Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan truyền soliton

LỜI CẢM ƠN

BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Vũ Ngọc
Sáu.

LÊ THỊ LÀI
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì
những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu
vừa qua.

Tác giả
xin bày CỬU
tỏ lòngĐIÈU
biết ơnKIỆN
chân thành
cácSOLITON
thầy giáo, PGS. TS.
NGHIÊN
TỒN tới
TẠI
Hồ
Quang Quý,
Nguyễn Văn
cùng các
thầy,
cô giáo ởBẬC
khoa CAO
Vật lý,
TRONG

MÔITS.
TRƯỜNG
SỢIPhú,
QUANG
PHI
TUYÉN
khoa đào tạo Sau đại học, các cán bộ tham gia giảng dạy tại lớp cao học và
các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

này.

Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

Tác giả cảm ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia đình
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ
Cuối cùng xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và người thân lòng biết ơn
Nguòi hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Vũ Ngọc Sáu

Vinh 2013


NLSE

Nonlinear

Schrođinger

Phương

trình

Schrodinger
21

phi

MỌT só CỤM Từ VIÉT TẮT
MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................ 3

FWHW

CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM JACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER PHI TƯYÉN ĐẺ TÌM NGHIỆM SOLITON
5
1.1 Soliton quang học...................................................................................... 5
1.1.1.................................................................................................................. Cơ
Full Width at Half Maximum
rộng
toàn
phần tại một
sở xuất hiệnĐộ
Soliton
quang
học...................................................................5
1.1.2.................................................................................................................. Lờ

i giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một)....................................................... 6
1.1.3..................................................................................................................Sol
iton bậc cao (lời giải N Soliton).................................................................. 12
1.1.4......................................................................................................Soliton tối
.................................................................................................................... 14
1.2 Hàm ịacobien tống quát của phương trình Schrodinger..............................15
1.3 Kết quả tính toán......................................................................................... 18
1.4 Các điều kiện tồn tại Soliton quang học...................................................... 21

Kết luận chương 1.................................................................................................. 23
CHƯƠNG 2: NGHIÊN cứu ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG PHI

TUYÉN BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYÈN SOLITON............24
2.1 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan
truyền Soliton..............................................................................................................24
2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến bậc
cao lên sự lan truyền soliton trong sợi quang..............................................................28
2.2.1
Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của một số hiệu ứng bậc cao lên sự lan
truyền soliton trong sợi quang.....................................................................................28
2.2.2
Soliton quang học dưới ảnh hưởng đồng thời của tự dựng xung và tán
sắc bậc ba....................................................................................................................35
Kết luận chương 2.................................................................................................. 40

KÉT LUẬN CHUNG............................................................................................. 41
TẢI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................... 43


3

LỜI MỞ ĐẦU

Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi truờng vật chất là
một trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học. Kể từ khi laser ra đời
vào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triên vuợt bậc và có
nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thông
tin quang. Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối tuợng
trục tiếp của các quá trình nghiên cứu. Sụ ra đời của nó đã cải tạo mạng luói
thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một số lirợng tín hiệu hình, tín hiệu âm
thanh có thê truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi do tốc độ
truyền thông tin là rất lớn, sụ tổn hao trong quá trình lan truyền thấp. Đặc
biệt, tính ổn định của tín hiệu đuợc truyền đi là rất cao và hầu nhu không bị
méo. Tính chất này đuợc tạo ra bằng cách sử dụng các Soliton quang học đê
truyền thông tin.

Soliton quang học là đối tirợng của nhiều nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng
nhu thục nghiệm trong suốt ba thập kỷ qua bởi những ứng dụng mạnh mẽ,
tiềm tàng trong truyền đạt thông tin đuờng dài và toàn bộ các thiết bị chuyển
mạch quang cục nhanh. Soliton quang học trong một sợi điện môi đuợc đề
xuất lần đầu tiên vào năm 1973 bởi Hasegawa và Tappert [4], đirợc làm thí
nghiệm kiếm tra bởi Moollenauer vào năm 1980 [5]. Sự tồn tại dạng xung
Soltion trong sợi quang là nội dung quan trọng trong nghiên cứu quá trình lan
truyền xung ánh sáng trong môi truờng phi tuyến nói chung và trong sợi
quang đơn mode nói riêng..

Vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên phuơng trình Schrodinger phi tuyến
chỉ mô tả gần đúng sụ biến đối hàm bao của các xung laser ngắn (có độ rộng
phố cỡ ps) hoặc lớn hơn, còn các xung cục ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) sẽ có sụ
sai lệch khi mô tả bằng phirưng trình Schrodinger phi tuyến. Do đó, đối với
các xung cục ngắn, ta cần phải kê đến các khai triển bậc cao hơn. Lúc này, lan

truyền của xung cục ngắn đuợc mô tả bởi phuơng trình Schrodinger phi tuyến


4

suy rộng. Trong phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, ta đưa vào các
hiệu ứng phi tuyến bậc cao như : tán sắc bậc ba, tự dựng xung , tán xạ Raman
cưỡng bức. Mỗi hiệu ứng sẽ ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang,
đóng vai trò là nhiễu khi ta xem xét chúng độc lập. Tuy nhiên, khi xét đồng
thời ảnh hưởng của các hiệu ứng kể trên, lời giải phương trình Schrodinger
phi tuyến suy rộng vẫn có thể cho ta dạng Soltion lan truyền trong sợi quang,
mặc dù điều kiện để có lời giải Soliton sẽ có phần hơi khác.

