(t))Mdt
1.23.

Ví dụ

với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Rienxnn
Chứng minh
Theo ví dụ trên ta có Rn là một đa tạp khả vi. Tại mỗi điểm p E Rn, không gian
tiếp
xúc tại điểm đó chính là Rp = Rn nên tích vô lxrớng trên không gian tiếp xúc tại diêm
4


Chứng minh
Ta có Rn là một đa tạp khả vi.
Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p e Kn trên không gian tiếp xúc Rp
được
cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn. Do đó tích vô hướng như trên xác định một
iTEtric Rienxnn trén MIL. Vậy ỊlRn,QM ) là một đa tạp Riemann n- chiều.
Cho y: M+ —>• Rn là đường cong được xác định bởi y(t) = (t, 0,..., 0),
với

mọi

te

Khi đó độ dài L(y) của y được xác định như sau:
0
Eỉa là hình cầu mở n - chiều, tức là Bỉ1 = Ịxe Rn ||x| <

. Trên Ba ta trang bị metric

Riemamsau: (Lí =
Khi đó

Mì là một đa tạp Riemann và được gọi là không gian Hypebolic

n- chiều. Kí hiệu Hn.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham sổ trên Bn.
Cho y : (0,1) —► Hnlà một đường cong xác định bởi y(t) = (t, 0,..., 0),
với

mọi

t e (0,1). Khi đó độ dài L(y) của y được xác đinh như sau:
. 1+1
L(Y)=Jj|y'(t)||dt=2ịýr(tỵ(th=2Í V* =
“ ’ JoH v 711 Jo 1-IYI2
^l-t2
1-t
đẳng cự trên đa tap Rỉeinann
1.3.1.

Anh xạ đẳng cự (xcm [ĩ])

Cho ìs/ị N là các đa tạp Riemann n- chiều. Khi đó ánh xạ f : M —» N được gọi
là
ánh xạ đăng cự nếu với mọi điểm p e 1VỊ ta có : T^, 1VI—» TĩỊp) Nlà một ánh xạ
tuyến

tính bảo toàn tích vô hướng.
5


Một ánh xạ đẳng cự f: M —► M còn gọi là phép biến đổi đãng cự của đa tạp
Riemann
M
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:
1.32. Nhận xét
1. Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đăng cự.
2. Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đắng cự.
3. Tích của các phép biến đối đẳng cự là phép biến đối đắng cự.

Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẩng cự của M lập thành một nhóm gọi là nhóm
đăng cự.
133

Các

tính

chất

1331. Mệnh đề (xem [5])
Ánh xạ khả vi f: M—» N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đãng
cự
khi và chỉ khi ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ.
Chứng minh.
(=>) flà ánh xạ đăng cự thì ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn mô đun của véctơ.

aperỤV[ị3perỤV[
T^ctp^ T^N;
Tpf(Pp)eTĨXp)N
Ta có:
Tpf(ap).Tpf(13p) = ap.pp
Lấy Gtp = [3p
) <=> Tpf(ap).Tpf([3p) = Op-Pp <=>

= ||ap||2 <=> |TẸ,hap)| = ||ap||2

Tức là Tpf bảo tồn môđun của véctơ.
(<=) Ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ nên ta có:
6

(1)


||Tp^ap + Pp)||= |Ịap + Pp||

(2)

Mà theo địiili nghĩa Tpf là ánh xạ tuyến tính nên ta có:
Tpfi;ap + Pp)=T^o^+T^p)
Suy ra điều kiện (2) tương đương với (Tpf(ap)+T^f(ị3p))2 = (0Cp+Pp)2
o

Tpf2(ap)+ 2Tpf (ap)-Tpf (Pp)+Tpf 2(pp)=ap2+2XpPp+Pp2 => Tpf(ap).Tpf(Pp)=

Op.pp
(do Tpf bảo tồn môđun của véctơ)

=> f là một ánh xạ đang cự (đpcm)
1332.

Mệnh đề (xem [5])

Ánh xạ (khả vi) f: M—» N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ
đẳng

cự

khi và chỉ khi ánh xạ (khả vi) f bảo tồn độ dài cung.
Chứng minh.
(=>) Ánh xạ đãng cự => ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung.
Vì f là ánh xạ đang cự => bảo tồn tích vô hướng. Mà độ dài cung được tính theo công
thức:
up)=(’|fp'L(fcp) = £l'||r°pvTheo mệnh đề 1.3.3.1 taoó ||(fqp)Xt)|| = ||p'(0||
Vậy L(p)= L(f op) tức là f bảo tồn độ dài cung.
(<=) f bảo tồn độ dài cung => f là ánh xạ đẳng cự.
Đê chứng minh f là ánh xạ đãng cự, ta chứng minh ánh xạ:

» T^p)N bảo tồn

tích
7


Giả sử: otp = p'(t) với p' là một cung trên đa tạp M, suy ra để chứng minh f là đãng cự ta
cần chứng minh f thoả mãn (3).

