Chuyên đề bồi dưỡng toán casio

§1. KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH.
−−−

1. Tính chính xác tích.
a) Phương pháp tính:
Nhân các số lớn trên máy tính chắc chắn sẽ làm tràn màn hình, do đó kết quả sẽ không
chính xác. Mặt khác, bài toán đòi hỏi phải có đáp số nguyên nên việc tính toán trên máy một cách
trực tiếp là không khả thi. Để tính được kết quả chính xác phải tính nhiều giai đoạn, máy tính lúc
này chỉ thực hiện các phép tính trung gian, phần tính kết quả sẽ thực hiện ở giấy nháp.
Cách 1:
Ta áp dụng tính chất (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D, rồi lần lượt tính các tích và
cộng lại.
Ví dụ: Tính 222223333×222225555
Giải: Ta có: 222223333 = 22222.104 + 3333
222225555 = 22222.104 + 5555
⇒ 222223333×222225555 = (22222.104 + 3333)( 22222.104 + 5555)
= 222222.108 + 22222.104(3333+5555) + 3333x5555
= 493817284.108 + 197509136.104 + 18514815
= 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815
= 49383703509874815
Cách 2:
Ta lấy A nhân với B trên máy để xác đònh tích có bao nhiêu chữ số, đồng thời cũng thu
được 9 chữ số phía trước của tích. Ta tiếp tục tìm các chữ số phía sau như sau:
+ Lấy 4 chữ số cuối của A nhân 4 chữ số cuối của B ta được kết quả có 4 chữ số cuối là 4
chữ số cuối của tích.
+ Lặp lại bước trên nhưng với 5 chữ số cuối, ta được thêm một chữ số nữa, cứ như vậy cho
đủ hết các chữ số còn lại.
Ví dụ: Tính 222223333×222225555
Lấy 222223333×222225555 = 4.938370351x1016.
Ta biết tích có 17 chữ số và 9 chữ số phía trước là 493837035, ta cần tìm 8 chữ số còn lại.
Lấy 3333x5555 = 18514815, ta được 4 chữ số cuối của tích là 4815.

Lấy 23333x25555 = 596274815, ta được 5 chữ số cuối của tích là 74815.
Lấy 223333x225555 = 5.037387482x1010, ta được 6 chữ số cuối của tích là 874815.
Lấy 2223333x2225555 = 4.948149875x1012, ta được 7 chữ số cuối của tích là 9874815.
Lấy 22223333x22225555 = 4.939259099x1014, ta được 8 chữ số cuối của tích là 09874815.
Vậy tích cần tìm là 222223333×222225555 = 49383703509874815
b) Bài tập:
Bài 1: Tính chính xác các tích sau:
M = 2 222 255 555 x 2 222 266 666.
N = 20 082 008 x 20 092 009.
O = 13 032 006 x 13 032 007.
P = 3 333 355 555 x 3 333 377 777.
Bài 2: Tính chính xác số sau:
A = 1 414 213 5622.

B = 1 732 050 8082.

Bài 3: Tính chính xác các tích sau:
X = 7 895 489 x 56 326.

Y = 99 887 456 752 x 89 685.

Z = 123 456 789 104 563 456 x 98 761.
Trang 1


2. Tìm dư trong phép chia.
a) Phương pháp tính:
Giả sử cần tìm số dư trong phép chia a:b, ta có thể:
+ Trường hợp 1: Đối với các số tương đối nhỏ (Phần nguyên của thương ít hơn 8 chữ số) ta
có thể tính chính xác ngay số dư bằng cách lấy thương của a:b nhân với b rồi trừ cho tích của phần

nguyên a:b với b. Trên máy fx−570MS, ta thực hiện như sau:
b

= × b −  a  × b =
b
 

a
b

(Trong đó   là phần nguyên của thương a:b, lấy được sau khi ấn dấu bằng lần đầu)
+ Trường hợp 2: Đối với các số lớn hơn, việc tính như trên sẽ không chính xác. Ta sẽ làm
như sau:
− Giả sử a có k chữ số. Ta lấy từ trái qua m chữ số (gọi là a1) sao cho a1 chia b được thương
có phần nguyên không quá 8 chữ số.

a = p1p 2 ...p m p m +1 ....p n ⇒ a1 = p1p 2 ...p m
− Tìm số dư của phép chia a1:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r1.
− Thêm vào bên phải r1 các chữ số tiếp theo của a (từ vò trí m + 1 đến cuối) sao cho đủ m
chữ số, gọi là a2.

a2 = r1p m +1p m +2 ...
có m chữ số

− Tìm số dư của phép chia a2:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r2.
Lặp lại quy trình đến khi a không còn chữ số nào. Số dư cuối cùng là số dư của a:b.
Lưu ý: Khi tính có thể kết quả có thể có dạng …x,99…, lúc đó ta làm tròn hàng đơn vò lên một đơn
vò, còn nếu có dạng …x,8… thì phải tính lại mà không được làm tròn.
b) Bài tập:
Bài 4. Tìm dư của phép chia sau:

a) 123 456 789 cho 23 456.

b) 7 503 021 930 cho 3 022 009

Bài 5. Tìm dư trong phép chia sau:
a) 103 103 103 cho 2 009.

b) 30 419 753 041 975 cho 151 975.

