Bài giảng bài cấp số nhân đại số 11 (3)

TOÁN 11

CẤP SỐ NHÂN


HĐ1TỤC TRUYỀN RẰNG NHÀ VUA ẤN ĐỘ CHO PHÉP NGƯỜI
PHÁT MINH RA BÀN CỜ VUA ĐƯỢC LỰA CHỌN TÙY SỞ THÍCH.
NGƯỜI ĐÓ XIN NHÀ VUA THƯỞNG CHO SỐ THÓC BẰNG SỐ
THÓC ĐẶT LÊN 64 Ô CỦA BÀN CỜ NHƯ SAU: ĐẶT LÊN Ô THỨ
NHẤT CỦA BÀN CỜ 1HẠT THÓC, TIẾP ĐẾN Ô THỨ 2 HAI HẠT, ...
CỨ NHƯ VẬY, SỐ HẠT THÓC Ở Ô SAU GẤP 2 LẦN Ô TRƯỚC
CHO ĐẾN Ô CUỐI CÙNG.
8

HÃY CHO BIẾT SỐ HẠT THÓC Ở CÁC Ô TỪ THỨ 1 ĐẾN THỨ 6
7
CỦA BÀN CỜ
6
5
4
3

2
1
a

b

c

d

e

f

g

h


+) Số hạt thóc trên
các ô từ 1 đến 6
7 ... Vậy quy luật
củacủa
bàndãy
cờ là:
số
1,
2,
4,
8,
16,
32.
đó
là:
kể
từ
số
hạng
thứ

6 16.2
32
Nếuđều
coi số
2, mỗi số +)
hạng
là hạt
thóc trên các ô từ
5 8.2
16
tích của số hạng
1 đến đứng
6 của bàn
4 4.2
8
cờ là
một
ngay trước nó
với
sốdãy số.
8

u6=2u5
u5=2u4
u4=2u3
u3=2u2

3

2.2

4

u2=2u1

2

1.2
2

u1

1

1

a

không đổi là 2.

Hãy chỉ ra quy luật
của dãy số đó?

b

c

d

e

f

g

h


Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn
hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với
một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là cấp số nhân có công bội q, ta có công thức
truy hồi
un+1=un.q với n N*
(1)
Nhận xét
Cấp số nhân hoàn toàn xác định khi biết
nào ?một phần tử un và q.


Ví dụ 1
Tìm dãy số lập thành cấp số nhân
A.

2, -4, 8, 16, -32, 64

B.

4, 0, 0,

0, …,0,…

C.

0, 3,

0,

0,…, 0,….

1
1
,  ,
2
6



D.



1
,
18



1
,
54



1
,
162

Đáp án: B (q=0), D(q=1/3)
Bắt đầu

Đáp án


Bài 4: Cấp số nhân
Đặc biệt:
+) Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0, …, 0, …
+) Khi q=1 thì cấp số nhân có dạng: u1, u1, u1, …, u1, …
+) Khi u1 =0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0,
…, 0, …


Bài 4: Cấp số nhân
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân


1 1
1 1
,
,  , , 1.
81 27
9 3

Chứng minh:
1
1
v×
 ( ).(3);
27
81

1
1
 ( ).(3)
3
9

1
1  .(3)
3
Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân có công bội q = -3.
1 1
  .(3);
9 27

Bài 4: Cấp số nhân
I- Định nghĩa
II- Số hạng tổng quát
Hoạt động 2:
Đọc hoạt động 1 và cho biết ở ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

Đáp án:

1, 21 , 2 2 , 23 , 2 4 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 210.

NhËn xÐt:
u 2  u1 .22 1 ; u 3  u1 .231 ; u 4  u1 .2 4 1
u 5  u1 .251 ; u 6  u1 .2 6 1 ; ...

Dù ®o¸n: u n  u1 .2n1 , (2  n  64).


Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa
II - Số hạng tổng quát
Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q
thỡ số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

u n  u1 .q n1 , n  2 (2)
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5 và q= -2.

a) Tính u6.
b) Hỏi 1280 là số hạng thứ mấy?
Đáp số:

a) u6 = -160
b) 1280 là số hạng thứ 9.


