Bài giảng toán cao cấp c1

Chương 1 : GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
1.1 GIỚI HẠN :

1.1.1 Hàm số :
1. Định nghĩa : Cho X ⊂ R, ánh xạ f : X Æ R được gọi là hàm số một biến
số thực.
f:XÆR
x a y = f(x)
• X : miền xác định
• f(X) ⊂ Y : miền giá trị
• x : biến số hay đối số
• y = f(x) giá trị của hàm số f tại x
Ví dụ :
• Cho hàm số : f: X Æ R
x2 − 4
x−2
Miền xác định : X = R \ {2 }
• Cho hàm số f(x) = | x | .
Miền xác định : X = R .Hàm số có thể viết thành :
⎧ x khi x ≥ 0
f(x) = ⎨
⎩− x khi x < 0
x ay=

2. Đồ thị của hàm số :
Đồ thị của hàm số f : X Æ R là tập hợp :

C = {M(x,f(x)) / x ∈ X } trong mặt phẳng Oxy
1.1.2 Giới hạn của hàm số :
Bổ sung :
• Khoảng : (a,b) = {x ∈ R/ a < x < b}

• Đoạn : [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
• Nửa khoảng ( hay nửa đoạn )
• (a,b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
• Lân cận : Cho xo ∈ R và α > 0, khoảng ( xo- α , xo + α ) được gọi là một lân
cận của xo (lân cận tâm xo, bán kính α )
Vậy x thuộc lân cận của xo ⇔ xo - α < x < xo+ α
⇔ - α < x –xo < α
⇔ ⎟ x-xo ⎥ < α

Trang 1


1. Định nghĩa :
Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của xo. Số L được gọi là giới hạn của hàm
số f(x) khi x tiến đến xo nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số
δ >0 sao cho :
0< ⎥ x-xo⎟ < δ

⇒ ⎟ f(x) -L⎥ < ε

Ký hiệu lim f ( x) = L
x → x0

2. Ví dụ :
Vd 1 : Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 x + 3) = 7
x →1

Vd 2 : Hàm số f : X Æ R

x2 − 4

x−2
Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng lim f ( x) = 4
x ay=

x→2

3. Các tính chất của giới hạn :
• Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x Æ xo thì tổng, hiệu , tích, thương
của chúng cũng có giới hạn khi x Æ xo và :
lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x)
x → xo

x → xo

x → xo

lim [ f(x) .g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)

x → xo

lim

x → xo

x → xo

x → xo

lim f ( x)
f ( x)

x → xo
=
g ( x)
lim g ( x)

( lim g(x) ≠ 0)
x → xo

x → xo

• Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim f(x) ≤ lim g(x)
x → xo

x → xo

• Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x thuộc lân cận của xo và
lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L
x → xo

x → xo

x → xo

4. Công thức :
Dùng định nghĩa và tính chất , ta chứng minh được một số kết quả :

sin x
=1
x

* lim C = C

* lim x = x0

* lim sin x = 0

* lim cosx = 1 * lim (1 +

x→ x0

x →0

x → xo

x →0

*

lim
x →0

α →∞

1

α

* lim

x→ x0

)α = e hoặc

1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn :
1. Giới hạn một bên :
Bổ sung : Ký hiệu
x Æ xo+ hiểu là x Æ xo và x > xo
x Æ xo- hiểu là x Æ xo và x < xo
Trang 2

sin α ( x)
= 1 với lim α ( x) = 0
x → xo
α ( x)
1

lim (1 + α ) α = e

α →0


a.Định nghĩa :
• Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên trái
(x Æ xo- ) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0sao
cho:
0< xo – x < δ ⇒ | f(x) – L | < ε