Thật vậy: Do f là một ánh xạ (khả vi) bảo tồn độ dài cung tức là:
F(t) = Ji"||(p'(t^ = J”||fop'(0||dl

||p'(t)|| = F(t)
|fop\t)|| = F(t)
||p '(t)| = ||(f° pV(Ọ|| ||ap|| = ||TỊ,f(ap)||
Do đó ta có mệnh đề 1.3.3.1. f là một ánh xạ đấng cự.
1333.

Mệnh đề (xem [5])

Ánh xạ (khả vi) f:

N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ đăng

cự
khi và chỉ khi ánh xạ (khả vi) f bảo tồn dạng cơ bản thứ nhất.
Chứng minh mệnh đề này tương tự như chứng minh mệnh đề 1.3.3.1.
1334.

Mệnh đề (xem [5])

Ánh xạ vi phôi f: M—> N giữa các đa tạp Riemann n-chiều là một ánh xạ
đấng

cự

khi và chỉ khi ánh xạ f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. (Với đa tạp
Riemann

liên

thông (tức liên thông cung) (M,g), định nghĩa hàm khoảng cách
d:MxM^R
(p,q)h^infT,(p)
p làcưrgnhẵn từng khúc trên M nối p với q).
Chứng minh.
(=>) f:M—»N là ánh xạ đang cự => f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Hiển
nhiên vì điều này suy ra được từ mệnh đề 1.3.3.2
8


Thật

vậy,

Qua

p

(độ

lấy

véc

tồn
dài

tại

tơ

a

đường

nhỏ

bất
trắc

nhất)

kỳ
địa

y

tại
cực

sao

p.
tiểu
cho:

y(0) = p?y,(0) = a
Theo chứng minh f c Ỵ là đường trắc địa và (f o y)' = ha

Suy ra tồn tại lân cận Ư của f(p) sao cho trong Uf o y là cung trắc địa cực tiểu suy ra tồn tại
to đủ nhỏ sao cho
cfeĩ(t» = r IIY 'ựpt
*’to

vt < to

và

d(f(p),f o y(t)) = i; ||(f o y) ’(t )||dt

VÌ:
=>

đ(p,y(t)) = d(f(p), f = y(t))
0at>|=Jtt|(f»Y)'a)|

vt < to

Theo mệnh đề 1.3.3.2 ta suy ra f là ánh xạ đẳng cự.
1335.

Mệnh đề (xem [5])

f là vi phôi đẳng cự: M—» N giữa các đa tạp Riemann n - chiều khi và chỉ khi
f

là

vi phôi bảo giác và đãng diện.

Chứng minh.
(=>) f là vi phôi đăng cự => f là vi phôi bảo giác và đăng diện.
Trước hết ta chứng minh f là vi phôi đắng cự => f đẳng diện tức là phải chứng
minh
f bảo tồn diện tích các miền compact với bờ trên các đa tạp đó.
Thật vậy M’ compact của M——> fỢVT) cz N
Ta chứng minh Vci(M’) - Vd(f(M’)).
Giả sử: IVT = o r(T-Ị7) : Uơ—^r(Ua) và {cPot} là phân hoạch đơn tương ứng phủ
a
9


a4
<rVr'n, >
^ A Uị
Ta có f(M)c=w f o r(Uơ) với đồng
> phôi địa phương
lỊj Uơ —— > f o r(Uơ )
a
< r' r' >
Voi(í’(M’) = X J
Un’ Un
Va |(pơ f~1| là phần hoạch đơn vị tương ímg với phủ {f%rNf«i-\/d^ũ^)du
or(Ươ )]
a4
<
> ---i . rta' Vo
u
21(M’)

,từ> công
Tacófvậy,
= £ Ithức
{<ọatính
o ryựdetígi^dư
Thật
thấy
diện tích các miền compact với bờ ta thấy
diện

<£rV£r,"n>
tích chỉ phụ thuộc vào định thức Gr = (gij). Trang M diện tích miền compact với bờ
được
tính theo công thức với định thức băng

Trong N diện tích miền compact với bờ được tính bởi công thức với định thức bằng:


iij =<(f °r) Uj’ ° r ) Uj >=<tữ)'lli5(£ỵUj>=<r;^ >=(p.gij(dofbảogiác)

Ụõ{uv. uu)đJ= I^VVõdu

>JU,Vq.(u,...Hl)đu

Đối với mọi miền u=> <^9“ = 1=> f đẳng cự.
13.4 Một số bất biến của ánh xạ đắng cự
1.3.4.1.

Mệnh đề (xem [5])

f là ánh xạ đang cự thì f bảo tồn góc giữa các phương tiếp xúc, tức nếu ys/l
ữd oos(ap,(3p) = oosCTpf(apXrlpf(Ị3p)) .
Theo tính chất của tính vô hướng apị3p = |ap||pp| cos(ap,pp)
(4)

ap||
pp|

(5)

T;f(Pp» =
Do f là ánh xạ đẳng cự nên TpfI‘(Op).Tpf(pp) = ap.pp
Mặt khác, theo mệnh đề 133.l|Tpf(ap)| = |ap|;|rlpf(Pp)Ị = |pp|

