Bài giảng: Thể tích khối đa diện (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

§4 Thể tích khối đa diện

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu

• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận

2


được giải đáp.

3


Đ4

T hể tích của khối đa diện
bài giảng theo chơng trình chuẩn

1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Định nghĩa
Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dơng có các tính chất sau:
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
b. Nếu một khối đa diện đợc phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể
tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
c. Khối lập phơng có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
2. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Định lÝ 1: ThĨ tÝch cđa mét khèi hép ch÷ nhËt b»ng tÝch sè cđa ba kÝch thíc.

Nh vËy:
 Víi khèi hộp chữ nhật có ba kích thớc là a, b, c thì:
V = abc.
Khối lập phơng có cạnh bằng a thì:
V = a3.
Thí dụ 1: Tổng diện tích các mặt của hình lập phơng bằng 96. Tính thể tích của

khối lập phơng đó.



Giải

Gọi a là cạnh của hình lập ph¬ng, ta cã:
6a2 = 96 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = 4.
Khi đó, thể tích của khối lập phơng đó là:
V = a3 = 43 = 64 (đvtt).

Hoạt động

1. Tổng diện tích các mặt của hình lập phơng bằng 24.
Tính thể tích của khối lập phơng đó.

2. Diện tích mặt chéo của hình lập phơng bằng

2 . Tính

thể tích của khối lập phơng đó.

Thí dụ 2: Ba kích thớc của một hình hộp chữ nhật làm thành cấp số céng cã céng

sai lµ 2 vµ tỉng cđa ba kÝch thớc đó bằng 12. Tính thể tích của hình hộp.



4

Giải
Gọi a, b, c là ba kích thớc của hình hộp ch÷ nhËt, ta cã:
b = a + 2
b = a + 2
a = 2




⇔ c = 2 + 4
⇔ b = 4 .
c = 2 + 4
a + b + c = 12
a + (a + 2) + (a + 4) = 12
c = 6





Khi đó, thể tích của khối hộp chữ nhật đó là:
V = abc = 2.4.6 = 48 (đvtt).
Hoạt động

Ba kích thớc của một hình hộp chữ nhật làm thành cấp sè
céng cã céng sai lµ 2 vµ cã tỉng b»ng 14. TÝnh thĨ tÝch cđa
h×nh hép.

ThÝ dơ 3: TÝnh thĨ tích của khối lập phơng có các đỉnh là trọng tâm các mặt của

một khối tám mặt đều cạnh a.



Giải
Giả sử với khối bát diện đều SABCDS1, gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm các tam giác
SAD và SCD thì đoạn MN là một cạnh của khối lập phơng.

Gọi M', N' theo thứ tự là trung điểm AD vµ CD, ta cã:
S
MN
SM 2
2
2 1
a 2
=
= ⇔ MN = M ' N ' = . AC =
.
N
M
M ' N ' SM ' 3
3
3 2
3
B
O
C
N'
A
Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi lập phơng đó là:
M' D
3

a 2
2a 3 2
V = MN =
(đvtt).
ữ =

3 ữ
27


3

Hoạt động

S1

Tính thể tích của khối lập phơng có các đỉnh là trọng tâm
các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a 2 .

3. Thể tích của khối chóp

Định lí 2: Thể tích của khối chóp bằng

1
tích của diện tích đáy và chiều cao.
3

Nh vậy, với khối chóp có diện tích đáy bằng b vµ chiỊu cao b»ng h ta cã:
V=

1
3

b.h.

ThÝ dơ 4: TÝnh thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.

Giải
Xem tứ diện đều ABCD nh là hình chóp đỉnh A và đáy là tam giác đều BCD có
cạnh bằng a.
Gọi G là trọng tâm BCD, ta có:
AG (BCD),
A
2
2
a 3
2

a 6
AG2 = AD2 − GD2 = AD 2 −  DE ÷ = a 2 − 
 3 ÷= 3 .
÷
3




B
D
Khi ®ã, ta cã:
G
2
3
E

1
1 a 3 a 6
a 2
V = S ∆BCD .AG = .
=
.
.
C
3
3 4
3
12
5




Chú ý: Các em học sinh hÃy ghi nhớ công thức này để có thể thực hiện nhanh bài
tập trắc nghiệm.
Hoạt động
1. Tính thể tích của khối tứ diện đều, biết diện tích toàn
phần của nó bằng a 2 3 .
2. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ®Ịu, biÕt khoảng cách từ
một đỉnh đến mặt đối diện của nó b»ng 2a 6 .
3. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lơc diện đều cạnh a.
Thí dụ 5: Tính thể tích của khối tám diện đều cạnh a.