Bài 6. Tìm dư trong phép chia sau:
a) 24 728 303 034 986 194 cho 2 003.

b) 103 200 610 320 061 032 006 cho 2 010.

3. Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số a và b.
a) Phương pháp tính:
a
không làm tràn màn hình. Ta làm như sau:
b
− Nhập vào máy a ↵ b và nhấn = , máy sẽ tính thương của a:b, ta nhấn phím a b / c để
chuyển số trên về dạng phân số. Lấy a chia cho tử số (hoặc lấy b chia cho mẫu số) ta được
UCLN(a, b).
− Tính BCNN(a, b) = (a.b)÷UCLN(a, b).

+ Trường hợp 1: Nếu phân số

Trang 2


a

làm tràn màn hình. Ta làm như sau:
b
− Giả sử a > b. Ta tìm số dư của a:b như mục 2, gọi là r1. Nếu b⋮ r1 thì UCLN = r1.

+ Trường hợp 2: Nếu phân số

− Nếu b ⋮ r1 , ta tìm số dư của b:r1 như mục 2, gọi là r2. Nếu r1 ⋮ r2 thì UCLN = r2.
Nếu r1 ⋮ r2 , ta lập lại quy trình trên đến khi rn ⋮ rn +1 , khi đó UCLN = rn+1.

− BCNN = (a.b)÷UCLN.
b) Bài tập:
Bài 7. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:
a) 209 865 và 283 935.
c) 100 712 và 68 954.

b) 8 287 135 và 14 277 835
d) 8 106 848 và 92 079 458

Bài 8. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:
a) 3 022 005 và 7 503 021 930.
c) 168 599 421 và 2 654 176.

b) 2 419 580 247 và 3 802 197 531.
d) 24 614 205 và 10 719 433.

4. Viết phân số dùi dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.
a) Viết phân số

a
dùi dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

b

a
là một
b
phân số đơn giản (chu kì không hơn 6 chữ số), thì chu kì của nó có thể nhận biết bởi 8 chữ số thập
phân trên (các chữ số thập phân sẽ lặp lại). Ngược lại, ta ghi lại kết quả trên. Thực hiện tiếp bước
phía sau.
+ Tìm số dư của a.10m :b (với m = 7 − [Số chữ số của a] + [Số chữ số của b]), gọi số dư đó là r1.
+ Lấy r1:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần
cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì. Ta ghi kết quả này lại. Nếu vẫn chưa
nhận thấy chu kì, ta làm tiếp bước sau.
+ Tìm số dư của r1.10m :b (với m = 7 − [Số chữ số của r1] + [Số chữ số của b]) , gọi số dư đó là r2.
+ Lấy r2:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần
cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì. Ta ghi kết quả này lại. Nếu vẫn chưa
nhận thấy chu kì, ta thực hiện lại quy trình đến khi nhận ra chu kì của phân số.
b) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.
Giả sử số thập phân vô hạn tuần hoàn A có k chữ số phần nguyên, m chữ số trong chu kì
bất thường, n chữ số trong chu kì lặp. Tức là A = a1a2 ...a k , b1b2 ...bm (c1c2 ...cn ). Lúc này ta có
+ Lấy a:b, ta được phần nguyên (nếu a > b) và 8 chữ số thập phân đầu tiên, nếu

k chữ số

m chữ số

b1b2 ...b m
A = a1a2 ...a k +
Phần nguyên

Chu kì bất thường

1 00...0
m chữ số 0

n chữ số

c1c2 ...cn
+

Chu kì lặp

99...9 00...0
n chữ số 9 m chữ số 0

c) Bài tập:

Bài 9. Tìm chu kì các phân số sau:

17 113 4 263 8 49
;
;
;
; ;
.
23 61 123 2009 15 419

Bài 10. Viết các số thập phân sau thành phân số: 23,(421); 2,13(132); 1,9(89); 2,63(1245); 0,(1274).

Trang 3

§2. NHÓM CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
−−−−−−−−−−−
1. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa.

a) Phương pháp tính:
− Nếu a tận cùng là các chữ số: 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt tận cùng là 0, 1, 5, 6.
− Nếu tận cùng bằng 2 thì an tận cùng bằng 6 nếu n ⋮ 4 ; tận cùng bằng 2 nếu n chia 4 dư 1;
tận cùng bằng 4 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 8 nếu n chia 4 dư 3.
− Nếu a tận cùng bằng 3 thì an tận cùng bằng 1 nếu n ⋮ 4 ; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 1;
tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 3.
− Nếu a tận cùng bằng 7 thì an tận cùng bằng 1 nếu n ⋮ 4 ; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 1;
tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 3.
Chữ số tận cùng
của a

