Bài giảng bài bất đẳng thức đại số 10 (3)

TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU

BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ 10
BÀI TẬP, BẤT ĐẲNG THỨC
GV: Trương Mạnh Hùng
Lớp: 10A1


Những vấn đề chính
Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức
1
2
3

Dùng định nghĩa
Dùng phép biến đổi tương đương
Dùng bđt Cauchy(Cô - si)
Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất


Dùng định nghĩa
- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng
minh A - B > 0 .
- Lưu ý : A2 ≥ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
Ví dụ 1:
Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z)
Giải:

Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)

= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x
(y - 1)2 ≥ 0 với mọi y
(z - 1)2 ≥ 0 với mọi z
=> H ≥ 0 với mọi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.


Dùng định nghĩa
Bài tập
1. Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
2. Chứng minh bất đẳng thức :

2

2

a b  a b


2
 2 

2


Dùng định nghĩa
Bài tập

Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
a
a
2

b
= ( 2 ) + ( 2  c )2 + ( a  d)2 + ( a  e )2
2

Do

a
( 2  b )2

a
Do( 2  c )2

Do (

a
d )2
2

2

≥ 0 với mọi a, b

≥ 0 với mọi a, c
≥ 0 với mọi a, d

a
( 2  e)2

Do
≥ 0 với mọi a, e
=> H ≥ 0 với mọi a, b, c, d, e
Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e =

a
2


Dùng định nghĩa
Bài tập
Xét hiệu : H =

a2  b2  a  b 


2
 2 

2

2(a 2  b 2 )  (a 2  2ab  b 2 )
=
4

=

1
1
(2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab)  (a  b) 2  0 .
4
4

Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .


Dùng biến đổi tương đương
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .

Một số đẳng thức thường dùng
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3


Dùng biến đổi tương đương

• Chú ý các Tính chất sau:
• x2  0 , xR
• x2+y2+z2 0,x,y, z R.
Dấu ‘=‘ xảy ra khi x=y=z=0.
• x.y> 0  x và y cùng dấu.

Dùng biến đổi tương đương
Ví dụ 2. Cho a> b>0. CMR: 1/a <1/b (1)

Chứng minh
(1)1/a-1/b<0
(b-a)/ab<0 (1’)
V× a>b>0b-a<0 vµ a.b >0. Do ®ã (1’) ®óng .
VËy (1) ®óng.


Dùng biến đổi tương đương

Bài tập: Với a,b,c là những số thực tùy ý.Chứng minh:
1.a 4  b 4  a 3b  ab 3
2.( a  b  c ) 2  3( a 2  b 2  c 2 )
3.a 2  4b 2  3c 2  14  2 a  12b  6 c


Dùng BĐT Cauchy

BĐT Côsi
Cho 2 số không âm

BĐT Côsi
Cho 3 số không âm

ab
 ab (1)
2

 a  b  2 ab  2 

abc 3
 abc (1')
3
 a  b  c  3 3 abc (2')

ab
 ab  

2



2

3

 3

Dấu ‘=‘ xảy ra khi
a=b

a bc
 abc  
  3'
3


Dấu ‘=‘ xảy ra khi

a=b=c


Dùng BĐT Cauchy
Ví dụ 3
Cho a,b dương, CMR:
a) a/b+b/a 2.
b) (a+b)(ab+1) 4ab
a. Áp dụng bđt cô- si cho hai số không âm a/b và b/a ta có
a b
a b
 2 . 2
b a
b a


Dùng BĐT Cauchy
Ví dụ 3
b. CM: (a+b)(ab+1) 4ab
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:

a  b  2 ab (1)
ab  1  2 ab  2 
• Nhân theo vế (1) và (2), ta được:
(a+b)(ab+1)4ab (đpcm).
• Dấu ‘=‘ xảy ra  {a=b và ab=1} a=b=1


Dùng BĐT Cauchy
Bài tập: Với a,b,c,d là các số dương. CM các bđt sau:

a 
b 

T 1.1 
 1 

b
c



a  b
b  c
T 2.


c
a
T 3 . a  b  c  d

c 

1 
  8
a 

a  c
 6
b



4

4

abcd

1
1 
 1
4 . a  b  c 


  9
b
c 
 a


Dùng BĐT Cauchy
Bất đẳng thức cô - si
a1  a 2  ...  a n

n

n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a 1 a 2 . .. a n

a1 , a2 ...an  0

a1  a2  ...  an

Hệ quả
1
1
1 
2
a

a

...

a


...


n
 1 2

n 
a
a

a
 1
2
n 


Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Khái niệm
Xét hàm số y = f(x), với tập xác định D.
a. M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)

 f ( x)  M , x  D

x0  D, f ( x0 )  M
b. M là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

 f ( x)  m, x  D

  x0  D , f ( x 0 )  m


Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0.

3
f ( x)  x 
x
Do x>0 nên ta có:

3
3
f ( x )  x   2 x.  2 3
x
x
3
f (x)  2 3  x   x  3
x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0 là

f ( 3)  2 3


Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Ví dụ 5
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  
x 1 x
Với 0 < x <1.
1
1
1 x  x
1
1
y 




4
Ta có
2
x 1  x x 1  x  x 1  x   x  1  x 


 2 
 y  4,  (0;1)
 x  1 x
1
x
Đẳng thức xảy ra khi chi khi 
2
 x  (0;1)
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 khi
x
2


Củng cố

Dùng định nghĩa
Dùng phép biến đổi tương đương
Dùng bđt Cauchy(Cô - si)
Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất


Bài tập về nhà

1. Với a,b,c khụng õm. Chứng minh cỏc bđt sau:

 a  b

2

a b

 a b b a
2
4
(a2  b2 )(b2  c2 )(c2  a2 )  8a2b2c2
2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số sau:

4
9
y 
,0  x 1
x 1 x


BÀI HỌC KẾT THÚC

CẢM ƠN, THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH