KHÁI QUÁT CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG - Nguyễn Thế Tranh - BKĐN

DKTDC1

1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Chương 1.

KHÁI QUÁT CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.
Mọi hoạt động của con người trong bất cứ lĩnh vực nào, ở bất cứ vị trí nào đều có
sự liên quan đến hai từ điều khiển.
1.1.1. Các khái niệm về điều khiển và tự động.
1. Tự động học: là ngành khoa học chuyên nghiên cứu những qui luật chung
để hình thành các hệ thống và phần tử tự động nhằm điều khiển các quá trình xảy
ra trong thiên nhiên, trong cuộc sống xã hội mà không có sự tham gia trực tiếp của
con người.
2. Điều khiển học: là khoa học dựa trên nền tảng của tự động học, nghiên
cứu về các quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều khiển trong mọi lĩnh vực đời
sống xã hội, khoa học công nghệ, môi trường thiên nhiên v.v.. Điều khiển học chia
ra nhiều lĩnh vực khác nhau gồm: điều khiển học toán học, - sinh học, - kỹ thuật, kinh tế v.v..
3. Điều khiển tự động: là tập hợp tất cả các tác động mang tính tổ chức của
một quá trình nào đó nhằm đạt được mục đích mong muốn của quá trình đó mà
không cần có sự tham gia trực tiếp của con người.
Thí dụ: Khái niệm điều khiển
Lái xe với mục tiêu giữ tốc độ xe ổn định v=40km/h: Mục đích định trước.
* Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ: thu thập thông tin.
* Bộ não điều khiển tăng tốc nếu v<40km/h, giảm tốc nếu v>40km/h: Xử lý
thông tin.
* Tay giảm ga hoặc tăng ga: Tác động lên hệ thống.
Kết quả của quá trình điều khiển trên: xe chạy với tốc độ "gần"bằng 40km/h:

đó là đáp ứng của hệ thống.
Như vậy: Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác
động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống "gần" với mục đích định trước.
Điều khiển tự động là quá trình điều khiển không có sự tác động trực tiếp
của con người.
Vì sao phải tiến hành điều khiển tự động?. Từ thực tế cho thấy rõ ràng rằng
quá trình điều khiển cần thiết phải đạt các tiêu chí:
- Đáp ứng của hệ thống cần thỏa mãn đúng yêu cầu.
- Mong muốn tăng độ chính xác trong điều khiển.
- Đáp ứng yêu cầu tăng năng suất của quá trình.
- Đáp ứng mục tiêu tăng hiệu quả kinh tế.
Muốn vậy, quá trình phải được điều khiển tự động.
4. Hệ thống điều khiển tự động: là tập hợp các thành phần vật lý có mối
liên quan và tác động qua lại lẫn nhau để chỉ huy, tự hiệu chỉnh hoặc điều khiển
một hệ thống khác.
Hệ thống điều khiển tự động xuất hiện ngày nay rất phổ biến.
Trong cuộc sống văn minh:
- Hệ thống điều hoà không khí, điều hoà nhiệt độ trong phòng.
- Hệ thống điều chỉnh độ ẩm.
- Hệ thống tự động báo cháy v.v..


2

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Trong môi trường sản xuất:
- Các máy tự động.

- Các đường dây sản xuất, lắp ráp tự động.
- Các máy điều khiển theo chương trình, Máy tính, Robot v.v..
Ngày nay, các lĩnh vực như thống kê, lưu trữ, thư viện, ngân hàng, hành chính, y tế
v.v.. cũng đều tiếp cận với khái niệm điều khiển tự động.
Hình 1.2. Đầu đọc đĩa CD

Hình 1.1. Bộ điều tốc cổ điển của James Watt

5. Điều chỉnh: là một khái niệm hẹp hơn của điều khiển. Điều chỉnh là tập
hợp tất cả các tác động nhằm giữ cho một tham số nào đó của quá trình ổn định hay
thay đổi theo một qui luật nào đó. Tham số này được gọi là tham số cần điều chỉnh.
1.1.2. Các thành phần cơ bản của một hệ thống điều khiển tự động.
Một hệ thống điều khiển tự động bao gồm các thành phần cơ bản sau đây:
1. Đối tượng điều khiển (Object): ký hiệu bằng khối O, là thành phần vật lý tồn
tại khách quan có tín hiệu ra là đại lượng cần điều chỉnh và nhiệm vụ của hệ
thống cần phải tác động lên đầu vào của O một tín hiệu điều khiển sao cho đại
lượng cần điều chỉnh đạt được giá trị mong muốn.
2. Thiết bị điều khiển (Controller): ký hiệu bằng khối C, là tập hợp các phần tử
của hệ thống nhằm mục đích tiếp nhận các biểu hiện bất thường của quá trình để
xử lý và tạo ra tín hiệu điều khiển thích hợp tác động lên đối tượng điều khiển.
3. Thiết bị cảm biến đo lường (Measuring Device): ký hiệu bằng khối M, là các
thành phần vật lý có nhiệm vụ xác định giá trị đại lượng cần điều chỉnh để làm
cơ sở so sánh với giá trị mong muốn tạo ra các biểu hiện bất thường để cung cấp
cho thiết bị điều khiển xử lý.
x