Vì vậy, mục đích của đề tài là bằng phương pháp giải tích- khai triển
Jacobian, giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, và bằng phương
pháp sử dụng ansatz biên độ phức , giải phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao, tìm ra lời giải Soltion khi xét đồng thời một số hiệu ứng bậc cao.

Xuất phát từ lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài:
“Nghiên cứu điều kiện tồn tại các Soliton trong môi trường sọi
Quang phi tuyến bậc cao”.

Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương 1: Sử dụng hàm jacobien của phương trình Schrodinger phi
tuyến đe tìm nghiệm sơliton

Trình bày tổng quan về soliton quang học, hàm ịacobien tống quát của
phương trình Schrodinger và các điều kiện tồn tại soliton quang học.

Chương 2: Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến bậc cao
lên quá trình lan truyền soliton

Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan


5
CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM ƠACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER PHI TƯYÉN ĐỂ TÌM NGHIỆM SOLITON

1.1

Soliton quang học.

1.1.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học.

Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì hình dạng
của nó hên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các
vận tốc nhóm khác nhau. Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình tự biến
điệu pha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đối. Quan hệ giữa hiệu
ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho xung giãn
rộng ra hoặc co ngắn lại tùy thuộc vào độ lớn và chiều dài hai hiệu ứng nói
trên.Trong một điều kiện nhất định thì hình dạng ban đầu của xung sẽ giữ
nguyên không đổi trong quá trình xung lan truyền. Điều này xảy ra khi hai
hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha tự bù trừ lẫn
nhau. Các xung ổn định như vậy được gọi là các sóng cô đơn hay còn gọi là
Soliton. Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lan truyền qua
nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ có sự dịch pha
do quá trình tương tác. Do vậy, nó vẫn tiếp tục lan truyền như những thực tại
độc lập.

Xét xung vào dạng Gauss không chirp với tần số dao động là &> 0và tần số
được giữ nguyên trên toàn bộ xung.

Nếu xung này lan truyền qua sợi quang trong chế độ tán sắc dị thường.
Khi đó tần số phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số phần đuôi xung. Các thành
phần tần số lớn hơn sẽ lan truyền với vận tốc nhanh hơn một ít so với các
thành phần tần số nhỏ hơn. Ket quả là tín hiệu ta nhận được sẽ rộng hơn tín
hiệu ban đầu và trên xung bị dịch tần.

Bây giờ ta giả sử xung lan truyền trong sợi quang phi tuyến không tán
sắc, xung sẽ chịu ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần có giá


D

s

với

£

1

.au /0 1 a2u

67

(1.2)

N2 đầu
(1.3)
trị âm ở
Phương
phần
phápxung
này và
tương
có giá
tự trị
nhưdương
phép ởbiến
phầnđổi
cuối
Fourier
xung.được
Do đó,
sử tần
dụngsốđểở
giải
phầncác
đầu phương
xung sẽ bé
trình
hơnvitần
phân
số ởđạo
phầnhàm
đuôiriêng
xung.tuyến tính. Sự tương tự đó là tìm

ra bài toán tán xạ thích hợp mà thế của nó chính là nghệm. Trường tới tại z=0
được dùng để tìm dữ liệu tán xạ ban đầu, sự tiến triển của chúng theo z được
xác định
bằng
việcxung
giải chịu
các ảnh
bài hưởng
toán tán
tính.ứng
Sự được
lan truyền
của
Sự lan
truyền
độc xạ
lậptuyến
mỗi hiệu
mô tả như
trường
được
xây
dựng
lại
từ
sự
tiến
triển
của
các

dữ
liệu
tán
xạ.
hình H 1.1. Trong hình này xung vào ban đầu là xung dạng Gauss không
chirp, khi lan truyền trong môi trường tuyến tính, xung chỉ chịu ảnh hưởng
của hiệu ứng GVD và sẽ bị mở rộng. Ở chế độ tán sắc dị thường xung bị nén
lại ở Ta
phần
sẽ cạnh
phi thứ
trướcnguyên
(tần sốhóa
dịchbằng
về phía
cách sóng
đưa vào
xanh)các
và đại
giãnlượng
ra ở không
phần cạnh
thứ
nguyên:
sau (tần số dịch về phía sóng đỏ). Nhưng khi xung lan truyền trong môi
trường phi tuyến không tán sắc, do ảnh hưởng của hiệu ứng SPM, nó sẽ làm
mở rộng xung, lúc này xung bị nén lại ở phần sau và giãn ra ở phần trước của
xung.

Khi xung lan truyền trong sợi quang chịu ảnh hưởng đồng thời bởi hai

hiệu ứng
nóiđó,
trên,
ảnh công
hưởngsuất
có tính
kết quả
Trong
p0 vói
là đỉnh
xung,trái
T0 ngược
là độ nhau,
rộng xung,
LD làlà trong
chiều một
dài
điều kiện nhất định nào đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng GDV
và SPM tự cân bằng nhau. Tổng hợp của hai hiệu ứng sẽ làm cho xung không
thay đổi.

