ư khác biệt giữa tôpô zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n

21

LỜI CẢMMỤC
ƠN

LỤC

Với ƠN...........................................................................................................1
việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết
LỜI CẢM
ơn sâu sắc của mình tói Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người
MỞnhiệt
ĐẰUtình
...................................................................................................................
3
đã
từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ
việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp
CHƯƠNG 1. TÔPÔ ZARISKI............................................................ 5
thực hiện
và
truyền
nhiều
quý báu trong suốt quá trình thực
1.0. Kiến
thức đạt
chuẩn
bị vềkiến
Tôpôthức
..................................................................
5

1.1.
..............................................................................................
5
hiện luận
văn Tập
đến đại
việcsốchỉnh
sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận.
1.2. Iđêan.................................................................................................... 12
1.3.
Cấu chân
xạ trong
tôpôcảm
Zariski
19
Tôi xin
thành
ơn....................................................................
quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,
Khoa Toán của Trường Đại học Vinh và Phòng Quản lý Sau đại học của
Trường Đại họcCHƯƠNG
Đồng Tháp
đã giúp
tôi hoàn
thành tất TRÊN
cả các□ học
của
2. TÔPÔ
THÔNG
THƯ*ỜNG

" VÀphần
□ n . 27
Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương
2.1.tậpTôpô
□ n.....................................................................................27
pháp học
hữu trong
ích; giúp
tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn
tốt nghiệp.
2.2.

Sự tirơng đirơng các chuẩn trên I I n..................................................32

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và
2.3. Khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng............................................. 38
Đào tạo, Sở Tài chính tỉnh Đồng Tháp, Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện
Thanh Bình, Ban Giám Hiệu trường THCS Tân Quới, huyện Thanh Bình,
CHƯƠNG 3. Sự KHÁC BIỆT CỦA TÔPÔ ZARISKI VÀ TÔPÔ
tỉnh Đồng Tháp cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia
đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
n
THÔNG
THƯỜNG
luận
văn tốt
nghiệp. TRÊN □ "VÀ □ .................................................................42
Chân thành cảm ơn!
Đồng Tháp, ngày 03 tháng 9 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thanh Hoà


3

MỞ ĐẦU
Không gian tôpô là một cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các
khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông, tính liên tục và nhiều tính chất
toán học khác. Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán
học hiện đại và là một khái niệm có tính trọng tâm. Một tập hợp cho trước có
thẻ có nhiều tôpô trên đó. Nếu như một tập được cho nhiều tôpô khác nhau,
nó sẽ được xem như là những không gian tôpô khác nhau. Bất ki tập nào cũng
được cho tôpô rời rạc mà trong đó bất kì tập con nào cũng là tập mở. Những
dãy (hay lưới) hội tụ trong không gian này là những dãy cuối cùng hằng. Bất
kì tập hợp nào cũng được trang bị tôpô thô, đó là tôpô chỉ có 2 tập con mở là
rỗng và chính nó. Trong tôpô này, mọi dãy và lưới đều hội tụ tói mọi diêm
trong không gian. Ví dụ này cho thấy trong không gian tôpô tồng quát, giới
hạn của dãy không nhất thiết là duy nhất.
Trong luận văn này, chúng tôi xét hai loại tôpô, đó là:
-

Tôpô thông thường trong không gian Euclid □ n, □

n

được định

nghĩa bởi các tập mở cơ sở là các hình cầu mở.
-

Tôpô thứ hai trên □ nvà □

n

là tôpô Zariski được định nghĩa bằng

cách coi tập đóng tôpô Zariski là tập nghiệm của hệ các phương
trình đa thức.
Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy có
những khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên □ n, □

n

cùng

với sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn Huỳnh Phán là phương châm đê
tôi thực hiện đề tài này.
Vì vậy, tôi chọn tên đề tài của luận văn là: “Sư khác biệt giữa tôpô
Zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n”.


4

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những khác biệt giữa tôpô
Zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n.
Đe tài có nhiệm vụ tập họp, phát hiện và cập nhật các kết quả về sự
khác biệt giữa hai loại tôpô Zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n.
Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần
kết luận:

Phần mở đầu. Giới thiệu khái quát về đề tài luận văn.
Chương 1. Trình bày về Tập đại số, Tôpô Zariski trên □ n và □ n.
Chương 2. Trình bày về không gian Tôpô thông thường trên □
và □ n, sự tương đương các chuẩn trên □

n

n

và khái niệm về hình cầu mở, hình

cầu đóng.
Chương 3. Trình bày một số khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông
thường trên □ n và □ n.
Phần kết luận. Trình bày một cách ngắn gọn những kết quả mới của


5

CHƯƠNG 1. TÔPÔ ZARISKI
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập
đại số, iđêan và cấu xạ trong tôpô Zariski. Nội dung này làm cơ sơ sở cho
chúng tôi trình bày luận văn.

