Tổng trực tiếp các môđun baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ

21
MỤC
CÁC
KÝLỤC
HIỆU

Trang
Các ký hiệu được đưa ra trong luận văn chủ yếu dựa theo D. K.
Tuand R. Tribak [11], w. K. Nicholson and Sanchez Campos [6], [7].
MỤC LỤC tuncu
...............................................................................................................1
CÁC KÝ HIỆU ........................................................................................................2
MỞ DẦU..................................................................................................................3
rri
:A là mỗđun con của B.
Chương 1. Kiến thức cơ sở .............................................................................7
Rad(M)
1.1 Định lý đồng cấu ..........................................................................................7
:Căn Jacobson của M.
© Mi
1.2 Phần tử lũy đẳng ..........................................................................................7
i=l
:Tổng trực tiếp các môđun Mi, i G ỉ.
1.3 Linh hóa tử ...................................................................................................7
:Linh
hóa tửchính
trái của
mô đun M trên I.
1.4 Môđun chính quy
và vành
quy.........................................................8

1.5 Môđun con tối đại ........................................................................................8
1.6..................................................................................................Căn Jacobson
......................................................................................................................8
1.7.................................................................................................Môđun con bé
......................................................................................................................8
1.8.....................................................................................................................Mô
đun nửa đơn và vành nửa đơn ...................................................................8
1.9............................................................................................Mô đun A- nội xạ
......................................................................................................................9
Chương 2. Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và điều
kiện cấu xạ.....................................................................................................10


3
MỞ ĐẦU

Khái niệm vành Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các chuyên ngành
giải tích hàm, c* - đại số và đại số Von - Neumann. Trong thập niên
50 của thế kỷ 20, khái niệm vành Baer được đưa ra bởi hai tác giả I.
Kaplansky và s. K. Berberian. Năm 1967, J. Clark đã mỏ rộng khái niệm
vành Baer và đưa ra khái niệm vành tựa Baer. Lớp vành Baer và tựa
Baer đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và nhận được sự quan
tâm của nhiều tác giả. Năm 2004, s. T. Rizvi và c. s. Roman đã đưa
ra khái niệm môđun Baer và tựa Baer (xem [8]), đặt nền móng cho việc
chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc vành sang cấu trúc môđun. Năm
2010, hai tác giả D. K. Tutuncu và R. Tribak đã sử dụng tư tưởng đối
ngẫu để đưa ra khái niệm môđun Baer đối ngẫu (xem [10]).

Vành cấu xạ xuất hiện lần đầu tiên trong một bài báo năm 1976 của
G. Erlich (xem [4]). Năm 2004, w. K. Nicholson và s. Campos đưa ra

điều kiện tương đương và nhờ điều kiện tương đương này, việc nghiên cứu
vành cấu xạ thuận tiện hơn (xem [6]). Sau đó năm 2007, w. K. Nicholson
và V. Camillo mở rộng thành vành tựa cấu xạ(xem [2],[3]), và một số tác
giả khác cũng nghiên cứu các mở rộng của vành cấu xạ như Q. Hưang và
J. L. Chen (xem [5]), H. Zhư và N. Ding (xem [11]). Trước đó năm 2005,
hai tác giả w. K. Nicholson và s. Campos chuyển từ nghiên cứu vành
sang nghiên cứu môđun và đưa ra khái niệm môđun cấu xạ (xem [7]).
Trong Seminar tại trường Dại học Vinh, các tác giả Lê Văn An, Trần


4

Giang Nam, Ngô Sỹ Tùng đã mỏ rộng khái niệm môđun cấn xạ và đưa
ra khái niệm môđun tựa cấu xạ (xem [1]).

Mục đích chính của luận văn là sử dụng bài báo [10] làm sáng tỏ một
số kết quả về tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và thiết lập mối
liên hệ giữa điều kiện Baer và điều kiện cấu xạ. Nội dung của luận văn
được trình bày trong hai chương.

Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này chúng tôi trình bày
các kiến thức cơ bần có liên quan đến đề tài như: Phần tử lũy đẳng, linh
hóa tử, môđun chính quy và vành chính quy, môđun nửa đơn và vành
nửa dơn , môđun A- nội xạ...

