Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN PHƢƠNG ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG
HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN PHƢƠNG ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG
HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. ĐÀO THỊ LIÊN

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình được tổng hợp, trình bày từ các công
trình [15], [17], [19], theo nhận thức của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.
Đào Thị Liên. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung
thực, sự chính xác và đầy đủ.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Phƣơng Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm – Đại học
Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Đào Thị Liên. Nhân
dịp này em xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Cao Đẳng Sư phạm Hòa Bình, cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Phƣơng Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 4
1.1. Hệ phương trình vi phân thường ........................................................... 4

1.2. Hệ phương trình vi phân đại số ............................................................. 7
1.3. Hệ chuyển mạch .................................................................................. 15
Chƣơng 2. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI
SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG
ỔN ĐỊNH .......................................................................................................... 22
2.1. Đặt vấn đề ............................................................................................ 22
2.2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với
những hệ con ổn định........................................................................................................ 22
2.3. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những
hệ con ổn định và không ổn định .................................................................. 25
KẾT LUẬN....................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 40

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1

MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn thông, …
đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân thường dạng:
x  f ( x)

(0.1)

trong đó  :   {1,2,..., N }, N   , là tín hiệu chuyển mạch, x là tín hiệu trong

 n , n  , cũng như hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính (hệ chuyển

mạch DAEs) có dạng:
E x  A x

(0.2)

trong đó E p , Ap   nn , là ma trận hằng với mỗi tham số p {1,2,, N } ,

det E p  0,  là tín hiệu chuyển mạch.
Trong luận văn này tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ
chuyển mạch DAEs trong trường hợp không phải tất cả các hệ con là ổn định.
DAEs tuyến tính cổ điển (tức là không có sự chuyển mạch) xuất hiện
một cách tự nhiên khi mô hình hóa các mạch điện cũng như các hệ thống cơ
học đơn giản với các ràng buộc. Đã có một loạt các kết quả nghiên cứu về
phương trình vi phân đại số cổ điển, ví dụ kết quả của Breman, Campbell và
Petzold [5] Rabier và Rheinboldt [16], Kuke và Mehrmann [10], ... Khi mỗi ma
trận E p là khả nghịch thì phương trình (0.2) đưa được về dạng quen thuộc hơn
là phương trình vi phân thường hay hệ chuyển mạch. Cũng có nhiều kết quả
nghiên cứu như: Wichs, Peleties và Decarlo [18]; Dayawansa và Martin [6]. Lý
thuyết ổn định của các hệ chuyển mạch đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu
trong những năm gần đây (có thể kể ra các công trình của Branicky [4]; Zhao
và Spong [23]; Liberzon [11]; Hesspanha, Liberzon, Angeli và Sontag [8];
Kim, Campbell và Liu [9].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2
Theo Liberzon [11] sự chuyển đổi giữa các hệ con ổn định có thể dẫn
đến sự mất ổn định; hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận theo chuyển đổi tùy ý
nếu và chỉ nếu các hệ con chia sẻ một hàm Lyapunov chung và sự ổn định được

bảo toàn theo chuyển đổi đủ chậm như có thể được hiển thị bởi việc sử dụng
các hàm Lyapunov bội (một cho mỗi hệ con).
Tuy nhiên, phương pháp tương tự ít khi được áp dụng trong hệ chuyển
mạch DEAs trong các kết quả nghiên cứu. Trong Liberzon và Trenn [12] hệ
chuyển mạch DAEs tuyến tính được xác định bởi họ các hệ con DAEs tuyến
tính và tín hiệu chuyển mạch được đưa ra xem xét. Chúng khác nhau từ hệ
DAEs tuyến tính cổ điển. Điều kiện đủ Lyapunov cho sự ổn định của hệ chuyển
mạch DAEs ban đầu được thành lập khi phép chiếu tương thích được sử dụng.
Với sự hỗ trợ của phép biến đổi tương thích, nó mô tả cách thức không phù hợp
giá trị ban đầu các bước nhảy đến một thống nhất trong các biến đổi, nó dường
như có thể nghiên cứu hệ chuyển mạch DAEs (0.2). Với giả thiết tất cả các hệ
con là ổn định, nó thu được toàn bộ hệ thống là ổn định tiệm cận.
Khi một hệ thống không thỏa mãn sự ổn định theo biến đổi bất kỳ, kỹ
thuật thời gian dừng trung bình được giới thiệu đầu tiên trong Hespanha và
Morse [7] có thể hữu ích cho sự phân tích ổn định. Phương pháp này cũng đã
xuất hiện trong Zhai, Hu, Yahuda và Michel [19]; Lin, Zhai và Antsaklis [13];
Zhai và Lin [21]. Nghiên cứu gần đây của các hệ chuyển mạch tuyến tính có
thể được tìm thấy trong Zhang và Shi [22]; Olsder [14].
Từ các công trình trên, ta xét hệ chuyển mạch DEAs với các hệ con ổn
định và không ổn định theo chuyển đổi thời gian dừng trung bình. Lý do để xét
các hệ con không ổn định là trong lý thuyết cũng như thực tế các hệ con không
ổn định không thể tránh được trong nhiều ứng dụng. Nhằm tìm hiểu sâu hơn về
cách giải quyết vấn đề này, tôi đã chọn đề tài: “Sự ổn định của hệ chuyển
mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3
để thực hiện. Trong luận văn này, tôi tổng hợp và trình bày lại sự ổn định của