Giải

Với khối tám diện đều SABCDS1, chóng ta chia nã thµnh hai khèi chãp tø giác đều
S.ABCD và S1.ABCD cạnh a.
S
Gọi O là tâm hình vu«ng ABCD, ta cã:
2

1

SO2 = SA2 − OA2 = SA 2 −  AC ÷
2


2

A

B

C

O
D

a 2 
a 2
= a −
=
.
 2 ữ
ữ

2


S1
Khi đó, ta có:
1
2
a 2
a3 2
V = 2VS.ABCD = 2. .S ABCD .SO = .a 2 .
=
.
3
3
2
3
Hoạt động
1. Tính thể tích của khối tám diện đều, biết diện một mỈt
cđa nã b»ng a 2 .
2. TÝnh thĨ tÝch cđa khối mời hai diện đều cạnh a.
2

4. Thể tích của khối lăng trụ
Định lí 2: Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

Nh vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy bằng b vµ chiỊu cao b»ng h ta cã:
V = b.h.
ThÝ dụ 6: Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và

diện tích xung quanh bằng 480. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

6

Giải
Gọi h là độ dài đờng cao của lăng trụ, ta cã:
Sxq = h.CV® ⇔ 480 = h(37 + 13 + 30) h = 6.
Gọi S là diện tích đáy vµ p lµ nưa chu vi cđa nã, ta cã:
1
p = (37 + 13 + 30) = 40.
2
S = p(p − 37)(p − 13)(p − 30) = 40.3.27.10 = 180.


Khi đó, ta có:
V = S.h = 180.6 = 1080.
Hoạt động
1. Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh
đáy bằng 3, 4, 5 và diện tích xung quanh bằng 72.

2. Một khối lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình chữ nhật
cạnh bằng 2, 6 và diƯn tÝch mét mỈt chÐo b»ng 20. TÝnh
thĨ tÝch khèi lăng trụ đó.

Thí dụ 7: Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh bằng a, góc nhọn bằng

600. Tính thể tích của hình hộp.

Giải
Với hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' thỏa mÃn điều kiện đầu bài (các góc phẳng ở
đỉnh A bằng 600), ta có nhận xét A.A'BD là hình chóp đều cạnh a nên:
2

2

A'H = A'A AH = A ' A −  .AO ÷
3

2

2

D'

2

2

2

a 3
2a 2
= a
=
3 ữ
ữ
3

C'

2

B'
D

a 6
.
3
Thể tích V của lăng hộp ®ỵc cho bëi:

⇔ A'H =

V = SABCD.A'H = 2S∆ABD.A'H = 2.

A'

C
a

2

O

H

A

B

3

3 a 6
a 2
=
.
.
4
3
2

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.200.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
7


bài tập lần 1

Bài tập 1: Khi độ dài cạnh của hình lập phơng tăng thêm 2cm thì thể tích của nó

tăng thêm 98cm3. Tính độ dài cạnh của hình lập phơng đà cho.
Bài tập 2: Các đờng chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng 5 , 10 ,
13 . Tình thể tích của hình hộp đó.
Bài tập 3: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc . Tính thể tích của hình chóp đó.
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của
một mặt bên b»ng 2 . TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp.
Bµi tËp 5: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lợt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện.
a. Kể tên bốn khối tứ diƯn ®ã.
b. Chøng tá r»ng bèn khèi tø diƯn ®ã cã thÓ tÝch b»ng nhau.
c. Chøng tá r»ng nÕu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên
bằng nhau.
Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABC có đờng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân
AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đờng cao hạ từ A cđa ∆SAC.
a. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABC.
b. Chøng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C').
c. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc
AC
. Gọi CM là đờng cao của SAC. Chứng minh rằng M là
đoạn AC, AH =
4
trung điểm của SA và tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC theo a.
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp

S.CDNM vµ khoảng cách giữa hai đờng thẳng DMvà SC theo a.
Bài tập 9: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều cao
của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 10: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng sáu trung điểm của
sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng
đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài tập 11: Cho khối lăng trục đứng ABC.A 1B1C1 có đáy là tam giác ABC vuông
Ã
tại A, AC = b, ACB = 600. Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) một góc 300.
a. Tính độ dài đoạn thẳng AC1.
b. Tính thể tích khối lăng trụ đà cho.
8


Bài tập 12: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên

tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Tính thể tích khối lăng
trụ.
Bài tập 13: Tính thĨ tÝch cđa khèi hép ABCD.A'B'C'D' biÕt r»ng A.A'B'D' lµ khối
tứ diện đều cạnh a.
Bài tập 14: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h.
Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB', CC' tại A1, B1 và C1. Biết AA1 = a,
BB1 = b, CC1 = c.
a. TÝnh thÓ tÝch hai phần của khối lăng trụ đợc phân chia bởi mặt phẳng (P).
b. Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
Bài tập 15: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a,
điểm A1 cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA 1 tạo với mặt phẳng đáy một góc
600.
a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b. Chứng minh rằng mặt phẳng bên BCC'B' là một hình chữ nhật.

c. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A 1B1C1 (tổng đó gọi
là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đà cho).
Bài tập 16: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc
 = 600. Chân đờng vuông góc hạ từ B 1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai
đờng chéo của đáy. Cho BB1 = a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b. Tính thể tích hình hộp.
Bài tập 17: Cho hình lập phơng có cạnh bằng a. Tính thể tích của khối tám mặt
đều mà các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phơng đà cho.
Bài tập 18: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi E và F lần lợt là
trung điểm của BC và CD.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A1EF) và hình lập phơng.
b. Tính thể tích hai phần của hình lập phơng do mặt phẳng (A1EF) cắt ra.
Bài tập 19: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B và AB = a.
Cạnh SA = b và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài tập 20: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng
tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều
bằng a?
Bài tập 21: Một khối mời hai mặt đều H có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó
bằng S. Tính tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến các mặt của nó.
Bài tập 22: Gọi x1, x2, x3, x4 là khoảng cách từ điểm M tuỳ ý nằm trong tứ diện
ABCD đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC), còn h 1, h2, h3, h4 là các đờng
cao tơng ứng với các đỉnh A, B, C, D của tø diÖn. Chøng minh r»ng:
x1 x 2 x 3 x 4
+
+ +
= 1.
h1 h 2 h 3 h 4