Củng cố
Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u5 = -17 và u6 = 34. Số
hạng đầu và công bội của cấp số đó là
A. u1 = -17/16, q=-2
B. u1 = -17/16, q= 2
A
C. u1 = 17/16, q= -2
D. u1 = 17/16, q=2
Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u3 = 3 và q = -2. Số
hạng đầu của
cấp số đó là
A. u1=
-3/4
B. u1 =
4/3
C. u1 =
-4/3
D.
3/4
D u1 =


Bài 4: Cấp số nhân
III- Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Hoạt động 3:
Cho cấp số nhân (un) có u1 =-2 và q= -1/ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của nó.
b) So s¸nh u22 víi tÝch u1 .u3 vµ u32 víi tÝch u2 .u4

Đáp án:
1 1
1
a) N¨m sè h¹ng ®Çu: -2, 1, - , , 
2 4
8
b) u22  u1 .u3 ; u32  u2 .u 4

Dù ®o¸n: u2k  u k 1 .u k 1 , k  2. (trõ sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi)


Bài 4: Cấp số nhân
III- Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lý 2:
Nếu (un) là 1 cấp số nhõn thỡ kể từ số hạng thứ hai, bỡnh phương của mỗi số hạng ( trừ số
hạng cuối đối với cấp số nhõn hữu hạn) bằng tớch của hai số đứng kề nú trong dóy.

u2k = u k-1 .u k+1víi k  2.

( hay u k 

u k 1 .u k 1 )

Chứng minh:
Sử dụng công thức (2) với k >1, ta có
u k 1  u1 .q k 2 vµ u k 1  u1 .q k  u k 1 .u k 1  u12 .q 2k 2

 (u1 .q k 1 )2
 u 2k


Bài 4: Cấp số nhân
IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Hoạt động 4:
Gọi tổng số hạt thóc trên 11 ô đầu của bàn cờ là S11. Khi đó
S11  1  2  22  23  ...  210

Và S11 là tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân có u1= 1, q=2.
Ta thấy:
S  1  2  2 2  2 3  ...  210
11

2S11  2  2 2  2 3  2 4  ...  211
 (1  2).S11  1  211  S11
hay

S11

1  211

1 2

u1 (1  q11 )

.
1 q

Bài 4: Cấp số nhân
IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Định lý 3:

Cho cÊp sè nh©n (u n ) víi c«ng béi q  1.
§Æt:
Khi ®ã

S n =u1 +u 2 +u 3 +...+u n
u1 (1  q n )
Sn 
(*)
1 q

Chú ý: Nếu q=1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1 , … và Sn = n.u1.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 4 và q= 3. Tính tổng
của 9 số hạng đầu.
4(1  39 )
Lời giải: áp dụng công thức (*) ta có: S 9 
13
 39364


Bài 4: Cấp số nhân
IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Hoạt động 5:
TÝnh tæng: S  1 

1
1
1
 2  ...  n (1)
3 3
3

?1 Vế phải của (1) là tổng của bao nhiêu số hạng?

?2 Nếu ta coi các số hạng đó theo thứ tự là một dãy số thì dãy
số trên có đặc điểm gì?


Bài 4: Cấp số nhân
IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Hoạt Động 5:

1
1
1
TÝnh tæng: S  1   2  ...  n (1)
3 3
3
Lời giải:
Nhận xét: Tổng trên là tổng của n+1 số hạng đầu của cấp số
nhân có số hạng đầu là 1 và công bội 1/3. Khi đó:
1


1 1  ( ) n 1 

3
 S  3
S 
1
2
1
3

1 n 1 

1

(
) 

3




CỦNG CỐ
Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u1 = -2 và q = 3. Tổng 7 số hạng đầu.
A. 2886

B. 1286

C.
D. 2168
C 2186
Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 4 và S5 = 242. Tỡm công bội q.

A. 5

B. 6

C. 4

D. 3
D


Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có u5 = 7 và u6 = 28. Công bội của
cấp số đó là
A q= -4
A.
B. q= 1/4
C. q= 4
D. q=-1/4


Bài tập
1/ tìm công bội và số hạng đầu của cấp số nhân
thỏa:
u3=15 và x5= 135; x6>0
2/ Cho tứ giác ABCD có (A, B, C, D) tạo thành
1csn và thỏa D=9B
-tính các góc của tứ giác


3/ Cho (a,b,c) là csn.
Chứng minh:

a2+b2+c2=(a+b+c)(a-b+c)