Từ đó suy ra (4)=(5). Vậy oos(ap, Pp)=aũs(T^f(ap),T^f(Pp))
Đe chứng minh f bảo tồn diện tích miền compact ta cần chứng minh det(gj) = det (g’ij)vì f
Mệnh
đẳng1.3.4.2.
cự <£r'u.,£r'u
> đề
= (xem
< >[5])
.
Từ
suy Lêvi-Civita
ra det(gij) =bất
detbiến
(g’ịj)
bảo đăng

tồn diện
liênđó
thông
quatức
vi fphôi
cự. tích miền compact với bờ.
Bây
Chứng
ta
chứngminh.
minh f đẳng cự => f bảo giác.

giờ

Giả sử f: M—» N là vi phôi đăng
cự. Tacựphải
V^x&Y. = (p(p).a.p,Vpe M (chọn cp(p)=
Vì f đang
nênchửng
Va,p eminh
M taÍ*VXY=
có Tpf(a).T^f(Ị3)
Đặt VXY = í*_1Vf+xTY với X, Y € L(6)
1)
=> f bảo giác.
(<=) f bảo giác + đang diện => f đang cự.
10
11

=

= VXY1 + V x Y2

liên

Ta chứng minh V làliểh thông Riemann trên M trước hết ta chứng minh nó là
Ya Ỹx (
thông tuyến
tính, muốn
vậy ta kiểm f^(p.r1jf*Y+((p.r1)Vf^Y
tra nó có thoả mãn hai điều kiện của liên thông
Vi Vt^Kũ(ẹY)
= Vt^ẹ.r1)f*Y=
tuyến

=> Vx(tínhMiâng?
= X[(p]Y+(pVxY
+ V là/^M) tuyến tính đối với biến X tức là:
Vậy V thoả mãn các điều kiện của liên thông tuyến tính vậy V là liên thông
tuyến Yxi+x.Y = ^lvt;pặ+x2)^^= s VS4ỄY+t VB4fiY= ỸXY+ỸX,Y
tính. TaV^Y
chứng= minh
V là liên =thong
Lâvi- Q\ita
f'(VtÌFf,Y)

Ta cũng kiểm tra V oó thoả mãn hai điều kiện của liên thông Lêvi - Q\itakhôrg.
Tức là ta kiểm tra hai điều kiện:
VXl5 X2, X, Y e B(M), cp G F(M)
TCKY) = ỸXY - ỸYX - [X, YỊ
+ Đối với biến Y nó là K - cộng tính.

XYe I
) ta có:
VX(Yl + Y>)=
+ Y>)V= 1AY,X-r,|XY|
í* 1[(V f^k=X) + (V:
Vt<xf«Y-f.-|V(4ự^-[XYl=>
i;T(XY) = VtxC,Y(Ta chứng minh f*ỊX, Y] = [f*x, f*Y]
\ỉ [f*Xi*Y|[(p] = ÊcX[ÊY[(pJJ-ÊYIÊX[(plj =XC£HY[(P]O fj o r1 - Y[kX[cpJ ofj o f-]

12

(7)


p < a,a ><

> - < cụp >2

=x[Y[cp o fJ o f-1 o fj o r1 - Y[X[(p o fj o r1 o fj o r1 =XỊY[(p o f - YLXLcp
o fj o r1
^X,Y]f(pVậy Lf*X,f*Y] = f4X,Y]>

=> £T(XY) = V^Y- vf YÊX- [£KX£Y] = T(f*x,f*Y) = 0 (vì f đơn ánh)

Vi vf%zg= 0 suy ra: ũ(ZỊị < £KX£Y> ] =< Víiz&X,£Y> + <
£^V£KZ&Y>
VfiZ£cX£:LEcY> +X&1Vfe£Y> =<vzx,Y> + <X,VZY>

Vậy V làhên thôngLêvi- GvitatrânMchonâi V = V. Do đó
VXY= C1Vfixf,Y= f»VxY= Vf13.43. Hệ quả (xem [5])
Qua vi phôi đấng cự cung trắc địa biến thành cung trắc địa.
Chứng minh.
Cho cung trắc địa y trên đa tạp Riemann M, qua vi phôi đăng cự f: M—» N , khi đó f(y)
là cung trắc địa trên đa tạp N.
Thật vậy, theo định nghĩa y là cung trắc địa suy ra Vy.y' = 0
Ta có: Vfoy,f o y' = Vf ,.f*y = £=(Vy-y *)= 0 (do V bất biến qua vi phôi đăng cự f) hay
vf ,f o y1 = 0 => fof cũng là cung trắc địa.
13.4.4 Đinh nghĩa (xem[l])
p là một điểm của đa tạp Riemann (M,g) ơp là một 2-phẳng trong TpMỢđiổrggLan
véc tơ con 2 chiều của Tp(M) lấy một cơ sở (a?p) của ap thì độ cong tiết diện K(ơp) là
sổ:
K(o ) =-------<R(a,P,p).a>-------

13


p<

X £*p,£p > - < £„a,£sp >2

13.4.5.