hệ chuyển mạch DEAs tuyến tính mà không cần giả sử mỗi hệ con là ổn định
tiệm cận khác biệt với Liberzon và Trenn [12] và chỉ ra sự ổn định tiệm cận
của hệ chuyển mạch DEAs nếu thời gian dừng trung bình được chọn đủ lớn và
tổng thời gian kích hoạt của các hệ con không ổn định là tương đối nhỏ so với
hệ ổn định.
Nội dung luận văn gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức cơ sở.
Nội dung chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản bao gồm các
khái niệm cơ bản, các tính chất của phương trình vi phân, phương trình vi phân
đại số, hệ chuyển mạch sử dụng trong luận văn.
Chƣơng 2: Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với
các hệ con ổn định và không ổn định.
Nội dung chương này trình bày bài toán và một số kết quả nghiên cứu về
sự ổn định của hệ chuyển mạch DAEs (0.2) với những hệ con ổn định và không
ổn định, cùng một số ví dụ minh họa cho các kết quả trên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4
Chƣơng 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Hệ phƣơng trình vi phân thƣờng
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương
trình dạng:

dyi
 f j (t , y1 , y2 ,, yn ), ( j  1,2,, m)
dt

(1.1)

trong đó t là biến độc lập; y1 , y2 ,, yn là các hàm cần tìm; f j là các hàm xác
định trong bán trụ:
T  I t  Dy , I t  {t 0  t  }

và Dy là miền mở thuộc  2 ; m có thể khác hoặc bằng n.

Định nghĩa 1.1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng:

dY
 A(t )Y  F (t )
dt

(1.2)

trong đó A(t )  (aij (t )) là ma trận cấp n  n, F (t )  colon( f1 (t ),, f n (t )),
Y  colon( y1, y2 , yn ).

Nếu F (t )  0 thì ta gọi hệ (1.2) là hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất, nếu F (t )  0 thì ta gọi hệ (1.2) là hệ tuyến tính không thuần nhất.

Định nghĩa 1.1.1.3. Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) của hệ

dY
 F (t , Y ),

dt

(1.3)

trong đó Y  colon( y1, y2 ,, yn )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5
F (t , Y )  colon( f1 (t , Y ),, f n (t , Y ))
dY
dy
dy
 colon( 1 ,, n )
dt
dt
dt

được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t   (hay ổn định Lyapunov)
nếu với mỗi   0 và t0  (a, ) tồn tại    ( , t0 )  0 sao cho
1. Tất cả các nghiệm Y  Y (t ) của hệ (1.4) (bao gồm cả nghiệm Z (t ) )
thỏa mãn điều kiện
|| Y (t0 )  Z (t0 ) || 

(1.4)

xác định trong khoảng [t 0 , ] tức là Y (t )  Dy khi t [t0 , ) .
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
|| Y (t )  Z (t ) ||  khi t0  t  .

(1.5)

Định nghĩa 1.1.1.4. Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) được gọi là ổn định tiệm cận
khi t   nếu nó
1. Ổn định Lyapunov.
2. Với mỗi t0  (a; ) tồn tại    (t0 )  0 sao cho mọi nghiệm Y (t ),
(t0  t  ) thỏa mãn điều kiện || Y (t0 )  Z (t0 ) ||  thì

lim || Y (t )  Z (t ) || 0.