Ký hiệu lim− f ( x) = L
x→ x

•

o

Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên phải (x
Æ xo, x > xo) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0 sao
cho
0< x – xo < δ ⇒ | f(x) – L | < ε
Ký hiệu lim+ f ( x) = L
x→ x

o

b.Định Lý :
lim f(x) tồn tại ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x)

x → xo

x → x0

x → x0

x

khi x Æ 0
x
Hàm số không xác định tại x = 0 , ta thấy :
nếu x >0
⎧1
f(x) = ⎨

⎩−1
nếu x <0

Ví dụ : Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

Vậy lim− f ( x) = lim− (−1) = −1
x →O

x →O

lim f ( x) = lim(1) = 1

x →O +

x →O +

Do đó lim f ( x) không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên
x→O

2.Giới hạn ở vô cực :
a.Định nghĩa :
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x Æ ∞) nếu với mọi
ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x⎥ > M ta

có

⎢f(x) - L⎥ < ε .
Ký hiệu lim f ( x) = L
x →∞

b.Ví du

1
=0
x →∞ x

Vd 1: Chứng minh rằng lim

Trang 3


2x 2 + x + 1
x →∞ 3 x 2 + 4 x + 2

Vd 2 :Tìm lim

3. Giới hạn vô cực :
a.Định nghĩa : Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới xo nếu với

mọi M >0 tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x-xo⎥ <δ thì

⎢f(x) ⎥>M.

Ký hiệu : lim f ( x) = ∞
x →∞

5
=∞
x→2 x − 2
1.1.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn – Khử dạng vô định :

1. Vô cùng bé – vô cùng lớn :
a. Định nghĩa :
• Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x Æ xo nếu lim f(x)= 0
b.Ví dụ : Chứng minh rằng lim

x→ xo

•

Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x Æ xo nếu lim f(x)= +∞
x→ xo

1
là VCB khi x --> ∞
x
f(x) = sin x la VCB khi x --> 0
5
là VCL khi x Æ 2
f(x) =
x−2

Ví dụ :

f(x) =

b.Định Lý :

f(x) VCB ⇔

1

VCL
f ( x)

g(x) VCL ⇔

1
VCB
g ( x)

• Một số kết quả về VCB,VCL tương đương:
sinx ~ x
tgx ~x
arcsinx ~ x
arctgx ~ x
1-cosx ~

x2
2

ln(1+x) ~ x

ex - 1 ~ x

(1 + x)α ~ 1+ α x

α ±β ± γ ~ α

( α VCB bậc thấp nhất )

A ± B ±C ~ A

(A : VCL bậc cao nhất )

ln(1 + tgx)
VD 1 : Tìm lim
x → 0 x + x 2 + sin 3 x

5x 2 − x + 3
VD 2 : Tìm lim 2
x →∞ 2 x + x + 1

Trang 4


1 − cos 2 x + tg 2 x
x →0
x sin x
2.Dạng vô định :
VD 3 : Tìm lim

VD 1 : lim
x →1

xm −1
0
( dạng )
n
0
x −1
x

VD 2 : lim

x → +∞

(dạng

x+ x+ x

V D 3 : lim(1 − x)tg
x →1

πx
2

∞
)
∞

(dạng 0.∞)

VD 4 : lim ( ( x + 1)( x + 2) − x) (dạng ∞ - ∞ )
x →+∞

1.2 Hàm số liên tục :
1.2.1 Định nghĩa :
1) Liên tục tại 1 điểm :
f(x) liên tục tại xo Ù lim f ( x) = f ( xo )
x → xo

2)Liên tục một bên :
• f(x) liên tục bên phải tại xo Ù lim+ f ( x) = f ( xo )
x → xo

• f(x) liên tục bên trái tại xo Ù lim− f ( x) = f ( xo )
x → x0

3)Liên tục trên khoảng , đoạn :
• f(x) liên tục trên khoảng (a,b) Ù f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a,b)

•

f(x) liên tục trên đoạn [a,b] ⇔

f(x) liên tục trên khoảng (a,b)
f(x) liên tục bên phải tại a
f(x) liên tục bên trái tại b

