MỘT số yếu tố HỈNH học đại só TRONG đại số sơ cấp

21
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC

Mục lục.........................................................................................................................1
Hình học đại số là bộ môn ra đời từ giữa thế kỷ 19 và vào cuối thế kỷ 19 hình
học đại số đã phát triển mạnh mẽ ở Italy với những tên tuổi như Castelnouvo,
Lời nói đầu....................................................................................................................2
Zariski và các học trò của ông. Hình học đại số là môn toán học dùng các công
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

cụ đại số để nghiên cứu hình học. Để làm được điều này người ta đã dùng các

phương trình đa thức đế mô tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc
Phần 1. Các kiến thức về hình học đại số................................................................4
nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Qua quá trình giảng
dạy và học tập chuyên ngành Hình học đại số, chúng tôi thấy Hình học đại số
Phần
2. liên
Tổnghệquan
về chương
trình đại
sơ cấp
trongđược
toán hiểu
phổ thông.............24
có mối
với toán
phổ thông.
Vớisốmong
muốn

sâu hơn về mối
quan hệ giữa
HìnhSỐhọc
đạiTỐsốHÌNH
và Đại
số ĐẠI
sơ cấp,
dưới sựĐẠI
hướng
dẫn
của PGS.TS
CHƯƠNG
II : MỌT
YÉU
HỌC
SỐ TRONG
SỐ sơ
CẤP
Nguyễn Huỳnh Phán , tôi chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HỈNH HỌC ĐẠI
SÓ TRONG ĐẠI SỐ sơ CẤP” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp.

Luận văn được chia làm hai chương:

CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan
đến nội dung của chương sau. Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các
tính chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tôpô
Zariski và các nội dung chính của Đại số sơ cấp trong toán phổ thông.
CHƯƠNG II. MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG

ĐẠI SỐ Sơ CẤP.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các yếu tố hình học đại số trong đại
số sơ cấp gồm các nội dung như: Tập đại số trong đại số sơ cấp, cấu xạ, ánh xạ


3
quá trình công tác và học tập. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các
thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân
dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã
động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi
rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đê luận văn được
hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn !


4
CHƯƠNG I. MỘT SÓ KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
PHẦN 1. CÁC KIÉN THỨC VÈ HÌNH HỌC ĐẠI SÓ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học đại số
như : Tập đại số, idean, idean nguyên tố và tập bất khả quy, cấu xạ và các tính
chất của chúng. Nhiều tính chất trong này chúng tôi đã chứng minh chi tiết mà
trong các tài liệu tham khảo đã chứng minh sơ lược hoặc không chứng minh.

1.1. VÀNH ĐA THỨC

1.1.1.

Định nghĩa.

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên không âm.
Vành đa thức A[ Xi, x2, ..., xn] của n biến Xi, x2, ... , xn trên A được định nghĩa
theo quy nạp như sau:

] := A[ xb x2, ..., xn_i][xn]

, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ Xi,x2,...,xn_i].

Ký hiệu: A[X] = A[ Xi, x2, ..., xn].

Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức
thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa thức
f e A[X] có dạng

f = V .............. c . .. KVi... vrzỉ
„ e A.Các phần tử Cr

0 được gọi là các hệ số và các


5
+ rn > Si + s2 +....+ sn

+ rn = Si + s2 +....+ sn và tọa độ khác không đầu tiên của

véctơ (ri - Si, r2 - s2 ,.........., rn - sn ) là dương.
1.1.2.

Mênh đề. Nen A là miền nguyên thì degfg = degf + degg với mọi đa

thức / g E A[X].
Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f và

V

là đơn thức của g. Gọi Umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g

theo thứ tự nêu trên. Vói mọi u £ Umax và V £ Vmax ta có uv < UmaxVmax, do đó uv

UmaxVmax- Gọi c, d E A là các hệ số tương ứng của Umax, Vmax- Vì c, d ^ 0
nên
cd ± 0. Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg.

