Bài giảng bài bất đẳng thức đại số 10 (2)

Giáo án giảng dạy môn toán lớp 10

Tiết 34: Bài

tập

BÀI - BẤT ĐẲNG THỨC


B1

B2,C3

1./. CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Các tính chất của BĐT
a  b  0
1).  Định nghĩa:
 ac  bd
c  d  0
b a-cb
>0a  c
3).aa>b
 b,
ab  a - b 0

5).a  b  a  c  b  c

a  b
2). 
ac bd
c  d

n

4).a  b  0  a  b

6).a  b  0  n a  n b

Từ đó suy
ra: bc khi c  0
 ac
7).aab
 ba - b 0

 ac  bc khi c  0

Định nghĩa

n

Tính chất


1./. CỦNG CỐ KIẾN THỨC

BĐT Côsi
Cho 2 số không âm

BĐT Côsi
Cho 3 số không âm

ab

 ab
(1)
2
 a  b  2 ab  2 

abc 3
 abc (1')
3
 a  b  c  3 3 abc (2 ')

2

ab
 ab  
 3 
 2 
Dấu ‘=‘ xãy ra khi
a=b

3

2

abc
 abc  
  3' 
3


Dấu ‘=‘ xãy ra khi

a=b=c

3


1./. CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Hệ quả : {Của BĐT Côsi}
1). Nếu 2 số thực dương có ‘tổng’ không đổi thì ‘tích’ của
chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau.
2). Nếu 2 số thực dương có ‘tích’ không đổi thì ‘tổng’ của
chúng đạt GTNN khi 2 số đó bằng nhau.
a  b  a  b

BĐT
chứa dấu
GTTĐ

a  b  a  b  a.b 0 (a, b cùng dấu)
a  b  a  b
a  b  a  b

 a.b 0 (a, b trái dấu)


1./. CỦNG CỐ KIẾN THỨC






Chú ý các Tính chất sau:
x2  0 , xR
x2+y2+z2 0,x,y, z R.
Dấu ‘=‘ xãy ra khi x=y=z=0.
x.y> 0  x và y cùng dấu.
Nếu a, b ‘không âm’, ta có:
a b  a2  b2

B2


Bài tập 1. Cho a> b>0. CMR: 1/a <1/b (1)
KT
C2





Cách1:
Cách1:
(1)
(1)
1/a
1/a--1/b>0
(b
(b--a)/ab>0 (1’)
Vì a>b>0
a>b>0b-a<0 và

a.b >0. Do đó (1’)
đúng . Vậy (1) đúng.





Cách 2:
2:
Nhân hai vế của (1)
với a.b>0 ta đư
được:
ợc:
(1)
(1)
b(1’)
Vì (1’) đúng theo giả
thiết, nên (1) đúng.

KT
C1
C1

C2


Bài 2:Cho
2:Cho a>0, b>0. CMR:
2

2
a b  2 a b
(2)





Giải::
Giải



Vì 2 vế đều dươ
dương.
ng. Bình phươ
phương
ng 2 vế ta đư
được:
ợc:
(2)  (a+b)2  2(a2+b2)
 a2+b2-2ab
2ab
0
 (a
(a--b)2  0 (2’).
Vì (2’) đúng nên (2) đúng.

C1


KT


KT

Cách 2: Ta dễ dàng CM được: a2+b2  2ab. áp dụng
tính chất này, ta biến đổi Vế phải của (2) như sau:
2

2



2

2

VP  a b  a b
2



2

 a  b  2ab

VP 

a  b

H ay :

2 a2  b2  a  b



2

 a  b  a  b  VT



 C M xong 

 Do a  0, b  0  a  b  a  b 
Cách 2


Nhận xét: Để ý đến tổng bình phươ
phương
ng ở VP, ta có cách
giải như
như sau: (PP vectơ
vectơ)
Từ định nghĩa Tích vô hướng
của 2 vectơ, ta có:
 
 
 

u .v  u . v . co s u , v
 
 
 u . v  u . v (*)
 
do cos u , v  1







  

áp dụng (*) với:



u 1;1 , v  a;b

u.v  a  b,


u  2, v  a 2  b 2
 
 u . v  2 a 2  b2





C2


Nhận xét: Để ý đến tổng bình phươ
phương
ng ở VP, ta có cách
giải như
như sau: (PP vectơ
vectơ)

Từ định nghĩa Tích vô hướng
của 2 vectơ, ta có:
 

u .v  u .
 

 u .v  u .




 
v . co s u , v

v (*)



 
do cos u , v  1

  

ÁP DỤNG (*) VỚI:



u  1;1 , v   a;b



Ta có:

u.v  a  b,


u  2, v  a 2  b2
 
 u . v  2 a 2  b2





Thay vào (*) ta có BĐT
Cần chứng minh !
C2

Bài 5:
5: Cho a,b dươ
dương.
ng. CMR:
a) a2b+ab2  a3+b3 .
b) a/b+b/a
a/b+b/a 2.
c) (a+b)(ab+1)
(a+b)(ab+1) 4ab
KT

Giải:
a).Ta có:
(a)a3-a2b+b3-ab2 0
a2(a-b)- b2(a-b)0
(a-b)(a2-b2)0
(a-b)2(a+b)0 (a’).
Vì (a-b)20 và a+b>0
nên (a’) luôn đúng.
Vậy (a) đúng.

CÁCH KHÁC:
ÁP DỤNG BĐT CÔSI CHO 3 SỐ DƯƠ
TA BIẾN ĐỔI VẾ PHẢI CỦA (A) NH
a 3  a 3  b 3 a 3  b3  b3
VP 

3

3
VP  3 a 3a 3b3  3 a 3b3b3  a 2 b  ab 2
Hay : a 3  b3  a 2 b  ab 2  dpcm 
C1

C2


Bài 5:
5: Cho a,b dươ
dương.
ng. CMR:
a) a2b+ab2  a3+b3 .
b) a/b+b/a
a/b+b/a 2.
c) (a+b)(ab+1)
(a+b)(ab+1) 4ab


Câu c):
c):
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:

a  b  2 ab (1)
ab  1  2 ab  2



Nhân theo vế (1) và (2), ta đư
được:

ợc:
(a+b)(ab+1)
(a+b)(ab+1)
4ab (đ
(đpcm).
Dấu ‘=‘ xảy ra  {a=b và ab=1}
ab=1} a=b=1
Cách 2


Hãy tích cực suy nghĩ để có đư
được
ợc
nhiều lời giải hay !







Câu c): Cách 2:
2:
Cũng áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm:
VP= (a2b+b)+(ab2+a)

VP  2 a 2b2  2 a 2b2  2ab  2ab
VP
VP
 4ab= VT. Hay:(a+b)(ab+1)

Hay:(a+b)(ab+1) 4ab (đ
(đpcm).
Dấu ‘=‘ xãy ra khi: a2b=b và ab2=a
 a=b=1 (vì a,b dươ
dương).
ng).
Nhận xét:
xét: Nếu a, b không âm. Khi làm theo cách này, ta còn
thấy dấu ‘=‘ xãy ra khi a=b=0.
1

2

3


BÀI TẬP LÀM THÊM.
Bài 1

Chứng minh các BĐT sau:
2

2

a b ab
1)


2
2



3) tgx  cot gx  2
Bài 2

2

3

3

3

a b ab
2)


2
2


1 1
4
4)  
a b ab


XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN
QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM
HỌC SINH ĐẾN THAM DỰ

BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY
Chúc quý thầy cô sức khỏe và hạnh phúc !

Chúc các em học sinh
mạnh khỏe, học giỏi !