VD : Xét tính liên tục :
a) f(x) =

x
x

tại x = 0

⎧ sin kx
⎪
b) f(x) = ⎨ x
⎪⎩ 2

Khi x ≠ 0
Khi x = 0

Trang 5

tại x = 0


⎧x
⎪
c) f(x) = ⎨ x
⎪⎩ 1

Khi x ≠ 0

tại x = 0

Khi x = 0

Khi x ≤ 2
⎧ x2
d) f(x) = ⎨
tại x = 2
⎩2 x + 7 Khi x > 2
4) Điểm gián đoạn :
Định nghĩa : xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại xo.
Ví Dụ : Tìm điểm gián đoạn :
sin x
a) f(x) =

x

x

+1
x
⎧1
Khi x > 0
⎪
c) f(x) = ⎨ x
⎪⎩ x 2
Khi x ≤ 0
e) Ý nghĩa hình học :
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối
từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b))

b) f(x) =

B

O

A

1.2.2 Định Lý :

a) Nếu f(x) và g(x) liên tục tại xo thì các hàm f(x) ± g(x) , f(x).g(x),

f ( x)
(g(x)≠0)

g ( x)

cũng liên tục tại xo.
b) Nếu f(x) liên tục tại xo và g(y) liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại
xo.
Một số kết quả :
a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R

Trang 6


b) Hàm hữu tỉ f(x) =

P( x)
liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x).
Q ( x)

c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định.
d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

Ghi chú : Tự nghiên cứu Hàm số sơ cấp cơ bản và Hàm sơ cấp .
VD 1 : Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên R :
⎧ sin πx
Khi x ≠2
⎪
f(x) = ⎨ x − 2
⎪⎩ π
Khi x =2
VD 2 : Xác định a để hàm số f(x) sau đây liên tục trên R :
⎧ 2x + 1

Khi x <=1
f ( x) = ⎨ 2
Khi x>1
⎩x + x + a

VD 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
⎧ πx
Khi -1 <=x <=1
⎪cos 2
⎪
f ( x) = ⎨ x + 1
Khi x <-1
⎪ ex
Khi x >1
⎪
⎩
1.2.3 Tính chất của hàm số liên tục :
Định Lý : (giá trị trung gian) :
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng (a,b)
sao cho f(c) = 0 .
Cách khác :
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng (a,b) .
VD : Chứng minh rằng phương trình x5-3x-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(1,2) .

Trang 7


Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC

2.1 ĐẠO HÀM :
2.1.1 Định nghĩa :
Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số

Δy
khi Δ x → 0 gọi là đạo hàm của hàm số tại xo và
Δx

ký hiệu f ’( xo)

f ( xo + Δx) − f ( xo )
f ( x) − f ( xo )
Δy
= lim
= lim
x → xo
Δx → 0 Δx
Δx →0
Δx
x − xo

f ’(xo ) = lim

Ghi chú :
•

Hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì gọi là khả vi tại xo

•

Đạo hàm một bên :
-

Đạo hàm bên trái : f −' ( xo ) = lim−

-

Đạo hàm bên phải : f +' ( xo ) = lim+

x → xo

f ( x) − f ( xo )
x − xo

x → xo

f ( x) − f ( x o )
x − xo

f ’(xo) tồn tại ⇔ f −' ( xo ) = f +' ( xo )

-

2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm :

Đạo hàm của hàm y = f(x) tại xo bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
y = f(x) tại điểm Mo(xo,f(xo)) .
2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm :
1.

( u ± v ) ’ = u’ ± v’
( uv)’ = u’v + u v’
u
u ' v − uv'
( )' =
v
v2

2.Hàm hợp : y = y[u(x)] ⇒

y’x = y’u.u’x

Trang 1


3.Hàm ngược : y =f(x) ⇔ x = f -1(y) ⇒

1
y'x

x’y =

4.Đạo hàm theo tham số :

Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi ∀t ∈ (∝ ,β). Nếu hàm số ngược t = -1(x) tồn tại thì
y’x =

y 't
x't

2.1.4 Bảng đạo hàm của một số hàm số :
Hàm số

Hàm số hợp

( C)’ = 0
(x ∝)’ = ∝x ∝-1

(u ∝)’ = ∝u ∝-1u’