9


Bµi tËp 23: Cho tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch bằng V. Gọi B' và D' lần lợt là trung

điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần. Tính
thể tích mỗi phần đó.
Bài tập 24: H·y chia mét khèi tø diƯn thµnh hai khèi tø diƯn sao cho tØ sè thĨ tÝch
cđa hai khèi tø diƯn nµy b»ng mét sè k > 0 cho trớc.
Bài tập 25: Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB.
Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của phần
đó.
Bài tập 26: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm cạnh
AA'. Mặt phẳng đi qua M, B', C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích của hai phần đó.
Bài tập 27: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đờng thẳng SA, SB, SC lần lợt
lấy ba điểm A', B', C' khác với S. Gọi V và V' lần lợt là thể tích của các khối chóp
S.ABC và S.A'B'C'. Chøng minh r»ng

V SA SB SC
=
.
.
.
V ' SA ' SB ' SC '

Bµi tËp 28: Khèi chãp S.ABCD cã đáy là hình bình hành, M là trung điểm cạnh

SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần.
Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài tập 29: Chứng minh rằng nếu có phép đồng dạng tỉ số k biến tứ diện ABCD
thành tứ diện A'B'C'D' thì

VA'B'C'D'
= k3.
VABCD

Bài tập 30: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm

của AB, AD và SC.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp.
b. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp đợc phân chia bởi mặt phẳng (MNP).

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.
bài giảng nâng cao
Bài toán 1: Thể tích khối hộp chữ nhật.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kết quả:
Với khối hộp chữ nhật có ba kích thớc là a, b, c thì:
V = abc.
Khối lập phơng có cạnh bằng a thì:
V = a3.
Ví dụ 1:
Khi độ dài cạnh của hình lập phơng tăng thêm 2cm thì thể tích của nó

tăng thêm 98cm3. Tính độ dài cạnh của hình lập phơng đà cho.
10


 Híng dÉn: ThiÐt lËp biĨu thøc ®iỊu kiƯn cđa V V = 98.

Giải
Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phơng và V, V' theo thứ tự là thể tích của hình lập
phơng ban đầu, hình khi tăng.
Ta có:
98 = V' V = (a + 2)3 − a3 = 6a2 + 12a + 8
a >0
⇔ a2 + 2a + 15 = 0 ⇔ a = 3cm.
Vậy, hình lập phơng có cạnh bằng 3cm thỏa mÃn điều kiện đầu bài.

Các đờng chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng
13 . Tình thể tích của hình hộp đó.

Ví dụ 2:

5,

10 ,

Hớng dẫn: Thiết lập hệ phơng trình về ba độ dài a, b, c của khối hộp chữ nhật theo các
đờng chéo. Từ đó, nhận đợc thể tích của nó.



Giải
Gọi a, b, c là ba kích thớc của hình hộp chữ nhật, ta có:
a 2 + b 2 = 5
a = 2
 2



2
b + c = 10 ⇔  b = 1 .
 2
c = 3
2


c + a = 13
Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khối hộp chữ nhật đó là:
V = abc = 2.1.3 = 6 (đvtt).
Vậy, hình hộp có thể tích bằng 6 (đvtt).

Bài toán 2: Thể tích khối chóp.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kết quả với khối chóp có diện tích đáy bằng b và chiều cao bằng h ta có:
1
V=
b.h.
3
Để tính đợc thể tích của hình chóp ta thờng thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc giữa đờng thẳng
với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ...) theo các phơng pháp đà biết.
Bớc 2:
Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính.
Bớc 3:
Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam
giác, tính chất đồng dạng ...
Bớc 4:

Suy ra giá trị của V.

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc . Tính thể tích của hình chãp ®ã.
VÝ dơ 1:

11


 Híng dÉn: Thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1:

Bíc 2:
Bíc 3:
Bớc 4:



Xác định đờng cao cho hình chóp dựa vào tính chất của hình
chóp tam giác đều. Từ đó, suy ra góc giữa cạnh bên với mặt
phẳng đáy.
Thiết lập công thức tính thể tích của hình chóp.
(1)
Tính toán các giá trị trong (1) bằng việc sử dụng các kiến thức về
hệ thức lợng trong tam giác vuông.
(2)
Thay (2) vào (1) để nhận đợc kết quả cần tìm.

Giải
Gọi G là trọng t©m ∆ABC, suy ra:

·
SG ⊥ (ABC) ⇒ SAG = α;
S
·
SG = SA.sin SAG = b.sinα;
2
·
AG = SA.cosSAG ⇔ AE = b.cosα
B
3
G
E
2 AB 3
⇔ .
= b.cosα ⇔ AB = b 3.cosα
C
3
2
AB 2 3
3b 2 3cos2 α
⇒ S∆ABC =
=
.
4
4
Khi ®ã, ta cã:
1
1 3b 2 3cos 2 α
3 3
V = S ∆ABC .SG = .