(1.6)

t 

1.1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) trong đó ma trận A(t) và
F(t) liên tục trên khoảng (a; ) . Giả sử

X (t )  [xij (t )] (det X  0)

(1.7)

là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng

dY
 A(t )Y ,
dt

(1.8)

tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6
 X (1) (t )  colon( x11 (t ),, xn1 (t ))



 X ( n ) (t )  colon( x (t ),, x (t ))
1n
nn


Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại t  t0 , tức là X (t0 )  I n , thì
nghiệm Y(t) của (1.8) có dạng
Y (t )  X (t )Y (t0 ).

(1.9)

Định nghĩa 1.1.2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn
định (hay không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y=Y(t) của nó ổn định (hoặc
không ổn định) Lyapunov khi t   .

Định nghĩa 1.1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t   .

Định lý 1.1.2.3. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính
(1.2) ổn định với số hạng tự do bất kì F(t) là nghiệm tầm thường
Y0  0 (t0  t  , t0  (a, ))

của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định.

Định lý 1.1.2.4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận khi
và chỉ khi nghiệm tầm thường Y0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t  .
Xét hệ vi phân tuyến tính (1.8), trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a; ) .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7
Định lý 1.1.2.5. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn định
Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y  Y (t ) (t0  t  ) của hệ đó bị chặn trên
nửa trục (t0 ;  ) .
Định lý 1.1.2.6. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định
tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y  Y (t ) dần tới không khi t   ,
tức là

lim Y (t )  0.
t 

(1.10)

Định lý 1.1.2.7. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma
trận hằng, ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng i  i ( A) của A

đều có phần thực không dương, tức là:
Re i ( A)  0. (i  1,2,, n)

Định lý 1.1.2.8. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma
trận hằng, ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng

i  i ( A) của A đều có phần thực âm, tức là:
Re i ( A)  0. (i  1,2,, n)

1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1.1. Cho P L( n ). P được gọi là một phép chiếu nếu P 2  P .
Nhận xét 1.2.1.2.
1. Cho P là phép chiếu. Khi đó ta có KerP  Im P   n .
2. Mỗi phân tích  n  U  V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho
Im P  U và KerP  V , khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>

8
Đặt Q : I  P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc
theo U.
Cho A, B L( Rn ) , gọi S  {x   n : Bx  ImA}
Phép chiếu Q lên KerA dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc, kí
hiệu Qcan và Pcan  I n  Qcan .

Định nghĩa 1.2.1.3. Cho A  L( n ) . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma
trận A, kí hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk  KerAk 1 .

Định nghĩa 1.2.1.4. Với A  L( n ) ta luôn có

Im Ak  KerAk   n với mọi k thỏa mãn 0  k  indA.
Im Ak  KerAk  Im Ak  KerAk   n với k  indA .

Định nghĩa 1.2.1.5. Cho A, B L( n ) . Cặp ma trận (A, B) được gọi là chính
qui nếu c   sao cho det(cA  B)  0 . Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp ma
trận (A, B) là không chính quy.

Định nghĩa 1.2.1.6. Cho cặp ma trận (A, B) chính quy, c là số mà
det(cA  B)  0 . Chỉ số của cặp ma trận (A, B) kí hiệu ind(A, B), là chỉ số của

ma trận (cA  B)1 A, tức là:

ind ( A, B)  ind ((cA  B)1 A).

Định lý 1.2.1.7. Nếu Q  L( n ) không suy biến thì
ind (Q A, Q B)  ind ( AQ, BQ)  ind ( A, B)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9
Nếu A, B giao hoán được thì ind (A, B) = ind A.
Một số tính chất của cặp ma trận chính quy (A, B)
1. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy thì cặp ma trận (A, B + sA) cũng
là chính quy với mọi s   và ind (A, B) = ind (A, B + sA).
2. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind (A, B) = k và
rank [cA  B) 1 ]k   r

thì tồn tại các ma trận S, T khả nghịch sao cho

A  S 1diag (Tr , N )T , B  S 1diag (M , I mr )T
trong đó N(t) là k - lũy linh, tức là N k  0, N l  0 với mọi l  k .
3. Nếu A(t ), B(t )  C ( J , L( n ))