Chương 2. Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và điều
kiện cấu xạ. Nội dung của chương 2 được trình bày trong hai mục:

2.1. Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngầu. Chúng tôi giới
thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của mốđun Baer đối ngẫu,

chứng minh hai môđun Baer đối ngẫu d - lẫn nhau có tính nội xạ thì
tổng trực tiếp của hai môđun đó cùng là Baer đối ngẫu, chứng minh ba
môđun Baer đối ngầu d - lẫn nhau có tính nội xạ thì tổng trực tiếp của
hai môđun Baer đối ngẫu với mô đun còn lại là môđun d - lẫn nhau. Từ


5

và vành cấu xạ tổng quát, vành Baer, vành 7T- cấu xạ và thể. Mối liên hệ
này được chúng tôi chứng minh trong Định lý 2.2.4 và Định lý 2.2.5 và
đây là các kết quả mới.

Luận văn được thực hiện bắt đầu từ tháng 11 năm 2012 và được hoàn
thành với sự giúp đỡ và tạo điều kiện của các Thầy Cô giáo Bộ môn Dại
số Khoa toán Trường Dại học Vinh. Với tất cả tình cảm của mình, tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

- Ban Giám hiệu trường Dại học Vinh, Phòng đào tạo Sau đại học
Vinh, quý Thầy giáo , Cô giáo Bộ môn Dại số, khoa Toán học.

- Quý Thầy giáo, Cô giáo trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tác giả, tạo
nhiều điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành khóa học.

- Dặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết Ơ11 sâu sắc tới thầy giáo hướng
dẫn TS. Lê Văn An, người dã dặt bài toán, định hướng nghiên cứu, tận
tình giúp dở, thường xuyên quan tâm tạo diều kiện thuận lợi, cùng với
những lời động viên khích lệ giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới các anh,

tí

mong nhận được những sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy giáo, cố giáo và
các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tác giả


7
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC cơ SỞ

Trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm và tính
chất cơ bản nhằm hỗ trợ cho chương sau. Các khái niệm, định nghĩa,
tính chất cơ bản chúng tôi dựa vào các tài liệu: w. K. Nicholson and E.
Sanchez Campos, D. K. Tutuncu and R. Tribak.

Các vành luôn được hiểu là vành kết hợp có đơn vị và các môđun là
R- môđun phải unitar trên vành R nào đó (nếu không nói gì thêm).

1.1.

Định lý đồng cấu

Cho môđun M và / là một tự đồng cấu của M thì Im/ =M/Ker/.

1.2.

Phần tử lũy đẳng

Cho môđun M, ký hiệu s = End(M) là vành các tự đồng cấu của
môđun M. Phần tử e của vành s được gọi là phần tử lũy đẳng (idempotent
element) nếu e2 =e.

1.3.

Linh hóa tử

Cho R là một vành bất kỳ.


8
1.4.

Môđun chính quy và vành chính quy

1) Môđun M được gọi là môđun chính quy (reguỉar moduỉe) nếu với
mọi 1Ĩ1Ôđun con cyclic A của M thì A là hạng tử trực tiếp của M.

2) Vành R được gọi là vành chính quy (regular ving) nếu Ru (tương
ứng ỊỊR) là môđun chính quy.

1.5.

Môđun con tối đại

Môđun con A của M được gọi là môđun con tối đại nếu A ỹ^M và nó
không chứa trong một môđun con thực sự nào của M, nghĩa là A
và Ả c tí M thì A = tí.

1.6.

Căn Jacobson

Ta gọi giao của tất cả những môđun con tối đại củaM là căn Jacob$on
(hay đơn giản là căn) của môđun M và ký hiệu là RadỢVỈ).

Mệnh đề. Nếu R là vành chính quy thì Rad(R) =0.
1.7.

Môđun con bé

Môđun con N của môđun M là môđun con bé, ký hiệu N « M nếu


9
1.9.

Môđun A- nội xạ (A- injective modules)

1.9.1.

Định nghĩa. Cho A là H- môđun. Một môđun iV được gọi là
777,

A- nội xạ nếu mọi X c A thì mọi đồng cấu (p : X — đ ề u
đồng cấu lị) : A — t h ỏ a

mỏ rộng tới

mãn ĩpi =ip (với ỉ : X —>A là phép nhúng

đồng nhất).

1.9.2.