Mệnh
(xemnên:
[5])
Vi /ì bảo
tồn tích
vô đề
hướng
<a,a >=< íkx, f=a > , < [3. [3 >=< f43, f=43 >, < a, |3 >=< f*a, f*p >
Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đấng cự.
Nên ta chỉ cần chứng minh:< R(oc, p, p), a >=< R(f*a, f*p, f=43), Ra >
Chứng minh.
Theo định nghĩa, taoó: R(a,p,P) = VaVpp - VpVơp - VỊ-a p|P(a,P e B(]VỊ))
f :M—»N là vi phôi đắng cự. Giả sử tại p có không gian véc tơ con hai chiều ơp. Q.iaf*
R(£xx,£.[35f43)
= V^V^Rp
- VfsHpVfHÍX£ị3
f*vMaVp[3
£fcV
có không gian véc
tơ con hai
chiều f*a Không- V|£i0^fipj£ị3
gian tiếp xúc =của
tại p -—»
ldiôrg
pVaỊ3
- f*v
gian tiếp
xúcLaj3jP
của N tại diêm f(p)).
mnhK(ơp)

=
K(f*ap).
(do V bất biến qua vi phôi đang cự)
=x
R(Ro.
RP),
Theo
địnhRp,
nghĩa
ta Ra
có: =< RR(a, p. p), Ra =< R(a, p. p), a >
Vậy độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đăng cự
< a,a >< p,p > - < a,p >2
1-

< R(Êa,Ê|3,Ê|3).Ka >

14


Chương 2. PHÉP ĐẲNG cự TRÊN MỘT SÓ ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 chiều
của nửa phăng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định rrtínc
Rienmann,
các phép biến đổi đăng cự,... Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên,
được
xét như một đa tạp Riemann 3 - chiều. Các kiến thức trình bày ờ đảy được trích dẫn
trong
tài liệu [1], [3], [4].
2.1. IVĨ) liình nửa phang Poincaré của hình học phi ơclit

Xây dựng nủa phang Poincaré (van [TịxemỊTỊ)

2.1.1.

Xét đa tạp 2 - chiều kí = {(x, y) € R2 / y > 0} trarg R2. Kí hiệu can là cấu trúc
Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trong M2 \à
y: H2—» IR,(x,y)i-» V|/(x,y) = j-.
Ý
xác định một metric Riemann 2- chiều trên kí nâi (H2- <,>rf)là
một đa tạp Riemami 2 — chiều được gọi là nửa mặt phang Poincarẻ. Ta cỏ thể biểu diễn H2 =
.2_ |> = y2
Độ dài cung trong H2 ộm[l])

2.12.

Trong kí độ dài cung của một cung đoạn cho trước cũng được xác định như
trong
trường

hợp

tông

quát.

Đê

minh

họa,

ta

xét

các

ví

a Xẳt citt^trcrgkí xác định bởi tham số hoá
teM+

I—>p(t)

=

(x(t)

=

Xo,y(t)

= t),
ịt t j nối điểm p = p(ti), Q = p(t2) xác định bới:

qp)=ft2-=int2.
■ ’ Jh t t
cnng trang kí xác định bởi tham số hoá

( x(t) =XQ +RCOSL y(t) =Rsint), với x0 là một hằng số cho trước và R > 0.
15

dụ

sau:


Độ dài cung đoạn p[tl5t2] nối điểm p = p(ti),Q = p(t2) xác định bởi:
L(p)= í'2—=ln
^ 7 Jh sãnt

2.13.

Biến đổi đắng cư của (H2,<5> o )
•
tí-

Mệnh đề (xem[l])
Cho biến đôi f: H2—► H2,(x, y) M> (u,v). Khi đó điều kiện cần và đủ để f là
phép

biến

đổi đẳng cự của (H2,<?> ^)là

©
Õ
VU
Ỡu ỡu ổv ổv

ỡxổy ổxỡy

l
V

í dv^
--- + -------

11

õy) \dy)

đối với mỗi trường mục tiêu song song chính tắc trên H2.
Chứng minh.
Gọi {E^} là trường mục tiêu song song chính tắc trên H2.
Tacó

£^(f(p)) = gEl(f(p)) + |E2(f(p)),
£E2(f(p)) = gEl(f(p))+ỆE2(f(p)).

f là phép biến đổi đẳng cự của (H,<,> o) khi và chỉ khi với Vp=(x,y) e
ta có
(£3,£Ej) = (3,Ej)(p),iJ = Ĩ2
n.đó (£E1(f(p)),£E1(f(p)))rf = (E1(p),E1(p))lí

ị ỔU^Ị2 (ỡv^l2 1
_1
^ IỔXJ VJ v^xy) _ y2"

16

_ị_

1 .^1.1
V(x,y) k-y y

Ổuỡu ổv
ổv
^ _ Ổu _ ^ ổv _ ^ ổv _ ^
Ổu—
Ỷ =
y 0.
+ (£E2(f(p)),£E2(f(p)))ií=(E2(p),E2(p))rf
-—
ổx õy ?ỡx 5 dy
ổxổy ỡxổxy
2
~ biến đổi đãng cự.
(p)) AẸí(f (p)))=p (Ẹ*(p) .Ẹ,(p)>
Vậy phép biến đổi (3) là phép
Tacó:
—-