 (t ,  )  det ( A(t )  B(t ))  ar (t ) r  a1(t )  a0 (t )
với ar  0 trên J thì tồn tại các ma trận khả nghịch S ,T  C ( J , L( n )) sao cho
0 
I
S (t ) A(t )T 1 (t )   r
;
 0 N (t ) 
 M (t ) 0 
S (t ) B(t )T 1 (t )  
I mr 
 0

trong đó N(t) là k- lũy linh, tức là N k  0, N l  0 với mọi l < k.
Ngoài ra, nếu

A(t ), B(t )  C i ( J , L( n )), (i  0,1,2,, n)
và deg det( A  b)  rankA : r với mọi t  J thì tồn tại các ma trận khả nghịch

S (t ),T (t )  C i ( J , L( n )) sao cho
I
S (t ) A(t )T 1 (t )   r
0

0
,
0 

 M (t ) 0 
S (t ) B(t )T 1 (t )  
.
0
I
nr 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10

Định lý 1.2.1.8. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương
1. Cặp ma trận (A, B) chính quy với chỉ số 1.
2. Từ x  KerA và Bx  ImA kéo theo x = 0.
3. Cặp ma trận (A, B) chính quy và deg det( A  B)  rankA.
4. Cặp ma trận (A, B+AW) chính quy và ind(A, B+AW) = 1, với mọi
W .

5. Ma trận G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên Ker A.
6. Với S  {x   n : Bx  ImA} thì S  KerA   n .
7. Nhân vào bên trái ma trận không suy biến thích hợp E  n thỏa mãn
B 
a 
EA   1  , EB   1  , rankA  rankA1.
0
 B2 

A 
Ta nhận được ma trận không suy biến  1    n .
 B2 

Định nghĩa 1.2.1.9. Ma trận A+ thỏa mãn các tính chất
1. A y  x  ImAT với y  ImA mà Ay = y;
2. A y  0 với y  KerAT .
được gọi là nghịch đảo Moore - Penrose của ma trận A  n .

Định nghĩa 1.2.1.10. Giả sử A  n và ind(A) = k. Ma trận thỏa mãn các
tính chất
1. AD y  x nếu y  ImAk và y = Ax;
2. AD y  0 và y  KerAk ,
được gọi là nghịch đảo Drazin của A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Định lý 1.2.1.11. Giả sử A  n ta có
1. A AA  A và AA A  A ;
2. AA+ là phép chiếu vuông góc lên Im(A) dọc theo Ker ( AT ) và A A là
phép chiếu vuông góc lên ImAT dọc theo Ker A.
Định lý 1.2.1.12. Nếu

ind ( A)  k , rank ( Ak )  r
Im( Ak )  span(s1,, sr )
Ker ( Ak )  span(sr 1,, sm ), S  [s1,, sm ]
thì A  S diag (M , N )S 1 trong đó M là ( r  n) - ma trận không suy biến và N là

k- lũy linh.
Định lý 1.2.1.13. Giả sử cặp ma trận ( A, B)   n   n có ind(A, B) = 1, khi đó

S  {x   n : Bx  ImA} được gọi là không gian liên hợp của cặp (A, B).
Mệnh đề 1.2.1.14. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind(A, B)=1 và Q là
phép chiếu lên Ker A thì các đẳng thức sau đây là đúng.

G1 A  I  G, G1BG  Q,
trong đó G: = A + BQ.
Định lý 1.2.1.15. Giả sử cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số 1. Khi đó các
hệ thức sau thỏa mãn

S  Im((cA  B)1 ) A)
Qcan  I  [(cA  B)1 ) AD ](cA  B)1 A
trong đó c   sao cho cA + B là khả nghịch và AD là nghịch đảo Drazin của
A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

12

1.2.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.2.2.1. Phương trình vi phân đại số (DAEs) tuyến tính là phương
trình có dạng
A(t ) x '(t )  B(t )x(t )  q(t ), t  (; )

(1.11)

trong đó A(t ) B(t )  C( I , L( n )), q(t ) liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi t  I .