1.0.

Kiến thửc chuẩn bị về Tôpô

Cho một tập X khác rỗng. Một họ

T

các tập con của X được gọi

là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i.

X E T và 0 E T;

ii.

Hợp tuỳ ý các tập thuộc T là thuộc T;

iii. Giao hữu hạn các tập thuộc T cũng thuộc T.
Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không
gian tôpô, kí hiệu (X, T).
Nếu chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thỉ ta ngầm hiểu rằng trên X
đã được trang bị một tôpô nào đó.

1.1.

Tập đại số

X
r+r +....+r <
1 2
n

ĩ'l ....X 'w

n

1\,r2

với d là một sô tự nhiên nào đó và Ằ
^ 0, ta gợi chúng là các hệ sổ. Các biểu thức

EA

gọi là các hệKhi A là
1

2

n


6

với hệ tử tương ứng khác 0 gọi là các dơn thức. Bậc của đơn thức
x^x^1 ....X rn là tổng các số mũ ri + r2 +...........+ rn. Bậc của f Ti 0 là bậc lớn nhất
của các đơn thức trong fvà ký hiệu là degf. Neu f = 0, ta quy định deg/= -co.
Nếu 0 ± f Ẽ A, ta nói degf = 0. Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó
luôn có dạng
f = aiXi + a2x2 +..............+ anxn + an+i,
trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không.
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo
giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:
V '1Y '2 y. rn SI s2 Y s„

12

n

12

n

nếu ri + r2 +.......+ rn > Si + s2 +.........+ Sn
hoặc Ĩ1 + r2 +.....+ rn = Si + s2 +..............+ Sn và tọa độ khác không đầu tiên của
vectơ (ĩi - Si, r2 - s2,.........., rn - Sn ) là dương.
1.1.2. Ví dụ. Với 2 biến Xi, x2, ta có :

,,

m

^ „

m-l..

> Xy X, >

„

m—

2,, 2

X, >....> X, >.........>

^ „

> X, .

m ..

..

1.1.3. Bố đề. Nếu A ỉà miền nguyên (nghĩa là với mọi c, deA mà
cd = 0 thì hoặc c=0 hoặc d=0, khi này ta còn nói A không có ước của không)
thì degfg = degf+ deg g.

Chứng minh. Mọi đon thức của fg là tích của đon thức của f và đon thức
của g. Nếu Umax , Vmax là đơn thức có bậc lớn nhất của f và g tương ứng với hệ
tử khác không là c, d, khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của fg là tích Umax Vmax
với hệ tử là cd. Do A là miền nguyên nên cd ^0. Do đó deg fg = deg (Umax
Vmax) = deg Umax + deg Vmax = deg f + deg g.


7

1.1.4. Bố đề. Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[XJ cũng là miền
nguyên và các phần tử khả nghịch củaA[X] là phần tử khả nghịch ảm A.

Nếu f, g là đa thức khác 0 trong A[X]. Do deg f, deg g > 0, nên
deg fg > 0 và do đó fg * 0. Vậy A[X] là miền nguyên.
Tiếp theo, nếu f g = 1 thì deg fg = deg f + deg g = 0, do đó f và g là những
phần tử khác 0 của A. Vậy f và g là những phần tử khả nghịch của A.
'1 n

>rn
rì+r2+....+r


Chú

ý

rằng,

mỗi

đa

thức

f

xác

định

một

ánh

xạ

Kn

f:

K;

a

1-»

f(a),

gọi

là ánh xạ đa thức.
1.1.5.

Chúng

minh.

Nếu

n

=

Bố đề. Nếu trường K vô hạn thì f(a) =

1,

thì

mỗi

đa

thức

1

biến

0 với

khác

0

chỉ

có

hữu

hạn

nghiệm nên kết quả là hiẻn nhiên. Khi n > 1, giả sử ngược lại, f * 0. Giả thiết
f chứa biến Xn- Viết f dưới dạng
f

= f 0 + Xnfi + X 112f 2 +

.....+ xnmfm

với fo , f 1 , f2 , ........, fm là đa thức của n - 1 biến đầu và fm * 0. Dùng
quy nạp, ta có thể giả thiết tồn tại b = (bi, b2,...., bn_!) G Kn ' 1 sao cho
fm(bi,b 2,....,b n _i)

^ 0. Khi đó
f (b, xn) = fo (b) + xnfi (b) + xn2 f2 (b) ... + xnm fm(b).