+

e
_

C

u

f

M
Hình 1.3. Sơ đồ HTĐKTĐ

O

y


DKTDC1

3

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Mục tiêu điều khiển: là giá trị mong muốn thường được gọi là đại lượng vào hay tín
hiệu vào, dùng chữ x hoặc u để biểu diễn.
Kết quả điều khiển: là đại lượng cần điều chỉnh thể hiện ở đầu ra của đối tượng
điều khiển O là kết quả thực tế, được gọi là đại lượng ra hay tín hiệu ra, thường dùng chữ
y hoặc c để biểu diễn.
Ví dụ hệ thống điều hoà không khí để minh hoạ.
1.1.3. Hệ thống hở và hệ thống kín.
1. Hệ thống hở: còn gọi là hệ thống mở (Open Loop) là hệ thống điều khiển tự
động không so sánh kết quả thực tế với giá trị mong muốn sau tác động điều khiển.

Ví dụ như hệ thống phun xăng điện tử, hệ truyền động quay bàn máy v.v..
Do đặc điểm, hệ thống hở có các tính chất sau:
• Độ chính xác điều khiển phụ thuộc vào khả năng điều chỉnh và độ tin cậy điều
chỉnh của thiết bị.
• Chịu ảnh hưởng lớn từ các yếu tố tác động bên ngoài (nhiễu).
• Đáp ứng chậm (thời gian đáp ứng dài).

Hình 1.4. Hệ thống quay bàn máy (hệ hở)

Hình 1.5. Hệ điều khiển tên lửa (hệ hở)
2. Hệ thống kín: còn gọi là hệ thống đóng, có phản hồi, hồi tiếp (Closed Loop) là
hệ thống điều khiển tự động có tạo nên một tác động đo lường, so sánh giữa tín hiệu vào
(giá trị mong muốn) và tín hiệu ra (giá trị thực tế); sai lệch giữa hai tín hiệu này được dùng
làm tín hiệu vào của thiết bị điều khiển.


4

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Ví dụ hệ truyền động quay bàn máy có phản hồi.
Hệ thống kín có các đặc điểm sau:
• Độ chính xác điều khiển cao.
• Giảm tác động và ảnh hưởng của nhiễu.
• Tốc độ đáp ứng nhanh.
• Tăng được bề rộng dãi tần có đáp ứng tốt.
• Có khuynh hướng tạo ra bộ dao động do quán tính của sự so sánh tín hiệu.

Hình 1.6. Hệ thốngđiều khiển quay bàn máy (hệ kín)

Hình 1.7. Hệ điều khiển tên lửa (hệ kín)
1.1.4. Hệ tuyến tính và hệ phi tuyến.
Căn cứ vào tính chất của các phần tử điều khiển hình thành nên hệ thống, ta có thể
phân thành hai loại chính: Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến.
- Nếu tất cả các phần tử của hệ thống đều là tuyến tính thì hệ thống được gọi là hệ
thống tuyến tính.
- Nếu chỉ cần có một phần tử trong hệ thống mang tính phi tuyến tính thì hệ thống
được gọi là hệ thống phi tuyến.
Trong thực tế, phần tử điều khiển có rất nhiều dạng, chúng được phân biệt theo mối
quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của phần tử:
Y

Y

Y
o

o2

1o

O

4o o3

2

1o

X

O

1

X

O

o o

2

X


5

DKTDC1

1. Dạng tuyến tính

2. Dạng phi tuyến

Y

Y

4o

o2

1o

1

O

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

X

o

o

Y

3
o

3o

o4

O

2

O

4. Dạng trễ

3. Dạng dải chết

o

X

1

5. Dạng trễ và dải chết

X

o

2

6. Dạng bão hoà

Hình 1.8. Các dạng phần tử điều khiển
Các hệ thống điều khiển có chứa chỉ cần một phần tử không phải dạng tuyến tính
trên đây đều được gọi là hệ thống phi tuyến.
1.1.5. Giảm chấn và ổn định.
Đặc tính của hệ thống điều khiển tự động có thể biểu diễn bằng đồ thị của tín hiệu
ra theo thời gian, nói chung chúng có các dạng sau:
1. Dạng ổn định.

y

y

y

o

t

a. Quá giảm chấn

o

t

b. Giảm chấn tới hạn

2. Dạng không ổn định.
y

o

o

t

c. Giảm chấn tắt dần

y

t

d. Đáp ứng biên độ không đổi

o

t

e. Đáp ứng biên độ tăng dần

Hình 1.9. Các dạng đáp ứng của hệ thống
1.1.6. Quá trình quá độ và trạng thái xác lập.
Hệ thống điều khiển tự động luôn luôn diễn ra ở hai trạng thái: quá trình quá độ
(trạng thái động) và trạng thái xác lập (trạng thái tĩnh).
1. Quá trình quá độ là trạng thái của hệ kể từ thời điểm có tác động nhiễu hay tác
động đầu vào cho đến khi hệ thống đạt được trạng thái xác lập. Lý thuyết điều


6

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

khiển tự động tập trung cơ bản mô tả và phân tích quá trình quá độ của hệ
thống.
2. Trạng thái xác lập là trạng thái mà tất cả các đại lượng của hệ thống đều đạt
được giá trị không đổi. Trạng thái xác lập đánh giá độ chính xác của quá trình
điều chỉnh.

