Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11 (9)

SỞ GD ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA
ĐẠO HÀM

GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN VÀ THỰC HIỆN : ĐINH VĂN DŨNG


A. Kiểm tra bài cũ

1) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó

a) Nêu quy tắc tính đạo hàm tại điểm x0 của hàm số
b) Tính đạo hàm tại điểm x0 của hàm số y=f(x)= x3
từ đó suy ra: f’(-1), f’(1), f’(-2) , f’(2)

Trả lời
a) Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa ta thực
hiện hai bước sau:
*

Bước 1:

Tính
trong đó

*

Bước 2:

y theo công thức

y = f(x0 +

x) – f(x0)

x là số gia của biến số tại x0

y
Tìm giới hạn lim
x 0 x


b) Cho x0 một số gia

x khi đó ta có
y=f(x0+ x) - f(x0)
3
3
y= (x0+ x) - (x0)


2
3 3
2
 y= x03+3x0 x+3x0 x + x -x0
 y= x(3x02 +3x0 x +
lim y = lim (3x02 +3x0
x 0 x

x 0
2

x+

x 2)
x 2) = 3x02

Vậy f’(x0) = 3x0 từ đó suy ra: f’(-1) = 3
f’(1) = 3
f’(-2) = 12
f’(2) = 12


2) Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) một cát tuyến (d) đi qua hai điểm
M0(x0;y0) và M(xM;yM) của (C) có hệ số góc là k . Nêu công thức tính k?

Trả lời

Hệ số góc của cát tuyến M0M là:

f(xM) – f(x0)
k= tanj =
xM -x0
y

(C)

f(xM)

M
M0

j

f(x0)
O
(d)

H
x0

xM

x


3. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
2) Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) một điểm M0 cố định thuộc (C) có
hoành độ x0. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu xM là hoành
độ của nó và kM là hệ số góc của cát tuyến M0M.
Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0= lim kM
xM –>x0

Khi đó , ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 là vị trí
giới hạn của cát tuyến M0M khi M di chuyển dọc theo (C) dần đến M0
Đường thẳng MoT được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0
Còn điểm M0 được gọi là tiếp điểm.
Bây giờ giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0.
f(xM) – f(x0)

Chú ý rằng tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có : kM=
xM – x0
Vì hàm số f có đạo hàm tại x0 nên:

Hỏi kM= ?
f(xM) – f(x0)
f’(x0) = lim
= lim kM= k0.
x
–
x
0
xM –>x0 M
xM –>x0


Từ đó ta phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau:

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0;f(x0)).
f’(x0)= k0

Nếu hàm số y=f(x) có đạo
hàm tại điểm x0 thì
phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại điểm
M0(x0;f(x0)) như thế nào?


GHI NHỚ

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(xo;f(xo)) có phương trình

y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)

(I)


Bài toán
viết PT tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
y=f(x) biết :
A
Toạ độ tiếp
điểm
M0(x0; y0 )

B
Hoành độ tiếp
điểm
là x0

y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) (I)

C
Tung độ tiếp
điểm
là y0

D

Hệ số góc của
tiếp tuyến là k

*Tìm đầy đủ các yếu tố x0 , y0 , f’(x0)
có trong công thức (I)
* áp dụng công thức (I)


Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3 biết:
a)Tiếp điểm M0(1;3)
b) Tiếp điểm có hoành độ x0=-1
c)Tiếp điểm có tung độ y0= 8
d) Tiếp tuyến có hệ số góc k0= 12


4. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM

xét sự chuyển động của một chất điểm
Giả sử quãng đường s đi được của nó
là một hàm số s(t)của thời gian t
(s=s(t) còn gọi là phương trình chuyển động của chất điểm
Tương tự như ví dụ mở đầu
s(t0+ t)-s(t0)
Khi / t/ càng nhỏ (khác 0) thì tỉ số
t
Càng phản ánh chính xác độ nhanh
chậm của chuyển động tại thời điểm t0
s(t0+ t)-s(t0)

Người ta gọi giới hạn hữu hạn v(t0)=lim
t
t->0
Nếu có là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0


* Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0(hay vận tốc tại t0) của một
Chuyển động có phương trình s=s(t) bằng đạo hàm của s=s(t)
Tại điểm x0, tức là
v(t0)=s’(t0)
Trở lại ví dụ mở đầu ta có


1 Ví dụ mở đầu

O

PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
CỦA VIÊN BI LÀ :
2

y=f(t)=

gt
2

Giả sử tại thời điểm t0viên bi
ở vị trí M0 có toạ độ y0=f(t0)

tại thời điểm t1 (t1>t0) viên bi
ở vị trí M1 có toạ độ y1 =f(t1)
Trong khoảng thời gian từ t0
tới t1 quãng đường viên bi đi
được là M0M1= f(t1)-f(to)

t= 0

f(to)
f(t1)
(tại to )

MO

f(t1)-f(t0)

(tại t1 )

////////////////////////////

M1

////////////////////////////

f(t1)-f(to)
Tỉ số
là vận tốc trung bình của viên bi
t1-t0
f(t1)-f(to)
lim

là vận tốc tức thời tại t0 hay
t1-t0
t 1 t0


f(t1)-f(to)
= f’(t0) = v(t0)
lim
t1-t0
t1 t0
2
2
1
Trong đó f(t1)-f(t0)= g(t1 –t0) = 1 g(t1 +t0)(t1 –t0)
2
2
Do đó v(t0)=lim 1 g(t1 +t0) =gt0
t1 t0 2

Vậy vận tốc tức thời của viên bi tại t0 là v(t0)= f’(t0)=gt0

H3


BÀI HỌC KẾT THÚC
XIN CHÀO VÀ HẸN GẶP LẠI