Đây là một đa thức của một biến x n khác không bậc m, nên nó chỉ có hữu hạn
nghiệm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(a) = 0 với mọi a G Kn.


8

1.1.6. Hệ quả. Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi
a=(aha2,...., aj G ỈC thì f=g.
Chứng minh. Đặt h = f- g, áp dụng Bố đề 1.1.5, ta nhận được kết quả.
1.1.7. Chú ý. Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn
đúng. Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.1.8. Ví dụ. Nếu K = { ai, ã2,...., as}
và f (x) = (x- ai) (x- a2)............(x- as) thì f triệt tiêu trên K nhưng f * 0.
1.1.9. Dinh nghĩa tập đại số. Cho K là trường, tập con V c Kn gọi là
tập đại so nếu nó là nghiệm của một họ hữu hạn hay vô hạn các đa thức n
biến trong K[X].
1.1.10.

Ví dụ

1. Tập rỗng ậ là tập đại số vì phương trình f = 0 với f G K
mà f * 0 là vô nghiệm.
4. Tập 1 điểm a = (ai, a2,...., an) là tập đại số vì đó là nghiệm

của hệ n phương trình

2. Các m - phang trong không gian afín Kn là các tập đại số vì
đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính.
3. Kn là tập đại số vì nó là nghiêm của phương trình 0 = 0.
1.1.11. Chú ý. Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn
tọa độ, nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(xi, x2,_________, xn )e s,
thì với tọa độ mới (yi, y2,...., y„), ta có


a

l
10
9

a2
ịxi = cỉ0 + C ^ 1 +ci2y2 +................+ clHyH
1 i = 1, 2,......................................, n
X2 —y = 0
thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình
Thật vậy, đặt V = { (a, a2); a G K }. Ta có V c Z(f).
Ngược lại, giả sử (ai, a2)e Z(í). Nếu ai= 0 thỉ a2 = 0 nên (ai, a2) = (0, o2) e V.
f(ci0 + Cnyi+....+ Cinyn,.........., Cno + Cniyi+....+ cmiyn) - 0, f G s.
kýcóhiệu tập nghiệm của đa f là Z(f).
Khi ãi * Ta

0, ta
nếu

Nếu deg f = 0 thì

f

a, =

=
0
ệ nếu f * 0 : = a

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt. Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa
= là một siêu phăng.
là f là đa thức bậc nhất) thì a.Z(f)

: = a'

s là
bấtsuy
kỳ racủa
Ký hiệu
là tập nghiệm của tất
Do đó taCho
có (ai,
a2) tập
€ V.con
Từ đó
Z(f)K[X].

c V. Vậy
ta có Z(S)
V = Z(f).
cả các đa thức trong s (thirờng gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S)
là một tập đại
c) số.
f = X3 - y2 thì Z(f) = { (a2, a3); a e K }
Ta có:
Thật vậy, đặt V := { (a , a ); a Gz K }
Z(S) = n w
2

3

Chứng minh tưong tự như trên,
festa có V c Z(f).
2
3
Ngược lại, giả1.1.12.
sử (ai, a2Chú
) e Z(f).
Nếu aiímg
= 0sthì
nênmột
(ai, ánh
a2) =xạ(0từ
, ohọ
) tất cả các tập
ý. Tưong
-> aZ(S)

2 = 0cho

con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n
1.1.13.

Ví dụ
a) Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập
rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K.

b) f = X -y, thì Z(f) = { (a, a2); a G K }. Nó là một parabol.
2

a

X


11

Do đó ta có (ab a2) E V. Từ đó suy ra Z(f) c= V. Vậy ta có V = Z(f).
1.1.14.

Mệnh đề (Một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

Ỉ.NeuSi 3 iỉ. Z(0) = K";
iii. Z(c) = ộ với 0 * c GK;
iv. Z(Sj) u Z(S2) = Z(S) với s = {fg; f G Sjvà g G s2};
V.

r\Z(Sí) =Z([jSí).