Bổ đề. Cho N ỉà A~ nội xạ. Khi đó mọi đơn cấu f : N —>A
là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn:


10
CHƯƠNG 2. TỔNG TRựC TIEP CÁC MÔĐUN
BAER ĐỐI NGẪU VÀ ĐIÊU KIỆN CÀU XẠ
2.1. TỎNG TRựC TIẾP CÁC MÔĐUN BAER Đối NGẪU

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm liên quan
đến môđun Baer đối ngẫu và các tính chất liên quan đến tổng trực tiếp
của môđun Baer đối ngầu, từ đó tìm hiểu mối liên hệ giữa rnôđuri Baer
đối ngẫu và điều kiện cấu xạ.

2.1.1.

Định nghĩa

1) Môđun M được gọi là Baeĩ' đối ngẫu (dual Baer module) nếu với
mỗi môđun con N của M tồn tại lũy đẳng e của s sao cho D ( N ) =eS.

2) Môđun M được gọi là có SSP nếu tổng của hai hạng tử trực tiếp
của M là một hạng tử trực tiếp của M.

3) Môđun M được gọi là có SSSP nếu tổng của một họ những hạng
tử trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.

4) Môđun M được gọi là không phân tích được (indecomposable) nếu
0 và M là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.


11

2.1.2.

Bổ đề. Cho N là rriôđun con của môđun M. Khi đó N là hạng

tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại lũy đẳng e của s sao cho
e (M ) = N.

Chứng minh. Diều kiện cần. Giả sử N là hạng tử trực tiếp của M
thì M = N © N'. Như vậy với mỗi m G M, m được phân tích một
cách duy nhất dưới dạng m =71 -\-n'(n p : M —> N xác định bởi p(m) =p(n H-n7) =n, khi đó p là toàn cấu
và i : N —> M xác định bởi i(n) =n, i là đơn cấu. Khi đó e =i o p:
M —> M,m =n -\-n' I—>n là đồng cấu thỏa mãn e2 =e và e ( M ) = N .

Diều kiện đủ. Từ e H-(l— e) =1, suy ra e(M)+(l— e)(M) = M. Mà
e(M)n(l— e)(M) =Onên M =e(M)® (1— e)(M) . Hay e(M) là hạng
tử trực tiếp của M.

2.1.3.

Định lý. Dối với môđun M các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là Baer đối ngẫu;

(ũ) Với mỗi tập con A của S: y^ĩm/ = e ( M ) với e =e2 G S;
/eA

□


12
e ( M ) là mỗđun con của N . Với mỗi / G Ả ta có / G Đ ( N ) = e S (do
cách đặt N = y^ĩiri/'). Suy ra / Ge S . Như vậy với mỗi / GẨ, tồn tại

s G 5 sao cho / = es. Khi đó với mọi ị/ GM và với mọi / G A, ta có

/(y) = es(ỉ/) =e(s(y)) Ge(Ẩf) (do s(y) GM). Suy ra A/ là mỗđun con

của e(M). Vậy V =e(M) với e =e2 GS. Hay Im/ =e(M).

( l i ) =>(iv). Với mỗi (/? G 5 thì ta có Im/? = e ( M ) (với e = e2 G5)

(theo (ii)). Suy ra, Im/? là hạng tử trực tiếp của Ải (theo Bổ đề 2.1.2).

(iv) =>(m). Cho / là iđêan của 5, ta sẽ chứng minh y^Irr/ =e(M)
với e =e2 GS. Thật vậy, với môi / G/ c 5 nên theo (re), Im/ là hạng
tử trực tiếp của M. Suy ra iV = y/ĩm/' là hạng tử trực tiếp của M (do
/e/

với e =e2 G5.

(m) =>(í). Cho V là môđun con của M, ta sẽ chứng minh D ( N ) =
e S , với e = e2 G 5. Do / = D ( N ) = {
|Im/? c V} là iđêan của

5 nên theo giả thiết, /Im/ =e(M) với e = e2 G 5. Với mọi / G /.


13

Hay e ( M ) là môđun con của A/. Hay e ( M ) là môđun con của N . Khi
đó e G Đ ( N ) và do đó e*s c D ( N ) . Mặt khác, y/Im/ =e(M) nên với
/e/

^

mỗi / G/ thì Im/ là môđun con của e(M). Hơn nữa s = e S ệJ3(l — e)5
nên ta có / Gi : / = esi H-(l — e)s2(si, 52 G 6). Suy ra /(M) =
esi(M) +(1— e)s2(M) c e(M).