Nếu ở trạng thái xác lập vẫn còn tồn tại sai lệch giữa tín hiệu giá trị mong muốn
và tín hiệu đo được thực tế thì giá trị sai lệch này gọi là sai lệch dư hay còn gọi là
sai lệch tĩnh ký hiệu là ε.
Khảo sát quá trình của một hệ bao gồm một động cơ DC và bộ nguồn cung cấp
điện áp. Đầu vào là điện áp u, đầu ra là tốc độ quay trục động cơ y.
y
u

Bộ nguồn
+ Động cơ DC

y
o

u

Ta có đường đặc tính vào ra của hệ thống như hình vẽ.
y

u

yc

t

o

tr5%
quá trình quá độ

t
trạng thái xác lập

Hình 1.10. Đáp ứng của hệ thống
1.2. PHÂN LOẠI HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN.
Hệ thống điều khiển rất đa dạng, có rất nhiều cách phân loại, mục đích của việc
phân loại nhằm xác định giới hạn phần lý thuyết nghiên cứu. Tuỳ thuộc vào đối tượng
điều khiển, phương pháo điều khiển vàđiều kiện sử dụng ta có nhiều cách phân loại sau:
1.2.1. Phân loại theo tính chất của các phần tử của hệ.
1. Hệ thống ĐKTĐ tuyến tính
2. Hệ thống ĐKTĐ phi tuyến.
1.2.2. Phân loại theo sự phản hồi tín hiệu:
1. Hệ thống hở
2. Hệ thống kín.
1.2.3. Phân loại theo tính chất truyền tín hiệu:
1. Hệ thống liên tục (analog)
2. Hệ thống gián đoạn (digital)
1.2.4. Phân loại theo tính chất của tín hiệu vào:
1. Hệ thống điều chỉnh (TH vào ít thay đổi)
2. Hệ thống tuỳ động (TH vào thay đổi nhiều và liên tục)
1.2.5. Phân loại theo qui mô điều khiển:
1. Hệ thống điều khiển quá trình


7

DKTDC1

2. Hệ thống điều khiển máy.
1.3

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN


DKTDC1

8

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN


DKTDC1

9

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

1.4. PHƯƠNG THỨC ĐIỀU KHIỂN. (Loại điều khiển)


DKTDC1

10

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Phương pháp để thiết bị điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển vào đối tượng để điều
chỉnh gọi là phương thức điều khiển. Tổng quát có các phương thức điều khiển sau đây:
1.4.1. Điều khiển ổn định hoá (điều khiển theo sai lệch)
Mục tiêu điều khiển là làm sao có được kết quả đầu ra y(t) đạt đến giá trị đầu vào

chuẩn x(t) không đổi. Sai lệch giữa 2 tín hiệu này e(t) = y(t) - x(t) nhỏ hơn hoặc bằng với
một giá trị exl cho trước tuỳ theo độ chính xác điều khiển yêu cầu.
Tín hiệu điều khiển ở đây được hình thành do có sự sai lệch e(t).
Ví dụ: Hệ thống ổn định nhiệt độ, ổn định điện áp...
1.4.2. Điều khiển theo chương trình.
Trong phương thức điều khiển theo chương trình, tín hiệu điều khiển được phát ra
do một chương trình định sẵn tác động vào thiết bị điều khiển.
Ở đây x(t) là một hàm định trước (chương trình), yêu cầu tín hiệu ra y(t) của hệ
thống phải sao chép lại các giá trị của x(t). Tức là hệ phải thực hiện đúng các hoạt động
theo chương trình đã lập.
Ví dụ: Hệ thống gia công điều khiển số trong máy CNC, hệ thống thu thập và
truyền số liệu...
1.4.3. Điều khiển theo dõi.
Ở đây tín hiệu vào x(t) là hàm không biết trước, yêu cầu tín hiệu ra y(t) phải luôn
bám sát cho được x(t).
Ví dụ: Hệ thống lái tàu, lái máy bay, hệ thống điều khiển vũ khí...
1.4.4. Điều khiển thích nghi.
Đối với những đối tượng điều khiển có các thồng tin ban đầu không đầy đủ hay quá
trình công nghệ có yêu cầu đặc biệt thì ta phải thiết lập phương thức điều khiển thích nghi.
Trong hệ thống này có thêm một số thiết bị đặc biệt thực hiện chức năng riêng nhăm đảm
bảo chất lượng của quá trình điều chỉnh.
Trong quá trình điều khiển hệ tạo ra các tín hiệu cần thiết để chỉnh định lại tham số
điều khiển sao cho hệ thống thích nghi với mọi biến động của môi trường bên ngoài.
1.4.5. Điều khiển tối ưu.
Hệ thống tự xác định thông số tối ưu và thực hiện sự thay đổi cấu trúc hoặc thông
số của thiết bị điều khiển cho thích hợp với kết quả mà nó xác định đồng thời đảm bảo
mục tiêu tối ưu đề ra của hệ thống theo một chỉ tiêu tối ưu cụ thể như tiêu hao năng lượng
nhỏ nhất hay rút nhắn thời gian nhỏ nhất...
Hoạt động của hệ luôn đi kèm theo việc giải các bài toán tối ưu.
1.5. NHIỆM VỤ CỦA LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG.

