Bài giảng bài cấp số nhân đại số 11 (2)

Bài toán: Hãy tìm quy luật của các dãy số sau,từ đó
xác định 3 số hạng kế tiếp của nó :
a) 1; 1/3; 1/9;...
b) 2, -4, 8,...
Nhận xét: các dãy số trên,kể từ số hạng thứ
hai,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng
đứng ngay trước nó với 1 số không đổi

Các dãy số có tính chất tương tự như các
dãy số trên được gọi là các cấp số nhân


1.Định nghĩa:
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà
trong đó,kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng
tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1 số q không
đổi,nghĩa là:
unlà cấp số nhân  n  2, un  un 1.q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân


Ví dụ 1: a) Dãy số (un )

1 n 1
, un  ( ) là cấp số nhân
3 1

với số hạng đầu u1  1 ,và công bội q 

3
b) Dãy số 2, -4, 8,…là 1 cấp số nhân với số hạng đầu

u1  2 ,và công bội q  2
Ví dụ 2: Trong các dãy số sau,dãy số nào là cấp số nhân?
Vì sao?
a) 4; 6; 9; 13,5.
b) -1, 5; 3; -6; -12; 24; -48; 96; -192.
c) 7,0,0,0,0,0.


5
Ví dụ 3:Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 
2
và un  3un 1  1, n  2.CMR dãy số (v )
n
1
xác định bởi vn  un  , n  1
2
là 1 cấp số nhân.Hãy cho biết số hạng đầu và công bội
của cấp số nhân đó.
Giải

1
1
1
Ta có: vn  un   3un 1  1   3(un 1  )  3vn 1
2
2
2

với n  2. Vậy dãy số (vn ) là 1 cấp số nhân,với
1 5 1
:
v1  u1     2 ,và công bội q  3
2 2 2


Dựa vào định nghĩa,hãy biểu thị uk theo uk 1
và uk theo

uk 1 ? (với công bội q≠0)

Có: uk  uk 1.q

(vớ k  2)
i

uk 1
uk 
(vớ k  2)
q
i
2
 uk  uk 1.uk 1


2.Tính chất:
Định lý 1
Nếu (un ) là 1 cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai,bình
phương của mỗi số hạng(trừ số hạng cuối đối với cấp

số nhân hữu hạn)bằng tích của hai số hạng đứng kề nó
trong dãy,tức là :

u  uk 1.uk 1 ,(k  2)
2
k

Ví dụ 4:Có hay không một cấp số nhân (un ) mà
u99  99 và u101  101 ?


Ví dụ 5(bài 31 ,SGK Tr 121)

(un ) có công bội q<0.Biết u2  4 và u4  9
Cho
CSN u1 .
Tìm
Giải: Theo Định lí 1,ta
2
có:
u3  u2 .u4  4.9  36  u3  ?

D
u2  4
o
Và :

0, q

0  u3

2
2

0 .Khi đó u3  6

u
8
u  u1.u3  u1 

u3
3
2
2


3.Số hạng tổng quát
Hãy xác định các số hạng thứ 9,12,27 của các CSN
trong bài toán mở đầu ?

Vấn đề trên sẽ giải quyết thật đơn giản nhờ kết quả
sau:
Định lí 2.Nếu một cấp số nhân có số hạng
u1
đầu
và công bội q≠0 thì số hạng tổng quát (un )
n 1
của nó được xác định bởi công
un  u1.q
thức

Ví dụ 6(bài toán Tr 115 SGK).Một người gửi
10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng
với lãi suất 0,4%
a)Hỏi nếu 6 tháng sau kể từ ngày gửi,người đó
mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được
(gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b)Cũng như câu hỏi trên,với giả thiết thời điểm
rút tiền là 1 năm sau kể từ ngày gửi?
Giải
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu (un ) là số tiền
người đó rút được (gồm cả vốn và lãi)sau n tháng
kể từ ngày gửi


Ta có:

un  un 1  un 1.0, 004  un 1.1, 004, n  2
Khi đó dãy (un )

là 1 CSN với số hạng đầu là:

u1  10  10 .0,004  10 .1,004
7

7

7

và công bội q = 1,004 nên theo định lí 2, ta có:

un  107.1,004.(1,004)n1  107.(1,004)n , n  1

 u6  107.(1,004)6 10242413 (đồng)
u12  10 .(1,004)
7

12

10490702. (đồng)


Ví dụ 7.Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu
người.Biêt rằng tỉ lệ tăng dân số của thành phố A là
2%.Hỏi dân số của thành phố A sau 2 năm nữa sẽ là bao
nhiêu?
Giải
Gọi un (người)là dân số của thành phố A sau n năm
Ta có: un  3.106.(1  0,02)n

 u2  3.106.(1,02)2  3121200 (người)


Bài tập 37(Tr 121,SGK)
Số đo 4 góc của 1 tứ gác lồi lập thành 1 CSN.Hãy tìm 4
góc đó,biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo
của góc nhỏ nhất.
Giải

Gọi A,B,C,D là số đo 4 góc(tính theo độ) của
tứ giác lồi đã cho.Giả sử A ≤ B ≤ C ≤ D.

Theo bài ra ra có: D = 8Avà A,B,C,D theo thứ tự lập
thành 1 CSN công bội q nên: 8 A  D  A.q 3  q  2


Khi đó:

A  B  C  D  360  A(1  q  q 2  q 3 )  360
Thay q = 2 vào ta được A=24(độ)
Dẫn tới :

B  A.2  48

(độ)

C  A.22  96 (độ)

D  A.2  192 (độ)
3


Nhóm 1: Tìm công bội của 1 CSN biết :

u4  u2  72

u5  u3  144
Nhóm 2: Tìm số hạng đầu của 1 CSN biết :

u1  u3  u5  65

u1  u7  325

Đáp số:

q2
Nhóm 2: u1  5
Nhóm 1:


Bài tập về nhà
Bài 1. Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số
hạng liên tiếp của 1 CSN,hoặc là số hạng thứ nhất,thứ tư
và thứ hai mươi lăm củă 1 CSC.Tìm ba số ấy?
Bài 2. Ba số có tổng là 26 lập thành CSN.Nếu theo thứ
tự ta thêm 1, 6, 3 vào ba số ấy thì đươc 1CSC.Tìm ba
số ấy?
Bài 3. Bốn số lập thành 1CSC. Nếu theo thứ tự ta bớt đi
2, 6, 7, 2 thì bố số mới lập thành CSN.Tìm CSC.