(ax)’ = axlna

(au)’ = u’aulna

(ex)’ = ex

(eu)’ =u’ eu

( logax)’ =
( lnx)’ =

1
x ln a
1
x

( logau)’ =
(lnu)’ =

u'

u ln a

u'
u

Hàm số

Hàm số hợp

( sin x)’ = cosx

( sin u)’ = u’cosu

( cosx)’ = -sinx

( cosu)’ = -u’sinu

(tgx)’ =

1
cos 2 x

(cotgx)’ =

−1
sin 2 x

( arcsinx)’ =
(arctgx)’ =

(tgu)’ =

1
1− x2

1
1+ x2

u'
cos 2 u

(cotgu)’ =

− u'
sin 2 u

( arcsinu)’ =
(arctgu)’ =

u'
1− u2

u'
1+ u2

2.1.5 Đạo hàm cấp cao :

2.2 VI PHÂN :
2.2.1. Định nghĩa : Hàm số f(x) khả vi tại xo

Δy
Δy
⇒
= f ' ( xo ) + α
Δx →0 Δx
Δx

f ' ( x o ) = lim
Ta có thể viết
•

: Ì y = f’(xo ) . Δ x + α . Δ x với α là Vô cùng bé khi Δ x Æ 0

f ’(x) . Δ x được gọi là vi phân của hàm số tại xo. Ký hiệu : df(xo) =f ’(xo). Δ x

Vi phân của hàm số y =f(x) tại x :
dy =df(x) = f’(x). Δ x
•

Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’. Δ x = Δ x
==> Δ x = dx

Trang 2


dy
⇒ dy = y ' dx
dx

Vậy y’ =

2.2.2.Áp dụng vi phân để tính gần đúng :

Ta có Δ y = f ’(xo). Δ x + α . Δ x
==> Δ y ≈ f ’(xo). Δ x khi Δ x càng bé
hay f(xo + Δ x ) – f(xo) ≈ f ’(xo). Δ x
f(xo + Δ x ) ≈ f(xo) + f ’(xo). Δ x

Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho :
-

Từ giá trị f( α ) cần tính rút ra dạng f(x)

-

Phân tích giá trị α thành xo + Δ x sao cho f(xo) tính được và Δ x càng nhỏ.

-

Tính f(xo) và f ’(xo)

Ví Dụ : Tính gần đúng :
a)

3

b) (1,0003)30

29

2.2.3.Vi phân cấp cao :
1.Định nghĩa :
2.Một số kết quả :
2.3 Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến :
2.3.1 Qui tắc Lôpitan (L’hospital) :

⎡∞
Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận V(xo) của xo, lim f ( x) = lim g ( x) = ⎢ và
x→ xo
x → xo
⎣0
g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ V (xo). Khi đó :
Nếu lim

x → x0

f ( x)
f '( x)
= A thì lim
=A
x → xo g ( x )
g '( x)
1 + sin x − cos x
x →0 1 − sin x − cos x

Ví Dụ 1 : Tìm lim
Ví Dụ 2 : Tìm

ln x
x → +∞ x α

lim

Ví Dụ 3 : Tìm lim
x →1

x
1
−
x − 1 ln x.

( dạng
( dạng

0
)
0

∞
)
∞

( dạng ∞ - ∞ )

Trang 3


( dạng 0. ∞ )

Ví Dụ 4 : Tìm lim( x 2 ln x)
x→0

2.3.2 Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ Descartes :

Sơ đồ khảo sát hàm số :
1• Miền xác định
2• Đạo hàm :

•

Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực trị

•

Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn

3• Giới hạn – Tiệm cận
4• Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt
5• Vẽ đồ thị :
Ví Dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y=

2 x 2 + 3x − 2
2( x 2 + 1)

Ghi chú : Cực đại (3 , 5/4) cực tiểu ( -1/3,-5/4)
Ví Dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y =
Ví Dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y =

Trang 4

4 − x2

x
ln x


Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
3.1 Tích phân bất định .
3.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định :
1. Nguyên hàm :
a) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)
⇔ F(x) = f(x) , ∀x ∈ (a,b)
b) Định Lý 1 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó
c) Định Lý 2 :
• Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số) cũng là
nguyên hàm của f(x).
• Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C
2. Tích phân bất định :
a) Định nghĩa : Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí hiệu là
∫ f ( x)dx , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó.