Nhiệm vụ đầu tiên của lý thuyết điều khiển tự động là nghiên cứu các phương pháp
mô tả các quá trình động học xảy ra trong các phần tử nói riêng và toàn bộ hệ thống nói
chung để tạo ra phương tiện thực hiện các nhiệm vụ cơ bản của nó đó là tổng hợp và phân
tích các hệ thống điều khiển tự động.
1.5.1. Phân tích hệ thống:
Nghiên cứu, khảo sát và phân tích toàn bộ hệ thống và giải bài toán điều khiển để
đánh giá được chất lượng điều khiển của hệ thống khi biết tín hiệu vào và đặc tính của các
phần tử có trong hệ. Đó là:
* Phân tích tính ổn định của hệ thống.
* Phân tích chất lượng của quá trình quá độ.


DKTDC1

11

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

1.5.2. Tổng hợp hệ thống:
Đây là bài toán thiết kế hệ thống điều khiển bằng cách giải bài toán điều khiển để
xác định các thông số và cấu trúc của thiết bị điều khiển phù hợp với yêu cầu điều khiển.
Để tổng hợp một hệ thống điều khiển tự động trước hết phải nghiên cứu các quá
trình xảy ra trong đối tượng, tìm những tác động ảnh hưởng lên đại lượng cần điều chỉnh,
từ đó chọn ra tác động điều khiển thích hợp. Sau đó nghiên cứu quá trình động học mối
liên hệ giữa đại lượng cần điều chỉnh và tác động điều chỉnh và cuối cùng là xây dựng mô
hình toán học của đối tượng điều khiển. Dựa vào mô hình toán học của đối tượng điều
chỉnh xây dựng mô hình cấu trúc thích hợp của thiết bị điều khiển nói riêng và toàn bộ hệ
thống nói chung.
Ngoài ra, trong lĩnh vực điều khiển tự động tồn tại bài toán coi hệ thống là HỘP
ĐEN: đó là hệ thống đã tồn tại nhưng cũng có thể không tồn tại mà ta không biết cấu trúc

của nó. Nhiệm vụ đặt ra là phải tìm thông số và cấu trúc của hệ thống để điều khiển theo
yêu cầu.
Các hệ thống điều khiển (tham khảo)


DKTDC1

12

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN


DKTDC1

13

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Trong quá trình phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển tự động, cần thiết phải
xây dựng mô hình cho hệ thống, tức là sử dụng một số các phương pháp mô tả hệ thống.
Mô hình mô tả một hệ thống điều khiển tuyến tính là một hình thức biểu diễn lại
những hiểu biết của ta về hệ thống một cách khoa học nhằm phục vụ mục đích mô phỏng,
phân tích và tổng hợp bộ điều khiển cho hệ thống. Việc xây dựng mô hình cho hệ thống
được gọi là mô hình hoá.
Có 2 phương pháp sử dụng trong mô hình hoá:
• Phương pháp lý thuyết: Dựa trên các định luật vật lý có sẵn về quan hệ vật lý

bên trong và quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài của hệ thống để mô tả
hệ thống dưới dạng những phương trình toán học (mô hình toán học).
• Phương pháp thực nghiệm: Hay còn gọi là phương pháp định dạng, xác định
một mô hình thuộc lớp các mô hình tương thích sao cho sai lệch của nó với hệ
thống thực là nhỏ nhất.
Các loại mô hình thường được sử dụng trong điều khiển tự động:
- Mô hình liên tục tổng quát: SISO (Single Input- Single Output):
+ Phương trình vi phân biểu diễn hệ
+ Sơ đồ khối.
+ Hàm truyền đạt của hệ thống hay phần tử.
+ Hàm truyền tần số.
- Mô hình trạng thái: MIMO (Multi Input - Multi Output)
- Mô hình không liên tục, rời rạc.
2.1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC.
2.1.1. Giới thiệu chung.
Mô hình toán học cho một hệ thống điều khiển tự động được xây dựng dựa trên các
định luật vật lý mô tả quá trình hoạt động của các phần tử điều khiển trong hệ.
• Đối với hệ thống điều khiển tuyến tính liên tục có phản hồi: thường sử dụng các
kỹ thuật toán học như: Biến đổi Laplace, Graph tín hiệu, Biến trạng thái.
• Đối với hệ thống điều khiển rời rạc: thường sử dụng phép biến đổi Z và W,
Biến đổi Fourier.
• Đối với hệ thống phi tuyến: thường dùng Biến đổi Fourier, Graph tín hiệu và
Biến trạng thái.