—V

4. Phép biến đôi (4) biểu diễn được dưới dạng
V
Ỷ
Ỷ

+
1 1 _ _1 J_
—»• H2,(x,y)
,v
--- + ------- hậi lí v2(x,y)y2 (u= x2-^5
^Hy2
ôy) {õy
^ỔvV 1
_1
1
XI
V
'v^xy^y2
Giả sử(£^(f(p)),£E2(f(p)))rf
z= (x,y) E ổyj
c ta coKõyj
= (^(pỊ.Ẹ^p)^
=(u,
v) = —
, J (- X,
y). Khi đó
du_ ý2-*2 cu_ -2xy ỡv_ xp-y2 õv_ -2sy
« ^^(£E1(f(P)),£E2(f(p)))
= A(^(p),^(p))
- -w , , ,
, Ổuôu ỔVỔV
_
ẽ ^ ~ ự + y 2Mặt
Ỵ ' ẽkliác
ỹ ~ ựta+ ycó:

2 Ỵ—
ẽ ^—
~ ự+ +—y 2 ——
)%~ự
= +0.^ )
ổxổy ổxỡxy
Ta CÓỔVỔV^Ị ỡu
ỡuỡu
_
Vậy phép biến đôi (1) là phép biến đôi đãng cự. ổu 1 = 0o 0VỔV
ỡxổy ỡxổyjv2(x,y)
õxõy ổxỡy
2. Phép biến đổi (2) biểu diễn được dưới dạng tỉ —*■ H2, (x, y) I—>
2A32. Mệnh đề (xem [ 1 ], [4])
(u=kx, v=ky)
Xét nửa phẳng Poincaré tí = {(x, y) € M2 / y > 0} = {z e c/frnz> 0}. Khi đó các phép
ổu t ổu _ ỡv _ ổv t
= k,— = 0,— = OL— =
biến đổi h:—
kH2 —*■ H2 sau là các phép biến đối đang cự:
ỡx õy õx. õy
(1)
Ta có: ZM> z+a,(a EĨRJ (phép tịnh tiến với phương song song Ox);
(2) ZI—> kz,(k e ]R+ Ị (vị tự tâm Ovới hệ số dương);

z M> —z, (đổi xímg thẳng góc qua Ọỳ);
Ỡiiỡu ỡv ỡv _
— — + — = 0.
(4)ổxỡxy
ZH i, (nghich đảo tâm Ophương tích 1);

ỡxổy
(3)

Vậy phép biến đỏi (2) là phép biến đôi đăng cự.
(5) Zh-> ——— „ với a, b, c, d là những số thưc, ad - bc > 0;
3. Phép biến đổi (3) biểu diễn cZ+A
được dưới dạng hy tỉ —*■ H2, (x, y) M> (u = - X, v=y).
Giả (6)
sử z=ZH
(x,y)
—z
v) những
=(- X, số
y). thực,
Khi đó
a- +E kc ,taoó
với a,
b, =(u,
c, d là
ad - bc > ơ„
CÌL+d.
— = -1,—= 0,—= 0,—= 1
Chứng minh:
1. Phép biến đôi (1) biểu diễn
được
dưới dạng:
ỡx õy
ổx õy
h:: tí —►
H2 (x,y)

f ỡuÝ2
ị ổv^Ị2
1 _ (u=xH-ra v=y),(a
v=7e K ).
Giả sử z= (x,y) E c ta có z +Ờv^
a = (u, v) = (x + a, y). Khi đó
\ỡxj [ỔXJ V2” [ỡyj [dyj
1718


b) Trường hợp c ^ 0, tacó
f
d']
ad
d zH— +b----

, do ad - bc > 0 nên

c _ a ad- bc

>0.

d
c| z+ —
Từ đó (5) là tích các phép biến đổi đẳng cự h1? li2, h3, Hị của (H2,<,>H)như san:
z——>z+

3)
a ad-bc
—cc

2)

az+b

Do đó (5) là phép biến đổi đãng cự.
6. Phép biến đôi (6) được đưa về dạng

h6( z) =
Xét

các

trường

hợp

sau:

a) Trường hợp c = 0, khi đó
az+b a- b ,
, ,
, _,a_
^— = — z+ — , do ad - bc = ad <Ovà-— >
0.
cz+ d d d
d
d u ỡu ỡv ổv _
-2xy
-2'xy

x2-}'2
3^-x2
Vậy (6) là tích của
các phép biến đòi đẳng cự hi, ht, hz, hị= của
0. (H2,<?>h) như
ổxổy õs.Õsy~ ự^Ỷự
+
y2)2
ự
+
^
Ỵ
ự
+
y
2
)
z — — — > — zx2+y2)
—
»
san:
Vậy phép biến đổi (4)
là phép biến đổi đăng d cz+d
cự.
Nài (6) là phép biến đổi đẳng cự của (H2, <’>H)
Phép biến đôi (5) được viết dưới dạng hL5(z)
cz+d
=
Xét các trường hợp sau: b) Trường hợp c ^ 0, ta có
az+b_a

