Bài giảng bài số phức giải tích 12 (4)

BÀI GIẢNG TOÁN 12 – GIẢI TÍCH


CÂU HỎI:

Nêu khái niệm căn bậc hai của số phức z

Tìm các căn bậc hai của số phức

2
1  i 
2

Đáp án
Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của
số phức W.

2
2
2


1

i


i
.

c

os

i
.sin
 
2
2
2
4
4


  


  cos  i.sin    cos  i.sin 
4
4 
8
8

Vậy có hai căn bậc hai là: cos





 i.sin ;
8
8

 cos


8

 i.sin

2


8


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.

y
M(z)



x

O

Chú ý:
Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )
Ví dụ:
y
N( l.z )
- Số thực dương tuỳ ý có một acgumen là 0
M(z)
- Số thực âm tuỳ ý có một acgumen là 


2 
- Số -2i có một acgumen là 
2
- Số 3i có một acgumen là


O

- Số phức z≠0 có acgumen là  thì mọi số phức l.z có acgumen là:  + 2k
với k  Z )

x


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian )
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.
Chú ý:
Nếu  là một Acgumen của z thì mọi
acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )

y

Q(  z )

M(z)


O
N( - z )

-

x

1
R( )
z P( z )

H1
Biết số phức z ≠ 0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của các số phức:

 z  (a  bi)  a  bi

có một Acgumen là  +

 z  (a  bi)  a  bi

có một Acgumen là - 

z  a  bi

1
z
z
1

 2 2
z
2
z z. z z
a b

có một Acgumen là - 
có một Acgumen là - 


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0

ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.
Chú ý:
Nếu  là một Acgumen của z thì mọi
acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )
b. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức dạng z = a + bi≠0 (a, b )
Kí hiệu

r  z  a 2  b2

dễ thấy: a  r.cos ; b= r.sin

Vậy z = a + bi có thể viết dưới dạng khác
z  r.(cos  i.sin )

y
M(a+bi)

b


O

x
a

Định nghĩa 2

Dạng z  r (cos  isin ) trong đó
r > 0, gọi là dạng lượng giác của
số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi
(a, b ) Được gọi là dạng đại số
của số phức z.


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.
Chú ý:
Nếu  là một Acgumen của z thì mọi
acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )
b. Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z  r (cos  isin ) trong đó
R > 0, gọi là dạng lượng giác của
số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi

(a, b ) Được gọi là dạng đại số
của số phức z.

y
M(a+bi)

b


O

x
a

Nhận xét để tìm dạng lượng giác
z  r (cos  isin )
của số phức Z = a + bi (a, b )

z ≠ 0 ta tiến hành các bước
1. Tìm r  a 2  b2
2. Tìm  là một số thực sao cho

a
b
cos = ;sin  
r
r


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0

ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.
b. Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z  r (cos  isin ) trong đó

R > 0, gọi là dạng lượng giác của
số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi

r  a b
a
b
cos = ;sin  
r
r
2

2

(a, b ) Được gọi là dạng đại số
của số phức z.

Ví dụ 2
+Số 2 có mô đun bằng 2 , có
một acgumen bằng 0
+Số -4 có môđun bằng 4, có một
acgumen bằng .

+Số 3i có môđun bằng 3 , có
một acgumen bằng 
2
số -2i có môđun bằng 2 , có một
acgumen bằng 


2

số 1  3i Có môđun r  1+3  2
1
3

Lấy cos   sin  
 
2


Vậy 1 acgumen là
3

2

3


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian) của
mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM
được gọi là một Acgumen của z.
b. Dạng lượng giác của số phức

ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z  r (cos  isin ) trong đó
r > 0, gọi là dạng lượng giác của số
phức z ≠ 0.

a
b
cos

=
;sin


r  a b
r
r
Còn dạng z = a+ bi (a, b )
2

2

Được gọi là dạng đại số của số phức z.

Chú ý:
1. | z | = 1  z = cos + i.sin (  )
2. Khi z = 0  | z | = 0. còn acgumen
của z là tuỳ ý : 0 = 0. (cos + i. sin)
3. Cần chú ý đòi hỏi r > 0 trong dạng
lượng giác của số phức z ≠ 0.
Ví dụ
a. Số phức –(cos+ i.sin) có dạng
lượng giác : cos(+) + i. sin (+)

a. Số phức cos - i.sin có dạng
lượng giác : cos(- ) + i. sin (- )


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.
b. Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z  r (cos  isin ) trong đó

R > 0, gọi là dạng lượng giác của
số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a+ bi

r  a b
a
b
cos = ;sin  
r
r
2

2

(a, b ) Được gọi là dạng đại số
của số phức z.