Do đó: deguv < degllmaxVmax = degUmax + degVmax = degf + degg
Vậy degfg = degf + degg.
1.1.3.
Mệnh đề. NeuA là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các
phần
tử
khả nghịch củaA[X] là các phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh. Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X]. Khi đó degf.
degg >0 nên degfg > 0 và do đó fg 0. Vì vậy A[X] là miền nguyên.

Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf+degg = 0, suy ra degf = degg = 0; do đó

f, g là những phần tử khác 0 của A. Vì vậy f, g là những phần tử khả nghịch
của A.


76
1
n
..................................
Ví dụ. r a^ ■■■ a^ .Khi đó điẻm a được gọi là nghiệm của f

nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại a.
1/ Tập rỗng 0 là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm.
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f: K n -> K; a h-» f(a), gọi là
Mọi
điểm a = (ai, a2, ... , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của
ánh xạ2/đa
thức.
hệ phương trình:
1.1.6.

Bố đề. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Neu f(a) = 0 với
- «! = 0
Va GỈ? thìf= 0.
Chứng minh.

+) Neu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu í’là đa thức bậc d > 1 thì f chỉ có
hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, Va G Kn.

+) Neu n > 1, giả sử f chứa biến Xn khi đó ta viết f dưới dạng:

Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và
n - m < p < n.
t = f0 + xnti + xn2t2 + .......................+ xnmtni

5/Tập tất cả các số thực m1 và tất cả các số phức trong đó f0, fi, fm G K[ Xi, x2, xn_i] và fm ^ 0. Suy ra tồn tại bộ số (ai, a2,
an-i) sao cho f(ai, a2, an.i) =£ 0.
hoặc £ và cho tôpô trên
Do đó fo(ai,

a2, an_i) + fi(ai,

là tôpô thông thường ( tôpô sinh
a2, an_i) xn + ... + fm(ai, a2, ..., an.i)xnm là đa

thức một biến của Xn có bậc m nên có hữu hạn
nghiệm, mà đa thức này triệt
bởi khoảng cách ơcơlit d(x,y) =
— yi12, trong đó X = (xi,x2,...,xn);
tiêu với mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí). Vậy f = 0. Từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
(yi,y2,---,yn)- Thì mỗi tập đại số V trong m” t?ࣔ là những tập đóng vì các
ánh xạ đa thức f: IRĨ? —* ns.; a I—* f‘(a) là ánh xạ liên tục ( với tôpô thông
Nhân xét. tíổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn. Chẳng
thường) và tập đại số v= r\fesf~ l (ô) là giao của các tập đóng 1^(0) nên V
hạn K = (ai,a2, ...,an } thì đa thức f = (x-ai)(x-a 2) ... (x-an) là một đa thức
đóng trong Mfl
khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K.

8
3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0.

Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phang.

Ta chỉ có thể tính Z(f) trong một số trường hợp cụ thế.

b) Ví du. Trong vành đa thức K[x, y], cho f = X3 - y, thì Z(f) = { (a, a3) I a €

■

) G V. Từ đó suy ra Z(f) c: V.

2

Vậy ta có V = Z(f).

1.2.4.

Tâp Zariski.

a) Đinh nghĩa: Cho s là một tập con của K[X], kí hiệu Z(S) = {a G Kn : f(a) =
0, Vf e S}; Vậy Z(5) = f\fesZ(f) thế thì Z(S) là một tập đại số và vì vậy
mọi tập đại số đều là giao của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S)
là

tập

đợi so của tập các đa thức s và được gọi là tập Zariski của tập s.

b) Nhận xét

1/ Khi n = 1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại số
của nó trong K là tập hữu hạn. Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập


9

)cZ(S)

ĐặtS
=ffg\fes h g es2 }. có:
Chứng minh.

Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a E Z(Si) u Z(S2) thì

[asZ
he Z(sj)

Nếu a E Z(Si) thì f(a) = 0 với Vf E Si, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 vói
Vf E Si và Vg E s2. Do đó a E Z(S).