.b.sin α =
b .cos2 α.sin α .
3
3
4
4

(α A

Cho h×nh chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của
một mặt bên bằng 2 . Tính thĨ tÝch cđa khèi chãp.
VÝ dơ 2:

 Híng dÉn: Tham khảo ví dụ 1.
Giải
Trớc tiên, ta lần lợt có:
SABCD = AB2 = 4 ⇔ AB = 2.
1
2S
S∆SAB = SN.AB ⇔ SN = ∆SAB =
2
AB
2
2
2
SO = SN − ON = 2 − 1 = 1.
Khi ®ã, ta cã:
1
1
4

V = S ∆ABCD .SO = .4. 1 = .
3
3
3

S
2
C

D

B
O

A

N

Cho khèi tø diÖn ABCD, E và F lần lợt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khèi tø diƯn ABCD thµnh bèn khèi tø diƯn.
VÝ dô 3:

12


a. Kể tên bốn khối tứ diện đó.
b. Chứng tỏ r»ng bèn khèi tø diƯn ®ã cã thĨ tÝch b»ng nhau.
c. Chøng tá r»ng nÕu ABCD lµ khèi tø diƯn đều thì bốn khối tứ diện nói trên
bằng nhau.

Hớng dẫn: Xem lại kiến thức trong bài học 2.
Giải
a. Bốn khối tứ diện đó là ACEF và ADEF; BCEF và BDEF.
b. Từ kết quả "Mặt phẳng qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ
diện sẽ phân chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện có thể tích bằng nhau".
A
Do đó, với V là thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD th×:
V
E
VACDE = VBCDE = .
2
C
B
1
V
VACEF = VADEF = VACDE = ;
2
4
F
1
V
VBCEF = VBDEF = VBCDE = .
D
2
4
VËy, bèn khèi tø diƯn ACEF vµ ADEF; BCEF vµ BDEF cã thĨ tÝch b»ng nhau.
c. NÕu ABCD là khối tứ diện đều thì EF là trục đối xứng của tứ diện. Từ đó, ta có
nhận xét:
ACEF là ảnh của ADEF qua phép đối xứng qua mặt (ABF)
ACEF = ADEF.

BCEF là ảnh của BDEF qua phép đối xứng qua mặt (ABF)
BCEF = BDEF.
ACEF là ảnh của BDEF qua phÐp ®èi xøng trơc EF
⇒ ACEF = BDEF.
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra bèn khèi tø diƯn b»ng nhau.

(1)
(2)
(3)

Cho khèi chãp S.ABC cã ®êng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân
AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đờng cao hạ từ A của SAC.
a. Tính thể tÝch khèi chãp S.ABC.
b. Chøng minh r»ng SC vu«ng gãc với mặt phẳng (AB'C').
c. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
Ví dơ 4:

 Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thøc trong phÇn phơng pháp giải toán.
Giải

S

a. Ta có:

C'
A

B'

B

C
13


VS.ABC =

1
1 a2
a3
SA.S ∆ABC = .a.
=
.
3
3 2
6

b. Ta cã:
BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB'.

BC ⊥ SA

(1)

Ngoµi ra, vì SAB cân tại A nên:
SB AB'.
Từ (1) vµ (2) suy ra:

(2)

AC ' ⊥ SC

AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (AB'C'), ®pcm.
c. Tõ kÕt quả câu b), ta có:
1
1
VS.AB'C' = SC '.S AB'C ' = .SC '.AB '.B 'C ' .
3
6
Trong SAB vuông cân tại A, ta lần lợt có:
1
a 2
AB' = SB' = SB =
.
SB = a 2 ,
2
2
Trong SAC vuông tại A, ta lần lợt có:
SC2 = SA2 + AC2 = SA2 + AB2 + BC2 = 3a2 ⇔ SC = a 3 ,
a2
a 3
SA 2
2
=
SA = SC'.SC ⇒ SC ' =
=
,
3
SC

a 3
a 2
B 'C ' SB '
6 ⇒ B'C' = a 6 .
=
= 2 =
6
BC
SC a 3
6
Thay (4), (5), (6) vµo (3) ta đợc:
a3
1 a 3 a 2 a 6
VS.AB'C' = .
=
.
.
.
36
6 3
2
6

(3)

(4)

(5)
(6)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc
AC
. Gọi CM là đờng cao của SAC. Chứng minh rằng M là
đoạn AC, AH =
4
trung điểm của SA vµ tÝnh thĨ tÝch khèi chãp tø diƯn SMBC theo a.
Ví dụ 5:

Hớng dẫn: HÃy phác thảo hình vẽ, rồi ta lần lợt:
1. Để chứng minh M là trung điểm của SA ta đi chứng minh:

SCA cân tại C SC = AC.
Và để có đợc khẳng định trên chúng ta đi tính độ dài của SC và AC
dựa theo hệ thức lợng trong các tam giác vuông SAH và SCH.
2. Để tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC chóng ta sư dơng nhËn xÐt:
1
VMABC = VMSBC = VSABC .
2

14




Giải Bạn đọc tự vẽ hình.
a. Chứng minh M là trung điểm của SA: Ta có
2

a 2

a 14
.
SH = SA − AH = a − 
÷ =
 4 ÷
4


2

2

2

2

14a 2  3a 2 
32a 2
+
= a 2 = AC.
SC = SH + CH =
÷ =
16  4 ÷
16


Suy ra SCA cân tại C nên M là trung điểm của SA.
2

2

b. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp tø diƯn SMBC: Tõ M ta hạ K vuông góc với AC, nên :
1
KM = SH.
2
Ta cã :
1
1  1  a 14 a 3 14
VSABC = SH.S∆ABC =  a ÷
=
.
3
3 2  4
24
Từ đó:
1
a 3 14
VMABC = VMSBC = VSABC =
.
2
48