Trường hợp A, B L( n ) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số
với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.2.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.11) được gọi là
chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số (A, B) chính quy chỉ số 1.
Định nghĩa 1.2.2.3. Giả sử N(t):= Ker A(t) là trơn, nghĩa là tồn tại phép chiếu

Q  C1 ( P) lên N(t), P = I - Q.
Hàm x(t )  C1N được gọi là nghiệm của phương trình (1.11) trên P nếu
hệ thức
A(t )( P(t )X(t ))' P '(t ) x(t )  B(t )x(t )  q(t )

thỏa mãn với mọi t  R .
Hơn nữa với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính quy
chỉ số 1.
A(t ) x ' B(t )x  0, t  

(1.12)

thì S (t )  ImPcan là không gian nghiệm của (1.12) và có số chiều là r (r =
rank A(t)).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

13
Nói một cách chính xác, với mỗi x0  S (t0 ) có đúng một nghiệm của
(1.12) đi qua vào thời điểm t0. Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.12) được
xác định bởi
x(t )  Pcan (t )u(t ),

trong đó u (t )  ImP(t ) là nghiệm của phương trình vi phân thường

u '  ( P ' PA11B0 )u.

(1.13)

Định nghĩa 1.2.2.4. Phương trình (1.11) gọi là chuyển được (tranferable) nếu
N(t) là trơn và ma trận G(t): = A(t) +B(t)Q(t), trong đó Q(t )  C1 ( P) là phép
chiếu lên N(t), có nghịch đảo bị chặn trên mỗi đoạn [0;T ]   .
Định nghĩa 1.2.2.5. Hai phương trình

u '  ( P ' PA11B0 )u

(1.14)

u '  P '(t ) Pcan (t )  P(t )G1 (t ) B(t )u(t )

(1.15)

được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng với phương trình vi phân
(1.12) qua phép chiếu P.

Định nghĩa 1.2.2.6. Phương trình (1.12) với hệ số A, B C ( I , L( n )) được gọi
là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn chắc Kronecker với chỉ số 1 nếu các
ma trận hệ số dạng
I
A(t )   s
0

0 
 W(t ) 0 
,
B
(
t
)

 0
I ms 
J (t ) 


trong đó J(t) là k- lũy linh và Ker J(t) = Ker J(0).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14
Định nghĩa 1.2.2.7. Một ma trận vuông X(t) cấp m được gọi là ma trận nghiệm
cơ bản (FSM) của (1.12) nếu r vectơ cột đầu tiên của nó là các nghiệm độc lập
tuyến tính của (1.12) và (m-r) vectơ cột còn lại là các vectơ không.
Định nghĩa 1.2.2.8. Hệ phương trình Ax ' Bx  0 được gọi là chính quy chỉ sổ
k nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k.
Định nghĩa 1.2.2.9. Giá trị phức    được gọi là giá trị riêng hữu hạn của
cặp ma trận (A, B) nếu det( A  B)  0 .
Nếu  là một giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) thì có một
vectơ x  0 sao cho  Ax   Bx . Vectơ x như thể được gọi là vectơ riêng của
cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng  .

Định nghĩa 1.2.2.10. Cặp ma trận (A, B) được gọi là có giá trị riêng   
nếu có một vectơ x  0 sao cho A x = 0 . Vectơ x như thế được gọi là vectơ
riêng của cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng    .

Định nghĩa 1.2.2.11. Nghiệm tầm thường x  0 của Ax'+BX  0 được gọi là
ổn định Lyapunov nếu với mỗi phép chiếu P đã biết dọc theo không gian con
bất biến cực đại của các cặp (A, B) liên hợp với các giá trị riêng hữu hạn, bài
toán giá trị ban đầu (IVP)
 Ax  Bx  0

 P( x(0)  x0 )  0

với mỗi x0 có một nghiệm x(t , x0 ) xác định trên [0,  ) . Hơn nữa với mỗi

  0, tồn tại    ( )  0 sao cho || x(t , x0 ) ||  với t  0 và với mọi x0 
thỏa mãn || P( x0 ) ||  , ta có x(t , x0 )  0 khi t   .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

15
Định lý 1.2.2.12. Nghiệm tầm thường x  0 của A x'+ B X  0 là ổn định tiệm
cận nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) có
phần thực âm.
1.2.3. Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
A(t ) x '(t )  B(t ) x(t )  0

(1.16)

trong đó x : I   n , A, B  L( n ), detA  0 . Rõ ràng hệ (1.16) có nghiệm tầm
thường x (t )  0 .
Giả sử hệ (1.16) có chỉ số 1 và Ker A(t) trơn. Gọi Q(t) là phép chiếu khả
vi liên tục trên Ker A(t), đặt P(t ) : I n  Q(t ) .
Định nghĩa 1.2.3.1. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định (theo nghĩa Lyapunov) nếu với mọi   0 cho trước và với mọi t0  I đều
tồn tại    (t0 ,  )  0 sao cho nếu x0  R n thỏa mãn || P(t0 , x0 ) ||  thì
|| x(t; t0 , x0 ) ||  , t  t0 .