2
3
7

n chia hết cho 4
(n = 4k)
6
1
1

Chữ số tận cùng của an
n chia 4 dư 1
n chia 4 dư 2
(n = 4k + 1)

(n = 4k + 2)
2
4
3
9
7
9

n chia 4 dư 3
(n = 4k + 3)
8
7
3

− Nếu a tận cùng bằng p thì an có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của pn. Nhờ tính
chất này, các số có tận cùng bằng 4, 8 được quy về tận cùng bằng 2 tức là (22)n, (23)n; các số có
chữ số tận cùng bằng 9 được quy về tận cùng bằng 3 tức là (32)n.
b) Bài tập:
Bài 11. Tìm chữ số tận cùng của:
a) 19921993.
b) 20092008.
c) 252011.
d) 1642003.
e) 132009.
f) 106106.
g) 2007141.

Bài 12. Tìm chữ số hàng đơn vò của 172002.

2. Tìm số dư của phép chia am : b.

a) Phương pháp tính:
Để tìm số dư của phép chia am : b, ta tìm dư của rm : b (trong đó, r là số dư của a: b).
Bằng cách tìm số dư của r : b, r2 : b, r3 : b, r4 : b, … để tìm quy luật tuần hoàn số dư của rm : b.
Giả sử ta tìm chu kì tuần hoàn là n. Tiếp theo ta tìm số dư của m : n, giả sử là k. Khi đó số dư của
am : b chính là số dư của rk : b.
* Chú ý: Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa am là trường hợp đặc biệt của tìm số dư trong
phép chia am : b khi b = 10.
b) Bài tập:
Bài 13. Tìm số dư của phép chia sau:
a) 176 59427 cho 293.
b) 1112 cho 2001.

c) 736 cho 2003.

Bài 14. Tìm số dư của phép chia sau:
a) 2004376 cho 1975.
b) 176 59439 cho 293.

c) 122008 cho 5.

Trang 4


3. Tìm chữ số thập phân thứ k của phép chia a:b.
a) Phương pháp tính:
a
theo mục 4, §1. Giả sử chu kì đó có m chữ số.
b
+ Bước 2: Tìm số dư của k:m theo mục 2, §1 gọi là r.
Chữ số thập phân cần tìm là chữ số thứ r (đếm từ bên trái sang bên phải) trong chu kì.

Nếu k ⋮ m thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng của chu kì.
* Chú ý: Mỗi phân số đều có thể biểu diễn thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần
hoàn. Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thì ta làm như cách trên sẽ chính xác. Nếu là số
thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì r là số dư của (k − n):m (với n là số chữ số trong chu kì bất
thường).
b) Bài tập:
Bài 15. Tìm chữ số thập phân thứ 2009 trong phép chia số 64 cho 37.
+ Bước 1: Tìm chu kì của phân số

Bài 16. Tìm chữ số thập phân thứ 2005 trong phép chia 7 cho 23.
Bài 17. Tìm chữ số thập phân thứ 456 456 trong phép chia 13 cho 23.
Bài 18. Tìm chữ số thập phân thứ 122008 trong phép chia 64 cho 31.
Bài 19. Tìm chữ số thập phân thứ 122005 trong phép chia 10 000 cho 17.

77
khi viết nó dưới dạng số thập phân.
74
b) Tìm chữ số thập phân thứ 2005 của phép chia 6061 cho 33300.
c) Tìm chữ số thập phân thứ 302009 của phép chia 23 cho 43 và phép chia 801 cho 570.

Bài 20. a) Tìm chữ số thập phân thứ 7774 của số

§3. LIÊN PHÂN SỐ
−−−

1. Đònh nghóa.
Cho a, b (a > b) là các số tự nhiên. Dùng thuật toán Euclide chia a cho b, phân số
viết dưới dạng

b

a
1
= a 0 + 0 = a0 +
.
b
b
b
b0

Vì b0 là dư của phép chia a cho b nên b > b0, lại tiếp tục biểu diễn phân số

a
có thể
b

b
dưới dạng
b0

b
b
1
= a1 + 1 = a1 +
. Tiếp tục như vậy, quá trình sẽ kết thúc sau n bước, và cuối cùng ta được:
b0
b0
b0
b1

a

= a0 +
b

1
a1 +

1
...an −1 +

1
an
Trang 5


Cách biểu diễn như trên gọi là biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Người ta đã chứng minh
rằng mỗi số hữu tỉ chỉ có duy nhất một biểu diễn dưới dạng liên phân số. Liên phân số còn được
viết gọn dưới dạng [a0, a1, …, an].
Vì mỗi số vô tỉ có thể viết dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuàn hoàn nên ta cũng
có thể biểu diễn nó dưới dạng liên phân số xấp xó với độ chính xác tùy ý.