Nếu a E Z(S2) thì g(a) = 0 với Vg E s2, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
Vf E Si và Vg E s2. Do đó a E Z(S).
) z> Z(S)

Lấy phần tử tùy ý a E Z(S). Khi đó (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với Vf E Si và
a
€

Z(sn
do K là trường nên
a
€
Z(S
2)
Lg(a) = 0’

=> a E Z(Si) KJ Z(S2).

(2).

Vậy Z(Si) u Z(S2) 3 Z(S)
nie/Z(S0=z(uie/50
Chứng minh.
Lấy phần tử tùy ý a E Hieí £(5*) khi đó:
a E Z(Si) với Vi E I <=> f(a) = 0 với Vf E Si, Vi E I
f(a) = 0 với Vỉ E uieiSị

Vậy nítl.z(5í)=z(uifiyí)
e) Bổ đề. Cho

s

Q K[X]

và T QK[YJ là hai hệ đa thức tùy ỷ. Nếu ta coi SUT


10

Chứng minh.
Giả sử a e Kn và b G Km. Khi đó (a, b) là nghiệm của s u T khi và chi
khi a là nghiệm của s và b là nghiệm của T. Điều này chứng tỏ

Z(S)xZ(T) = Z(SuT).

1.2.5.

Nhận xét. Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:

1/ 0 là tập đại số.

là tập đại số.

3/ Họp của hai tập đại số là một tập đại số.

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số.

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số.

6/ Tương ứng Z: K[X] —» Kn, cho bởi

s

f—>• Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các

tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin
Kn

s

7/Nếu Sỉ a 2 thì Z(Sỉ) c Z(S 2 );
8/1(0) =K n ;


11
Thật vậy, mọi tập mở ư bất kỳ trong Kn đều là phần bù của một tập đại số
Z(S).

Do Z(S) = nf s S ZỰ) nên u = Kn \ n f t S ZỰ) =U^s(Kn\ Z(Ọ)

=> ư =u fes D(0 (đpcm).

2/ Khi K =R, c (trường sổ thực, trường sổ phức), các tập đợi sổ trong R", cn
với tôpô thông thường trên R“, cn là các tập đóng vì Z(S) =n
1

trong

là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong
K.

3/ Hai tập mở (với tôpô Zarỉski trong Kn) không rỗng của Kn luôn giao nhau;
Chứng minh: Mỗi tập mở đều là hợp của các tập mở cơ sở D(f), nên ta chỉ cần
chứng minh D(f)(1D(g) 3= ổvới mọi D(f) và D(g) không rỗng. Thật vậy,

D(t)DD(g) = Kn \ Z(t) UZ(g) = Kn \Z(fg).

Nhưng D(f), D(g) khác rỗng nên Z(ĩ) và Z(g) khác Kn, do đó f và g khác 0, vì
vậy fg * 0. Nên Z(fg) * Kn.

=* D(í) n D(g) * 0.

4/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều ỉà tập trù mật (đoi với tòpo larỉskỉ);
5/ Không gian ạfìn Kn với tôpỏ Zariski không phải là không gian Hausđorịỵ.
Ket luận 4/ và 5/ suy từ 3/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mơ
khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi diêm trong K n
đều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn.


12

(S): = { hifi + h2f2 +............+ hrfr; hi, h2,..., hr G S; fi, f2 fr € A }

là một idean bé nhất chứa s, gọi là idean sinh bởi s.

1.3.3.

Mệnh đề.
Cho I, J là các iđêan trong vành A, ta có:

1/1+J := {f+g\ fEỈ,Q€ Ị) là iđêan nhỏ nhất chứa 1 và J;
2/ ỈCJ := {fs Ị rà f€ /} là một iđêan;

ì) +GỈ + 9z)

- ựi + /2) +(#1 + 9-i) € Ỉ+Ju .v=/ 1fz + f 2 g 2 + Ổ1/2 + #lổ2
- /i Ữ 2 + 52)+ t fiO Ỉ+ ^a )

J nên f2 e /4, #2 04

=> /2 + 02

=* /l c/z +Ổ2 ) € A ỔLƠ2 + ổz)

E /+J

=> h(f+g) = hf + hg E /+J.