∫ f ( x)dx

= F(x) +C

b) Tính chất cơ bản :

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k : hằng số )

•

•

3. Bảng tích phân :

(1) ∫ odx = C

(7) ∫ sin xdx = − cos x + C

(2) ∫ 1dx = x + C

(8) ∫ cos xdx = sin x + C

(3)

α
∫ x dx =

(4)

∫

x α +1
+C
α +1

dx
= ln x + C
x

(5) ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

(6) ∫ e x dx = e x + C

(9)

dx

∫ cos

2

x

dx

(10)

∫ sin

(11)

∫

(12)

∫1+ x

Trang 1

= tgx + C

2

x

= − cot gx + C

dx
1− x2

dx

2

= arcsin x + C

= arctgx + C


Ví Dụ :
4
5
)dx
−

x 1+ x2
1 1
b) I = ∫ ( x + x 2 + x 3 )(1 + + 2 )dx
x x
a) Tính I = ∫ (3 cos x +

c) I = ∫ ( x + 1) 3 dx
3.1.2 Các phương pháp tính tích phân :
1. Phương pháp đổi biến số :

∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du = G [u(x)] + C
Ví Dụ 1 : I = ∫ sin 4 x cos xdx
Ví Dụ 2 : I =

dx

∫ x ln

3

x

Ví Dụ 3 : I = ∫ tgxdx
Ví Dụ 4 : I = ∫
Ví Dụ 5 : I = ∫

dx
a + x2
dx
2

a2 − x2

2. Phương pháp tích phân từng phần :

∫ udv

= uv - ∫ vdu

Ví Dụ 1 :

I=

∫ xe dx

Ví Dụ 2 :

I=

∫x

Ví Dụ 3 :

I = ∫ e x sin xdx

x

2

ln xdx

Ghi chú :

∫ P( x)e dx, ∫ P( x) sin axdx, ∫ P( x) cos axdx
o ∫ P( x) ln xdx, ∫ P( x) arcsin xdx, ∫ P( x)arctgxdx
: I = ∫ (2 x + 1) sin 3xdx , I = ∫ xarctgxdx
n

Ví Dụ

ax

Trang 2


3.1.3 Tích phân một số hàm đặc biệt :
1. Tích phân hàm hữu tỉ :
P( x)
f(x) =
Q ( x)

•
•

f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một
phân thức thật sự bằng cách chia đa thức.
dx
• Ví Dụ 1 : I = ∫ 2
x − 4x + 4

dx
• Ví Dụ 2 : I = ∫ 2
x + 2x + 4
dx
• Ví Dụ 3 : I = ∫ 2
x − 4x + 6
3x + 2
dx
• Ví Dụ 4 : I = ∫ 2
x + 2x + 5
2. Tích phân hàm lượng giác :

a) Dạng

∫ R(cos x, sin x)dx

trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx

Phương pháp chung : Đặt t = tg

x
2dt
⇒ dx =
2
1+ t2

2t
1− t2
2t
,

cosx
=
, tgx =
2
2
1+ t
1+ t
1− t2
dx
Ví Dụ : I = ∫
sin x + 1
Khi đó : sin x =

b) Dạng ∫ cos ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax sin bxdx
Biến đổi tích thành tổng :
Nhớ công thức :

