Bài giảng bài thể tích khối đa diện hình học 12 (5)

* Thế nào là thể tích của một khối đa diện?
Thể tích khối đa diện là số đo độ lớn phần không
gian mà nó chiếm chỗ.
A

B

A

C

D
B

B’
A’

D

C’
D’

C


1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện?
Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện (H) có thể
tích là một số dương V(H) ,thỏa mãn các tính chất
sau đây:
1) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì:

V(H)=1
2) Nếu Hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì:
V(H1) = V(H2)

3) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai
khối đa diện (H1) và (H2) thì: V(H)=V(H1)+ V(H2)


B

C

A

D

B’
A’

1

1 x 1 x 1 = 1 (Đơn vị thể tích)

C’
1

1

D’

N

B

P

M

A

Q
N’

D
B’

P’

D’

V1

V2

M

A

Q

N

P

V1

V1 = V2

C’

A’

Q’

M’

C

D

B

C
V2

V1 = V2


D’

A’

D’

C’
A’

B’

D

C’
B’

D

C

C

A

A

V1

B

B

V = V1 + V2

V2

E

E

D

D

C

A

B

F

C

A

B

F


Ví dụ: Tính thể tích khối hộp chữ nhật (H) có 3 kích

thước là những số nguyên dương?

V(H)=5.4.3=60
V(H)=?

3 4
5
Vấn đề Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật ?


2. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
Định lý: Tính thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba
kích thước của nó.

V=a.b.c
Hệ quả: Tính thể tích khối hộp lập phương có cạnh
bằng a là:

3
V=a
Ví dụ 1: Cho khối bát diện đều có cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật có các đỉnh là trung điểm của
các cạnh của khối bát diện đều.
b) Tính thể tích khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm của các
mặt của khối bát diện đều.


3 Thể tích khối chóp:
Định lý 2: Thể tích của một khối chóp có diện tích
đáy B và chiều cao h là:

1
V  Bh
3

E

Ví dụ 2:
a)Tính thể tích khối bát diện đều
có cạnh bằng a.
b) Tính thể tích khối tứ diện đều
có cạnh bằng a.

O

D

A

A

C

B
a

F

D
C

H

B


4 Thể tích khối lăng trụ:
Ta có, thể tích khối hộp chữ nhật:

V=a.b.c = Diện tích đáy x chiều cao
Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và
B
chiều cao h là:

V=B.h

C
E

D
B’

c b

A’

a

E

H C

’
D


A'

Ví dụ 3: Tinh thể tích khối lăng trụ
tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam
giác đều cạnh bằng a. Biết đỉnh A’
cách đều 3 đỉnh A, B, C và cạnh AA’
tạo với đáy một góc 45o.

C'

B'

45o
C

A
O
B

Giải: Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC canh a.
Theo bài ra: A’ cách đều 3 đỉnh A, B, C và cạnh AA’ tạo
với đáy một góc 45o nên ta có A’O(ABC) và:
1
3
 VABC.A 'B'C'  SABCA 'O
A 'O  AO  a

3
3
1 2 3
3 a3
 .a
.a

3
4
3
12


4. Thể tích khối lăng trụ:
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam
giác ABC.A’B’C’. Gọi E và F lần
E
lượt là trung điểm của các cạnh
AA’, BB’. Đường thẳng CE cắt
F
đường thẳng C’A’ tại E’, đườngE'
thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại
F’. Gọi V là thể tích khối lăng trụ
F'
đó.
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
b) Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABFE. Tính tỉ
số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’
A

C

B

A'

B'

C'


Vấn đề 1: Tính thể tích của một khối đa diện
1. Phương pháp giải:
a) Chia KĐD đã cho thành các khối lăng trụ hoặc khối
chóp đơn giản hơn.
b) Ghép thêm vào KĐD đã cho các khối đa diện quen
biết để được một KĐD đơn giản hơn.
c) Tìm tí số thể tích giữa KĐD đã cho với một KĐD đã
biết thể tích
2. Ví dụ:
1. Cho khối hộp chưa nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh
AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm
của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp đó
thành hai khối đa diện (H), (H’), trong đó (H) là khối đa
diện chứa đỉnh A’. Tìm thể tích của (H) và (H’).


Vấn đề 1: Tính thể tích của một khối đa diện
1. Phương pháp giải:

2. Ví dụ:
a) Chia KĐD đã cho thành
2. Cho hình lăng trụ
các khối lăng trụ hoặc ABC.A’B’C’ có A’.ABC là
khối chóp đơn giản hơn. hình chóp tam giác đều,
b) Ghép thêm vào KĐD đã cạnh đáy, cạnh bên . Gọi 
cho các khối đa diện là góc giữa hai mặt phẳng
quen biết để được một (ABC) và (A’AB). Tính tan
KĐD đơn giản hơn.
và thể tích khối chóp
c) Tìm tí số thể tích giữa A’BB'C’C.
KĐD đã cho với một
KĐD đã biết thể tích


Vấn đề 2: Dùng cách tính thể tích để giải một số bài
toán hình học.
1. Phương pháp giải:
2. Ví dụ:
a) Tính các đại lượng hình
1. Cho hình chóp S.ABC
học của KĐD theo thể có đáy là tam giác vuông ở
tích của KĐD ấy.
B. Cạnh SA vuông góc với
b) Dùng 2 cách tính thể tích đáy.
của cùng một KĐD rồi so
Biết
rằng
AB=a,
sánh chúng với nhau để SA=b.

rút ra đại lượng hình học Tính khoảng cách từ A đến
cần tìm.
mặt phẳng (SBC).


Vấn đề 2: Tìm tỉ số thể tích KĐD.
2. Ví dụ:
1. Phương pháp giải:
a) Tính thể tích cúa từng
1. Cho hình chóp tứ giác
KĐD rồi lập tỉ.
đều S.ABCD. Mặt phẳng (P)
b) Sử dụng chú ý với công qua A và vuông góc với SC
thức:
cắt SB, SC, SD lần lượt tại
B’, C’, D’. Biết rằng AB=a,
VS.A 'B'C' SA' SB' SC'
SB’/SB=2/3.

v S.ABC
SA SB SC
a)Tính tỉ số thể tích của 2
khối chóp S.AB’C’D’ và
S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối
chóp S.A’B’C’.