Chứng minh
i. Giả sử Si 3 s2. Khi đó với mọi a eZ(Si), tức làa là nghiệm của SiDo SỊ D S2 nên a cũng là nghiệm của s2. Do đó a E Z(S2).Vậy Z(Si) c Z(S2).
Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có ii. và iii.
iv. Ta có s = { fg; f £ Si và g G s2 } nên mọi nghiệm của Si hoặc
s2 đều là nghiệm của s nên Z(S!)ỊjZ(S2) c Z(S)
Ta chứng minh Z(S!)ỊJZ(S2) 3 Z(S)
Thật vậy, giả sử a E Z(S), tức a là nghiêm của s. Nếu a không là nghiệm
của Si thì tồn tại f e Si sao cho f(a) ^0. Khi đó mọi g E s2 ta có g(a) = 0 nên
a € Z(S2), nghĩa là Z(Si)UZ(S2) 3 Z(S).
V. Cho

Si là một họ các tập con của K[X]. Thế thì, a là nghiệm của

mọi tập con Si khi và chỉ khi a là nghiêm của tập u Sj.
Suy ra: n Z(Sj) = Z([jSl).


12

1.1.15. Hệ quả. Họ tất cả các tập đại sổ trong ỈC 1 lập thành một tôpô,
gọi là tôpô Zariski. Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một
tập đóng Zarỉski.

Ký hiệu Z(K

) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong K

n

n

Thế

thì họ này chứa rỗng, chứa K n và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó
lập thành một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) trên Kn
1.1.16.

Chú ý. Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

Kn \ Z(S) = Kn \ n zự) = u (K* \Z(f)).
ỷeS

feS

Ký hiệu D(í) = Kn \ Z(f), thì họ tất cả các D(í) lập thành một cơ sở
Tôpô trên Kn.

1.2.

Iđêan
1.2. 1. Định nghĩa. Tập con I của vành A gọi là ỉãêan nếu Oel và I
thoả mãn các điều kiện sau :

1.2.2.

•

f + g e I với mọi f,g e I,

•

hf G I với mọi h G A và f G I.

Ví dụ
1.

Tập {0} và A là iđêan (gợi là iđêan không). Vành A cũng là

iđêan của A. le A khi và chỉ khi I = A. Chúng gọi là các iđêan tầm thirờng.
Những iđêan còn lại gợi là iđêan thực sự.
3. Cho s c A là
tập con bất kỳ.
Thế thì tập


13

(S): = { hA + h2f2 +...........+ hrfr; hb ha,..., hr e S; fi, f2 ,...., fr G A }
là một iđêan bé nhất chứa s, gọi là sinh bởi s.
1.2. 3. Mệnh đề. Cho I và J là hai iđêan tuỳ ỷ trong A. Iđêan sinh bỏi
các phần tử của ỉuJ được gọi là iđêan tông của I và J, ký hiệu I+J. Iđêan
sinh bởi các tích fg vói fel và geJ được gọi là iđêan tích của I và J, ký hiệu
là IJ. Ta có:

1.1+J = {f+g I fel, geJ} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,

2. IJ = {figi+... +frgr\ fi,...fr£l,gi,... ;gr e J, r>lj là một ỉđêan.
>=>« + /? = ( f1+f2) + (g1+g2)el + j_

Chúng minh
el
eJ
1. Với ot,P el+j, Ta cần chứng minh a+[3e I+J và a[3 el+j.
«= fi+gi
p= f2+ỗ2
2. Với ot,P eIJ, Ta cần chứng minh a+Pe I J và a.p el J.
Tương tự như 1. Ta có :
a= f, +gi
2

)+ (gj + g2) p=
£ u f2+g2

Với^,^ e Ivàg1,g2 e J
=> a./? = f1.f2+f,.g2+g1.f2+g1.g2 el.j.
Chú ý IJ c: w nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau.
1.2. 4. Mệnh đề. Cho s là một hệ đa các đa thức trong K[XJ và I =(S).


14

Ta có: Z(ĩ) = Z(S).

Chúng minh. Vỉ s c I nên Z(S) 3 Z(I).
Đảo lại, cho a G Z(S). Mọi f G I, ta có thể viết:
f = hifi + h2f2 +..............+ hrfr; ỉu f2, .... fr G s.
Do fi(a) = f2(a) =....= fr(a) = a nên f(a) = 0, suy ra a G Z(I).
Vì vậy, Z(S) 3 Z(I).
1.2. 5. Mệnh đề. Cho ĩ và J là hai iđêan tuỳ ỷ trong K[XJ. Ta cỏ:

ỉ. Z(I) uS(J) = Z ( I n J ) = Z(IJ);
ii. Z(I) n Z(J) = Z(I + J).

Chứng minh
i. Đặt s = {fg| f e I, g e J}.
T a c ó S c U c I n J c U = > Z(S) 3 Z(IJ) 3 Z(I n J) 3 Z(I), Z(J)
=> Z(S) 3 Z(IJ) 3 Z(I n J ) D Z(I) 3» Z(J).
Mặt khác Z(S) = Z(I) Z(J).

