Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11 (11)

Chương 5: ĐẠO HÀM

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

28/10/2013

4

1


§ 1 Kh¸i niÖm ®¹o hµm
module 1.

module 2.

module 3.

module 4 :

ví dụ mở đầu

định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

củng cố, luyện tập

Kiểm tra đánh giá.

module 5 : tổng kết bài học, hướng dẫn học bài ở nhà.
28/10/2013

5

2


1: Ví dụ mở đầu.
Bài toán
Từ một vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta
thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu
chuyển động của viên bi.

28/10/2013

3


.
.
.

O

Nếu chọn trục oy theo phương thẳng đứng
chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí
ban đầu của viên bi (tại thời điểm t=0) ta có
phương trinh chuyển động của viên bi là :
y  f (t ) 

1 2

gt
2

g  9,8 m

to

s2

M0
Giả sử tại thời điểm tviên
bi ở vị trí
0
y0  f (t0 )
có toạ độ
t1 (t1  t0viên
) bi ở vị trí
tại thời điểm
có toạ
Mđộ
y1  f (t1 )
1
Trong khoảng thời gian từ
bi đI được quãng đường là :

t 0 đến

28/10/2013

f (t 0 )

M0

f (t1 )

t1

M1

tviên
1

M 0 M 1  f (t1 )  f (t0 )

y

Vận tốc trung bình của viên bi trong thời gian
f (t1 )  f (t0 )
đó là :
t1  t0

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm

tlà0

f (t1 )  f (t0 )
v(t0 )  lim
t1 t0
t1  t0

Trong thực tế nhiều vấn đề của Toán
học, Vật lí, Hoá học … dẫn tới việc tìm
giới hạn

f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0

Trong đó y = f(x) là một hàm số nào
đó.

28/10/2013

5


ThÕ nµo lµ ®¹o
hµm cña hµm sè
t¹i mét ®iÓm ?

28/10/2013

6


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0  (a; b)

* Định nghĩa :
f ( x)  f ( x0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có ) của tỉ số
khi x dần
x  x0
đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0
kí hiệu là f '( x ) hoặc y '( x0 ) nghĩa là:

Hãy định nghĩa đạo
hàm của hàm số tại
một điểm ? f ( x)  f ( x )
0

f '( x0 )  xlim
x
0

0

x  x0

x  x  x0
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
 f '( x0 )  lim
 lim
x x
x 0 x
x  x0
y  f ( x0  x)  f ( x0 )

Đặt 

0

28/10/2013

7


Câu hỏi tình huống
Hai bạn, Quang và Quyền tranh luận. Bạn Quang cho rằng
x*Chú
có nghĩa
ý : là đen ta nhân với x. Bạn Quyền không đồng
x  của
x  xbạn
ý vớiSố
ý kiến
và còn
khẳng
thêmxx
1)
gọiQuang
là số gia
của biến
sốđịnh
tại điểm
y  fdấu
( x0 dương.

x)  f ( x0Theo
) là sốem
luôn mang
nóisốđúng
giahai
củabạn
hàm
ứng sai
vớinhư
số
x
thế nào?
ý kiến của riêng em?
gia x tại điểm
2) Số x không nhất thiết phải mang dấu dương.
0

0

0

3) x, y là những kí hiệu, không phải là tích của 
với x hay với y .

28/10/2013

8

8

* Ví dụ:
• Tính số gia của hàm số

y  x 2 ứng với số gia x của

biến số tại điểm x0 chỉ ra trong các trường hợp sau:

* TH1: x0 = 2

< GV >

Kết quả TH1

* TH2: x0 = -2

< Nhóm 1+3 >

Kết quả nhóm 1+3

x0 = 0

< Nhóm 2+4 >

Kết quả nhóm 2+4

* TH3:
28/10/2013

9

* Kết quả TH1:

f ( x0 )  f (2)  4

f  x0  x    x0  x 
  2  x 

2

2

 4  4x   x 
y  f  x0  x   f  x0   x  x  4 
2

undo
28/10/2013

10


* Kết quả nhóm 1+3:
f ( x0 )  f (2)  4

f  x0  x    x0  x 

2

  2  x 

2

 4  4x   x 

2

y  f  x0  x   f  x0   x  x  4 
Undo
28/10/2013

11


Kết quả nhóm 2+4
f ( x0 )  f (0)  0

f  x0  x    0  x 
  x 

2

2

y  f  x0  x   f  x0    x 

2

Undo

28/10/2013

12


b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa.
Quy
tắc
Từ định nghĩa
đạo
Muốn tính đạohàm
hàmcủa
củahàm
hàmsố
sốtại
y=f(x) tại điểm x0 theo định
nghĩa ta thực hiện
bước
mộttheo
điểmhai
cùng
ví sau:
dụ hãy nêu cách
+ Bước 1:Tính 
thức y  f ( x0  x)  f ( x0 )
y theo
tính
đạo công
hàm theo
trong đó x làđịnh

số gia
của?biến số tại x0
nghĩa
y
x 0 x
y
+ Bước 3: Kết luận: f   x0   lim
x 0 x

+ Bước 2: Tìm giới hạn lim

28/10/2013

13


Luyện tập: (Hoạt động theo nhóm)

Tính đạo hàm của
a) Hàm số y  x tại điểm x0  2 (Nhóm 1+2)
2

b) Hàm số y   x tại điểm x0  2 (Nhóm 3+4)
2

Đáp án (a)

28/10/2013

Đáp án (b)

14


* Đáp án nhóm 1+2 :
* Đặt f ( x)  x 2 ta áp dụng quy tắc đã cho như sau:
* Tính y theo công thức : y  f ( x0  x)  f ( x0 )
y  (2  x) 2  22  x(4  x)

* Tìm giới hạn :

y
x(4  x)
 lim
 lim(4  x)  4
x 0 x
x 0
x 0
x
lim

* Vậy: f '(2)  4

Đáp án (b)

28/10/2013

15

* Đáp án nhóm 3+4 :
Đặt f ( x)   x 2 ta áp dụng quy tắc đã cho như sau:
* Tính y theo công thức: y  f ( x0  x)  f ( x0 )
y  (2  x) 2  (22 )  x(4  x)

y
x(4  x)
* Tìm giới hạn: lim
 lim
 lim  (4  x)  4
x 0
x 0
x 0
x

x

* Vậy: f '(2)  4

Đáp án (a)
28/10/2013

16


Nhận xét : * Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0
thì liên tục tại điểm x0
* Điều ngược lại? Chưa chắc đã đúng: VD hàm số y  x

28/10/2013

17


Kiểm tra 5 phút. Chọn một đáp án đúng.
• Câu hỏi: Cho hàm số y  2x 1
• Đạo hàm của hàm số tại điểm x0  3 là :
(A) -2
(C) 2

(B) -3
(D) 3

ĐÚNG
SAI
SAI RỒI
RỒI
RỒI

28/10/2013

18


• Nội dung cơ bản của tiết học:
- Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
- Mối liên hệ giữa đạo hàm với tính liên tục của
hàm số

- Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:

28/10/2013

19


Quy tắc
•Muốn tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực hiện theo hai bước sau:

+ Bước 1: Tính y theo công thức y  f ( x0  x)  f ( x0 )
Trong đó x là số gia của biến số tại x0
y
x 0 x

+ Bước 2: Tìm giới hạn lim

y
x 0 x

+ Bước 3: Kết luận f   x0   lim

Bài tập về nhà:
Bài tập 1, 2 ( SGK - tr 192).
28/10/2013

20


28/10/2013

21