1
[cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin∝sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
1
sin∝cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2

cos∝cos β =

Ví Dụ : I = ∫ sin x cos 3 xdx, I = ∫ cos 4 x cos 7 xdx

c) Dạng ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx
Phương pháp : • n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x
• n chẵn : Dùng công thức hạ bậc
Trang 3


cos2x =

1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
, sin 2 x =
2
2

: I = ∫ sin 5 xdx

Ví Dụ

I = ∫ cos 4 xdx

3. Tích phân hàm vô tỉ :
Dạng :

∫ R ( x,
b) ∫ R( x,

a 2 − x 2 )dx

Đặt x = asint

a 2 + x 2 )dx

Đặt x = atgt

∫ R ( x,

x 2 − a 2 )dx

Đặt x =

a)

c)

Ví Dụ : I =

a2 − x2
dx
x

∫

a
cos t

∫

I=

− x 2 + 4 x + 5dx

3.2 Tích phân xác định :
3.2.1 Khái niệm về tích phân xác định :
1. Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] .
• Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : xo = a • Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1,xi] ta chọn điểm ξi tùy ý

•

Lập tổng tích phân In =

n

∑ f (ξ )( x
i

i =1

•

i

− xi −1 )

Nếu lim I n tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách chọn điểm ξi
d →0

thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]
Ký hiệu I =

∫

b

a

f ( x)dx = limI n

( d =max (xi-xi-1) với 1 ≤ i ≤ n )

d →0

Ghi chú :
• Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]
• In : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]
• [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên
b

•

∫

•

Quy ước :

a

: dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân.

™ Cho f(x) xác định tại a, ta có

∫

a

b

f ( x)dx = 0
a

™ Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có : ∫ f ( x)dx = b

∫

b

a

f ( x)dx

™ Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích
phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân

∫

b

a

b

b

a

a

f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du

Trang 4


2. Các tính chất :
b

b

b

a

a

(1) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a

b

b

(2) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ( k : hằng số )
a

(3)
(4)

a

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
∫

b

a

với c ∈[a, b ]

dx = b − a

∫

b

b

f ( x)dx ≤

∫

(6) Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b] thì : m(b-a) ≤

∫

(5) Nếu f(x) ≤ g(x) , ∀x ∈ [a,b] thì

a

a

g ( x)dx

b

a

f ( x)dx ≤ M(b-a)

3. Định lý cơ bản ( Newton-Leibnitz ):
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì :

∫

b

a

Ví Dụ : a) I =
c) I =

∫

2

−1

∫

2

0

f ( x ) dx = F (b ) − F ( a )
π

2

b) I =

x dx

d) I =

3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định :
1. Phương pháp đổi biến số :

∫

b

a

4

6

1 − x dx

f ( x)dx =

ϕ (b )

∫ϕ

(a)

3

g (u )du với u = ϕ(x)
x +1
dx
x

Ví Dụ 1 : Tính I = ∫
1

e

Ví Dụ 2 : Tính I =

dx

∫x

1 − ln 2 x

1

2. Phương pháp tích phân từng phần :

∫

b

a

b

udv = [uv]ba − ∫ vdu
a

1

Ví Dụ 1 : Tính I =

∫ xe

Ví Dụ 2 : Tính I =

∫

0

0

3

−x

dx

xarctgxdx

3.2.3 Ứng dụng tích phân xác định :
1. Tính diện tích hình phẳng :
Trang 5

dx

∫π cos
∫

e

1

2

x

ln 2 x
dx
x


S=

∫

b

a

f ( x) − g ( x) dx

Ví Dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a. y = 4x – x2 và trục Ox .
b. y = - x và y = 2x – x2 .

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
b

V = π ∫ y 2 dx
a

Ví Dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
các đường :
x2
, x = 0 , x = 2 và trục Ox .
a. y =
2
b. y = sinx , x = 0 , x =

π

2

và trục Ox

Trang 6


CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n) )= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm của y .
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình.
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 :

4.1.1 Khái niệm:
1. Phương trình vi phân cấp 1 :
Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 .
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y) .
2.Nghiệm tổng quát:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa
phương trình .
3. Nghiệm riêng:
Nghiệm y = ϕ(x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với
một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng.
4.Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà
tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quát của
phương trình vi phân .
* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là
đường cong tích phân của phương trình nầy.
* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân
phụ thuộc tham số C.
* Nghiệm kỳ dị:
Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng
quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị .
4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly :
Trang 1