H 1.1

1.1.2 Lời giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một)

Một phương pháp cơ bản áp dụng đê giải phương trình Schrodinger phi
tuyến là phương pháp tán xạ ngược. Phương pháp này được Zakharov và


Vll

+ fjálilta|i21 =0

98

(1 .12 )

uv2 =Cìv1
u(5,T) = -22»2j*

(1.6)
(1.8)

j=i
trong đó, Vj,v2 là biên độ của hai sóng tán xạ bởi thế u(ẽ„ x). Giá trị
riêng với
c, có vai trò tương=^exp(i^x
tự như vai
2 của tần số trong giải tích Fourier, ngoại
+ iCtrò
^),
(1.9)
trừ ra rằng t, có thê nhận giá trị phức khi u ^ 0. Đặc trưng này có thê được
nhận ra bởi sự chú ý rằng trong trường hợp u=0 thì Vj,v 2 biến thiên theo
iị/2 * được xác định bởi giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau:
exp(±i<^x).
* XX
k=l 'nị ”>k

(1.10)

.
■£.trình
XX (1.6), (1.7) được áp dụng cho mọi giá trị của Ẹ. Trong
Phương
v
.
j
+
a
í
ư
"
)
k=l
Sj
Sk
phương pháp tán xạ ngược, đầu tiên chúng được giải tại 4=0. Từ dạng ban
đầu của w(0,ĩ), giải hệ hai phương trình trên đê tìm dữ liệu tán xạ ban đầu.
Giá trị riêng £ nói chung là các số phức (2(^. = ô + ÍT| ). về ý nghĩa vật
lí, phần
thực
s đưa
tới sự
thayđặc
đối vận
nhóm
Bài toán
tán xạ
một

chiều
được
trưngtốcbởi
hệ của
số thành
tán xạphần
r(£),thứnój của
có
Ta có thể khử được thông số bằng cách đưa vào biến:
vai trò tương tự như hệ số khai triển Fourier. Sự kết hợp của các trạng thái
liên kết (Soliton) tương ứng với các cực của r(4*) trong mặt phang phức 4".
U = NU = ^L>
(1.4)
Bởi vậy, dữ liệu tán xạ ban đầu bao gồm các hệ số tán xạ r(£), các cực phức
4" ,

và các thặng dư Cj trong đó, j=l đến N nếu có N như vậy tồn tại. Mặc dầu

thông số N không nhất thiết phải là một số nguyên, kí hiệu tương tự chỉ nhằm
nhấn mạnh rằng giá trị nguyên của nó được xác định bằng số cực.
Trong (1.5) ta đã chọn sgn(yỢ, )=-l (xung lan truyền trong chế độ tán sắc
Sự tiến triên của dữ liệu tán xạ dọc theo chiều dài ống được xác định
bằng các kĩ thuật quen biết. Nghiệm mong muốn u(<Ẹ,r) được xây dựng lại từ
nghiệm của phương trình thì cu(c 2ẽí,cx) cũng là nghiệm của phương trình, với
£ là một thừa số tỉ lệ tùy ý. Trong phương pháp tán xạ ngược bài toán tán xạ


10
\ &
-

exp

i(-r|x+ iôx)-fi(i(ô2 - T|2)-2ôrỊ)ẽ,
■(TỊX +iôr|^)4€l(ôx 4€i(ô2 -r|2)£)

= VC1 exP

222

-(^ + 8^)-I(8T+^(8’--^)£)
(X\ý = c\exp

•rffiịiík-8T+*:

Từ đó ta nhận được nghiệm

u(£,x)

l + exp[-2r|(x-xs +ôc)l

Nhân cả tử và mẫu với 1 / 2exp[-r|(x - X + ô^)] ta có nghiệm Soliton cơ
ug,T)=r|sech[rỊ(T-Ts +ôệ)]exp

ị -ÔT + Ò)

(1.15)

trong đó, r|,ô,x ,(ị)s là bốn thông số tùy ý đặc trưng cho Soliton. Mỗi sợi
quang sẽ có một họ bốn thông số của Soliton cơ bản.

2£1=S+i,n =>Cj =ir|.

Để ý:

Giải hệ
.12sẽ
)-(1khảo
.13 ) sát
tìm được
\ụn* vật
=X.*
| 2 ) _1thông
thay vào
(1 .8Soliton
)
Bây
giờ(1ta
ý nghĩa
lý1 (l-fJ^J/r
của bốn
số của
nói
tìm được:
trên.
Bốn thông số T|,ô,xs,(|)s tương ứng với biếu diễn biên độ, độ dịch tần

U(Ỉ,T)

= -2(V)2(1H§.|/IIT

Soliton.Sử dụng (1 .9 ) cho \ vói =(Ô + ĨTÌ)/2 và đưa vào các thông số r và
ệs qua -Cj / T| = exp(r|Ts — icj)s) ta có:

(114)


11

Thông số T s xác định tọa độ đỉnh của Soliton, nó cũng có thể được bỏ

Từ thừa số pha exp

—ÔX + <Ị>S)

đạo hàm theo X được -dộ/ dx = ô. Nên thông số ổ biểu diện độ dịch chuyên
tần số của Soliton so với tần số sóng mang của trưừng quang học ban đầu là

co„

mới của trường sẽ là:
T.«

(1.16)
T
Cần chú ý rằng sự dịch chuyển tần số cũng làm thay đối tốc độ lan truyền
của Soliton so với gốc tọa độ ta đã chọn chuyển động với giá trị vận tốc Vg.
Điều đó có thể thấy rõ khi thay T = ự-J3lz)/T0 vào (1.14) và có thể viết lại nó

như sau:
TI

= r|sech[r|(x-p,’z)/T0]