2. Phương pháp tính.
Để chuyển một phân số
hiện như sau:

a
thành một liên phân số, ta phải tìm dãy a0, a1, a2, …, an. Ta thực
b

+ Thực hiện chia a : b, ta được thương
+ Trừ thương

a
, trong đó phần nguyên chính là a0.
b

a
a
cho   , rồi nhấn phím x − 1
b
b

=

. Khi đó phần nguyên của số vừa tìm được

chính là a1.
+ Trừ kết quả trên cho phần nguyên của nó rồi nhấn phím x − 1 = . Khi đó phần nguyên
của số vừa tìm được chính là a2.
+ Lặp lại cho đến khi nhận được số cuối cùng là số nguyên.
Khi đó ta được dãy a0, a1, a2, …, an và viết lại dưới dạng phân số.
* Chú ý: Trong một vài trường hợp, số cuối cùng có thể nhận được không là số nguyên
nhưng nó có dạng x,9999… thì ta làm trong thành x + 1.
Để chuyển một liên phân số thành một phân số, ta làm như sau:
+ Bấm an x − 1 = + an−1 = x − 1 = + an−2 = x − 1 = + an−3 = … x − 1 = + a0 = .
Khi đó, ta được dạng phân số của liên phân số [a0, a1, a2, …, an].

3. Bài tập.
Bài 21. Biết:

15

1
=
17 1 + 1

, a, b là các số dương, hãy tìm a, b.

1
b
Bài 22. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
5
1) A = 3 +
4
2+
5
2+
4
2+
5
2+
3
Bài 23. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
20
1) A =
1
2+
1
3+
1
4+
5

a+

Bài 24. Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng:

2) B = 7 +

2) B =

329
=
1051

1
3+

.

1
5+

1

1
b
Bài 25. Lập quy trình tính giá trò liên phân số M = [3, 17, 15, 1, 292].

Trang 6

a+

1
3+

1
3+

1
3+

2
5+

1
6+

1
7+

1
8

1
4


Bài 26. Các số:

2, 3, π có biểu diễn xấp xó dưới dạng liên phân số như sau:

2 = [1,2,2,2,2,2]; 3 = [1,1,2,1,2,1]; π = [3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] . Tính các liên phân số trên.

§4. ĐA THỨC
1. Dạng toán tính giá trò của đa thức.
Để tính giá trò của đa thức, biểu thức, ta sử dụng các biến như A, B, … gán cho giá trò của x,
sau đó bấm đa thức, biểu thức theo A, B, … và bấm dấu = để tính.
Trường hợp, bài toán yêu cầu tính giá trò của đa thức tại nhiều điểm x, ta bấm đa thức theo
A, B, … rồi sử dụng phím CALC, máy hỏi A, B, … ta nhập giá trò của x rồi ấn =.
* Bài tập:
3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x + 1
Bài 27: Tính A =
khi x = 1,8165.
4x3 − x 2 + 3x + 5
Bài 28.
a) Tính giá trò biểu thức x4 + 5x3 − 3x2 + x − 1 khi x = 1,35627.
b) Tính P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 +13x2 − 11x − 357 khi x = 2,18567.

2. Dạng toán tìm số dư trong phép chia đa thức.
Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta được P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay x = −

b
, ta được
a

 b
r = P  −  . Như vậy bài toán tìm dư trong phép chia trở thành bài toán tìm giá trò đa thức.
 a
* Nhận xét:
− Để tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho ax + b, ta tính giá trò của đa thức P(x) tại giá trò
nghiệm của ax + b.
− Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho x − c là trường hợp đặc biệt của bài toán trên khi

a = 1, b = −c, lúc này r = P(c).
*Bài tập:
Bài 29. Tìm dư trong phép chia:
x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
x 5 − 6,723x3 + 1,857x 2 − 6,458x + 4,319
a)
b)
x − 1,624
x + 2,318
4
3
2
c) Cho P(x) = x + 5x − 4x + 3x − 50. Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x − 2 và r2 là phần
dư của phép chia P(x) cho x − 3. Tìm BCNN của r1 và r2.

3. Dạng toán xác đònh m để đa thức P(x) + m chia hết cho đa thức ax + b.
Vì P(x) + m = (ax + b)Q(x) + r + m nên để P(x) + m chia hết cho ax + b thì r + m = 0 hay
 a
m = − r = − P  −  là bài toán tìm giá trò biểu thức.
 b
* Chú ý: Cần lưu ý dấu của m để tránh sai xót.

Trang 7


* Bài tập:
Bài 30. Xác đònh tham số:
a) Tìm a để x4 + 7x3 +2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6.
b) Cho P(x) = 3x3 + 17x − 625.

( )

b.1. Tính P 2 2 .
b.2. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3.

Bài 31. Tìm thương và dư trong phép chia x7 − 2x5 − 3x4 + x − 1 cho 2x + 5.
Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a, hãy tính số dư r khi chia P(x) cho 3x − 2.
c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 − 5x2 − 13x + n và P(x) cùng chia hết cho (x − 2).
d) Với n tìm được ở trên, hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài 33: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 − 3x2 + 2x + n. Tìm m, n để
P(x) và Q(x) chia hết cho x − 2.