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp
S.CDNM vµ khoảng cách giữa hai đờng thẳng DMvà SC theo a.
Ví dơ 6:

 Híng dÉn: C¸c em häc sinh cã thĨ thÊy:
1. Víi khèi chãp S.CDNM, ta cã ngay:

1
VS.CDNM = SCDNM .SH.
3
Trong đó, độ dài của SH đà biết nên công việc còn lại chỉ là tính diện
tích tứ giác CDNM một tứ giác không mẫu mực. Với trờng hợp nµy
ta cã thĨ lùa chän mét trong hai híng:
Híng 1: Tách tứ giác CDNM thành các hình cơ bản, thí dơ:
SCDNM = S∆CDN + S∆CNM.
Híng 2: Nhóng tø gi¸c CDNM trong một hình cơ bản, thí dụ:
SCDNM = SABCD (SAMN + SBCM)
Với bài toán này ta sẽ đi chọn hớng 2 bởi các hình cơ sở trong đó là
hình vuông, tam giác vuông có độ dài cho trớc.
2. Để tính khoảng cách giữa DM và SC, chúng ta chỉ cần thực hiện:
Tìm đoạn vuông góc chung của DM và SC, cụ thể với các em học
sinh có kiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng:

15


DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ (SHC) ⇒ DM ⊥ SC
Suy ra, chỉ cần dựng HK vuông góc với SC chúng ta nhận đợc:
d(DM, SC) = HK.
Để tính HK ta sử dụng công thức đờng cao trong SHC vuông tại H,
cụ thể:
1
1
1
=
+
.

2
2
HK
HS HC2
Trong công thức trên, ta cần tính thêm độ dài của CH dựa vào công
thức hình chiếu trong CDN vuông tại D.



Giải
a. Tính thể tích khối chóp S.CDNM: Ta cã:
1
VS.CDNM = SCDNM .SH.
3
Trong ®ã SH = a 3 vµ:

(1)
S

SCDNM = SABCD − (S∆AMN + S∆BCM)
1
1

= AB2 −  AM.AN + BC.BM ÷
2
2



K

1 1  5a 2
1 1 1
= a −  . a. a + a. a ữ =
.
2 2
8
2 2 2

A

(2)

2

B

Từ đó, bằng cách thay (2) vào (1) ta đợc:

M

N

D

H

C
1 5a 2
5a 3 3

VS.CDNM = .
.a 3 =
.
3 8
24
b. Tính khoảng cách giữa DM và SC: Trong mặt phẳng (SHC) hạ HK SC, ta cã nhËn
xÐt r»ng:
·
·
∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ (SHC)
⇒ DM ⊥ HK HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
Trong ∆SHC, ta cã:
1
1
1 ⇔ HK = HS.HC .
=
+
2
2
HK
HS HC 2
HS2 + HC2

(3)

Trong ∆CDN, ta cã:
CD = CH.CN ⇔ HC =
2

CD 2

CD 2 + DN 2

Từ đó, bằng cách thay (4) vào (3) ta đợc:

16

=

a2
a2 +

2

a
4

=

2a
.
5

(4)


a 3.
HK =

( a 3)

2

2a
5
2

2a
+
ữ
5

=

2a 57
.
19

Bài toán 3: Thể tích khối lăng trụ.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kết quả với khối lăng trụ có diện tích đáy b»ng b vµ chiỊu cao b»ng h ta cã:
V = b.h.
Để tính đợc thể tích của hình lăng trụ ta thờng thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc giữa đờng thẳng với
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ...) theo các phơng pháp đà biết.
Bớc 2:
Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính.
Bớc 3:
Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam

giác, tính chất đồng dạng ...
Bớc 4:
Suy ra giá trị của V.
Ví dụ 1:
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều cao của

khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Tính thể tích khối lăng trụ.

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
Giải

Gọi h là độ dài đờng cao của lăng trụ, ta có:
V = S.h.
(1)
Ta có:
1
76
h = (19 + 20 + 37) =
.
(2)
3
3
Gäi S lµ diƯn tÝch đáy và p là nửa chu vi của nó, ta cã:
1
p = (10 + 20 + 37) = 38.
2
S = p(p − 19)(p − 20)(p − 37) = 38.19.18.1 = 114.
(3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
76

V=
.114 = 2888.
3
Ví dụ 2:
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng sáu trung điểm của
sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng
đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Hớng dẫn: Xem lại kiến thức trong bài học 2.
Giải
17


a. Gäi M, N, I, J, K, E theo thø tự là trung điểm của sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A'
và A'A.
Nhận xét rằng:
D'
J
C'
K
MN, EF, KJ đôi một song song víi nhau (v× chóng
A'
cïng song song víi AC).
B' I
M, O, I thẳng hàng.
O
Từ đó, suy ra các điểm M, N, I, J, K, E đồng phẳng.
E
D
C

b. Từ kết quả câu a), ta thấy mặt phẳng (MNIJKE) đi qua tâm
N
đối xøng O cđa khèi hép nªn (MNIJKE) chia khèi hép thành
A
B
M
hai phần có thể tích bằng nhau.