(1.17)

với p', = p,+ tl T20, do đó, vận tốc nhóm Vg=l/ /3j cũng thay đổi. Sự

hợp.
u(£,x) = T|sech(r|x)exp
(1.18)
thông số T| không chỉ xác định biên độ của Soliton mà còn xác định độ
rộng của nó. Trong hệ đơn vị đo thực, độ rộng của Soliton thay đổi cùng với


12

Soliton. Mối liên hệ tỉ lệ nghịch giữa biên độ và độ rộng của Soliton là quyết
định chủ yếu hầu hết các tính chất của các Soliton.

u(£,i) = sech(i)exp

1.1.3 Soliton bậc cao (lòi giải N Soliton)

Soliton bậc cao được mô tả bởi nghiệm tổng quát của phương trình (1.5)
và cho bởi (1.8). Sự tổ hợp giữa các giá trị riêng rjị và các cực Cj một cách
tổng quát đưa tới vô số các trạng thái khác nhau của Soliton. Nếu Soliton
nlk-%1
(1.20)

Điều kiện này cho phép chọn ra một tập hợp con của mọi Soliton có thể

có. Một trong số tập hợp con này có một cực đặc biệt đóng vai trò của Soliton
mà dạng ban đầu của nó tại Ẹ, = 0 cho bởi

U ( £, T )

= Nsech(x)

(1.21)

trong đó, bậc của Soliton N là một số nguyên. Đỉnh công suất của xung
đưa vào sợi quang phải thỏa mãn điều kiện N2=LD/Lnl= YP0T02 ti và nó

phương trình (1.9) và (1.11) ta có hệ bốn phương trình sau


13
v12 - 2>/3ie-2x-2 V21 - 4ie-V22 = 0

(1.22)

V21 -4ie"Vn -i2>/3e"2T_2lVi2 =2e( 2

iị/*22 - 2>/3ie_2x+2i4iỊ/11 - i4e“3xiỊ/12 = 2\I3GK 2 4 )

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được H/*21;VỊ/*22;VỊ/U;H/12.

Dạng hàm bao các Soliton bậc cao thay đổi liên tục, tuy nhiên sau những
quãng đường lan tuyền nhất định dạng của nó lại trở như ban đầu. Một tính
chất quan trọng của nghiệm Soliton bậc hai đó là
có chu kì tuần hoàn

(1.23)
đơn vị thực là:
Hình H 1.2 mô tả dạng Soliton bậc hai thay đổi theo chu kì trong suốt
quá trình lan truyền. Xung vào có dạng Gauss. Trong quá trình lan truyền,
dạng của xung bị thay đổi. Nhưng sau một quãng đường nhất định (một chu
kì Soliton), dạng của xung lại trở về giống như ban đầu.

2

H 1.2 Dạng Soỉiton bậc hai thay đổi theo chu kì
trong suốt quá trình lan truyền


14

1.1.4 Soliton tối.

Nghiêm Soliton trong phương trình (1.8) không phải là nghiệm Soliton
duy nhất. Rất nhiều dạng Soliton được tìm ra, nó phụ thuộc vào tính chất phi
tuyến và tính chất tán sắc của sợi quang. Trong mục này sẽ xét dạng Soliton
tối.

Soliton tối là nghiệm Soliton của phưotig trình (1.7) tương ứng với
trường hợp sgn(//2 )=1, nghĩa là xung lan truyền trong chế độ tán sắc thường

của sợi quang. Đặc điếm của dạng Soliton này là cường độ của nó là một
hằng số, nhưng trong một khoảng thời gian ngắn nó giảm xuống bằng không
(tạo thành một cái hố sâu) nhưng sau đó lại trở lại không đổi. Vì vậy, nó được
gọi là Soliton tối. Còn Soliton ở các mục trước được gọi là Soliton sáng.

Tương tự như trường hợp Soliton sáng , phương pháp tán xạ ngược cũng
có thể dùng để tỉm nghiệm Soliton cho (1.24). Tuy nhiên, cũng có thể tìm
nghiệm bằng phương pháp giải tích bằng việc giả thiết có tồn tại nghiệm

một hằng số khi lh

00.

Thay u(ẽ,,x) vào (1.24) và cân bằng phần thực và

2V3

0

(1.25)

Nghiệm tống quát của hệ (1.25), (1.26) có dạng
(1.27)


15

các thông số

q

và

T

biểu diễn biên độ của Soliton và vị trí (tọa độ) của

hố tương ứng. Tương tự như trong trường hợp Soliton sáng ta có thể chọn
T

= 0 mà không mất đi tính tổng quát.