Vậy Z(I) u S(J) = Z(I nJ) = Z(IJ).


15

Thế thì ly là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V. Ta gọi nó là iđêan
của tập V. Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a}.
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập ly cảm sinh hai ánh xạ z và I được
cho trong sơ đồ sau

(K[X])~L^’ p

p

đó Z: s

I—> Z(

S)

và

I

:

V I—> ỉv

;

P(X)

là

ký

hiệu họ tất cả các tập

con của X.
1.2.6.

Ví dụ
ì / l ệ =K[X];
2/ lKn = {0};
3/ la = {Xi - ah x2 - a2,..........., xn - an} với a = ( ah a2,..............., an );
4/ Nếu VcK2 là tập vô hạn điểm trên parabol y=x2 thì Iy=(x2 - y);
5/ Nếu V là d- phăng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có

dạng v = {( Xi, x2,...., Xd, 0, ...0) e Kn } thì ly = (Xd+1, Xd+2,...., xn).
Chứng minh
1/ Vì tập rỗng thuộc tập nghiêm của mọi đa thức;

2/ Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn.
3/ Đẻ cho tiện, ta giả sử điếm a là gốc tọa độ, a = (0, 0,
K[X] đều viết được dưới dạng

0).


16

Nhưng f(0,0,. ..,0)= 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có
f

=hiXi + h2x2

+

... + hnXn, nghĩa là khi và chỉ khi f

G

(Xi, x2,..., Xn ).

,...,Xn).
4/ Ta chỉ cần chứng minh Iyc(x 2 - y). Coi mọi đa thức feK[x, y]
là đa thức của ân y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta
có thể viết f= h(x2-y) + g với g G K[x].
Do V c
= g(a) = 0 vói

Z(x2 - y) = { (a, a2); a G K } nên

với f G ly thì

mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên

- y), nghĩa là f G (x2 - y).
5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f = hd+iXd+1 + hd+2Xd+2 +.......................+ hnxn + g,

x2,...., Xd].
Thế thì f G ly khi và chỉ khi
f(ab a2,...., ad, 0, 0,....,0)= g(ab a2,...., ad) = 0, Vab a2,..., ad G K.
Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = hd+iXd+l + hd+2Xd+2 +.....+ hnXn G (Xdfl, Xd+2,......., x„).
1.2. 7. Mệnh đề. Cho V là tập con của ỈC1. Ta có
Chứng minh


17

i. Vì bao đóng V là giao của tất cả các đại số (đóng) chứa V nên
V c Z(Iv). Đảo lại, vì giao của các tập đại số là tập đại số nên ta có V = Z(S)
với tập s các đa thức nào đó triệt tiêu trên V nên s c ly. Suy ra Z(S) 2 Z(Iy).
ii. Do V cV nên Ij7 c ly. Đảo lại, với f G ly, thì do V = Z(I ) nên
G

V, nghĩa là f G ĩỹ, do đó ĩỹ = ly .
1.2. 8. Ký hiệu. Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu
y[ĩ := (f € A; f1 e I với r nào đó}.
1.2. 9. Bổ đề.

Cho I là iđêan, thế thì Vĩ cũng là iđêan và I c Vĩ . Neu I = vĩ
thì I gọi là iđêan căn.

Lấy f, g G vĩ, nghĩa là f, gs G vĩ • Khi đó
ự+*r = %cir+sfr+s-1 ể-

i=l

Trong cặp số tự nhiên (r + s - i, i), i = 1, ..., r + s luôn có hoặc thành
phần đầu lớn hon r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy r
thuộc I nên (f + g)r+
fG

s

luôn thuộc I, nghĩa là f + g

G

s -1

g1 luôn

Vĩ. Tiếp theo, với mọi

A thì (fh)r = f hr G I, nghĩa là fh G vĩ • Cuối cùng ta thấy fg G Vĩ.

ý. VÕ là tập hợp các phần tử lũy linh của A. Do đó, 0 là iđêan căn khi và
chỉ khi trong A không có phần tử lũy linh. Những vành như vậy gợi là vành
rút gọn. Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn

1.2. 10. Bổ đề: ỉy là một iđêan căn


18

1.2. 11. Mệnh đề. Giả sử ĩ, J là các iđêan trong K[X]. Khi đỏ:
y/ũ = V7Õ7 = V73^/7.