-(ad-bc)
1
a) Trường hợp c = 0, khi đó
^c) > Q
cz+ d c c2
+c
b
d
—-—
=
—
z+
—
cz+d d
d
) là tích của các phép biến đổi đăng cự hi, ÌÌ2, h3,114 của (PÍ,<,>H) như sau:
do ad - bc = ad > 0 và — e M . Khi đó
tacó
2) -(ad-bc) 1
1 a -(ad-bc) 1 _ az+b
D _ d 4)d
c2 z+d c c2 z+d = cz+d'
z ——^z+-----2-» ZH—
z+
h,°h2( z ) = h ^ | z j c= M z ) •
c
đó (6) là phép biến đổi đẳng cự của (tí,<, >H>
Vậy (5) là tích 2 phép biến đôi đãng cự. Hay (5) là phép biến đổi đăng cự.
19 20

Mệnh đề. (xem [4]: Tính bất biến của phép biến đổi đãng cự)
a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đổi xứng qua trục Oy và phép

vị

tự

tâm

o

tỉ số a e1R+ bảo tồn đường dạng a (anh của nửa đường thẳng 111Ở trực giao
với

Ox)

và

đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ).
b) Tồn tại phép nghịch đáo tâm thuộc Ox, phương tích dương biến đường dạng b

(ảnh

của

nửa đường tròn mở trực giao với Ox) thành đường dạng a (ảnh của nửa đường
thăng

mơ

trực giao với Ox).
Chứng minh:
Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đoi xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm o
tỉ số aeR+ bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và
đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ).
i) Ánh xạf:zh->z + a(ae]K)là phép tịnh tiến với phương song song Oi mà

f: z.z - k.z - k.z + k2 - R2 = 0 h-> (z+ a) (z+ a) - k( z+ a) - k(z+ a) + k2 - R2
= z.z + az + az + a2 - kz - ka - kz - ka + k2 R2
=zz+ (a- k).z+ (a- k).z+ (a- k)2 - R2 = 0
f :z+z-2b= OH> z + a+z + a-2b=z+z-2a-2b= 0.
ii) Ánh xạ f: zt—> az Ịae R.+ Ị là phép vị tự tâm o tỉ số a mà

f: z.z -k.z-k.z + k2-R2 = 0 h-» az.az- kaz -kaz + k2-R2
= a^.z - ak.z + ak.z +k2 - R2 = 0.
f :z+z-2b= 0

az+ az- 2b = 0.

iii) Ánh xạ f: ZI—> —z là phép đối xứng qua trục Oy mà

f: z.z -k.z - k.z + k2- R2 = 0

-z(-z) + kz+ kz+ k2-R2
= z.z + k.z + k.z + k2 - R2 = 0
21


b) Ánh xạf: ZỊ—» =■ là phép nghịch đảo tâm o, phương tích

1
mà:
z
f: z.z - k.z - k.z + k2 - R2 = 01-> = .--kỉ-k- + k2-R2 = 0
zzzz
- R2Ì ZZ- kz- kz+1
= 0
<=> (k2-R2) zz- kz- kz+1=0
Nếu k = R thì f: /y- Rz— Rz= 0 í > Rz+ Rz- 1 = 0
Tức là khi đó phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích 1 sẽ biến đường dạng b
thành
đường dạng a.
2.2 Đĩa Poinearé
221. Đĩa Poincaré (xem [11)
Kí hiệu D là hình tròn 1Ĩ1Ở, tâm o, bán kính 1 trong R2,
D={(x,y) eK^/^+y2 Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phăng Poincaré, ta có D là một đa tạp

cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích vô hướng thông thường trong R2. Ta
gọi D với cấu trúc Riemann nói trên là dĩa Poincaré, kí hiệu (D, <,>0).
cự 2Íữa nửa phắii2 Poincaré và đĩa Poincaré (xm| 1Ị)
Kết quả dưới đây cho ta mối liên hệ vi phôi đăng cự giữa nửa phăng Poincaré và
đĩa
Râncaté.

Đinh lí: Đĩa Poincarẻ (D, <,>n) vi phôi đang cư với nửa phang Poincaré (H2,<,> o).
Chứng minh.

Ta chứng minh tồn tại một ánh xạ f từ D vào H2 làsorg ánh, khả vi, ánh xạ ngược khả vi và

f là một phép biến đôi đăng cự.

Thật vậy, xét tương úng
_^

. v z+i
1.Chứng minh f là ánh xạ từ D vào H2.
22


Do với mỗi z = x + iy e D, tncóx2 -t-y2 < 1 nên
f(z)_
z+i
_x+i(y+l)_(x+i(y+l))((l-y)-ix)
iz+l l-y+ix
(l-y^+x2
2* ,i1-(x2+>^)_
(l-y^+x2 (l-yf+s?
1-í^+y2)
2X e R, v=—^
■=----------------(1-y) +X2
(1-y) +X2
2. Chímg minh f là song ánh.

eí(ù)

.
ico-1

Ta có g là ánh xạ từ H2 \ử)D.