4. Dạng toán tìm đa thức thương.
Dạng toán này thường không yêu cầu tìm số dư và tìm thương trong phép chia. Ta sử dụng
sơ đồ Horner để chia đa thức.
Giả sử f(x) = a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an là đa thức bậc n, chia cho đa thức x − c được
thương là q(x) = b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1 và số dư r. Tức là:
a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an = (x − c)( b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1) + r
Khi đó, các bi được tính theo bảng sau:
Hệ số f(x)
c

a0 +
a1
a2
a3 …
an-1
an

b0 = a0 b1 = b0.c + a1 b2 = b1.c + a2 b3 = b2.c + a3 bn−1 = bn−2.c + an−1 r= bn−1.c + an
×

* Nhận xét: Chia đa thức bằng sơ đồ Horner, ta cũng tìm được số dư của đa thức f(x) khi
chia cho x − c.
Trường hợp chia f(x) cho đa thức ax + b, ta làm như sau:
Hệ số f(x)
a0
a
Chia hệ số
a′0 = 0
của f(x) cho a
a

−

b
a

b0 = a′0

a1

a2 …
an-1
an
a1
a2
an −1
a

a1′ =
a′2 =
a′n −1 =
a′n = n
a
a
a
a
 b
 b
 b
 b
b1 = b0.  −  + a1′ b2 = b1.  −  + a′2 bn−1 = bn−2.  −  + a′n −1 r = bn−1.  −  + a′n
 a
 a
 a
 a

* Bài tâp:
Bài 34. Tìm đa thức thương và số dư trong các phép chia sau:
a) f(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − 1 cho x − 4.
b) f(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 1 cho x + 1.
c) f(x) = x5 cho x − 1.
d) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 50x + 11 cho 3x − 2.

Trang 8


Bài 35. Xác đònh giá trò của a để f(x) chia hết cho g(x), tìm thương và số dư trong những trường hợp
sau:

7
a) f(x) = x3 − (2a + 1)x2 + x + a2 − 4; g(x) = x − 2.
2
b) f(x) = x4 − (a − 1)x3 + (a + 1)x2 − 3x − 7; g(x) = 3x − 1.
c) f(x) = x3 − 6x2 + (2a + 1) − a − 7; g(x) = x − 2.
d) f(x) = x4 − (a − 4)x3 − 8x2 + (a + 7)x + 6; g(x) = x − 3.

5. Bài tập tổng hợp.
Bài 36.
a) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11, P(4) = 18,
P(5) = 27. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
b) Cho Q(x) = mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11. Tính các giá
trò Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
c) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = −1, P(2) = 21, P(3) = 79, P(4) = 191,
P(5) = 375. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Bài 37.
a) Cho P(x) = x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + m.
a.1. Tìm số dư khi chia P(x) cho x − 2,5 khi m = 2008.
a.2. Tìm giá trò của m để P(x) chia hết cho x − 2,5.
a.3. P(x) có nghiệm là 2. Tìm m ?
b) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
1
 1
7
3  1  89
Bài 38: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết f   =
. Tính giá trò đúng
;f −  = − ;f   =
8  5  500

 3  108  2 
2
và gần đúng của f   .
3
Bài 39. Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(0) = 12, P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60.
a) Xác đònh các hệ số a, b, c của P(x).
b) Tính P(2009).
c) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho 5x − 6.
Bài 40. Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c.
a) Tìm các hệ số a, b, c biết f(1) = 1996, f(2) = 1999, f(3) = 1990.
b) Tìm số dư r khi chia f(x) cho x − 7.
c) Tìm x, biết f(x) = 1930.

Trang 9


§5. DÃY SỐ TRUY HỒI
I. Đònh nghóa.
Dãy số truy hồi là một dãy số, trong đó các số hạng phía sau được tính dựa vào các số hạng
đứng trước. Có nhiều loại dãy truy hồi, chủ yếu ta thường gặp 3 dạng sau:
+ Truy hồi bậc I: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào một số hạng phía trước.
+ Truy hồi bậc II: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào hai số hạng phía trước.
+ Truy hồi bậc III: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào ba số hạng phía trước.

II. Phương pháp tính.
1. Dãy truy hồi bậc I.
Dạng tổng quát: u1 = a, un+1 = f(un) với f(un) là một hàm số với biến un.
Để tính số hạng thứ n + 1 (un+1), ta sử dụng biến Ans và lập lại phím
f(un), ta có quy trình bấm phím cụ thể.

= . Tùy theo hàm

* Bài tập:

Bài 41. Cho dãy số: a0 = 1, an +1 =

a2n + an + 1 − 1
an

, với n = 0, 1, 2, …

a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay.
b) Tính a1, a2, a3, a4, a5, a10 và a15.
5 + an
Bài 42. Cho dãy số a0 = 1, an +1 =
, với n = 1, 2, 3, …
1 + an
a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay.
b) Tính a5, a6, a7, a18, a19, a20 và a2009.

un-1.