Định nghĩa 1.2.3.2. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số  0 (t0 )  0 sao cho nếu
|| P(t0 , x0 ) ||  0 (t ) thì || x(t; t0 , x0 ) || 0 khi t   .

Định nghĩa 1.2.3.3. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số   0 cho trước
đều tồn tại số    (t0 ,  )  0 sao cho nếu x0  n thỏa mãn || P(t0 , x0 ) ||   thì

|| x(t; t0 , x0 ) ||  e (t t0 ) , t  t0 .
1.3. Hệ chuyển mạch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16
1.3.1. Sự chuyển mạch phụ thuộc thời gian
Định nghĩa 1.3.1.1. Cho P  {1,2,, m} xét họ f p :  n   n , p  P . Hàm hằng
từng khúc  : [0,)  P , có một số hữu hạn các điểm gián đoạn và liên tục
phải tại những điểm gián đoạn đó, được gọi là tín hiệu chuyển mạch.
Gọi S là tập các cặp ( , x) , trong đó  là tín hiệu chuyển mạch và x là

tín hiệu trong  n .
Định nghĩa 1.3.1.2. Hệ chuyển mạch là hệ phương trình có dạng
x  f ( x)

(1.17)

trong đó x   ( , , x); ( , x)  S .
Định

nghĩa

1.3.1.3.

Cho

hệ

chuyển

mạch

x  f ( x)

trong

đó

x   ( ,  , x ), ( , x)  S .
Sall là tập tất cả các cặp ( , x) với  là hàm hằng từng khúc và x là liên
tục từng khúc.

Định nghĩa 1.3.1.4. Nghiệm của hệ chuyển mạch là cặp ( , x)  S thỏa mãn
1. Mọi khoảng mở trên đó  là hằng số, x là nghiệm của hệ chuyển mạch

x  f (t ) ( x).
2. Tại mỗi thời điểm chuyển mạch t, x(t )   ( (t ),  (t ), x (t )).

Định nghĩa 1.3.1.5.
 K là tập các hàm liên tục chặt  (.) :      ,  (0)  0.
 K_ là tập các hàm liên tục chặt  (.) :      ,  (0)  0 và không
bị chặn.
 KL là tập hợp các hàm  : [0, )  [0, )  [0, ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17
1. Mỗi t cố định thì  (., t )  K .
2. Mỗi s cố định thì  ( s,.) là đơn điệu giảm và  ( s, t )  0 khi t   .

Định nghĩa 1.3.1.6.
 Điểm cân bằng xeq là ổn định nếu tồn tại  K sao cho

|| x(t )  xeq ||  (|| x(t0 )  xeq ||), t  t0 , || x(t0 )  xeq || c
dọc theo mỗi nghiệm ( , x)  S của hệ chuyển mạch.
 Điểm cân bằng xeq   n là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định
Lyapunov và mỗi nghiệm, mà nghiệm đó tồn tại trên [0,  ) , thì

x(t )  xeq , khi t  .
 Điểm cân bằng xeq   n là ổn định tiệm cận đều nếu tồn tại  KL
sao cho

|| x(t )  xeq ||   (|| x(t0 )  xeq ||, t  t0 ), t  t0  0
dọc theo mỗi nghiệm ( , x)  S của hệ chuyển mạch.