Mặt khác ta có:
e(M)n(l-e)(M)=0 ì
esi(M) c e(M)

> =>esi(M) n(l — e)s2(M) =0

(l-e>2(M) C (l-e)(M) J

Vậy từ esi(M)+(l—e)s2(M) c e(M) ta suy ra (1—e)s2(M) =0. Khi
đó / =esi hay / GeS. Do đó D ( N ) c e5. Vậy D ( N ) =eS với e =e2 G

5. Do đó M là Baer đối ngẫu.

□

2.1.4. Hệ quả. Môđun M là Baer đối ngẫu không phân tích được nếu
và chỉ nếu với mọi (f GS và 7^0, V? /ồ íoồn cấu.


14

D Ợ M ) =iS. Suy ra M là mỗđun Baer đối ngẫu.

Bây giờ ta chứng minh M không phân tích được. Giả sử M = N ©
N\N 7^ (3). Vì N là hạng tử trực tiếp của M nên tồn tại lũy đăng
O^e Gs sao cho e(M) = N . Mặt khác o^e Gổ nên e là toàn cấu hay
e(M) =AT. Vậy AT =M. Do đó M không phân tích được.

2.1.5.

□

Bổ đề. Cho môđun M và N là hạng tử trực tiếp của M. Khi

đó:
(i) Nếu M có SSP thì N củng có SSP.
(ii)

Nếu M có SSSP thì N củng có SSSP.

Chứng minh, Nhận xét: Nếu A là hạng tử trực tiếp của N thì A cũng

là hạng tử trực tiếp của M. Thật vậy, A là hạng tử trực tiếp của N nên
iV

A\ và N là hạng tử trực tiếp của M nên M =N © N'. Như

vậy ta có M =A 0 A' 0 N'. hay A là hạng tử trực tiếp của M.

(i) Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp của N, ta sẽ chứng minh
A -\-B là hạng tử trực tiếp của N. Thật vậy, vì N là hạng tử trực tiếp
của M nên theo nhận xét ta có A và B là hạng tử trực tiếp của M. Vì M
có SSP nên A -\-B là hạng tử trực tiếp của M. Dặt M = (A H-JB) © c.
Khi đó, A A-B là môđun con của N nên áp dụng luật Môđula ta có:


15
hạng tử trực tiếp của M cũng là Baer đối ngẫu.

Chứng minh. Giả sử N là hạng tử trực tiếp của M, ta chứng minh
N là môđun Baer đối ngẫu. Thật vậy, vì M có S S S P nên theo Bổ
đề 2.1.5 thì N cũng có S S S P. Dặt M = N ® N' và xét tự đồng cấu
/ : N —> N , ta sẽ chứng minh Im/ là hạng tử trực tiếp của N . Xét đồng
cấu / 0 ƠN: N ® N' —* N © N' xác định bởi / ® ơN(n -\-n') = f ( n ) +0,
ta có / ® Ơ N < E s nên Im(/ H-CỊy) là hạng tử trực tiếp của M . Với mọi
m G M = N © N ' ta c ó m = n -\-n' trong đó n G N và n' G N suy ra
/ © c/v(m) =/ © c/v(n H-n') = f ( n ) . Suy ra / © t/v(M) = f ( N ) . Vậy ta
có Im/ là hạng tử trực tiếp của M và đặt M = ỉmf(BK. Khi đó Im/ là
môđun con của nên áp dụng luật Môđula ta có:
N =M nN = ựmf © K) nN = I m f © (.K n N )

Vậy Im/ là hạng tử trực tiếp của N nên theo Định lý 2.1.3, suy ra A/

là môđun Baer đối ngầu.

□

2.1.7. Mệnh đề. Nếu M là mỏđun chính quy Baer đối ngẫu thì M
là nửa đơn.

Chứng minh. Cho N là mõđun con của M ta có N = ^ 2 x R . Vì M


16

2.1.8.

Mệnh đề. Nếu Ru là Baer đối ngẫu thì R, là vành chính quy.