Trong nghiệm Soliton xuất hiện thông số mới là B. về ý nghĩa vật lí của
B là độ sâu của hố trũng l). Trong trường hợp B=1 cường độ tại tâm hố

* ôi

10

4

H 1.3 Dạng của Soliton tối không đối trong quá trình
lan truyền

1.2. Hàm jacobien tông quát của phương trình Schrodinger.
Sự lan truyền của xung íemto giây trong các sợi quang được mô tả thông
qua phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, trong đó bao hàm các hiệu
ứng bậc cao như tán sắc bậc hai và bậc ba, Sự tự biến điệu pha bậc hai và bậc
ba, sự tự dựng xung và tán xạ Raman cưỡng bức. Trong trường hợp tổng quát,
phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng không khả tích hoàn toàn. Vì
vậy, lời giải soliton chỉ tìm được trong những điều kiện cụ thể của từng bài


4p«*xp(,e) + [cu' + iq»] expOO)

16
17

(1.33)

ậ([cu'+.qu]exp(,0))
toán. Rất nhiều phương pháp bao gồm các phương pháp số và các phương
= Ị^C2U +2icqu -q2ujexp(i0) pháp giải tích đã được sử dụng để giải phương
(1.34) trình Schrodinger phi tuyến
suy rộng này. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển Jacobien đê
2
tìm nghiêm soliton cho phương trình Schrodinger(1.35)
phi tuyến suy rộng.
^■P=^[cV + 2icqu' - q u]exp(i0))

ii 4. 2CUU-

Xét xung ngắn cỡ íemto giây lan truyền trong sợi quang đơn mode. Sự
thay đổi của hàm bao Ư của xung khi đó
được mô tả bởi phương trình
(1.36)
Schrodinger phi tuyến suy rộng.

^£jL^MQB(u3exp(i0)) = ^3CU2U' + iqu3 J exp(iO)

(1.37)

Trong đó các tham số oq,oc2,a3,a4,a5 tương ứng với các hiệu ứng GVD,

SPM, TOD, ss. SRS, u là hàm bao biến thiên chậm đã được chuẩn hóa, z, t
lần lượt là tọa độ chuấn hóa và thời gian chuấn hóa. ơ đây, ta đã bỏ qua sự
mất mát xảy ra trong sợi quang.

Đê tìm lời giải Soliton của phương trình (1.29), trước hết ta thực hiện
việc đổi biến: z,t 0 .

Khi đó hàm Ư(z,t) biểu diễn theo biến mới như sau:

U(z,t) = u(ẽ,)exp(i0), ẽ, = kz + ct + ơj, 0 = pz + qt+G,

(1.30)

trong đó k, c, p , q, ƠJ, a 2 là các hệ số dẫn xuất từ các tham số a , chúng
có ý nghĩa vật lý như sau: k có thứ nguyên là số sóng nên nó đặc trưng cho sự
lan truyền sóng, c có thứ nguyên là vận tốc lan truyền sóng, p đặc trimg cho
tốc độ thay đối pha theo không gian, q đặc trưng cho tốc độ biến đổi pha theo

(1.32)


18

u(ạ) = a0 + a1SnK)+b1Cn®

(1.41)

trong đó, các tham số a 0, a\ t>! là các hệ số khai triển trong hệ cơ sở các
hàm Sn và Cn

Nghiêm (1.41) là dạng nghiệm tổng quát và ai bi, c, p, q có thể xác định
được bằng cách thay (1.41) vào hệ hai phương trình (1.39a), (1.39b). Bằng
cách này, chúng ta tìm được nghiệm chính xác mô tả dạng của Soliton và điều
kiện tồn tại của nó.
1.3 Ket quả tính toán

Đê dễ dàng hơn, ta xét hai trường hợp cụ thể:
Thực hiện thay các biểu thức từ (1.31) -ỉ-(1.37) vào phưong trình (1.30)
ta thu được:
Trường hợp 1) Xét trường hợp đặc biệt, khi giá trị ban đầu ao gần đúng
2
2
3
3
a1u -0(phần
C,ưỉ +3o3C
qu' -a3qu{Ẹ)
u+a4qu
| -2o((1.41)
bằng ku
0 +ipu=i|c
và chỉ 2chứa
Cn, nghiệm
trong
1q u+0hàm
1cqu + tương ứng có

dạng:
(1.38)

3
2
2
ku
2a1cuq'
- a3ctrình
u +
3a3cq
u số
- hạng
2a5cuta2uđược:
=0
4cucác
Thay +(1.44)
vào phương
(1.40a)
và usắp - xếp3alại

{

[k+la^c + 3a3q2c + a3C3-2m2a3c3]+[6m2a3c3 - (3a4c + 2a5c) b2]Cn2 = 0

(1.45)

(1,39a)
Phương trình (1.45) có nghiệm khi các số hạng trong các dấu [...] ở vế
trái phải
đồng2uthời
2
3 Vì 2vậy ta có:

3
3
pu-ajC
+a1qtriệt
u-atiêu.
2u -3a3c qu +a3q u-a4qu =0

Giả thiết rằng hàm u được khai triển dưới dạng:

(1.39b)


19

Tương tự, thay (1.44) vào phương trình (1,40b) ta đưa về được:
[(p + q\ +aỉq1')-0ù]cL +3aỉqc2(-\ + 2m2)]-[ce2 +aAq)b\ -2m{píxc' + 3aìqc2)]Cn~ = 0 (1.48)
Phương trình (1.48) có nghiệm khi các biểu thức trong dấu [...] của
phương

trình

(1.48)

đồng

thời

triệt

tiêu,

nghĩa

là:

írp + q2a. +a,q2]-a,c2 + 3a,qc2(-l + 2m2 = 0

Từ phương trình (1,49b) ta xác định được tham số q như sau:

ạ. b? -2mĩq,cĩ 1 -2a,q, +3oua, -3a,q,

...