13
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f G I và g e J.

1.3.4.

Nhân xét.

1/ Phép cộng và phép nhân các iđêan thõa mãn tính chất kết hợp, giao hoán và
phân phối;

2/ Phần tử 0 E I vì 0 = o.x với Vx e V;

3/ Phần tử đơn vị 1 E I khi và chỉ khi I = V;

4/1 ^ V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

5/ Cho s c V. Kí hiệu: (5)={g1f1 + g2f2 +...+grfr/ r € N,fj € s ,gi € A, i = 1,7"}.
Lúc đó (s) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa s, người ta gọi là iđêan sinh bởi

s. Đặc biệt khi s có hữu hạn phần tử thì ịs)- ị f 1 f Ỉ 2>

nếu s có một phần

tử thì (S)= (f}= { fh|h€ V} được gọi là iđêan chính.

1.3.5.

Ví dụ. Cho I = (x2, y) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức
hai ẩn
KỊx, y], ta có:

{z 2 ,y) vì I = {x2f+ yg I ị g e K[x, y]}, J = {yh I h e KỊx, y]}
nên I + J = { x2f + yg + yh I f, g, h e K[x, y]} = { x2f + ey I f, e E K[x, y]}.

do IJ = {( x2f + yg)yh I ị g, h E K[x, y]}


14
Vg El vì g = hifi + h2f2 +..............................................+ hnfn; hịGK[X], fi eS, Vi= 1 ,n và fị(a) = 0,

Do đó a e S(I).

(4).

Vậy từ (3) và (4) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).

1.3.7.

Bố đề. Cho ỉ và J là hai ìđêan tùy trong K[X]. Khi đó:

l / Z ậ ) uS(J) = Zff r\J) = Z(U);
2/Z(1) n Z(J) = Z(I + J).
Chứng minh.

1/ Đặt s = {fg| f E I, g € J}.
Ta có s c: 1J
=> Z(S) =5 Z(IJ) =3 Z(I n j ) D Z(I) u Z(J).
Mặt khác Z(S) = Z(I) u Z(J).
Vậy Z(I) u S(J) = Z(I n J) = Z(IJ).
2/ Do I, J c= I + J nên Z(I), Z(J) 3 Z(I + J). Suy ra Z(I) n Z(J) 3 Z(I + J).

Mà Z(I) n Z(J) = Z(I u J), 1 + J = ự uy)

=> Z(I + J) = Z(I u J).
Vậy Z(I + J) = Z(I) HZ(J).

1.3.8.

Định lí. Cho V là tập con của Kn. Khi đó tập

Iv:= ff e K[XJ I f(a) = 0 với mọi a e V} là iđècm của K[Xj và là ỉđêan lớn
nhất có tập nghiệm chứa V; lỵ gọi là iđêan của tập điểm V trong K[XJ;
V c Z(lv)- Khi V = ịa} thì ta viết lỵ
Chứng minh. Đe chứng minh ly là iđêan ta kiếm tra hai điều kiện sau:
i) Vói mọi k g E lv thì 1 + g E lv:

= ỉ a.

15
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập Iv cảm sinh hai ánh xạ z và 1 được
cho trong sơ đồ sau

z
y(/f[,YI)^ :P(Knỵ

I
z : s I—>Z(S) và I : V h) ly ; ^P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập
con của X.

2! Ỉ k , -{0};
- a2,........................................., xn - an) với a = ( a h a2,............, an );

4/ Nếu V c K2 là tập vô hạn điểm trên đường cong y = X3 thì Iv = (x3 - y);
5/ Neu V là d- phang trong Kn mà ta có thê giả sử nó là tập hợp có dạng
lv — (Xd+1, Xd+2,...xn).
Chứng minh.
1/ Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;

2/ Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn.
f = hiXi + h2x2 +..............+ hnxn + b
với bs K. Nhưng f(0, 0,...,0) =0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có
dạng

f = hiXi + h2x2 +...........+ hnxn,
nghĩa là khi và chỉ khi f s (Xi, x

2

x

n

). Vậy I0 = (xi, x

2

x

n

) .