14

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Vì rằng các hệ thống khảo sát về bản chất ở trạng thái động nên các phương trình
biểu diễn thường là các phương trình vi phân; mặt khác, nếu các phương trình này được
tuyến tính hoá thì có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đơn giản việc giải bài toán.
Trong thực tế, độ phức tạp của hệ thống và sự hạn chế hiểu biết của chúng ta về tất
cả các yếu tố liên quan đòi hỏi phải đặt ra các giả thiết liên quan đến sự hoạt động của hệ
và thực hiện tuyến tính hoá hệ thống. Sau đó sử dụng các qui luật vật lý mô tả hệ tuyến
tính tương đương và nhận được một tập các phương trình vi phân tuyến tính. Cuối cùng sử
dụng các công cụ toán học như phép biến đổi Laplace ta nhận được lời giải mô tả hoạt
động của hệ.
Tóm lại, đối với các bài toán hệ thống động ta thường sử dụng phương pháp sau:
- Định nghĩa hệ thống và các thành phần của nó.
- Thiết lập mô hình toán học và các giả thiết cần thiết.
- Viết phương trình vi phân mô tả hệ.
- Giải các phương trình để xác định các biến ra mong muốn.
- Đánh giá lời giải và các giả thiết.
- Nếu cần có thể phân tích lại và thiết kế lại hệ thống.
2.1.2. Phương trình vi phân biểu diễn hệ vật lý.
Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng thường được dùng để mô tả mối quan hệ giữa tín
hiệu ra y(t) và tín hiệu vào x(t) của hệ thống có dạng:
an

d n y (t )
dy (t )
d m x (t )
dx(t )
+
...
+
a

+
a
y
(
t
)
=
b
+ ... + b1
+ b0 x(t ) (2.1)
1
0
m
n
m
dt
dt
dt
dt

hay viết gọn hơn:
n

∑ ai
i =0

d i y (t ) m d j x(t )
= ∑ bj
dt i
dt j

j =0

(2.2)

trong đó: các hệ số ai (i=0,n) và bj (j=0,m) là hằng số.
Các phương trình vi phân mô tả hệ thống động nhận được nhờ sử dụng các định
luật vật lý liên quan đến quá trình. Phương pháp này được áp dụng cho các hệ cơ học, hệ
điện, hệ chất lỏng và hệ nhiệt động.
Đối với hệ cơ học ta thường dùng các định luật Newton:
* Về lực:
* Về mômen:



∑F = 0

∑M = 0

Đối với hệ điện ta thường dùng các định luật Kirchhoff:
* Về điện áp:
* Về dòng điện:

∑u = 0
∑i = 0

(xét trong một mạch kín)
(xét tại một nút)


15

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Theo toán học, phương trình vi phân cấp n có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi có n
điều kiện ban đầu.
Giải phương trình vi phân của hệ ta thu được đặc tính hay tín hiệu ra y(t) của
hệ, đây là hàm theo thời gian phụ thuộc vào tín hiệu vào x(t), bản chất hệ và các điều kiện
ban đầu.
Nghiệm tổng quát y(t) của phương trình vi phân không thuần nhất trên có dạng:
y(t) = y1(t) + y2(t)
y1(t) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng (không có vế
phải) biểu diễn đặc tính ra của hệ ở quá trình quá độ.
y2(t) là một nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất biểu diễn cho
đặc tính ra của hệ ở chế độ xác lập.
Ví dụ hệ cơ học.
Xét chuyển động của hệ gồm khối
lượng m, lò xo độ cứng k và đệm giảm chấn
có hệ số b với lực kích thích tác động f(t).
Gọi y(t) là độ dịch chuyển của khối
m biểu thị cho tín hiệu ra của hệ.
Lực kích thích f(t) tác động biểu thị
cho tín hiệu vào của hệ.

k

b
m

y(t)
f(t)

Hình 2.1: Hệ cơ học

Áp dụng định luật Newton II đối với hệ, ta có phương trình cân bằng về lực:
m

d 2 y (t )
dy (t )
+b
+ ky (t ) = f (t )
2
dt
dt

(2.3)

Giải phương trình vi phân trên ta nhận được nghiệm y(t) biểu diễn đáp ứng ra của
hệ theo thời gian.
Ví dụ hệ mạch điện.
Xét mạch điện gồm có cuộn cảm L,
điện trở R và tụ C.

R

φ

L

u(t)

Điện áp cung cấp u(t) là tín hiệu
vào của hệ.
Điện áp nhận được v(t) là tín hiệu
ra của hệ.