1.3.2. Hàm Lyapunov chung
Cho hệ phương trình x  f ( x), ( , x)  Sall .

(1.18)

Định lý 1.3.2.1. Giả sử tồn tại hàm V :  n   không bị chặn theo tia, xác
định dương khả vi liên tục sao cho

V
( x  xeq ) f ( z )  W ( z )  0, z   n, q  P.
x
Khi đó
1. Điểm cân bằng xeq là ổn định Lyapunov.
2. Nếu W ( z)  0 khi x  xeq thì xeq là ổn định tiệm cận đều toàn cục.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

18
Định lý 1.3.2.2. Giả sử P là hữu hạn. Hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận đều
(trên Sall) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm Lyapunov chung, cụ thể là tồn tại hàm
V :  n   không bị chặn theo tia, xác định dương, khả vi liên tục sao cho

V
( x  xeq ) f q ( z )  W ( z )  0, z   n \ {0}, q  P.

x

1.3.3. Điều kiện đại số về sự ổn định của hệ chuyển mạch tùy ý
Cho hệ chuyển mạch tuyến tính x  A x, ( , x)  Sall . Giả sử tồn tại

m  n, M  nn và {Bq   mm : q  P} sao cho
MAq  Bq M , q  P
Đặt z : Mx, ta có
z  Mx  MA x  B Mx  B z.

Định lý 1.3.3.1. Nếu V ( z )  z ' z là hàm Lyapunov chung của hệ chuyển mạch
x  B x,

tức là B 'q  Bq  0, q  P thì hệ chuyển mạch thường là ổn định tiệm cận đều (mũ).

Định lý 1.3.3.2. Nếu tập chỉ số P là hữu hạn, với mọi Aq , (q  P) là ổn định
tiệm cận và Ap Aq  Aq Ap , (p, q  P) thì hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận
đều (mũ).

1.3.4. Bài toán ổn định
Xét một hệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

19
 x  f (t , x(t )), t  0

 x(t0 )  x0 (t )

(1.19)

trong đó x(t )  n là vector trạng thái của hệ f :      là hàm vectơ cho
trước. Giả thiết rằng

f (t , x(t )) là hàm thỏa mãn điều kiện với mọi

(t0 , x0 )      n hệ (0.3) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0, x0) và nghiệm
thác triển được với mọi t  t0 . Nghiệm của bài toán Cauchy này kí hiệu là
x(t , t0 , x0 ) . Khi đó, dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức
t

x(t )  x0   f ( s, x ( s ))ds.
t0

Định nghĩa 1.3.4.1. Hệ (1.19) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số

  0,   0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (0.4), với x(t0 )  x0 , thỏa mãn
|| x(t ) ||  e (t t0 ) || x0 ||, t  t0

(1.20)

Khi đó  được gọi là hệ số ổn định Lyapunov,  được gọi là số mũ ổn định và

 , được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov.
Xét hệ tuyến tính
x (t )  Ax(t ), t  0.

(1.21)

Định nghĩa 1.3.4.2. Hệ (1.21) là ổn định khi và chỉ khi với bất kì ma trận Q đối
xứng, xác định dương thì phương trình Lyapunov

AT P  PA  Q
có nghiệm P đối xứng, xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

20
Định nghĩa 1.3.4.3. Cho hệ phương trình vi phân
x (t )  f (t , x(t )), t  0,

trong đó x(t )  n là vectơ trạng thái của hệ f :     n   n là hàm vectơ
cho trước thỏa mãn
f (t ,0)  0, t  0.

(1.22)

Với K là tập các hàm liên tục tăng chặt  (.) :      ,  (0)  0 . Khi
đó V (t , x) :     n   , V (t ,0)  0, với mọi t  0 được gọi là hàm Lyapunov
của hệ (1.22) nếu
1. V(t, x) là hàm khả vi liên tục,
2. V(t, x) là hàm xác định dương,
3. V (t , x(t )) :

V V

f (t , x(t ))  0 với mọi nghiệm của hệ (1.22).

t x

Nếu hàm V(t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện
4. b(.)  K : V (t , x)  b(|| x ||), V (t , x)      n ,
5. c(.)  K : V (t , x)  c(|| x(t ) ||), V (t , x) với mọi nghiệm x(t) của hệ
(1.22) thì ta gọi nó là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.22).

Định nghĩa 1.3.4.4. Nếu hệ (1.22) có hàm Lyapunov thì hệ ổn định. Hơn nữa
nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ ổn định tiệm cận.

Định nghĩa 1.3.4.5. Nếu hệ (1.22) có hàm Lyapunov thỏa mãn
1. 1, 2  0: 1 || x ||  V (t, x)  2 || x ||, (t, x)      n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>