Chứng minh. Cho bất kỳ iđêan phải ỉ =aR của R, ta sẽ chứng minh

aR là hạng tử trực tiếp của R . Xét tự đồng cấu / : Ru—>Ru xấc định
bởi /(r) = a r. Khi đó Im/ = a R = L Mà RR\& niôđun Baer đối ngẫu
nên Im/ là hạng tử trực tiếp của Ru Suy ra aR là hạng tử trực tiếp của
Ru Vậy R là vành chính quy.

2.1.9.

□

Định lý. Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(%) Ru là Baer đối ngẫu;

(li) Ru là nửa đơn;

(Hi) uH là Baer đối ngẫu;
(iv) uR là nửa đơn.

Chứng minh, (i) =>(ii). Vì Ru là Baer đối ngẫu nên theo Mệnh đề
2.1.8, R là vành chính quy, tức là Ru là mô đun chính quy, suy ra Ru là
nửa đơn theo Mệnh đề 2.1.7.

(ii) =>(i). Xét tự đồng cấu (p : Ru —> RR- Ta có Imv? là môđun
(m) =>(iv). Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.


17

(ii) =>(iv). Ta có R f t \ h nửa đơn nếu và chỉ nếu RR là nửa đơn. □

2.1.10.

Bo đề. Cho L = x R là mỏđun xycỉic trên vành giao hoán R.

Khi đó L là môđun Baer đối ngẫu nếu và chỉ nếu L là nửa đơn.

Chứng minh

* Diều kiện cần. Lấy y GL. Khi đó tồn tại r Gi? sao cho y =xr.

Xét tự đồng cấu / : L —> L xác định bởi /( x a ) = y a với xa G L. ánh
xạ / hoàn toàn xác định được vì R là vành giao hoán. Vì L là rnôđuri
Baer đối ngẫu nên theo Định lý 2.1.3 suy ra y R là hạng tử trực tiếp của

L. Lại theo Định lý 2.1.3, L có SSSP nên mỗi mỗđun con của L là một
hạng tử trực tiếp. Do đó L là nửa đơn.

* Điều kiện đủ. Theo Định lý 2.1.9.

2.1.11.

□

Bố đề. Giả sử R là vành giao hoán, R không nửa đơn, M là

môđun không phân tích được chỉ bao gồm phần tửx sao cho X Rad (M )
và Ann fỉ(x) =0 thì M không là mỏđun Baer đối ngẫu.

Chứng minh, Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.


18

Cấu nên Im/ = M .

Mà Im/ = ự ( y ) \ y GM} = {yr Iy eM}= M r = ( x r ) R -\-Lr c L, cho
nên L =MÌ mâu thuẫn với L là mô đun con thực sự của M. Vì vậy, điều
giả sử là sai, hay M không là Baer đối ngẫu.

□

Trước khi đi đến định lý chính của mục này, ta có khái niệm sau:

2.1.12.

Định nghĩa. Cho A và B là các môđun. Nếu với mỗi đồng

cấu

B, ĩinp là hạng tử trực tiếp của B, thì A được gọi là d lẫn nhau (relativeỉy d ) với B.

Chúng ta cũng nói môđun Ả và B là d - lẫn nhau với nhau nếu Ả d lẫn nhau với B và B là đ - lẫn nhau với A.

Sau đây là nội dung của định lý:

2.1.13.

Định lý. Cho Mi, M-2,Mn là các môđun Baer đối ngẫu.

với n G /V. Giả thiết rằng với i,j bất kỳ, i ỹ^j, Mị và M.j là các môđun
d - lẫn nhau và với bất kỳ i < j, Mi là M.ị- nội xạ. Khi đỏ M = 0 Mi
i=i


19

tử trực tiếp của M.

Lấy i± : Mỵ —> M, i‘2 : M‘2 —> M là phép nhúng chính tắc và
ĨI‘2 : M —ì M2 là phép chiếu chính tắc, với j G J. Vì M2 là Baer đối
ngẫu nên ta có:
EI{T{2{PẼ2) =^2^ P j { M 2) ) là hạng tử trực tiếp của M2, trong đó 7T2ỊPjỈ2'

Àẩ2----^ A^2*

Vì M2 là d - lẫn nhau với Mi nên ta có hnn(7ĩ$pjii) = n2(

hạng tử trực tiếp của M2- Mà Ai2 là Baer đối ngẫu nên M.2 có SSSP, suy
ra 7T2(Im/?ý) = 'K2^pj{M‘2Ỹ) +7i"2(^;ý(Aíi)) cũng là hạng tử trực tiếp của

M2. Do đó 7Ĩ2(K) =n2(y~'Jĩmp:j) là hạng tử trực tiếp của AÍ2- Từ đó suy
j^J

ra 7 Ĩ 2 ( K ) -\-MI là hạng tử trực tiếp của M.