2. Dãy truy hồi bậc II.
Dạng tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = f(un, un-1) với f(un, un-1) là một hàm số với hai biến un,

a) Dãy Fibonaci:
− Tổng quát: u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un−−1.
Áp dụng công thức trên, ta tính được dãy sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … đối với dãy
này, ta có công thức tính số hạng thứ n như sau:
n

n
1  1+ 5   1− 5  

un =
 −
 
5   2   2  


− Nếu đề yêu cầu tính số hạng thứ n, ta chỉ việc áp dụng công thức trên.
− Nếu đề yêu cầu lập quy trình phím bấm để tính liên tục, áp dụng một trong các quy trình sau:
+ Quy trình 1:

1 Shift Sto A
1 Shift Sto B
+ A n p h a A Shift Sto A
+ A np ha B Shift Sto B
∆ Shift C o p y
Lặp lại phím

= , ta được các un.

+ Quy trình 2:

Trang 10


2 Shift
1 Shift
1 Shift

Anpha

Sto A
(Biến đếm)
Sto B
Sto C
A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B + Anpha C
Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D
Lặp lại phím = , với mỗi giá trò của A, ta được giá trò D tương ứng là uA.

− Nhận xét: Quy trình 1 dễ hiểu nhưng thực hiện dễ bò lộn các ui. Quy trình 2 khó hiểu hơn
nhưng dễ dàng xác đònh được ta đang tính u thứ mấy.
b) Dãy Luca:
− Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un−−1 với a, b là hai số nguyên bất kì.
Dãy này là dạng tổng quát của dãy Fibonaci.
− Dãy này không có công thức tổng quát, để tính un+1, ta sẽ lập quy trình bấm phím.
+ Quy trình 1:
a Shift Sto A
b Shift Sto B
+ Anpha A Shift Sto A
+ Anpha B Shift Sto B
∆ Shift Copy
Lặp lại phím

= , ta được các un.

+ Quy trình 2:
(Biến đếm)
2 Shift Sto A
a Shift Sto B

b Shift Sto C
Anpha A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha D Anpha
Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D
Lặp lại phím

=

Anpha B + Anpha C

= , với mỗi giá trò của A, ta được giá trò D tương ứng là uA.

c) Dãy Luca suy rộng:
− Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 với a, b, K, L là các số nguyên bất kì.
− Dãy này không có công thức tổng quát chung, để tính un+1, ta sẽ lập quy trình bấm phím.
+ Quy trình 1:
a Shift Sto A
b Shift Sto B
× K + L × Anpha A Shift Sto A
× L + Anpha B × K Shift Sto B
∆ Shift Copy

Lặp lại phím

= , ta được các un.

Trang 11


+ Quy trình 2:
2 Shift

a Shift
b Shift
Anpha

Sto A
(Biến đếm)
Sto B
Sto C
A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha D Anpha = L × Anpha B + K ×
Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D
Lặp lại phím = , với mỗi giá trò của A, ta được giá trò D tương ứng là uA.
d) Dãy truy hồi dạng : u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 + f(n).
Dãy này giống dãy Luca suy rộng, nhưng có thêm phần phụ là f(n), trong quy trình bấm
phím, ta bổ sung hàm tính f(n) (lúc này n chính là A − quy trình 2) ở phần tính D.
e) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, un+1 = F1(un) + F2(un−−1).
Dãy này nếu lặp phím như quy trình 1 (Dãy Luca suy rộng) thì sẽ mất rất nhiều thời gian để
lặp các hàm F1, F2. Để tính nhanh hơn, ta dùng quy trình 2, trong phần tính D, ta bấm hai hàm F1,
F2 để tính F1(un), F2(un−1).
f) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, u n+1 = u 2n + u 2n-1 .
Quy trình bấm phím:
+ Quy trình 1:
a Shift Sto A
b Shift Sto B
× Anpha B + Anpha A × Anpha A Shift Sto A
× Anpha A + Anpha B × Anpha B Shift Sto B
∆ Shift Copy
Lặp lại phím

= , ta được các un.

+ Quy trình 2:
2 Shift
a Shift
b Shift
Anpha

Sto A
(Biến đếm)
Sto B
Sto C
A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B × Anpha B +
Anpha C × Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D
Lặp lại phím = , với mỗi giá trò của A, ta được giá trò D tương ứng là uA.
* Bài tập:

Bài 43.Cho dãy số u1 = 2, u2 = 3; un+1 = 3un + 2un−1 + 3 với n ≥ 2.
a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 trên máy tính cầm tay.
b) Tính u3, u4, u5, u10, u15 và u19.
Bài 44. Cho dãy số u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un−1 (n = 2, 3, …)
a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trò của un+1 với mọi n ≥ 2.

Trang 12


b) Sử dụng quy trình đó tính giá trò của u13 và u17.
Bài 45. Cho dãy số u1 = 144, u2 = 233, un+1 = un + un−1.
a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trò của un+1.
b) Tính u12, u37, u38, u39.
c) Tính chính xác các tỉ số với 5 chữ số thập phân các tỉ số sau:

u 2 u3 u 4 u 6
.
; ; ;
u1 u2 u3 u5

Bài 46. Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un−1.
a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính un.
b) Tính u3, u4, u5, u6, u7, u22, u23, u24, u25.