Cho khối lăng trục đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác ABC vuông
Ã
tại A, AC = b, ACB = 600. Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) một góc 300.
c. Tính độ dài đoạn thẳng AC1.
d. Tính thể tích khối lăng trụ đà cho.
Ví dụ 3:

 Híng dÉn: Thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1:
Bíc 2:

X¸c định góc giữa cạnh BC1 với mặt phẳng (AA1CC1) bằng việc
sử dụng điều kiện BA(AA1CC1).
Ta lần lợt:
Với câu a), để tính độ dài AC1 hệ thức lợng trong tam giác
vuông ABC1.
Với câu b), thiết lập công thức tính thể tích của hình lăng trụ,
cụ thể:
V = CC1.SABC =

1
AB.AC.CC1.

2

(1)

Tính toán các giá trị trong (1) bằng việc sử dụng các kiến
thức về hệ thức lợng trong tam giác vuông.
(2)
Thay (2) vào (1) để nhận đợc kết quả cần tìm.



Giải
a. Trong ∆ABC, ta cã:
·
AB = AC. tan ACB = b.tan600 = b 3 .
B1
C1
Trong ∆ABC1, ta cã:
A1
·
AC1 = AB. co t AC1B = b 3 .cot300 = 3b.
b. Trong ∆ACC1, ta cã:
C1C2 = C1A2 − CA2 = 9b2 − b2 = 8b2 ⇔ CC1 = 2b 2 .
B
C
Tõ ®ã, suy ra:
1
1
A
V = AB.AC.CC1 = b 3 .b. 2b 2 = b 3 6 .

2
2
Ví dụ 4:
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo
với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
18


Hớng dẫn: Từ các giả thiết:

"Độ dài các cạnh đáy" bằng việc sử dụng công thức Hêrông chúng ta
nhận đợc diện tích đáy.
(1)
"Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8"
chúng ta nhận đợc đồ dài đờng cao của lăng trụ.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra thể tích của lăng trụ.





Giải
Gọi h là độ dài đờng cao của lăng trụ, ta có:
V = S.h.
Gọi H là hình chiếp vuông góc của A1 xuèng (ABC), ta cã:
1
·
A1 AH = 300 ⇒ h = A1H = AA1 = 4. (2)
2

Gäi S lµ diƯn tích đáy và p là nửa chu vi của nó, ta cã:
1
p = (13 + 14 + 15) = 21.
A
2

(1)
A1
B1

C
H

p(p − 13)(p − 14)(p − 15)

S=

C1

= 21.8.7.6 = 84.
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
V = 84.4 = 336.

B

(3)

Tính thể tÝch cđa khèi hép ABCD.A'B'C'D' biÕt r»ng A.A'B'D' lµ khèi
tø diện đều cạnh a.
Ví dụ 5:

Hớng dẫn: Sử dụng giả thiết A.ABD là khối tứ diện đều ta đợc:



AG là đờng cao của khối hộp, với G là trọng tâm ABD.
Khi đó:
V = AG.SA'B'C'D' = 2AG.SA'B'D' = 2AG.



Giải
Gọi G là trọng tâm A'B'D'.
Từ giả thiết suy ra:
AG(A'B'D'),

A 'B'2 3
4

D

A
B

C
2

a 3
2a 2
a −

AG = A'A − A'G =
 3 ÷ = 3
÷


2

2

2

2

a 6
C'
⇔ AG =
.
3
Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khối hộp ABCD.A'B'C'D' đợc cho bởi:

D'
O

G

A'

B'

19

V = AG.SA'B'C'D' = 2AG.S∆A'B'D' = 2.

a 6 a2 3
a3 2
=
.
.
3
4
2

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h.
Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB', CC' tại A1, B1 và C1. BiÕt AA1 = a,
BB1 = b, CC1 = c.
c. TÝnh thể tích hai phần của khối lăng trụ đợc phân chia bởi mặt phẳng (P).
d. Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
VÝ dơ 6:



Gi¶i

a. Gi¶ sư a ≤ b ≤ c. Khi ®ã qua A1 dùng thiÕt diƯn (A1B2C2) // (ABC) và gọi H là hinh
chiếu vuông góc của A1 lên B2C2 thì A1H(B2C2C1B1).
Thể tích V1 của đa diện ABC.A1B1C1 đợc cho bëi:
V1 = VACB.A1B 2 C 2 + VA1 .B 2 C 2 C1B1
B'
A'

1
S B2C2 C1B1 .A1H
B1
= S∆ABC.AA1 +
C'
3

1 1
= Sa +
. (B1B2 + C1C2).B2C2.A1H
3 2

= Sa +

B2

C1

A1

B

C2

A

1
1
(b − a + c − a)S =
(a + b + c)S.