Ta có 7Ĩ2(K) H-MI =K

Thật vậy:

Lấy k +J7Ỉ1 G K H-A^I, trong đó Ả; G K, mi G Mi. Khi đó = &1 H-&2,


20
của K sao cho: K' © Mị =K ® Mỵ. Suy ra M = K' © Mi ® L. Do đó
K = M nK = (K' © Mi © L) nK = (K nK') © [(Afi 0 L) nK] =
K' © [(Mi © L) niL] = X' © (Mi niL).

Xét đồng cấu 7Tipj : M —* Mh với 7T : M = K' © M1 © L —* M1
là phép chiếu chính tắc. Vì Mị là Baer đối ngẫu và M‘2 là relatively d với M1 nên Ĩxr(7ĩ ( f ỹ ) = 7ĩ(ậý(MiỴ) -\-n(ỊPj(M2Ỵ) là hạng tử trực tiếp
của Mi theo Dịnh lý 2.1.3. Mà Mi có SSSP cho nên y^ĩm(7ĩ ự?.ì) là một
,ỹe>/
hạng tử trực tiếp của M1. Nhưng ta lại có y^Im(V(/?./) = 7T (ỹ) =
j^J

:i*=J

7Ĩ ( K ) = M ị nK . Do đó Mi nK là hạng tử trực tiếp của Mi. nên

X =K'© (ik?i fìẤ) là một hạng tử trực tiếp của M . Vì vậy M là Baer
đối ngẫu.

□

2.1.15. Định lý. Cho M I , M - 2,M‘S là các môđun Baer đối ngẫu d lẫn nhau. Giả thiết rằng Mỉ2 là Mị- nội xạ (hoặc Mị là M2- nội xạ) thì
(Mị © M2) và M3 là môđun d - lẫn nhau.

Chứng minh, Lấy (f : Ali© M2 —> M3 là đồng cấu bất kỳ, i 1 : M2 —>
Mi © M2, í 2 • M2 —> Mị © M2 là các phép nhúng chính tắc (Mị và M2


21

i'VI2- Suy ra 7Ĩ2(/??T0) + M ị là hạng tử trực tiếp của Mi ® M‘2' Nhưng
7Ĩ2ựrmp) +Mj =Irmp -\-Mi nên H-Mi là một hạng tử trực tiếp của
Mi © M2.

Giả sử L và E là môđun con của M\ © M-2 sao cho (ỉrmỊ) +Mi) © L =
Mi© M2 và ỉmĩp +Mi =E© Mi. Khi đó (F© Mi)© L =Mi0 M% suy
ra h'® L — M 2 . Vì M 2 là Mj- nội xạ nên E là M ỵ - nội xạ, suy ra tồn tại
F c /?7r0 sao cho F© Mi =Irmp +Mi. Do đó F © Mi® L =Mi0 M2.
Suy

ra

=F®

(ira^

n(Aíi®

L))

=F©

nAíi)©

(im^

PlL)]

=

F © (/?7T0 nMi).

Vì M;ị d - lẫn nhau với Mi nên ImĩỊỉ nM1 là hạng tử trực tiếp của Mị. Vì
vậy Irmp là hạng tử trực tiếp của M1 © M2 hay (Af 1© íVí2) và v?3 là môđun
d - lẫn nhau.

□


22
2.2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN BAER Đối NGẪU VẦ ĐIÊU KIỆN

CẤU XẠ

Như chúng ta đã biết, lớp vành Baer và lớp vành cấu xạ đã dành được
rất nhiềư sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả, và cũng có rất nhiều

tài liệu nghiên cứu về hai lớp vành này. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là liệu
hai lớp vành này có mối liên hệ nào với nhau hay không? Trong mục này
chúng tôi sẽ trả lời một phần cho câu hỏi này.