φ
C

φ

v(t)

φ
Hình 2.2: Hệ mạch điện

Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp đối với mạch, ta có phương trình về điện
áp:

u (t ) = u R + u L + u C
Ta có: u R = Ri (t ) ; u L = L
do vậy (2.4) trở thành: LC

di
;
dt

(2.4)
i=C

du C
;
dt

u C = v(t ) ;

d 2 v(t )
dv (t )
+ RC
+ v(t ) = u (t )
2
dt
dt

(2.5)


16

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Giải phương trình này ta nhận được điện áp ra v(t) theo thời gian.
2.1.3. Phép biến đổi Laplace.
Bài toán điều khiển yêu cầu phải xác định được tín hiệu ra theo thời gian y(t), nếu
phương trình vi phân có bậc cao thì việc giải để tìm nghiệm vô cùng khó khăn.
Phép biến đổi Laplace cho phép giải quyết khó khăn trong việc giải các phương trình
vi phân cấp cao để tìm đáp ứng ra của hệ.

1. Nguyên tắc biến đổi.
∞

L { f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt

Nguyên tắc biến đổi:

(2.6)

0

trong đó f(t) là hàm số theo thời gian t>0 và có tính chất hội tụ.
Biến đổi Laplace ngược được viết như sau:
f (t ) = L−1 { F ( s )} =

1 σ + j∞
F ( s )e st ds
2πj ∫σ − j∞

(2.7)

Biến Laplace s có thể xem như phép vi phân : s ≡

d
và
dt

t
1
≡ ∫ dt

s 0

như phép tích phân. s

s = σ + jω

là một biến phức

2.Tính chất của phép biến đổi Laplace.
a. Tính chất tuyến tính: L{ kf (t )} = kF ( s )

L{ f1 (t ) + f 2 (t )} = F1 ( s) + F2 ( s )

và

L { a. f + b.g} = a.F + b.G

b. Định lý trượt tần số:

{

}

L e − at f (t ) = F ( s + a )

c. Định lý trượt thời gian: L{ f (t − T )} = e− sT F ( s)
d. Định lý tỷ xích:

L{ f (at )} =

 df 
L   = sF ( s) − f (0 − )
 dt 

e. Định lý đạo hàm:
Mở rộng:

1 s
F 
a a

n
d n f 
L  n  = s n F ( s ) − ∑ s n − k f k −1 (0− )
k =1
 dt 

Đặc biệt nếu f(0-) = 0 (điều kiện ban đầu bằng 0) thì ta có:
d n f 
L  n  = s n F (s)
 dt 

{

}

t

F ( s)
s

f. Định lý tích phân:

L ∫ f (τ ) dτ =

g. Định lý giá trị cuối:

f (∞) = lim f (t ) = lim sF ( s )

0

t →∞

s →0


17

DKTDC1

h. Định lý giá trị đầu:

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s )
t →0

s→∞

Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản.

STT Tên hàm số
f(t)

F(s)

1

Hàm Dirac

δ(t)

1

2

Hàm bậc thang đơn vị

u(t)

3

Hàm RAMP

t

4

Hàm luỹ thừa

tn

5

Hàm mũ

e-at

6

Hàm sin

sin ωt

7

Hàm cos

cos ωt

1
s
1
s2
n!
s n +1
1
s+a
ω
2
s + ω2

s
2
s + ω2

3. Phép biến đổi Laplace ngược.
Khi nhờ phép biến đổi Laplace ta dễ dàng tìm được ảnh F(s) trong không gian tần
số của f(t) trong không gian thời gian. Để tìm được f(t) ta sử dụng phép biến đổi Laplace
ngược.
Tổng quát nếu F(s) có dạng phân số với mẫu có thể phân thành tích các biểu thức,
thì ta có thể thực hiện phép phân tích sau:
F (s) =

N (s)
N (s)
=
D( s ) ( s + p1 )( s + p2 )...( s + pm )...( s + pn )
=

K1
K2
Km
Kn
+
+ ⋅⋅⋅ +
+ ⋅⋅⋅ +
( s + p1 ) ( s + p2 )
( s + pm )
( s + pn )

nếu bậc của N(s) nhỏ hơn bậc của D(s). Sử dụng bảng trên để suy ra f(t).

f (t ) = K1e − p1t + K 2e − p 2 t + ⋅ ⋅ ⋅ + K m e − p m t + ⋅ ⋅ ⋅ + K n e − p n t

2.1.4. Hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển.
1. Lập hàm truyền đạt.
Hàm truyền đạt của một hệ thống là mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ biểu diễn
dưới dạng Laplace, đây là một đặc tính quan trong nhất của hệ.