4/ Ta chỉ cần chứng minh ly c (x 3 - y). Coi mọi đa thức f € K[x, v] là đa
thức của ẩn y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể


17
16
f= h(x3 - y) + g với g € K[x].

=> yỊĩỹ c lv.
- y) = { (a, a 3); a e K } nên với f Vậy ly là iđêan căn. (đpcm).
với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x3 - y), nghĩa

1.3.12.

Mênh đề. Giải sửl, J là các iđêan trong K[X]. Khi đổ:

V7= V‘Tn7 = n v'75/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu: y7 = { f € A, sao cho 3 số tự nhiên r
sao cho fr € I }. Khi đó ta có bổ đề sau:
Từ (5) và (6) suy ra v7/ c= v; ỉ n ] 3 y7 n 77= Vĩ
thì I gọi
là v'
ỉđêan
l'a Icần
chứng
minh
í/ 3 căn.
/7 n/ 3 v'7 n 7/, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý
ịf+9 <=
Chứng minh. Giả sử Ị g G y7 ta cần fchứng
ey 7 n minh
ự7
eỡ
\ ỉ ta có hf G y7.
==> f G v?, f G v7- Khi đó tồn tại m, n € N* sao cho tĩn € I, T1 G J.
nên f G ựlj. Suy ra v7/ 3 \ ỉ n v7
Vì f, g G ý / nên tồn tại r sao cho: f , gs G y7. Khi đó

s
ưCgỴ*
-ỵit%C^f k g r * s - k .
= V7n ựỹ.
Trong cặp số tụ nhiên (r + s - k, k), k = l, r + s luôn có hoặc thành phần

đầu lớn hơn r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy g$ H'J“íc ỉk luôn thuộc I

1.3.13.minh ly
Mệnh
Ta cần chứng
- yỊĩỹđề.
. Cho V, w là các không gian con củaK n . Khỉ đó:
1/ Nếu V 3 w thì ly 3 ỉw;
2/ ly n Iw = Wuwi
Thật vậy:
có 3Iv/yc:nHy/ĩỹ,
3/ lyTa
+ lw
r; bây giờ ta sẽ chứng minh -\Ịĩỹ ^(a) = 0 với Va e V, m > 0
Chứng minh.
=> t(a) = 0 với Va G V
w 3 Iv: Lấy phần tử bất kỳ f e Iw thì f(a) = 0 với Va e w
=> í(a) = 0 với Vae VvìVcW


18
,
(f F Ị
+) ly n Jwc ỉy\jw- Lay tùy ý f E lv n lw suy ra ự _ v

ịf{a) = 0., Va E V
^ tf(*) = 0 , V b e w

=> ffc) = 0. Vc 6 V u w

1 e lytjw

Vậy Iv n Iw (Z ỈỰ[Jjỵ.

+) Iv niWD Vuwr:

Ta có: V e V u w và w c V u w. Do đó Iv D ívuw I\v =5 ỉựw
Vậy Iv n Iw => /VUỊy.
5/ Chứng minh: Iv + I\v c bnw-

Lấy phần tử bất kỳ f e Iv + Iw thì f = g + h với g E Iv, h E Iw
=> g(a) = 0, Va E V và h(b) — 0, Vb E w

=> g(c) = 0 và h(c) = 0 với Vc E V n w
=> í(c) = g(c) + h(c) = 0 với Vc E V n w

=> t E ỉỵrw

Vậy iv + lw c: ỉvnw (đpcm).

1.3.14.

Định nghĩa. Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số
nhỏ
nhất chứa V và được gọi là bao đóng của V. Kí hiệu là: V.

1.3.15.

Bỗ đề. Cho V ỉà một tập tùy ỷ trong Kn. Khi đó:


19

Z(S) z> Z(Iv).

Vậy V => Z(Iv).