Kết quả chính của mục này là Định lý 2.2.4 và Dịnh lý 2.2.5. Dây là
các kết quả mới của luận văn.

2.2.1. Định nghĩa

1) Vành R được gọi là vành Baer (Baer ring) nếu với mỗi tập con I
của R, tồn tại lũy đẳng e của R sao cho Inự) = Re, trong đó ỉn^I) là
linh hóa tử trái của ỉ trong R.

2) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử cấu xạ tông quát trái
nếu RịRb = l ( a ) .

Vành R được gọi là vành cấu xạ tong quát trái nếu mọi phần tử của
nó là cấu xạ tổng quát trái.


23
của nó là 7T - cấu xạ trái.

4) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử cấu xạ trái (leỷt morphic
element) nếu RỊ Ra — /(a), tương đương nếu tồn tại b G R saơ cho
Ra = ỉ ( b ) và l ( a ) =Rb.

Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (ỉeft morphic ring) nếu mọi phần
tử của nó là cấu xạ trái.

Ví dụ. Phần tử lũy đẳng e Gi? là phần tử cấu xạ trái.

5) Vành R không giao hoán được gọi là một thể nếu với mọi a ỹ^o
đều có phần tử khả nghịch.

2.2.2.

Bổ đề. Đối với một phần tử a trong vành R thì các điều kiện

ố au đây là tương đương:

(i) a là cấu xạ trái, tức là ^'/RO, — K a )

(ii) Tồn tại b G R sao cho Ra = ỉ ( b ) và l ( a ) =Rb.

(iii)

Tồn tại b Gi? sao cho Ra =l(b) và l ( a ) = R b .


24

(b) =>(c). Hiển nhiên.

(ớ) =^(ữ). Xét đồng cấu / :

xác định bởi f ( x ) =xb. chúng

ta có / là toàn cấu và K e r f = ị x GJR Ix b =0} = l ( b ) = R a .

Theo Dịnh lý đồng cấu ta có k e r f —Rh =1(0). Do đó R/ỊIQ — l ( a ) .

2.2.3.

Bổ đề. Nếu a G R là cấu xạ trái thì ba điều kiện sau là tương

đương:

(i) ỉ ( a ) =0;

(ii) Ra =R;

(Ui) a là phần tử khả nghịch trong R.

Chứng minh, (i) =>(u). Vì a là phần tử cấu xạ trái trong vành R nên
tồn tại phần tử b
Giả sử l (a) =0. suy ra Rb =0, nên b = 0. Khi đó l ( b ) = { x G R Ib x =0}
R . Do vậy ta có R a = R .


25

Khi đó tồn tại b G R sao cho b = 1 — e . Lại vì R là vành Baer nên theo
định nghĩa ta có Re =ỉ(à). Do đó ta có ỉ ( a ) — ^/ỉU)i hay R là vành cấu
xạ tổng quát trái.

Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp vành cấu xạ tổng
quát phải.

Vậy nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát.

2.2.5.

□

Định lý. Cho R là vành Baer và 7T- cấu xạ trái không phân

tích được. Khi đó R là một thể.

Chứng minh,Ta có ỉ ( a ) = R e (vì R là vành Baer) là một hạng tử trực
tiếp của vành R . Do R không phân tích được nên hoặc l ( a ) =0 hoặc
l(a)=Re =R.

Dể chứng minh R là một thể, ta cần chứng minh với mọi 0 7^ a G R
đều có phần tử khả nghịch.
□
Xét trường hợp 1: ỉ ( à ) =Q Vì R là vành 7Ĩ- cấu xạ trái nên R cũng


26
KẾT LUẬN

Trên cơ sỏ tham khảo bài báo [10], nội dung luận văn gồm :

1. Phát biểu lại và chứng minh một số tính chất của môđun Baer đối
ngẫu (Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.9, Bổ đề 2.1.10, Bổ đề 2.1.11) và đưa ra
có chứng minh một số kết quả của tổng trực tiếp các môđun Baer đối
ngẫu (Định lý 2.1.13, Định lý 2.1.14, Định lý 2.1.15).

2. Dưa ra một số kết quả mới về mối liên hệ giữa điều kiện Baer và
điều kiện cấu xạ và chứng minh được tường minh mối liên hệ đó (Định