(2 + 3 ) − (2 − 3 )
=
n

Bài 47. Cho dãy số: un

n

.
2. 3
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.

Bài 48. Cho dãy số: un =

(

3+ 3

) (

n

− 3− 3

)

n

.
2. 3
a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.

Bài 49. Cho dãy số: un

(2 + 2 ) − (2 − 2 )
=

Bài 50. Cho dãy số un

(5 + 3 ) + (5 − 3 )
=

n

n

.
2. 2

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.
n

2 3

n

, với n là số tự nhiên.

a) Tính u1, u2, u3, u4, u5.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.
n

Bài 51. Cho dãy số: un

( −1 + 3 ) − ( −1 − 3 )
=

n

Bài 52. Cho dãy số: un

(10 + 3 ) − (10 − 3 )
=

n

.
2. 3
a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.
n

.
2. 3
a) Tính 7 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.

Trang 13


3. Dãy truy hồi bậc III.
Dạng u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = f(un−1, un, un+1). Trong đó, hàm f(un−1, un, un+1) làm một
hàm số của un−1, un, un+1.
a) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1.
Quy trình bấm phím:
+ Quy trình 1:
a Shift Sto A
b Shift Sto B
c Shift Sto C
× K + Anpha B × L + Anpha A × M Shift Sto A
× K + Anpha C × L + Anpha B × M Shift Sto B

× K + Anpha A × L + Anpha C × M Shift Sto C
∆ ∆ Shift Copy

Lặp lại phím

= , ta được các un.

+ Quy trình 2:
2 Shift
a Shift
b Shift
Anpha

Sto A
(Biến đếm)
Sto B
Sto C; c Shift Sto D
A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha E Anpha = K × Anpha D + L ×
Anpha C + M × Anpha B Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha
D Anpha : Anpha D = Anpha E

Lặp lại phím = , với mỗi giá trò của A, ta được giá trò E tương ứng là uA.
b) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1 + f(n).
Quy trình bấm phím tương tự như dạng a (quy trình 2), nhưng trong phần tính E, ta thêm
hàm tính f(n) (n chính là A).
* Bài tập:
Bài 53. Cho dãy u1 = 1, u2 = 3, u3 = 11, un+2 = 2un+1 − un + 3un−1 + n2 − 1.
a) Lập quy trình phím bấm tính un+2.
b) Tính 7 số hạng đầu của dãy.

Trang 14

§6. TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN TRĂM
−−−
Bài 54. Hiện nay dân số của Quốc gia Q là a người, tỉ lệ tăng dân số là m% trên năm.
a) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia Q đến hết năm thứ n.
b) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi dân số nước ta đến 2010 là bao
nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số là 1,2% trên năm.
c) Đến năm 2020 dân số nước ta khoảng 100 triệu người, hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi
năm là bao nhiêu ?
GIẢI
a) Xây dựng công thức tính số dân đến năm thứ n:
Hết năm thứ …
Dân số
1
a + a.m% = a(1 + m%).
2
a(1 + m%) + a(1 + m%).m% = a(1 + m%)2.
3
a(1 + m%)2 + a(1 + m%)2.m% = a(1 + m%)3.
…
…
n
a(1 + m%)n−1 + a(1 + m%)n−1.m% = a(1 + m%)n.
Gọi An là dân số sau n năm thì ta có:
An = a(1 + m%)n
b) Từ 2001 đến 2010 là 9 năm, ta có:
9


1,2 

A9 = a(1 + m%) = 76,3.  1 +
 = 84,947216 (triệu người).
 100 
c) Từ 2001 đến 2020 là 19 năm, ta có:
 A

 100.106

− 1 .100 ≈ 1,4%
A19 = 76,3.(1 + m%)19 ⇒ m% =  19 19 − 1 .100 =  19
6
 76,3 
 76,3.10





9

Bài 55. Dân số một nước năm 1976 là 55 triệu người. Với mức tăng dân số là 2,2% trên năm thì
dân số nước đó sau 10 là bao nhiêu ?
Bài 56. Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2%.
a) Viết công thức tính dân số sau n năm.
b) Viết quy trình bấm phím và tính dân số sau 20 năm.
c) Dân số nước ấy sau k năm sẽ vượt 100 triệu. Tìm số k bé nhất.
Bài 57. Một người sử dụng xe có giá trò ban đầu là 10 triệu. Sau mỗi năm, giá trò của xe giảm 10%
hỏi sau 5 năm giá trò xe còn bao nhiêu ?
Bài 58. Dân số Việt Nam năm 2008 là 83 triệu người, mức tăng dân số mỗi năm là 1,2%.
a) Viết công thức tính dân số sau n năm.