Kết luận: V = Z(jỊ.y
2) Chứng minh, ỉ ợ =Iy.
Do Vc K nên ly 3 /ỹ.Vì thế để chứng minh ỉ ợ =lv ta cần chứng minh
ly c ỈỰ-

Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f G ly. Khi đó f(a) = 0 với Va G V và V = Z(Iy)
nên f(a) = 0 với Va e V. Suy ra f E ly tức là ly c: ỉ ự.

Kết luận: ỉ ự =ly.

1.3.16.

Hê quả. Neu Vlà tập đại sổ thì V = Z(ly).

Chứng minh.
Do V là tập đại số nên V = V . Theo bô đề 3.1.13 thì V = Z(Iy).

Từ đó suy ra V = Z(Iy) (đpcm).

1.3.17.

Bổ đề. Cho V và w ỉà hai tập điểm tùy ỷ trong Kn. Khi đó
VxW=V xw.

Chứng minh.
Ta có: T - Z(Iy), w = Z(I1y) nên V , w là các tập đại số. Vì thế V xW là tập

đại số, suy ra V X w = Z(Ivxw)


20
Kết luận: V X w=v X w.
1.3.18.
Nhận xét.
1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV).

Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean ly. Vì vậy, I v còn gọi
là iđêan được xác định bởi tập đại số V.

2/ Các ánh xạ 1 và z trong sơ đồ

9{K[Xị)^ p(K n )
Iv «-V=Z(Iv)

thu hẹp trên họ j£(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau.

Nói cách khác, trong sơ đồ sau,
z

3 Iml iZ(Kn)

I là các song ánh ngược nhau. Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập
đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng ly. Hơn nữa, họ tất cả các iđêan I v dạng
{ Iv I V £ Kn là tập đại số } lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô
Zariski trong Kn. Do đó cần nghiên cứu kỹ các iđêan dạng ly.

3/ Trong sơ đồ trên, Im I gồm những idean căn. Nhưng có những ìdean căn của

K[X] không thuộc Im I.De thấy điều này, ta lấy KỊX] có idean I A K[X] vô
nghiệm. Khi đó Vĩ cũng vô nghiệm. Neu Vĩ = ly là idean của tập đại số V nào
đó thì phải có V = Z(IV) = ệ (vì Vĩ vô nghiệm).


21
2/ iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;

3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Ta chỉ cần chứng minh V‘ c 1.
khi đó tồn tại r sao cho: fr E I

re 1
ự

r-1 £ J

Nếu / E I ta có điều phải chứng minh.

E ỉ, tương tự ta có / E I từ đó ta có điều phải chứng minh.

Dưới đây ta có một tiêu chuẩn đê iđêan căn là nguyên tố.

c) Bổ đề. ỉđêan căn 1 3= Ả là iđêan nguyên tổ khi và chỉ khi 1 không ỉà giao
Do đó Ji và J2 không thê chứa những phần tử không thuộc I
=> Ji £ I và J2 £ I (mâu thuẫn)

mà ígE 1. Dặt Ji -ỳỰ,/1) và J2 -yự,g) , thì rõ ràng 1 c y/ c Ji, h=>l<=JinJ2.

thì tồn tại m sao cho hm E(I, f) fi(I, g).

với Ji và J2 thực sự chứa I.

1.3.20.
Tâp bất khả quy.
a) Định nghĩa. Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được


22
1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì nó chỉ có 1 tập đại số nhỏ hơn là tập
rỗng.

là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2
tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2
tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau.

Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng của tập bất khả quy là idean nguyên
tố qua kết quả sau.

c) tìịnh lý. Tập đại sổ V là bất khả qity khỉ và chỉ khi lv ìà ỉdean nguyên tổ.
Chứng minh. Neu V bất khả quy mà ly không nguyên tố thì theo bô đề
3.1.17.3 ta có Iv = li ni2 với li và Ỉ2 là 2 idean thực sự lớn hơn ly. Khi đó

m2) = Z(I1)UZ(I2). Vì vậy

suy ra i 1 _ [ v (mâu thuẫn).