Cho z = r ( cos + i. sin)
1
Tìm môđun và một acgumen của
z
H2

1
z
z
1

 2 2z
z z. z z
r
1
 (cos -i.sin )

r
1
=  cos(- )  i.sin(- ) 
r
Vậy môđun và một acgumen của
Là : 1 ,acgumen là :  

r

1
z


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác

a. Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( rađian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM được gọi là một Acgumen của z.

b. Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2

Dạng z  r (cos  isin ) trong đó

Định lý:

Nếu z = r. cos  i.sin  ( r  0)
z '  r '.(cos ' i.sin ') ( r '  0)
 z.z' = r.r'. cos( + ')  i.sin( + ') 
z ' r'
 . cos( '  )  i.sin( '  ) ; ( r  0)
z r

Chứng minh
Ví dụ 4
3. Công thức Moa – vrơ (Moivre) và ứng dụng

R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0.

r  a 2  b2 ;

a
b
cos = ;sin  
r
r

Còn dạng z = a+ bi gọi là dạng đại số

2. Nhân và chia số phức dạng lượng giác

a. Công thức Moa – vrơ
b. ứng dụng vào lượng giác
c. Căn bậc ha của số phức dưới dạng lượng giác
4.Hướng dẫn học và làm bài ở nhà

Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
Chứng minh

z.z' = r.r'.cos( + ')  i.sin( + ')

 z.z' = r. cos  i.sin  . r '.(cos ' i.sin ') 

 r.r '. coscos ' sinsin '  cossin ' sincos  i 

 r.r '. cos(   ')  i.sin     ' 
Chứng minh

z ' r'
 .cos( '  )  i.sin( '  ); (r  0)
z r
z ' z '.z  r '(cos ' + i.sin '  r (cos  i.sin 


z
z.z
r2
r'
  cos '.cos  sin  '.sin   i.(cos sin  ' sin  cos ') 
r
r'
  cos( '  )  i.sin( '  ) 
r

Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

 2
2
i

2 
 2
 3 1 


3  i  2
 .i   2  cos
6

 2 2 

Ví dụ 4 1+i = 2 




2  cos  i.sin 
1+ i
4
4







3i
2  cos  i.sin 
6
6






2  cos  i.sin 
4
4

 i.sin



6


  


2  cos  i.sin  2  cos  i.sin 
4
4 
6

6



  


2  cos  i.sin  2  cos  i.sin 
6
6 
6
6


2
2

 
  
   
c
os


i
.sin


c
os


i
.sin






2 
4
6
4
6
2
12
12







Nhận xét: nếu thực hiện phép chia hai số phức dưới dạng đại số ta được





1+ i  3  i 1
1+ i
=
 1  3  ( 3  1).i
4
4
3 i
 cos


12





2(1  3)

2( 3  1)
; sin 
4
12
4




Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
a. Công thức Moa-vrơ
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng qui nạp toán học với mọi số

Nguyên dương n,

 r (cos +i.sin )n  r n (cosn  i.sin n )
Khi r = 1, ta có

(cos +i.sin )n  (cosn  i.sin n )



cả hai công thức trên gọi là công thức Moa- vrơ

Ví dụ 5:

1  i 

5

5

 

 
  2  cos  i.sin   
4
4 
 



2  cos5.  i.sin 5. 

4
4


 

5


2
2
 4 2
i
  4 1  i 
2 
 2


Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
b. Ứng dụng vào lượng giác
Công thức khai triển luỹ thừa bậc 3 của nhị thức cos + i. sin  cho ta

 cos  i sin  3  cos3  3cos2  i.sin    3cos  i.sin  2  (i.sin  )3
 cos3  3cos sin 2   i.(3cos 2 sin   sin 3  )
Mặt khác theo công thức Moa- vrơ

 cos  i.sin    cos3  i.sin3
3

3

2
3


c
os3


c
os


3
c
os

.sin

c
os3


4
c
os
  3cos





2
3
3
sin
3


3
c
os

.sin


sin

sin
3


3.sin


4sin






Tiết 74 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
c. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa- vrơ số phức z = r. (cos+i.sin), r > 0 có hai căn bậc hai




r  cos  i.sin 
2
2


Và








 r  cos  i.sin   r cos(   )  i.sin(   ) 
2
2
2
2