Thật vậy, với mỗi co = u + iv E tí, dou, VE Rvàv>0nên
_ -co + i _ -u- iv+ i _ -u+ i( 1- v) _ (u- i(l- v))(l+ v+ iu)
im—1 1 1 4 - — 1 —í 14-17^4-111 /ì I
I
g(co)=ico-l i(u+iv)-l -(l+v) + iu
2u
u2+V2—1
-------õ-----+ i-------õ-----= x+iy,
(l+v) +u2
(l+v) +u2
(l+v)2+u2

y=

'■+V2-!
(l+v)2 + u2

Ta cần chứng minh X + iy E D tức là X2 +y2 < 1.
Thật vậy, xét biểu thức
s^ý2-!- I 2 -1

4u2 + (ư2 +V2- ì)

4u2+u4+v4+ l+2u2v2-2v2-2u2-Ịl+2v+v2+ư2j -4v^u2+v2+2\r+
lj
7.
^ I\2
T. ^
I\2
■

((l+v)2 + u2)

Cbv>0nên

-4vf u2+V2+2v+ ì)
—------^<0.
((l+v)2 + u2)
23


ỉ( du'2

- 1 < 0. Suy ra x2+ýỉiyeD
Xét các ánh xạ tích g ° f: D —► D và f ° g : H2 —*■ tì2. Taoó
z+i
—z—i—
iz+
= z,Vze E>
Ti
z+i
1
z+i
iz+ 1
iz- 1- iz_ 1
Nên

g

°

f

=

idr>

Tương tự
-z+i
+ i -z+i-z+i
iz- 1
= z,VZG H2.
-z+i
-iz1+
iz1
+1
iz- 1
& J_ỊSuy ra f là song ánh từ D lên H2 và có ánh xạ ngược là g.
3. Chứng minh f khả vi trênR2.

Do f là hàm phân thức hửu tỷ nên kliả vi trên tập xác định của nó.
Vậy f là một vi phôi từ tập mở D lên tập mở H2 của R2 do f và g đều khả vi.
4. Chúng minh f là một phép đăng cự.
Thật vậy, gọi {Ei, E2} là trường mục tiêu song song chính tắc trên Da R2.
Ta cần chứng minh
2\

(
du

+ --------õyj

1
V*

ỔUỔU ổvỡv = 0.
ỡxổy ỡxổy

^u=2(Ị-y)2+^-2x2
ôx=

((i-y)2+xf

=
=

2
((1-y)

(1-y)2-^2
+X2)2

õu_ 4x(l-y)

24


ÔX=

((l-y)2+^)2

=((l-y)2+xf
(E-(**+y*))

i(l~y
gv_-2x((l-y)2+x2)-2x(l-(x2+/))^
-^(Ị-y)
Õỵ=-2yị(1-y)2+x2)-2(y-l)(l-(x2+y2)) _ -^-(l-y)2)

(l-(x2+3^))2

^

+

1

+16x2(y-l)2 ị

((l-y)2+x2)2

((l-y)2+x2)2


(c) ------------------- -------+ i 21
2iz+ 1- 77z+ 1 i-2z-iz2 + i|iz+1|2
Từ đón ta có f -1
là một vi phôi đăng cự từ D đến H2.
- z+i
( z+i

, • \(xem[3D
-k—-—I- i
Các phép(gbiến
đang
cự°của
° h2đổi
° f)(z)
= (g
h2)đĩa mở Poincaré
k z + i | _ iz+l
iz+l
Chof: D —*■ H2 là vi phôiiz+lj
đẳngikz±i_1
cự trong Định lý trên và h: tí —*■ H2 là
phép _ -kz-ik- z+i_ kz+ z+i(k-l)
biến
k+l+i(z-kz)
đẳng cự củaikz-k-iz-l
H2 Khi đó
f'1°h°f là một phép biến đổi đãng cự của D.

đổi

Từkz+z+i(k-ỉ)
các phép biến
/ đổi đăng
\ cự của ,H2 và nhận
... .xét trên ta có thể xác 2định được
các
—-----------------------J k £ IR là môt phép biên đôi đãng cư của D trong R

k+L+i(z-kzV
phép biến đổi đang cự của D. ’
Xét đĩa Poincaré c. Xét phép biến đổi đẩng cự của H2
hs: ZI—>
-z,(k=^/x2+y2
e R+ì. <1}.
D={(x,y) e R2 /x2 -\~Ý <1} = {z=x+iy
e c/|zj
mộtđổi
phép
đổiphép
đangđãng
cự của
D. E>
Khi đó ta có các f)(z)
phép là
biến
saubiến
là các
cự của
,(keM+)
iz+l
+ 1 2z-i+iz2+i|iz+l|2
iz+1
•_z+i I -2iz-l+z2-|iz+l|2
iz+1
2z-i +1iz2+iỊiz+]|2
-2iz+27- |iz+ 1|

(g°h3°f)(z) = (g ° h3)k+L+i(z-kz)