3
3

C

ThÓ tÝch V2 của đa diện A'B'C'.A1B1C1 đợc cho bởi:
1
1
(a + b + c)S =
(3h − a − b − c)S.
3
3

V2 = V − V1 = Sh −

b. §Ĩ thĨ tÝch hai phần đó bằng nhau, điều kiện là:
1
1
(a + b + c)S =
(3h − a − b − c)S ⇔ a + b + c = 3h − a − b c
3
3

a+b+c=

3h
.
2

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a,

điểm A1 cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA 1 tạo với mặt phẳng đáy một góc
600.
d. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
e. Chứng minh rằng mặt phẳng bên BCC'B' là một hình chữ nhật.
f. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A 1B1C1 (tổng đó gọi
là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đà cho).
Ví dụ 7:

Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 5.
Giải

a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, BC. Gọi H là tâm ABC, ta cã:
·
A1H ⊥ (ABC) ⇒ A AH = 600.
1

20


Thể tích V của lăng trụ đợc cho bởi:
V = SABC.A1H
(1)
Vì ABC đều cạnh a nên:
SABC =

2

a

3

4

.

A1

C1
B1

(2)

Trong A1HA vuông tại H, ta cã:

A

C

H

2
M
AA1 = 2AH = 2. . a 3 = 2a 3 ,
N
3
2
3
B
· AH = 2 AN.tan600 = 2 . a 3 . 3 = a.
A1H = AH.tan A1
3

3
2

(3)

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
V=
b. Ta có:

a2 3
a3 3
.a =
.
4
4

 BC ⊥ AH
⇒ BC ⊥ (AA H) ⇒ BC AA .

BC A1H
1

1

Mặt khác, ta luôn có:
AA1 // BB1 BC BB1 BCC1B1 là hình chữ nhật.
c. Gọi Sxq là diện tích xung quanh lăng trô, ta cã:
Sxq = 2 S ABB1A1 + S BCC1B1 = 2A1M.AB + BB1.BC = (2A1M + BB1)BC.
Trong ∆A1HM vu«ng t¹i H, ta cã:
A1M =

A1H 2 + MH 2 =

1 a 3
a 2 + .
3 2


2






= a 39 ,
6

Tõ ®ã, suy ra:
2
 a 39
2a 3 
3 ( 13 + 2)
 .a = a
+
Sxq = 2.
.

6

3



3

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc
0
 = 60 . Chân đờng vuông góc hạ từ B 1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai
đờng chéo của đáy. Cho BB1 = a.
D1
c. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
C1
d. Tính thể tích hình hộp.
Ví dụ 8:



Giải
A1
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có B1O (ABCD).
Ã
Từ đó, suy ra góc giữa cạnh bên và đáy là B1BO .
Vì ABCD là hình thoi cạnh a, góc ¢ = 600 nªn:

B1

D
A

C
O

B
21


BD = a OB =

a
.
2

Trong OB1B vuông tại O, ta cã:
OB1 =

2
BB1 − OB 2 =

·
cos B1BO =

a2 −

a2
= a 3 .
2

4

OB
1
Ã
=
B1BO = 600.
BB1
2

Vậy, góc giữa cạnh bên và đáy của lăng trụ bằng 600.
b. Thể tích V của lăng trụ đợc cho bởi:
V = SABCD.B1O =

1
1
3a 3
AC.BD.B1O =
.2. a 3 .a. a 3 =
.
2
2
2
2
4

Bài toán 4: Thể tích của khối đa diện khác.

Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kiến thức về việc phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Cho hình lập phơng có cạnh bằng a. Tính thể tích của khối tám mặt
đều mà các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phơng đà cho.
VÝ dơ 1:

 Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt cđa hình lập phơng và khối tám mặt đều.
Giải

Giả sử khối lập phơng có cạnh bằng a, suy ra các đờng chéo của các mặt có độ dài
bằng a 2 .
Khi đó, tâm các mặt của một khối lập phơng tạo thành một
S
a 2
khối đa diện có độ dài các cạnh bằng nhau và bằng
.
2
Ta có:
B O
C
A
1
2
2
2
2
D
V = 2VS.ABCD = 2. .S ABCD .SO = .AB . SA − AO
3
3
2

2

2
a3
2 a 2  a 2  a
= .
.
÷. 
÷ − ÷ =
6
3  2 ÷  2 ÷ 2

 


S1

Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi E và F lần lợt là
trung điểm của BC và CD.
c. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A1EF) và hình lập phơng.
d. Tính thể tích hai phần của hình lập phơng do mặt phẳng (A1EF) cắt ra.
Ví dụ 2:

22


 Híng dÉn: Sư dơng viƯc tÝnh thĨ tÝch cđa các khối đa diện đặc biệt.
A
Giải

D1

1

a. Ta lần lợt có:
C1
B1
EF cắt AB, AD theo thứ tự tại M, N.
A1M cắt BB1 tại I.
J
A1N cắt DD1 tại J.
D
A
Nối IE và JF.
I
O
B
Ta nhận đợc thiết diện là A1IEFJ.
F
b. Đặt:
E
C
V1 = VABCD .A1B 1C1D1 , V2 = VA1B 1C 1D1 IEFJ M
,

N

V3 = VABEFDJA1I , V4 = VM . IBE , V5 = VN .DFJ , V6 = VA1 .AMN .
Ta cã ngay:

V1 = a3.
1
1 1
S∆IBE.BM =
. IB.EB.BM =
3
3 2
1
1 1
V6 =
S∆AMN.AA1 =
. AM.AN.AA1 =
3
3 2

V4 = V5 =

1 a a a
a3
. . .
=
.
6 3 2 2
72
1 3a 3a
3a 3
.
.
.a =
.

