Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS

Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 1

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây chúng ta đang thực hiện việc thay sách giáo khoa và giảng
dạy theo hướng đổi mới, lấy người học làm trung tâm. Vì vậy, ngoài việc cung cấp cho học
sinh THCS các kiến thức toán học cần thiết và yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức đã
học để vận dụng vào việc giải bài tập toán, chúng ta còn phải quan tâm đến việc giúp học
sinh có được phương pháp suy nghó khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích luỹ
được trong quá trình học tập, rèn luyện để việc giải bài tập toán được thuận tiện hơn.
Thực tế hiện nay cho chúng ta thấy, cách giải bài tập của phần lớn học sinh còn mang
tính chất cảm tính, chưa có một phương pháp giải khoa học. Ngoài ra, trong môn toán ở
trường THCS, có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán chung để giải. Đối với
những bài toán này, chúng ta cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghó tìm tòi cách
giải và trình bày lời giải. Để thực hiện được việc này, tôi đã tham khảo một số sách và kết
hợp với kinh nghiệm riêng của mình để biên soạn nên tài liệu này, nhằm mục đích như là
những lời khuyên của một người có chút ít kinh nghiệm về giải toán để truyền đạt lại cho
các em, chứ không phải là một bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tuy nhiên, do thời gian
hướng dẫn một chuyên đề theo qui đònh còn hạn chế, nên trong tập tài liệu này chỉ đề cập
chủ yếu đến việc hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải một bài toán chứ chưa đặt nặng đến
vấn đề trình bày lời giải đạt đủ các yêu cầu: Chính xác, ngắn gọn và đầy đủ (nếu có điều
kiện tôi sẽ trình bày vấn đề này vào một dòp khác).
Trong tập tài liệu này, ngoài những kinh nghiệm riêng, tôi còn tham khảo chủ yếu ở
cuốn “Thực hành giải toán” do nhà xuất bản Giáo dục phát hành và một số tài liệu khác.
Tuy nhiên để phù hợp với điều kiện tâm sinh lý của học sinh THCS nên tôi đã giảm nhẹ về
phần mục tiêu. Vì mục đích đào tạo chung, mong các tác giả của các tài liệu tôi đã tham
khảo thông cảm.
Vì mới biên soạn lần đầu và trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, nên chắc chắn
không thể không thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ của các em

học sinh, của quý bậc phụ huynh học sinh và nhất là của quý đồng nghiệp gần xa.
Ninh Sơn, tháng 1 năm 2005.
Người biên soạn.




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 2

MỤC LỤC

Lời mở đầu
Mục lục
Phân phối chương trình
Phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS
Các ví dụ minh họa.

Trang
01
02
03
04
07




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 3

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

***
Tổng số: 08 tiết
Mỗi tuần: 02 tiết

Tiết 01: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS.
Tiết 02: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt).
Tiết 03: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt).
Tiết 04: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt).
Tiết 05: Các ví dụ minh họa – Số học.
Tiết 06: Các ví dụ minh họa (tt) – Đại số.
Tiết 07: Các ví dụ minh họa (tt) – Hình học.
Tiết 08: Kiễm tra 1 tiết.




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 4

GI Ý PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN
Ở TRƯỜNG THCS.

Phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán theo gợi ý của Pôlya bao gồm bốn bước:
- Tìm hiểu đề toán.
- Xây dựng chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiễm tra và nghiên cứu lời giải.
1/ Tìm hiểu đề toán: Việc tìm hiểu đề chính là việc đọc đề một cách có khoa học, có thể
thực hiện theo gợi ý sau:
- Đọc đề lần thứ nhất: Lần đọc này chủ yếu là đọc qua một lần để làm quen với đề
tránh vội vàng đi sâu vào chi tiết. Tuy nhiên cần đọc một cách chậm rãi để nhận dạng bài