b) Viết quy trình bấm phím và tính dân số sau năm 2020.
Bài 59. Một số tiền 58000 đồng được gởi tiết kiệm theo lãi suất kép (mỗi tháng tiền lãi được cộng
vào tiền gốc thành vốn). Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lãi là 84155 đồng. Tính lãi suất.
Bài 60. Một người gửi tiết kiệm 1000 USD vào ngân hàng với lãi suất 5%/ năm. Hỏi rằng người đó
5
nhận được tiền ít hay nhiều hơn nếu ngân hàng trả lãi
% / tháng ?
12

Trang 15


Bài 61. Một người hàng tháng gởi vào ngân hàng một số tiền t với lãi suất m%/ tháng.
a) Lập công thức tính số tiền người đó nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau n tháng.
b) Áp dụng tính với t = 1 triệu (đồng), m = 0,35%/ tháng, n = 24 tháng.
c) Nếu người đó muốn sau 24 tháng nhận được số tiền khoảng 30 triệu thì người đó phải gửi
bao nhiêu tiền với lãi suất như trên ?
GIẢI
a) Lập công thức tính số tiền có được:
Giả sử đầu tháng 1 gửi t (đồng), cuối tháng số tiền sẽ là t + t.m% = t(1 + m%).
Vì mỗi tháng, người đó gửi vào t đồng nên đầu tháng thứ 2, số tiền gốc của người đó sẽ
t
là t + t(1 + m%) = t[(1 + m%) + 1] =
[(1+ m%)2 − 1].
m%
t
[(1+ m%)2 − 1](1 + m%).
Cuối tháng thứ 2 số tiền sẽ là T2 =
m%
t

Cuối tháng thứ n, số tiền cả gốc lẫn lãi sẽ là Tn =
[(1+ m%)n − 1](1 + m%).
m%
b) Với t = 1 triệu, m = 0,35%, n = 24 tháng, ta có:
24
  0,35 
1.100  0,35 
T24 =
.  1 +
 − 1 .  1 +
 = 25,078725 (triệu).
0,35 
100 
100 
 

c) Từ công thức trên ta có: t =

Tn .m%
[(1 + m%)2 − 1](1 + m%)

. Áp dụng với T24 = 30 triệu, m = 24 tháng,

n = 0,35%/ tháng, ta có:

t=

30.0,35

= 1,196233 (triệu).

 0,35 24   0,35 
100.  1 +
− 1  1 +
100 
100 

 
Bài 62. Một người muốn rằng sau một năm phải có 20000 đôla. Hỏi phải gởi một khoảng tiền (như
nhau) hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,27%/ tháng ? Nếu tính theo Việt
Nam đồng thì người đó phải gởi hằng tháng là bao nhiêu, biết 100 đôla bằng 1489500 đồng ?
Bài 63. Một người vào bưu điện để gởi tiền cho người thân, trong túi có 5 triệu đồng. Chi phí dòch
vụ bằng 0,9% số tiền gởi đi. Hỏi người thân nhận được bao nhiêu tiền ?

Trang 16


§7. PHÉP THỬ
− Đây là dạng đề kết hợp giữa suy luận toán học với tính toán trên máy.
− Có những bài toán đòi hỏi không chỉ nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết chia hết,
đồng dư, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn đòi
hỏi xét loại trừ nhiều trường hợp. Không dùng máy tính thì tốc độ làm bài sẽ lâu. Máy tính sẽ đẩy
nhanh tốc độ làm bài.
− Mặt khác, nhóm các bài toán này rất khác nhau, không có phương pháp chung để giải. Để
giải các bài toán này, ta phải thử các giá trò rồi tìm quy luật của kết quả.

Bài 64. Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho an = 20203 + 21n cũng là số tự
nhiên.

GIẢI
Dùng máy, thay n = 1010 ta được an = 203,5018427; thay n = 2010 ta được an = 249,8259394.

⇒ 203 < an ≤ 249.
a2 − 20203
Mặt khác, n = n
.
21
Lập quy trình sau: 203 Shift Sto A Anpha
(Anpha A x2 − 20203)÷21 Anpha :Anpha = Anpha A + 1.
Lặp lại dấu =, trong khoảng A = 203 đến 249 (43 số), nếu biểu thức (Anpha A x2 −
20203)÷21 nhận được giá trò nguyên thì đó là các n cần tìm.
Ta được:
n
1118
1158
1301
1406
1557
1601
1758
1873
an
209
211
218
223
230
232
239
244
Bài 65. Tìm số tự nhiên n (1000 ≤ n ≤ 2000) sao cho an = 57121 + 35n là số tự nhiên.
Bài 66. Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có: a5 × bcd = 7850 .

24
Bài 67. Hãy tìm 5 chữ số cuối cùng của số 22 + 1 (Số Fecmat thứ 24).
Bài 68. Tìm một cặp số nguyên dương (x, y) sao cho:
x2 = 37y2 + 1
Bài 69. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
x7 + x − 5 = 0
Bài 70. Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của số 2152 + 3142.
Bài 71. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7.
Bài 72. Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244. Tính x3000 + y3000.
Bài 73. Tính 17320508082, từ đó tìm 16 chữ số sau dấu phẩy của

3.

Trang 17