Chứng minh. Ta có: IJ c I n J => \fĩJ <3 VlnJ

(1)

I n J c I, I n Jc Vw<=VĨ , VĩrJc=VĨ=> VĩrũỉcVĨ V~J (2)
Từ (1) và (2) suy ra Vn (Z V^M c \ / ĩ n V-iTa

cần

chứng

\ỊŨ

minh

3

y/ĩnĩ

3

Vĩ

rv

Vĩ>

bằng

cách

lấy

phần

tử

tuỳ

ý

f eVĨ nVĨ => f e Vĩ, f e Vĩ- Khi đó, tồn tại m, n e □ *, sao cho f 11 e I, f1
e J. Do đó fnn e IJ, nên f e Vn. Suy ra Vn 3 yji n VjVậy VŨ = Vw = Vĩ n Vĩ1.2. 12. Nhận xét. Các ánh xạ I và

z trong sơ đồ
p (K[X]) p Í K n )

thu hẹp trên họ

z

(Kn) tất cả các tập đại số trong K n là hai ánh xạ ngược nhau:

Z(Iy) = V. Nói cách khác, trong sơ đồ sau,

>

z

P(K[X]) Im I Z ( K " )
I là các song ánh ngược nhau. Do đó, có thể chuyển việc nghiên cứu
các tập đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng ly. Hơn nữa, họ tất cả các iđêan
ĩy dạng {ly ; V 3 Knlà tập đại số} lập nên một tỗpồ trong K[X] đong phôi
với tôpô Zariski trong Kn


19

1.3. Cấu xạ trong tôpô Zariskỉ
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các ánh xạ liên tục trên không
gian tôpô Zariski Kn .
1.3.1. Định nghĩa. Cho V <= Kn, hàm F : V —> K gợi là hàm đa thức
nếu tồn tại đa thức f sao cho F = í-^, nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a G V.
1.3.2. Chú ý. Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa
độ, vì khi đối tọa, tính “đa thức” của F vẫn đuợc bảo tồn.
1.3.3. Định nghĩa. Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên
V. Do tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành
giao hoán, có đơn vị là hàm F = 1. Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.
1.3.4. Ví dụ. Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là
hàm hằng. Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là truờng K.
Một hàm đa thức có thể đuợc cho bởi nhiều đa thức khác nhau. Tuy
nhiên, do = gịv suy ra f — g e Iv, nên ta có khái niệm sau.

1.3.5. Định nghĩa. Cho I là iđêan thục sụ của vành A và f, g e A. Ta
nói /đong dư với g trên I nếu f - g G I.
Rõ ràng quan hệ đồng du trên là một quan hệ tirơng đuơng trên A. Lớp
tuơng đirơng chứa f là tập
f+ I := { f + h I he I}.
thì A/I lập thành một vành. Định nghĩa trên tập thirơng A/I theo quan hệ này với hai phép toán


20

Ký hiệu
7r:A —» AA ; f 7c(ỹ) = f+I
gợi là ánh xạ chính tắc. Ta thấy K là một toàn cấu vành và ker;r = I.
Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu
J/I : = { f + ỉ ; f

G

J}.

Thế thì J/I là iđêan của A/I. Ngirợc lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có
dạng Q = J/I trong đó
J ={f e A ; f + I G Q} .
Vì vậy tương ứng: J —> J/I cho tương ứng 1-1 giữa các iđêan chứa
I với các iđêan trong A/I, nên có thể quy việc nghiên cứu các iđêan trong A
chứa iđêan I về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I.
1.3.6.

Bổ đề. Â/J = (A/I)/(J/I).

Chứng minh. Ký hiệu
0

( -

A n VI

(Ọ— 7r'o7r là toàn cấu (vì n, 71 ’ là các toàn cấu) và kerạ? = J nên
A/J = (p(A) = (A/I)/(J/I).
1.3.7.

Dịnh nghĩa cấu xạ trong tôpô Zariski.


21

Chú ý rằng, Fi = p!.F ; p! là phép chiếu lên toạ độ thứ i.
1.3.8. Dịnh nghĩa. Cho V và w là hai tập đại số. Ánh xạ F nói trên gọi
nếu Fi , F2 ,.........................................., Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho
bởi các đa thức). Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là
cẩu xạ.
1.3.9. Chú ý. về sau ta sẽ chứng minh các ánh xạ đa thức F như vậy là
1.3.10.

Ví dụ.

i. Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;
ii. Ánh xạ đồng nhất Idy trên V là ánh xạ đa thức vi idy : V —* V cho bởi:
Idy (a) = (pi(a), p2(a),........., Pn(a)),
ở đây Pi: V —^ K là phép chiếu lên toạ độ thứ i.

iii. Nếu F: V —> K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng T c V , ánh xạ
F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức.
iv.