7
z

-

i

+

iz2+i|iz+1|2

là một phép biến đổi đăng cự của D trong R2.
-2iz-1+ z2- |iz+ ]j2
2iz + ỉ-z2-|iz+l|2
(đ)z^—a H2
d. Xét phép biến đổi đang cự của
i-2z-iz^ + i|iz+l|
4^(l-y)4+2x2(l-y)2+x4| I14: ZI—> z .^(l-yr+x2)
f)(z) là
một phép
Chứng
minhbiến đổi đãng cự của D.
((ì-yf+*f (1-^+ý*))2 = ((i-y^rM*^))2
a. Xét phép biến đỗi đang cự của H2
h!:zi-> z+a,(aeM).
-A
° h 4of)(z)
= (goh4)
7 cự của D. Ta có
f)(z) là( gmột

phép biến
đổi đăng
iz+ 1
= ẽ z+i
--ÁC1
_ iz+ 1-a+i
2z+ a+ iaz
( g ° h l °f)(z) \ iz+1+ a
z+i
2+ az- ia
ìz+ 1+ a -1
Do đó
( e R)là một phép biến đổi đang cự của D
Vậy ZI—> ^Z + a + iaZ,(a
1
1
trong
!R2.
Õu \2 í ÕV^
2+iỉx-ữx
[dy)
b. Xét phép biến đôiđãng cự của H2 H^ìí
1^: z I—> kz;(ls; e M+ ).
õaõu avav_8((1-y)2-x2)x(1-y)+8(x2~(1~y)2H1~y)
Khiỡxỡy+ổxôy“
đó (g 0 h2 0 f)(z) là một phép biến
đổi đăng cự của D.
/(!_y)2+x2\4

Hay f thoả mãn điều kiện đãng cự.
2625


tí ={z=x+yi+tj eH|x,y,teR;t>0}
= {z=s+tj eH| se c;te R;t>0}.

Mệnh đề: tí là một đa tạp khả vi 3 - chiều trang R3 với cấu trúc Riemann
2_|dz|2_ck2+^2+dt2
t2
t2
Eb tí là tập con mở của R3và R3 là một đa tạp khả vi 3 - chiều với atlas
{(Ru, iđ)} nen H3 là một đa tạp khả vi 3 - chiều. Ta có với mỗi p E tí, không gian tiếp
xúc tại điểm đó là R3 = R3 nên có thể cảm sinh lên không gian này metric Riemann
chính
xác định bởi |dz|2=dx? H-cty2 +dt2.
NỊgoài ITL ta oó
Vị/:

ỈỸR

z= (x,y,t)
h-> V|/(z) - V|/(x,y5t) = -ị
MI,’ - + â TJ 3 rx Ar ^2_ |dz|2 _ d^ + ch^+dL2 .
X. ,
là môt hàm sô khả vi trên H. Do đó ds =
' =----------------- xác đinh môt câu trúc
t2
t2
cùng với metric xác định như trên là một đa tạp Riemann 3 - chiều.

232.

Nhận xét

Cấu trúc metric Riemann của nửa không gian trên tí trong ldaôrg gian 3 - chiều
M3
có thể xét như là mở rộng từ metric Riemann của nửa mặt phẳng Poincare H2 trarg
Idiôrg

^iz+lj
gian 2-chiều R2.
+ I-z2-|iz+l|2
233.là một2iz
Biến
đổi đẳng
cự của H3
phép
---------------“---1 biến
^2đổi đẳng cự của D trong M2.
i- 2z-sát
izrcác
+ i|iz+
Để kháo
biến]jđổi đang cự của đa tạp Riemann H3, trước hết chúng ta
xétgian trên
các
không
điều231.
kiện để một
ánhkhông

xạ f: tígian
—►trên
H3 trở thành biến đổi đẳng cự của H3 thể hiện trong
Nửa
mệnh Tập hợp rf:= {(X, y, t) I X, y, te M ; t>0} là một tập con mở của ĨV và được
đề
gọidưới đây.
là
nửa không gian trên. Xét H = {s + tj|s, te c } là đại sổ quatemion (chuẩn tắc). Khi đó
ta

28
27

có


ỡu
ỔxJ

[,ổx

(ổv^2 f

1

+ ổyj +
Ỡ
u

( ÕvÝ
( ỠWn2
ỡt

,Y
J_
12’
_Ị_

Õ
k CLlỡll ÕVỠV ỔwOw_ ỠUỠU ỠVỠV ổwổw_ Ổuỡu Ovổv
ổwổw_
^
"ỡxỡy ổxổy ỡxổy ổxổt ổxổt ổx ổt ổyổt õyõt õy ôt
Chứng minh.
Gọi {Els E2, E3} là trường mục tiêu song song chính tắc trên rfcR3.
Khi đó , tại p = (x, y, t) € tí, ta có
te(p),3(p)) = Ậ (i=ũ)
(y=£3;i*j).

(f(p))

=

|^(f(p))+£E2(f(p))+g^(f(p)),

£E2(f(p)) = Ệ^(f( p))+ỆẸ,(f (p))+ỆE,(f(p)),
£^(f(p))=f^(%))+t^(f(p))+t^(f(p))Thép biến đổi f là phép biến đổi đang cự của (H3; <;>) nếu và chỉ nếu với mọi
p=(x,y,t)H3, tacó(f,E;,£:EJ) = (^,Ẹj)(p), i,j = 13.

(f(p))) = (E,(p),E,(p))
«^{£^(f(p))^(f(p))} = -^(^(p)^(p))

29