Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11

NHẮC LẠI BÀI CŨ
Khi nào thì hàm số y = f(x) được gọi là
liên tục tại điểm x0?
Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b)
và x0(a;b). Hàm số f được gọi là liên tục tại
điểm x0 nếu

lim f ( x)  f ( x0 )

x  x0


1. Ví dụ mở đầu: Chuyển động rơi tự do
Từ một vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta
thả một viên bi rơi tự do xuống đất và nghiên cứu
O
chuyển động của viên bi.
●

Chọn trục Oy theo phương
thẳng đứng, chiều dương
hướng xuống đất, gốc O là vị
trí ban đầu của viên bi (tại thời
điểm t=0) và bỏ qua sức cản
của không khí.

f(t0)
(tại t0)

1 2
y = f(t) = gt
2

● M0

(tại t1) ●

Phương trình chuyển động
của viên bi:

 g  9, 8m/s 

f(t1)
M1

2

y


1. Ví dụ mở đầu: Chuyển động rơi tự do
1
2

Phương trình chuyển động của viên bi: y = f(t) = gt 2

Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của viên bi:

f(t1 ) - f(t 0 )
v(t 0 ) = lim
t1  t 0
t1 - t 0
Bài toán: Tìm giới hạn

f(x) - f(x 0 )
lim
x  x0
x - x0

trong đó y= f(x) là hàm số.

g  9,8m/s 
2

O

●

f(t0)
(tại t0) ●M0
(tại t1)● M
1

y

Giới hạn này nếu có và hữu hạn thì được gọi là
đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.

f(t1)


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
(a; b) và x0 thuộc khoảng đó.
f(x) - f(x 0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
khi x
x - x0
dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại
điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là:

f(x) - f(x0 )
f'(x0 ) = lim
x  x0
x - x0


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
CHÚ Ý
1) Số Δx = x – x0: số gia của biến số tại điểm x0 .
Số Δy = f(x0+ Δx)-f(x0): số gia của hàm số ứng với
số gia Δx tại điểm x0.
2) Số Δx không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) Δx, Δy là những kí hiệu, không được nhầm lẫn
rằng: Δx là tích của Δ với x, Δy là tích của Δ với y.
H1. Tính số gia của hàm số y=x3 ứng với

số gia Δx của biến số tại điểm x0 = -1 ?


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực hiện hai bước sau:
*Bước 1: Tính Δy theo công thức Δy = f(x0+Δx)-f(x0)
trong đó Δx là số gia của biến số tại x0.
y
*Bước 2: Tìm giới hạn lim
.
x 0 x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:
a) y = x3 tại điểm x0 = -1.
b) y =|x| tại điểm x0 = 0


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Nhận xét: Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm
x0 thì nó liên tục tại điểm x0.
Chứng minh
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là
f(x) - f(x 0 )
f'(x 0 ) = lim
x x0

x - x0

Ta có

 f ( x)  f ( x0 )

lim  f ( x)  f ( x0 ) lim 
 x  x0   f’(x0).0 = 0
x  x0
x  x0
x  x0



f ( x)  f ( x0 ) hay hàm số f liên tục tại x .
Vậy xlim
0
x
0


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Nhận xét: Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm
x0 thì nó liên tục tại điểm x0.
Chú ý:
* Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì không
có đạo hàm tại điểm đó.

* Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có
đạo hàm tại điểm đó. Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại
x 0= 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này.


3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
y

(C): y = f(x)
kM: hệ số góc của cát
tuyến M0M.
Giả sử tồn tại giới
hạn hữu hạn
k0  lim k M
xM  x0

●M

f(xM)

f(x0)
O

(C)

M0

●

x0

T
H

xM

x

Đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0
là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M di chuyển
dọc theo (C) dần đến M0.
Đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của (C)
tại M0, còn M0 được gọi là tiếp điểm.


3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
H2:Dựa vào kết quả của ví dụ 1, câu a, hãy viết

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3
tại điểm M(-1;-1)?
VD1a: f’(-1) = 3


CỦNG CỐ - HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
*Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm dựa vào
định nghĩa.(Bài 1,2,3/SGK)
*Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x).
(Bài 4,5/SGK)
- Biết toạ độ tiếp điểm.
- Biết hoành độ (hoặc tung độ) của tiếp điểm.

-Biết hệ số góc của tiếp tuyến. (k = f’(x0))