Với mọi hàm G : w —> K, ta gọi hợp thành G°F : V —> K là
hàm lùi của G theo F.

1.3.11. Mệnh đề. F : V —> w là ánh xạ đa thức khỉ và chỉ khi
GoF G K[VJ với mọi G E K[W].

Giả sử F là ánh xạ đa thức và G e K[W]. Lấy đa thức m biến g


22

, Fm G K[V] nên g(Fb F2,..............................., Fm) G K[X] và do đó GoF G K[V].
Đảo lại, giả sử G°F

6

K[V] với mọi G

G

KfW]. Khi đó Fi =

Pi

oF

G

K[V]

với mọi i =1, 2, ..., m nên F là ánh xạ đa thức.
1.3.12.

Nhận xét. Mỗi ánh xạ đa thức F : V —> w cảm sinh ánh xạ
F* :K[W] -> K[V] cho bởi F*(G) : = GoF.

Rõ ràng F* là một đồng cấu vành, vì với mọi G, H G K[W] ta có

F*(G + H) =(G + H)oF = G o F + H o F = F*(G) + F*(H)
và

F*(G.H) =(G.H)oF =(GoF).(HoF) = F*(G).F*(H).
1.3.13.

Ví dụ

i. Với mọi hàm đa thức F:V —>K thì F*:K[x] —>K[V] cho bởi F*(g)=g(F).
ii. Id*v =IdK[v]VÌ Id*(G) = G o I d = G với mọi G G K[VỊ.
1.3.14. Chú ý. Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu
F*, vì F được xác định bởi hàm tọa độ Fi, nlnmg Fi = pi°F = F*(pi).
1.3.15.

Mệnh đề. I 07 mọi tập điếm ư c V trong tập đại so V ta có

Iw, F(ư) = (F ) 1 (lỵ, u)-

Vói mọi G G K[W] ta thấy G G Iw F(U) khi và chỉ khi G(F(a)) =


23

là liên tục với tôpô Zariskỉ. Hơn nữa, với mọi tập đỏng Zariski T trong w ta có

F! (T) = Z(F’(IW,T))-

Ánh xạ đa thức F là liên tục với tôpô Zariski vì ngược ảnh của
tập đóng T là tập đóng Z(F*(IW T)).
Cho tùy ý a G V. Ta có F(a) G T khi và chỉ khi
F*(G)(a) = G(F(a)) = 0 với mọi G £ Iw, T , có nghĩa là a G Z(F*(Iw T)).
Mối quan hệ F và F* cho tương ứng 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V
vào w với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau.
1.3.17. Dịnh lý. Với mọi đồng cấu vành (p: K[W] —> K[\ 7 thì tồn tại
duy nhất ảnh xạ đa thức F: V —> w sao cho F* = cp.
Cho ánh xạ đa thức F : V —> K11 với Fi = cpipi). Với mọi đa
thức m biến g ta có
goF = g(Fi, F2,...., Fm) = (p{g(pi, p2,...., Pm))= 0>(g|W).

Neu g £ Iw thì g|w = 0 và do đó goF = cp{0) = 0.

Từ đây suy ra: g(F(a)) = (goF)(a) = 0 với mọi a £ V.
Vì vậy F(a) G Z(IW) = w nên do đó F(V) c w.
Bây giờ coi F là ánh xạ từ V vào w. Với mọi hàm g|w của K[W] ta có:
F*(g,w) = g|w°F = g ° F = ỹ>(g|w)-


24

nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa
thức từ V lên F(V).
1.3.18.

Mệnh đề. Cho 2 ánh xạ đa thức

V —w

—

T

thì hợp thành EoF là ảnh xạ đa thức và (EoF)* = F*o E*.

Mọi H G K[T] ta có

(EoF)*(H) = H ° E o F = E*(H)oF= F*(E*(H)) = (F*oE*)(H).
Do F*(E*(H)) e K[V] nên EoF là ánh xạ đa thức và (EoF)* = F*oE*.
1.3.19. Định nghĩa. Ánh xạ đa thức F: V —>

w

gợi là đắng cấu đa

thức nếu F có ánh xạ nghịch đảo p1 và F_1 cũng là ánh xạ đa thức. Khi đó ta
nói tập đại số V đãng cấu đa thức với tập đại số

w và ký hiệu V = w. Nếu K

là trường đóng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cấu.
1.3.20.
i.

Ví dụ.