LV = Z(/2)

1/2 — ly
Đảo lại, giả sử Iv là nguyên tố và V không bất khả quy.

Vì V = ViUV2 với V|, v2 là 2 tập đại số thực sự bé hơn V.

nhưng Iv nguyên tố nên [ l ỉ 2 — Iv

4;:F


23
Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niên cơ bản và các tính chất về
vành toạ độ.

1.4.1.

Định nghĩa. Cho V d Kn, hàm F : V —> K gọi là hàm đa thức nếu

tồn
tại đa thức f sao cho F = f|V, nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a E V.

• Chú ý. Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đổi
tọa độ, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn.

•Ví dụ. Vành tọa độ của mọi d - phang đắng cấu với vành đa thức d - biến.

1.4.2.

Định nghĩa. Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên

V.

Do

tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành
giao
hoán, có đơn vị là hàm f = 1. Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.

•Ví dụ. Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng. Vì
vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K.

Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau. Tuy nhiên,
do fịy = g y suy ra f - g GI, nên ta có khái niệm sau:

1.4.3.

tìịnh nghĩa. Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g £ A. Ta nói/

đồng dư với g trên I nếu f - g £ I.


24
J=jfe A; f+I eQ} .
Vì vậy tương ứng: J —^ J/I cho tương ứng 1-1 giữa các iđêan chứa I với các
iđêan trong A/I, nên có thê quy việc nghiên cứu các iđêan trong A chứa iđêan I
về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I.

= (M)/(J/I).
(p: A A/I
(p = 7t'°7z là toàn cấu (vì n, 7ĩ’ là các toàn cấu) và ker ọ = J nên
A/J = (p(A) = (A/iyợ/1).

PHẦN

2.

TỎNG

QUAN

VÈ

CHƯƠNG

TRÌNH

ĐẠI

SỐ

sơ

CẤP

TRONG

TOÁN PHÔ THÔNG

Trong phần này chúng tôi nêu tổng quan một số kiến thức trong sách giáo
khoa môn toán lớp 2,3,4,5,6 và sách giáo khoa môn đại số lớp 7 đến lớp 12 do
nhà xuất bản Giáo dục ban hành từ năm 2007, nó bao gồm 4 phần chính sau

1. TẬP HỢP

Mỗi một tập đại số là một tập hợp trong không gian aíìn R n nên một cách hiển
nhiên nhiều yếu tố hình học đại số có mặt trong khái niệm tập hợp của toán phổ
thông.


25
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình được trình bày trong sách giáo
khoa toán 2,3,4,5,6,7 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức
ở lớp 8, 9, 10, 11, 12.

Trên cơ sở chương trình Đại số sơ cấp trong toán phổ thông vừa nêu trên, dưới
đây chúng tôi sẽ khảo sát các yếu tố về tập đại số và iđêan của chúng, ánh xạ
liên tục trên tôpô Zariski được thể hiện trong toán phổ thông.

CHƯƠNG II. MỘT SÓ YÉU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ
TRONG ĐẠI SÓ sơ CẨP

2.1. Các tập đại số trong đại số sơ cấp

21.1.

Mệnh đê. Đường thăng có phương trình ax + by + c = 0 với a, b, c

2

e R và ầ + b —ớ là một tập đại sổ và nó đẳng cấu trong tôpô Zariski với trục
+) Nếu a ^ 0, b = 0 thì Z(i) = {A(-—,a ) |a e R}.
+)Nếu ab 3= 0 thì Z(f) = {A(a,

|a e R}.

bb
Vậy đường thăng có phương trình ax + bv + c = 0 với a, b, c e Rvà a + b2
=ÉỚ là một tập đại sổ
+) Ta biết có một phép biến đổi atìn
=M
(x 9 y)v*(x\y')\

íx' = ciị y>c+a^2 y + b^
I y = a2Ịx+a‘2y+bĩ


a

\

\a\2

26
với det

^ 0 biên đường thăng d thành trục Ox, hoặc trục Oy.