6 2
2
8

3a 3
a3
25a 3
− 2.
=
.
8
72
72
25a 3
47a 3
V2 = V1 − V3 = a3 −
=
.
72
72

V3 = V6 − 2V4 =

Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phơng thành hai phần có thể tích là:
3
3
VA1B1C1D1IEFJ = 47a và VABEFDJA1I = 25a .
72
72

Bài toán 5: Dùng cách tính thể tích để giải một số bài toán hình học .

Phơng pháp áp dụng
Dùng hai cách để tính thể tích của cùng một khối đa diện rồi so sánh chúng với
nhau để rút ra đại lợng hình học cần tìm.

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B và AB = a.
Cạnh SA = b và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Ví dụ 1:

 Híng dÉn: Ta cã:
VS.ABC =



1
1
S∆ABC .SA = S∆SBC .d(A, (SBC)) d(A, (SBC)).
3
3

S

Giải
Trớc tiên, ta có:
A

C
B
23

1
1
S ABC .SA = BA.BC.SA . (1)
3
6
Mặt khác, với nhận xÐt:
BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SBC) ⇒ BC ⊥ SB.

BC SA
Ta đợc:
1
1
VS.ABC = S SBC .d(A, (SBC)) = SB.BC.d(A, (SBC)) .
3
6
Tõ (1) vµ (2), suy ra:
1
1
BA.BC.SA = SB.BC.d(A, (SBC))
6
6
BA.SA
ab
BA.BC.SA
⇔ d(A, (SBC)) =
=
=

.
SB.BC
SA 2 + AB 2
a2 + b

VS.ABC =

(2)

Cho ®iĨm M n»m trong h×nh tø diƯn ®Ịu ABCD. Chøng minh rằng
tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều
bằng a?
Ví dụ 2:

Hớng dÉn: Chia nhá tø diƯn ABCD thµnh bèn tø diƯn nhận

A

các khoảng cách từ M tới các mặt làm đờng cao.



Giải
B
a. Giả sử tứ diện có chiều cao h và diƯn tÝch mét mỈt b»ng B.
E
Gäi M1, M2, M3, M4 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc
C
của M lên bốn mặt của tứ diện, khi đó:

1
1
1
1
1
Vtứd iện = hB = MM1 .B + MM 2 .B + MM 3 .B + MM 4 .B
3
3
3
3
3
⇔ MM1 + MM2 + MM3 + MM4 = h, kh«ng phơ thc M.
b. Gäi G là trọng tâm BCD, ta có:
AG(BCD) AG = h,

D
G

2

a 3
2a 2
a 6
AG = AD − DG = a −
AG =
.
ữ =
3 ữ
3
3

2

2

2

2

Một khối mời hai mặt đều H có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó
bằng S. Tính tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến các mặt của nó.
Ví dơ 3:

 Híng dÉn: Thùc hiƯn t¬ng tù vÝ dơ 2.
Giải
Gọi H1, H2, ..., H12 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên mời hai mặt cđa
H, khi ®ã:

24


1
1
1
MH1 .S + MH1 .S + ... + MH12 .S
3
3
3
S

3V
⇔ V = ( MH1 + MH2 + ... + MH12) ⇔ MH1 + MH2 + ... + MH12 =
.
3
S

VH =

Gäi x1, x2, x3, x4 là khoảng cách từ điểm M tuỳ ý nằm trong tứ diện
ABCD đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC), còn h 1, h2, h3, h4 là các đờng
cao tơng ứng với các đỉnh A, B, C, D cđa tø diƯn. Chøng minh r»ng:
x1 x 2 x 3 x 4
+
+ +
= 1.
h1 h 2 h 3 h 4
VÝ dơ 4:

 Híng dÉn: Sư dơng tØ lƯ thøc vỊ thĨ tÝch.
 Gi¶i
Gäi V, V1, V2, V3, V4 theo thứ tự là thể tích của các khối tứ diện ABCD, MBCD,
MCDA, MDAB, MABC, ta cã:
V1 x1
x1V V2 x 2
x2 V
=
=
⇔ V1 =
;
⇔ V2 =

;
V h1
h1 V h 2
h2
V3 x 3
x3V
=
V3 =
;
V h3
h3
Mặt khác, ta có:

V = V1 + V2 + V3 + V4 =
⇔

V4 x 4
x4 V
=
⇔ V4 =
.
V h4
h4
x x
x1 V x 2 V
xV
xV
x
x 
+

+ 3 + 4 = V 1 + 2 + 3 + 4 ÷
h1
h2
h3
h4
 h1 h 2 h 3 h 4 

x1 x 2 x 3 x 4
+
+ +
= 1 , ®pcm.
h1 h 2 h 3 h 4

Bài toán 6: Tỉ số thể tích.
Phơng pháp áp dụng
Để tính tỉ số thể tích hai phần của một khối đa diện (H) đợc phân chia bởi một mặt
phẳng ta lựa chọn một trong hai c¸ch:
C¸ch 1: Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1:
Dùng thiÕt diện tạo bởi và (H).
Bớc 2:
Dùng phơng pháp tính thể tích đa biết để tính các thể tích V 1
và V2 của 2 hình (H1) và (H2) của (H) do cắt ra.
V1
Bớc 3:
Tính k =
.
V2
Cách 2: Sử dụng kết quả:
" Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lợt các cặp điểm A và

A1, B và B1, C và C1 khi đó ta luôn có:

25