Mọi phép biến đổi afin hay còn gọi phép biến đối tọa độ trên K n (K

là ũ hoặc n ) là đẳng cấu đa thức.
ii. Cho F : V = Z(x2 - y) —> K1 là phép chiếu lên trục Ox, thì F là
đắng cấu đa thức vì F “ *(a) = (a, a 2) và F_1 là ánh xạ đa thức. Vì vậy parabol y
= X2 đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski).


25

thức g £ KỊx, y] sao cho g(a2, a3) = a với mọi a £ K. Khi đó đa thức g(t 2, t3) t có vô số nghiệm trong K nên g(t 2, t3) -1 =0. Điều này vô lý vì đa thức g(t 2,
t3) kliông chứa biến t.
Mối quan hệ F —» F* cũng cho ta tương ứng 1-1 giữa các đẳng cấu
đa thức từ V đến w với các đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau.
1.3.23. Dịnh lý. Ánh xạ đa thức F: V ~*w là đẳng cấu đa thức khi và
chỉ khi F* là đăng cẩu vành.

Nếu F là đắng cấu đa thức, ta có

F*(F-Ỵ = ( F

l

o

F)* = (Idv)* = IdK[V]

)*&F* = Idiqv] • Vì vậy F* là đắng cấu.
Đảo lại, nếu F* là đẳng cấu, khi đó có ánh xạ đa thức E : w —> V
E* = (F*)'\ Do

(EoF)* = F*° E* = IdK[v] =(Idv)*
nên EoF = Idy. Tương tự, FoE = Idw nên E là ánh xạ ngược của F. Vậy F
là đẳng cấu đa thức.
1.3.24. Hệ quả. Với mọi đăng cấu vành (Ọ: K[W] —> Kfỉ 7 luôn tồn tại
duy nhất đẳng cấu đa thức F: V —> w sao cho F* = (p.


26

ii. Đường cong V = Z(x3 — y2) c K2 không đẳng cấu đa thức với K1.
Thật vậy, nếu V = K1 thì tồn tại đẳng cấu vành (Ọ : K[t2, t3] —> K[x] do
,

t3].

Ta

có

{(p{t3))2

=

((Ọ(t2))3.

So

sánh

thành

phần

bất

khả

của hai đa thức này với nhau sẽ tìm thấy đa thức f e K[x] sao cho (p{ỷ)

quy
=

f2 ;

Ộ9(t3) = í3. Do (Ọ là toàn cấu nên X = g(f2, í3) với một đa thức 2 biến g nào
đó. Ta có thể viết g(f2, í3) = a + f2h với ae K, he K[x].
Mặt khác X - a = f2h, suy ra f G K và do đó X = g(f2, f3) G K là điều vô lý.


27

CHƯƠNG 2. TÔPÔ THÔNG THƯỜNG TRÊN □ " VÀ □ "
Chương này chúng tôi tập hợp kết quả về tôpô thông thường (tôpô tự

nhiên) trên □

n

và □ 11. Tuy nhiên, tôpô thông thường trên □

2,1

đồng phôi với

tôpô thông thường trênũ n. Nên chúng tôi chỉ trình bày tôpô thông thường
trên □ n. Hầu hết các kết quả nhắc lại trong Chương này đều đã được chứng
minh trong các tài liệu tham khảo, nên có một số kết quả chúng tôi chỉ phát
biểu mà không nêu lại chứng minh.

2.1. Tôpô trongũ n
2.1.1. Dinh nghĩa. Với □ là tập số thực, ta kí hiệu □

11

là tập hợp các

bộ được sắp n số thực: X =(xi,x2,...,Xn); Xi, 1< i < n. Xi được gợi là toạ độ thứ i
của X.
Với mỗi cặp phần tử trong □ n: X =(xi,x2,...,x„), y = (yi,y2,...,yn), ta
gọi tổng X + y là phần tử trong □ n cho bởi
x+y = (Xi +ybx2 +y2,...,xu +y„).
Với mỗi cặp Xe □ , X =(xi,X2,...,Xn) e J 11, ta gọi tích vô hướng của X
với số vô hướng X là phần tử Xx = ( X x h Xx2,..., Xxn).
Đặc biệt, ta kí hiệu - X := (-l)x = (-Xi, -x 2,..., -xn) và 0 là phần tử

có tất cả các toạ độ bằng 0:= (0,0,...,0).
□

n

cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hướng như trên lập

thành một không gian vectơ trên trường số thực □ . Tức là với mọi X , Ị1 6 □ ;
x,y e □ n, ta có:

a) X + y = y + x;