1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có
dạng:
f(x)dx = g(y)dy

(1)

2. Cách giải:
Lấy tích phân 2 vế của (1)

∫ f ( x)dx = ∫ g ( y)dy
F(x) = G(y) + C
Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0
Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp :
1. Định nghĩa :
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình
có dạng : y’ = f (

y
).
x

2. Cách giải :
Đặt u =

y
<=> y = ux
x

Suy ra : f(u) = u + x .

=> y’ = u’x + u

du
du

<=> x
= f (u) - u
dx
dx

Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có :

du
dx
=
x
f (u ) − u

Đây là phương trình biến số phân ly.
Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ =

xy
x − y2
2

Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =
với điều kiện ban đầu y (1) =

π
2

4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :

Trang 2

y
y
+ sin
x
x


1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có
dạng y’ + p(x).y = q(x)
(1)
trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục .
2. Cách giải :
y’+ p(x)y = q(x) (1)
Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y’ + p(x)y = 0
(2)
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát
của phương trình (2)
Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C .
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe-x2 (1)
⎞
⎛ x2
+ K ⎟⎟e − x 2
⎠
⎝ 2

ĐS : y = ⎜⎜

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều

kiện ban đầu y (0) = 2.
ĐS :y =

ln (x + 1 + x 2 ) + 2
1+ x2

4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)
1. Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x). y α
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, α ∈R.
2. Cách giải : • Nếu α = 0 hoặc α =1, phương trình trở thành phương trình
tuyến tính.
• Giả sử α ≠ 0 và α ≠1
Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y∝
y-∝. y’ + p(x).y1-∝= q(x)
Đặt u = y1- α suy ra u ’= (1- α ) y - α .y’. Phương trình trên trở thành :
u’+ (1- α ) p(x) u = (1- α )q(x)
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u.
Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ +
1

ĐS : y =
x

3

ln

K
x3

Trang 3

y
= x2 y4
x

(1)


4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 :
4.2.1- Khái niệm :
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0
Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)
Nghiệm tổng quát : y = ϕ (x,C1,C2)
Nghiệm riêng :y = ϕ (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 là các giá trị xác định của C1, C2
Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 0
4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
( p,q hằng số)
Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = 0
(2)
Giải phương trình đặc trưng :
(3)
k2 + pk + q = 0
Ta có 3 trường hợp xảy ra :
* ∆= p2 -4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k1 và k2
Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

y = C1 e k1 x +C2 e k1 x

* ∆ = p2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k
Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :
y = e kx (C1 +C2x)

* ∆ = p2-4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :
k1 = α + β i và k2 = α - β i
Nghiệm tổng quát của pt (2) là :
y = e αx (C1cos β x + C2 sin β x)

Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1.
Ví Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
Ví Dụ 3: Giải phương trình vi phân : y’’ - 2y’ + 5y = 0
Trang 4


Bước 2: Phương trình vi phân không thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = f(x)
(1)
Phương pháp giải :
* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y’’+py’ +qy = 0
(2)
* Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1).
* Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của
pt (1).
Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :
1) f(x) = eαx Pn(x).

a)Nếu α không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y = eαx Qn(x)
b)Nếu α trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x eαx Qn(x)
c)Nếu α trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x2 eαx Qn(x)
Ví Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x.
ĐS : y = C1ex + C2e-4x -

1
3
x4
16

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ –y’ = ex (x+1)
ĐS : y =(C1 + C2)e3x +

x 3 3x
e
6

2) f(x) = Pm (x) cos β x + Pn(x) sin β x :
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
•

y = Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x nếu ± i β không trùng với nghiệm của pt
đặc trưng.

•

y = x [ Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc
trưng .

( l = max (m,n) )

Ví Dụ : Giải phương trình :
a)y’’ + y’ = sin 2x
Trang 5


b)y’’+ y = xsinx

Trang 6