a4 b-6m c a3 6
a3(a4+a5)
k = -^■[(-24m 2a32a42c2m2 — 3a42a42 +12a32a42c2 — 8a12a5a4 +
(1-51)

+ 24a32a4a5c2 -48m2a32a4a5c2 -6a3a2a3a4 -24m2a32a52c2 — 4aj2a52 + 9a22a32 + 12a32a52c2)c]/(a3(a4 + a5)2).
(21 a2Ci4 -\Qíềa}c2a3u4 + 2\6oc4ìoc2c2oclm2
2 2
2 2
2
2
:
+12a
a4 ai +q 324cc
a4 a,c
- 64'ềa
oc.a2mvào

c
Đế tính p,
ta thay
đã tính
được
ở (1.50)
2 2 2 :
2
-h432a4 c aỉ m aìaỉ -27 <%,-216a3 c2a3a3(x4 -12a2a^a2a3a4
+216a4aỉ:m:c:a5:al + 648a2c2ccsa,a4
+60a2a^(x4 -21 a3 a3 a3a4
-108(X3 c2Oí^axa4 - \296a4a^aììm:c:oci
-648a;a.3m: c2a2 + lóa,3^3
-36a5: ũCị2 p=-

216

(1,49a) ta thu được:

1
(1.52)
[cc3(a4 +«5)]

3

ở đây c là hằng số bất kỳ.
Khi m-» 1, nghiệm (1.43) trở thành nghiêm Soliton sáng có dạng:

Ư(z, t) = b1Sech(kz + ct + ƠJ )expi(pz+qt+ơ2)

(1.53)


20

với b 1, k và q được xác định tương ứng theo (1.47), (1.50) và (1.51)
nhưng lấy tại giá trị m= 1.

Trường hợp 2) Chúng ta giới hạn xét cho trường họp đặc biệt, khi giá trị
ban đầu gần đúng bằng 0 và nghiêm chứa phần phụ thuộc hàm Sn.

Trong trường hợp này hàm u biễu diễn theo (1.42) sẽ trở thành
u(ẽ,) = ajSn(ẽ,). Khi đó, hàm bao xác định theo biểu thức (31) được viết

U(z,t) = a1Sn(kz + ct+ ơj)exp |Ị(pz+qt+ơ2)]

(1-54)

u(ỉ)=a£n(ạ,)=agn
u (£,)= a pndn

ư

(£,)=

-a

f>n[dn2+m2Cn2]=-u(^)[m2-l+2dn2]

(1.56a)

Giải (1.56b) sẽ xác định đươc tham số SL\ như sau:

Thay (1.57) vào (1,40a) ta thu được
[(p + q-^+q2^)-^2 +3qaĩc-)(m- +\)]-[(a:+a4q)aì +

(1.57)
^

m 2 (a:c2 + 3qoc3c2)]Sn2 = 0

2
2
(p + q1 có
+ q2nghiệm
aì')+ 3qatrong
3c )(m + 1) = 0
Phương trình (1.58)
khi
tổng
các dấu [...] ở vế trái phải
2
2
2
2

(a2 + a4q)a +m (cKjC + 3qoíìc ') - 0

(1.59)

21
nc tìm q, ta thu được:

■

1 -2a,(X' + 3a,cg, -3a,a
Giải (1,56a) ta tìm được k bằng cách thay q vừa tìm được ở (1.60)

(1.60)

(1.61)

Từ (1.58), xác định được p như sau:

-324a3aAa^c' + 324
(1.62)

Với c là hằng số tuỳ ý. Khi m ->• 1 bậc thấp nhất, lời giải tương ứng trở
U(z, t) = a, tanhậz + ct + )sxpi(pz+qt+c>,)

1.4 Các điều kiện tồn tại Soliton quang học.

(1.63)

Từ các biếu thức mô tả lời giải Soliton sáng, Soliton tối (1.53) và (1.63)
ta xét điều kiện tạo thành soliton ứng với khi có mặt và khi không có mặt tán
xạ Raman cưỡng bức, nhận thấy rằng:

* Trong trường hợp không xét đến hiệu ứng SRS (o5 = 0 ):

- Soliton sáng chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD, ss và


22

-Nếu hiệu ứng tán sắc bậc ba không đáng kể, có thể bỏ qua ( 3 0);
a

ai=bi=0 Jt ->• 0, dễ thấy rằng cả Soliton sáng và Soliton tối đều biến mất.
-Trường hợp hiệu ứng ss không được xét đến (a4 ->• 0 =>JỆ ->■00)

Soliton sáng và Soliton tối cũng đều bị phá huỷ.

Vì vậy, đê tạo thành soliton thì phải có sự cân bằng giữa TOD (được đặc
trưng bởi a3) và sự tự dựng xung (đặc trưng bởi oc 4). Điều này đã được xác
định trong các nghiên cứu trước đây.

* Trưừng họp xét đến hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức (a 5 * 0):

-Hai điều kiện để tồn tại Soliton sáng, tối (1.64), (1.65) sẽ không còn cần
thiết. Và trong trường hợp này nếu ảnh hưởng của TOD không đáng kể, nghĩa
là a3—» 0 thì các soliton sáng và tối đều bị phá hủy. Tuy nhiên nếu ảnh hưởng
của

ss

cũng không đáng kể, nghĩa là

(X4

—> 0, thì các soliton tối và sáng vẫn

tồn tại. Đây là điểm khác biệt quan trọng giữa trường họp có mặt và không có
mặt hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức. Vì vậy, ta có thể thấy rằng tán xạ
Ram an cưỡng bức đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành loại soliton
mới - được tạo thành do sự cân bằng từ cả ba hiệu ứng: SRS, TOD,

ss.