Phép biến đối afin là là một ánh xạ đa thức và mọi ánh xạ aíín cũng là ánh xạ
đa thức nên phép biến đổi này là một đẳng cấu tôpô Zariski, do đó đường
thẳng d đồng phôi Zariski vói trục Ox, hoặc trục Oy.

2.1.2.

Mệnh đề. Đồ thị của hàm sổ bậc hai y = ax2 + bx + c với a, b, c € R và

a =?= 0 là tập đại số trong R2 và nó đồng phôi với tập w = Ị(m,m2) me R}
Chứng minh.+) Đặt f(x, y) = ax2 + bx - y + c. Khi đó:

V = Z(f) = {A(x, y) e R21 f(x, y) = ax2 + bx -y + c = 0}

* Ta chứng minh (p là song ánh (đon ánh, toàn ánh)

«2 = >’2

<=> X = y (Trái với giả thiết)
=? (Ọ đơn ánh.
' (p toàn ánh.
, tồn tại x(xi,x2): Xi - y1 - ị-; X2 - ay2 T

2a


27
Khi đó 9?(XI,X2) = (yi,y2)

=*

=> (p song ánh.

b_

x'
(x, y) i-> (x\ y’)

1 LĨ

ẠacỊĩ*

= ay 4
4(X
Cuối cùng ta nhận thấy cầl

hai
y = ax2 + bx + c đẳng cấu trong tôpô Zariski với đường bậc hai y = X2.

Do đó Z( ax2 + bx + c -y) đồng phôi với Z(x2-y). Mặt khác: Z(x2-y) ={ (m,m2) I me
RỊ nên ta có điều phải chứng minh.
V = Z(f) = {(x, y) e R2 I f(x, y) = ax3 +bx2 + cx - y + d = 0}
= {(a, aa3 + ba2 + ca + d) |a e R}.

2.1.4.

Mệnh đề. Đồ thị của hàm sổ bậc y = ax4 +bx2+ c với a, b, c, d e R và
a 4= 0 ỉà tập đại sổ trong R2.
V = Z(f) = {A(x, y) G R21 f(x, y) = ax4 +bx2 - y + c = 0}
= {(a, aa4 + ba2 + c) |a e R}.

2.1.5.

Mệnh đề. Đồ thị của hàm sổ phân thức y = ax ^ với a, b, c, d E R và

ad-bc 0, không phải ỉà tập đại sổ trong R, vì nó không phải là nghiệm của

đa thức.
2.1.6.

Nhận xét Một tập họp số là tập đại số khi nó là tập rỗng hoặc tập R,
hoặc là một tập hữu hạn.


28
Chứng minh. Tập w = ( A(x,y) e R| f(x, y) = sinx - y }không là nghiệm của bất
kỳ đa thức nào cả vì y= sinx = X- — +— - . . . + -

— + 0(x2n+1)

3. 5;
rương tự với hàm số y=cosx và y = tanx, y=cotx.

2.1.8 . Mệnh để. tì ồ thị các hàm y= ỉnx không là tập đại số.
Chứng minh.Tập w = ( A(x,y) e R| f(x, y) = lnx - y }không là nghiệm của bất
kỳ đa thức nào cả vì y= ln(x+l) = X- — + — - . . . + - — -———f 0(xI1+1)

2.1.9.

,
2 3
n'
Mệnh đề. tì ồ thị các hàm y= ex không là tập đại sổ.

Chứng minh, rập w = ( A(x,y) e R| f(x, y) = ex- y }không là nghiệm của bất
kỳ đa thức nào cả vì y= ex= 1+7- +“7 + ... + —7 + 0(xn+1)

2.2. Cấu xạ, yếu tố ánh xạ liên tục ti ên Tôpô Zariski trong toán phổ thông.

2.2.1.

Cấu xạ trong tôpô Zariski.

V —C- w c Km

thì F luôn có dạng F(a) = (Fi(a), F2(a),........................................, Fm(a)); a G V.

, , Fm : V —> K được gọi là hàm tọa độ. Chú ý rằng, Fj