Ta xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn cho hệ:
an

d n y (t )
dy (t )
d m x (t )
dx(t )
+
⋅
⋅
⋅
+
a
+
a
y
(
t
)
=
b
+ ⋅ ⋅ ⋅ + b1
+ b0 x(t )

1
0
m
n
m
dt
dt
dt
dt

trong đó y(t) là đầu ra và x(t) là đầu vào. Nếu các điều kiện ban đầu bằng 0, ta có biến đổi
Laplace của phương trình là:
an s nY ( s ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1sY ( s ) + a0Y ( s) = bm s m X ( s) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1sX ( s) + b0 X ( s )


18

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

n
m
hay: (an s + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0 ) X ( s )

ta có:

Y ( s) bm s m + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0
=
= G ( s ) là hàm truyền đạt của hệ.

X ( s) an s n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0

Từ đó ta có thể biểu diễn hệ dưới dạng sơ đồ khối sau:

bm s m + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0
an s n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0

X(s)

Y(s)

2. Ví dụ.
a. Giải phương trình vi phân.
Khảo sát hệ được biểu diễn bởi phương trình vi phân sau:
d2y
dy
+ 4 + 3 y = 2 x (t )
2
dt
dt

trong đó các điều kiện ban đầu: y(0) = 1,

dy
(0) = 0 và x(t) = 1 với t ≥ 0
dt

Thực hiện phép biến đổi Laplace phương trình:
[ s 2Y ( s) − sy (0} ] + 4[sY(s) - y(0)] + 3Y(s) = 2X(s)

Vì X ( s ) =

( s + 4)
2
1
+
nên ta có: Y ( s ) = 2
2
( s + 4 s + 3) s ( s + 4 s + 3)
s

Ta có thể viết lại như sau:
 3/ 2
− 1/ 2   − 1
1/ 3  2 / 3
Y (s) = 
+
+
+

 + s = Y1 ( s ) + Y2 ( s) + Y3 ( s )
 ( s + 1) ( s + 3)   ( s + 1) ( s + 3) 
3

 

1

1



2

1

1

2

−t
− 3t
−t
− 3t
−t
− 3t
Suy ra đáp ứng của hệ là: y (t ) =  e − e  + − 1e + e  + = e − e +
2
3
6
3
2
 
 3 2

và đáp ứng ở chế độ xác lập

lim y (t ) =
t →∞

2
3

b. Hàm truyền của hệ thống.
• Hệ cơ học có phương trình vi phân: m

d 2 y (t )
dy (t )
+b
+ ky (t ) = f (t )
2
dt
dt

Sử dụng phép biến đổi Laplace, ta viết lại phương trình này như sau:
ms2Y(s) + bsY(s) + kY(s) = F(s)
Hàm truyền đạt của hệ:
G(s) =

Nếu đặt: K =

Y ( s)
1
= 2
F ( s ) ms + bs + k

1
: hệ số khuếch đại của hệ
k

k
: tần số riêng của hệ
m
b
ξ=
: hệ số tắt dần của hệ
2 mk

ωn =


19

DKTDC1

thì hàm truyền đạt có dạng chuẩn:

G(s) =

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

K
1 2 2ξ
s +
s +1
ωn2
ωn

• Hệ mạch điện có phương trình vi phân:
LC

d 2 v (t )
dv (t )
+ RC
+ v(t ) = u (t )
dt
dt

Sử dụng phép biến đổi Laplace, ta viết lại phương trình này như sau:
LCs2V(s) + RCsV(s) + V(s) = U(s)
Hàm truyền đạt của hệ:
G(s) =

V ( s)
1
=
2
U ( s ) LCs + RCs + 1

Nếu đặt: K = 1 : hệ số khuếch đại của hệ
1
: tần số riêng của hệ
LC

ωn =
ξ=

1
C
R

: hệ số tắt dần của hệ
2
L

thì hàm truyền đạt có dạng chuẩn:

G(s) =

K
1 2 2ξ
s +
s +1
ωn2
ωn

Hàm truyền đạt này có cùng dạng với hàm tuyề của hệ cơ học.
• Khảo sát hệ cơ học và hệ điện tương tự của nó trên Hình 1.5. Trong đó lực
tương ứng với cường độ dòng điện, tốc độ tương ứng với điện áp.

Ma sát b2

tốc độ
v2(t)

dòng điện
r(t)

Ma sát b1
tốc độ
v1(t)

Lực r(t)

Hình 2.3: Hệ cơ và điện tương ứng

Với điều kiện ban đầu bằng không, phương trình hệ dưới dạng Laplace như sau:
M 1 sV1 ( s) + (b1 + b2 )V1 ( s ) − b1V2 ( s ) = R ( s )
M 2 sV2 ( s) + b1 (V2 ( s ) − V1 ( s )) + k

V2 ( s )
=0
s

Sắp xếp hai phương trình trên ta nhận được:


20

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

( M 1 s + (b1 + b2 ))V1 ( s ) + (−b1 )V2 ( s) = R ( s)

(−b1 )V1 ( s) +  M 2 s + b1 +


Viết dưới dạng ma trận:

k
V2 ( s ) = 0

s

− b1
( M 1 s + b1 + b2 )