Hơn

nữa, nếu cộng thêm sự cân bằng giữa tán sắc vận tốc nhóm và sự tự biến điệu
pha thì khi có mặt tất cả các hiệu ứng này vẫn có thể tạo ra các soliton tối và
sáng. Mặt khác, trường hợp tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng SRS lên xung,
Soliton sáng có thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc thông thường

nếu

0 và Soliton tối thể tồn tai trong trường hop sợi quang tán sắc


23

Kết luận chương 1

-Trong chương này chúng tôi đã trình bày tổng quan về Soliton quang
học. Bao gồm cơ sở xuất hiện Soliton quang học, Phương pháp tán xạ ngược,

nghiệm các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao, Soliton tối.

-Trình bày sơ lược về hàm Jacobian eliptic.

-Trên cơ sở của phương pháp giải tích lacobian, xuất phát từ phương
trình Schrodinger phi tuyến suy rộng và xem xét một số hiệu ứng phi tuyến,
các biêu thức mô tả Soliton sáng, tối đã được dẫn giải. Từ kết quả thu được,
điều kiện tồn tại Soliton đã được bình luận. Như vậy, khi xét đồng thời ảnh
hưởng của các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc ba, tự dựng xung, tán xạ
Raman cưỡng bức, vẫn thu được Soliton lan truyền trong sợi quang. Đặc biệt,
khi xét đến sự có mặt của hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức, lời giải soliton
thu được có phần khác với lời giải soliton khi chỉ xét đến ảnh hưởng của tán
sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha hoặc sự hình thành soliton gây ra khi xét
đến sự có mặt của hai hiệu ứng tán sắc bậc ba và tự dựng xung.


11

dt dx dt2 dx2 dxdt

24

CHƯƠNG 2: NGHIÊN cứu ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG PHI
TUYẾN BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON

2.1 Nghiên cún ảnh hưởng của hiêu úng phi tuyến bậc cao lên quá
trình lan truyền Soliton.

Chúng ta sẽ tìm nghiệm soliton của phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao mô tả quá trình lan truyền sóng ánh sáng trong môi trường quang học

phi tuyến bằng phương pháp sử dụng khai triển các hàm Jacobi elliptic.

AT

(2.1)

' ÕF ÕF d2F Õ2F Õ2F

Và giả thuyết sóng lan truyền có dạng
F — u(ậ)e’<'kx~ữt\ ậ — cx — Ẳt + x0

... du dzu d'u .

N(ụ,—,—7,—-^,...)=0

(2-2)

(2.3)

Giả thiết nghiệm được khai triển theo chuổi các hàm Jacobi elliptic
cn(ệ,m) (hoặc sn(ặ,m) )

u là

u(4)=ị4a}cnJ(ệ,m)

(2.4)

0(u(ệ)) = n

(2.5)

Theo tính chất của hàm Jacobi elliptic thỉ đạo hàm bậc cao nhất cho bởi

(2.6)


1

õt2 2 õt4

31 1

4

õt3

5

õt

25

n trong (2.4) được chọn bằng cách sao cho bậc của đạo hàm cao nhất cân
bằng với các số hạng phi tuyến. Thay (2.4) vào (2.3) và cân bằng các hệ số
dẫn tói hệ phương trình đại số đối với ữ .. Giải hệ phương trình này ta sẽ nhận

được kết quả cho u theo (2.4)

Trong trường hợp xung ánh sáng cực ngắn (femto giây), so sánh (2.1)

,, . d2E Õ4E I T?Ọ" T?\

,õ(\Eị2E)
+ a6E
Õ - i(a, —7- + a-y ——r + a,\E\ E) + oc, —7- + aK ——--.^E

ỂỂ.
(2.7)

Trong đó, ax\ a2; a3 ; a4; a5; a6; là các tham sô tương ứng vói các hiệu
ứng tán săc vận tôc nhóm(GVD), hiệu ứng tán săc bậc 4 (FOD), hiệu ứng tự
cưỡng bức (SRS).
.8)
Đê tìm nghiệm của phương trình (2.7) ta sử dụng phương pháp khai (2triển
hàm Jacobi elliptic như đã nói ở trên. Đầu tiên ta biêu diễn trường dạng

E(z, t) = u(ệ) exp[/(Ảx — ũùt)\ ; ặ = ct - Ằz + z0

Thay (2.8) vào (2.7) được

(2.9)

- ẢÙ + iku = ia2ịc4n " + ŨÙ4U - 6C2CŨ2U + 4i(ca>3u - C3Ứ)U )]
+ iax (C2U — 'liccơa - ŨŨ2Ù) + ioíýT + a5 (3cu2u - ÌCŨU3)
+ a4 \c3u - 3Cứ)2n + i(ú)3u - 3C2CŨU )]+ 2oc6cu2u

Tách phần thực và phần ảo dẫn tới hệ phương trình
c (a4 + 4a2có)u + (Ằ - 3ư4Cứ)2 + 2axccù - 4a2ccũ3 )u