− b1
( M 2 s + b1 +



 V ( s )   R ( s)
k  1  = 
0 
 V ( s)
s  2  

Từ đây ta có thể tính được hàm truyền của hệ:
V1 ( s ) của một (số
M 2phần
s + b1tử
s + và
k ) hệ thống điện và cơ
Hàm
G ( s ) =truyền
=
2
2
2

R( s)

( M 1 s + b1 + b2 )( M 2 s + b1 s + k ) − b1 s


DKTDC1

21

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN


DKTDC1

22

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN


23

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

2.2. SƠ ĐỒ KHỐI VÀ GRAPH TÍN HIỆU.
2.2.1. Sơ đồ khối và đại số sơ đồ khối.
1. Sơ đồ khối.
Để tiện trong việc nghiên cứu giải các bài toán về điều khiển tự động, các phần tử và hệ thống
điều khiển cũng được biểu diễn dưới dạng sơ đồ khối như sau:
x(t)

PHẦN TỬ
ĐIỀU KHIỂN

y(t)

x(t)

HỆ THỐNG
ĐIỀU KHIỂN

y(t)

trong đó x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra thay đổi theo thời gian.
Trường hợp ta có biển đổi Laplace của tín vào X(s) và tín hiệu ra Y(s), sơ đồ khối
của phần tử hay hệ thống có thể được biểu diễn như sau:
X(s)

G(s)

Y(s)

G(s) là hàm truyền đạt của phần tử
hay của hệ thống tương ứng.

2. Đại số sơ đồ khối.
Ta biết rằng hệ thống điều khiển bao gồm nhiều phần tử điều khiển riêng rẻ liên kết
với nhau. Thông thường ta có thể dễ dàng xác định hàm truyền đạt của phần tử. Nhưng để
giải quyết bài toán điều khiển cho cả hệ thống cần thiết phái xác lập hàm truyền đạt của
hệ.

24

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

Đại số sơ đồ khối là thuật toán để xác định hàm truyền đạt của hệ thống khi biết
được hàm truyền đạt của các phần tử thành phần. Bao gồm các thuật toán để xác định hàm
truyền đạt tương đương của các phần tử (hay còn gọi là khối) mắc nối tiếp, mắc song song,
mạch mắc phản hồi và các nguyên tắc chuyển đổi vị trí vào, ra của tín hiệu.
1) Các phần tử mắc nối tiếp.
Có n phần tử với hàm truyền đạt tương ứng G 1, G2,...,Gn mắc nối tiếp nhau, thì hàm
truyền đạt tương đương sẽ bằng tích số hàm truyền đạt của các phần tử thành phần.
X

X1

G1

X2

G2

...

G td =

Vậy:

Xn-1

Gn

Y

X

G1.G2....Gn

Y

n
Y
= ∏ Gi
X i=1

2) Các phần tử nối song song.
Xét n phần tử trên đây nối song song, hàm truyền đạt tương đương sẽ bằng tổng các
hàm truyền đạt thành phần.
X
X

X

Y1

G1
Y2

G2

Y

X

Y

G1+G2+...+Gn

...
X

Yn

Gn
G td =

Vậy:

Y n
= ∑ Gi
X i=1

3) Hai phần tử nối ngược chiều nhau.
X + E
_

Y

G

G
1+GH

X

Y

H

4) Chuyển tín hiệu vào ở trước một khối thành vào ở sau một khối.
X +
+

Y

G
Z

X

+
+

G
Z

Y

G

Ta có:
Y = GX + GZ
5) Chuyển tín hiệu vào ở sau một khối thành vào ở trước một khối.
X

Ta có:

G

+
+
Z

Y

Y = GX + Z

X +
+

G
1/G

Y
Z

25

DKTDC1

GVC NGUYỄN THẾ TRANH - ĐHĐN

6) Chuyển tín hiệu ra ở sau một khối thành ra ở trước một khối.
X

X

Y

G

Y

G
Y

G

Y

7) Chuyển tín hiệu ra ở trước một khối thành ra ở sau một khối.
X

Y

G

X
X

X

Y

G
1/G

8) Hoán vị hai tín hiệu vào.

X

+

+
+
Z1

_

Y

Z2

X

+

_
Z2

Y

+
+
Z1

2.2.2. Graph Tín hiệu.
1. Khái niệm về Graph tín hiệu.
Theo toán học một graph tín hiệu là một dạng mô tả lôgic tôpô của một tập các phương
trình tuyến tính có dạng:
n

yi = ∑ aij y j với i =1,2,...,n
j =1

Trong đó: yi, yj là các biến, aij là các hệ số.
Phương trình dạng này biểu diễn mỗi biến theo các biến khác và chính nó.
Graph tín hiệu mô tả cho tập các phương trình này bao gồm các nhánh và nút. Nút được
biểu diễn bằng một điểm hay chấm trên đó có ghi biến mà nó mô tả. Nhánh là đường nối giữa hai
nút (2 biến) có quan hệ với nhau có mũi tên chỉ hướng và trên đó ghi hệ số quan hệ giữa hai biến.