+ (3 a5 + 2 OC6)CU2U = 0

c4a2u + {c2ax - 3oc2c2(ở2 - 3a4c2cò)u
+ (—k
- axúủ2 + a2củ4 + a4củ3 )u + (a3 - a<a>)n3 = 0
d 4u(ệ)

dặ 4

Oi

) = n+ 4

(2.1

Oa)

(2.10b)


26

Và bậc của số hạng phi tuyến
6 0{u(ặ)) = 3 n

Cân bằng các số hạng được n=2. Theo đó hàm u(ệ) có dạng
u(ệ) = a0 + a^cnỤ;) + a2cn2(ệ)

(2.11)

Acn\ệ) + A4cn (Ế) + Acn2(ệ) + AQ

(2.12)

Trong đó, Ai là hệ số bao gồm các thông số trong bài toán. Cân bằng hệ
số của số hạng thứ nhất trong (2.12) bằng 0 dẫn tới
A6 = 48a2c4a,m4 + 24a2c4a,m2 = 0

a2=0)
c3a4n + (Ẳ- 3a4ca>2 + 'lalc(ủ)ii + (3a5 + 2a6)cu2u
(c2Ơ! - 3c2Cùa4)n + (-k - ax(ở2 + a4co3)u + (ơ3 - Ơ5Í»)M3 = 0

(2.13a)
Đạo hàm hai2 vế (2.13b)
theo ặ ta có
3

(-k - a,ũù + a.ứ) )
,
(2.
u + ------------- 1 y 4-----------—u + zv 3
\ ’ U2U = 0
c otx - 3c Cùa4
c ax - 3c CŨ0C4

^

So sánh (2.14) và (2.13a) rút ra được biểu thức cho k,cở

(2.13b)

(2.14)

_ 6^(30, + 2a6) - 3a3a4

6a4(a, + a6)
,

Ấ - 3 a.ccù + OLCCÙ 2

(2.15)
3

k=----------------—-------------------a!&> + Cũ a4

Do đó phương trình (2.13a) và (2.13b) có thể rút gọn thành

(2.17)


27
„ 2oc,(ữ + À-3aầcco2 „

,

( 3ứ ' + 2 ơ , )

c2aA

(2.18)
dzu(â)

Sử dụng hệ thức trong phương pháp khai triên Jacobi ta có
d?

Cân bằng hai phương trình được n=l, do đó ta có
u(ặ)=aữ + aìcn{ặ)

(2.19)

aữ=0
6ưÂ
0ÍA + 3 ac -mc

(2.20)

À = -2m2c2a4 - 2ax(ờ + c2aậ + 3a4ũ)2

Trong đó c là một hằng số tùy ý và m là modul của hàm Jacobi elliptic.
E(z,t) =

2 a6 + 3 a5

cexp[z(£z- (ữt)ị

(2.21)

xcn 'ỹct - ( - 2 m c~aA - 2axco + c aA + 3 ư4co')z + zữ ]
z

z

Trong đó biểu thức của k và Cũ cho bởi (2.15) và (2.16). Khi m tiến dần
tới 1, ta nhận được nghiêm soliton sáng

E(z,í)=

2ư6 + 3a5

cxp [ì(kz - ú)í)] X

(2.22)

x&echịct-(-c2a4 - 2a]ú) + 3a4ú)2)z+ zữ ]

Bây giờ nếu sử dụng giả thiết nghiệm cho (2.19)
dạng
u(ậ) = aữ + OịSỉĩ^ệ)

(2.23)

a0=0

I

6ư
-mc
a

(2.24)

28
Ả = c2a4 - 'loc^cũ + m2c2a4 + 30C4CÙ2

dạng
Y.sn\jzt- (c:a4 — 2ax(ũ + m1c1oc4 + 3 ct4(02)z + zồ~ị

Trong đó biếu thức của k và Cù cho bởi (2.15) và (2.16). Khi m tiến dần

xtanh[c/-(2c2a4 - 2axcũ + 3a4củ2)z + zữ~ị

Như vậy bắng cách sử dụng phương pháp khai triển các hàm Jacobi
elliptic ta có thể tìm được các nghiệm sóng của phương trình Schrodinger phi
tuyến bậc cao mô tả sự lan truyền xung ánh sáng trong sợi quang. Và với các
giả thiết ta nhận được các soliton sáng và tối.
2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thòi của các hiệu úng tán sắc và phi
tuyến bậc cao lên sự lan truyền soliton trong sọi quang
2.2.1 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của một số hiệu úng bậc cao lên
sự lan truyền soliton trong sợi quang

Trên cơ sở kết quả của những đề tài đã nghiên cứu về sự lan truyền xung
và ảnh hưởng của các hiệu ứng lên sự hình thành và lan truyền soliton trong
sợi quang. Trong phần này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu điều kiện tồn tại
soliton sáng, tối khi xét ảnh hưởng đồng thời của các hiệu ứng bậc cao: Tán
sắc bậc ba, Tán sắc bậc bốn, Tự dựng xung, Tự dịch chuyển tần số, và cả sự
có mặt của hiệu ímg phi tuyến bậc năm.

Sự lan truyền của các xung cực ngắn trong sợi quang được chi phối bởi
phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao (HNLS) có dạng cải biến dưới
đây.