toán.
- Đọc đề lần thứ hai: vừa đọc vừa nghắt câu cho đúng chỗ để tìm hiểu sâu vào các chi
tiết của đề. Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với việc vẽ hình, cần nắm rõ trình tự vẽ cho
chính xác, yếu tố nào cần vẽ trước, yếu tố nào vẽ sau. Khi vẽ hình cần chú ý:
+ hình vẽ phải mang tính tổng quát, tránh vẽ các trường hợp đặc biệt để khỏi bò
ngộ nhận.
+ hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, có thể vẽ nét đậm, nát nhạt, nét liền, nét đứt,
hoặc dùng nhiều màu khác nhau.
- Đọc đề lần thứ ba: đọc thật chậm, thật kỷ để phân tích đề để tách ra các yếu tố
chính, xem xét kỷ các yếu tố chính này nhiều lần và ở nhiều mặt khác nhau, sau đó tóm tắt
lại đề. Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với hình vẽ để ghi phần giả thiết kết luận.
- Đối với những bài toán khó có thể đọc đề thêm một số lần nữa.
2/ Xây dựng chương trình giải: Xây dưng chương trình giải tức là tìm tòi cách giải quyết bài
toán. Đây chính là bước quan trọng nhất quyết đònh cho việc đưa ra một lời giải đúng,
nhanh. Điều cơ bản làbiết đònh hướng đúng dể tìm ra được đường đi đúng. Có thể thực hiện
bước này theo những gợi ý sau:
a/ Sử dụng các bài toán đã giải: Xem có bài toán nào tương tự hoặc gần giống bài toán
cần giải mà ta đã giải được. Hãy xét cho kỹ cái chưa biết và thử nghó đến một bài toán quen
thuộc cũng chứa cái chưa biết đó hay một cái chưa biết tương tự. Cần nhớ lại một bài toán
đã được giải và gần giống với bài đang xét. Cần phải sử dụng bài toán đã giải này về
phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm…
b/ Biến đổi bài toán: Cần phải huy động và tổ chức những kiến thức đã học để biến đổi
bài toán tạo ra những liên hệ mới, khả năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan
đến bài toán đang xét.
Ví dụ: Chứng minh m3 − m chia hết cho 6 với mọi số nguyên m.




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 5

Ta biến đổi như sau: m − m = m ( m 2 − 1) = ( m − 1) m ( m + 1) .
3

Đến đây, ta nhận xét: m – 1; m; m + 1 là ba số nguyên liên tiếp và nhớ lại rằng: trong
hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn, trong ba số nguyên liên tiếp luôn có một số
chia hết cho 3. vậy bài toán đã có hướng giải quyết.
c/ Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn: cách làm này thường gặp ở
những bài toán khó, những bài toán loại này, thường được kết hợp từ những bài toán khác
đơn giản hơn. Vì vậy người giải cần phải phân tích bài toán thành những bài toán nhỏ để
giải, sau đó lại kết hợp chúng lại với nhau.
Ví dụ: Chứng minh rằng: p 4 − 1 chia hết cho 240. Với p là số nguyên tố lớn hơn 5.
Ta nhận xét: 240 = 3.5.16 và 3; 5; 16 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta
chia bài toán thành ba bài toán nhỏ như sau:
- Chứng minh rằng: p 4 − 1 chia hết cho3.
- Chứng minh rằng: p 4 − 1 chia hết cho 5.
- Chứng minh rằng: p 4 − 1 chia hết cho 16.
Sau đó ta kết hợp với tính chất chia hết của một tích để đi dến kết luận cho bài toán
cần giải.
d/ Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể xãy ra:
ví dụ: Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC hãy dựng một đường thẳng chia
tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Ta xét một số trường hợp đặc biệt:
-M là trung điểm của cạnh BC. Lúc này đường thẳng cần dựng chính là trung tuyến
AM.
-M trùng với một trong hai đầu mút của canh BC (chẳng hạn trùng với B). Lúc này
đường thẳng cần tìm là trung tuyến BI.
Từ đây ta dưa ra việc giải bài toán tổng quát bằng cách đưa về một trong hai trường
hợp trên.
BẢN GI Ý XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI.
-Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay dã gặp bài toán tương tự?

-Bạn có biết bài toán nào có liên quan không? Một đònh lý có thể vận dụng để giải
bài này không?
-Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán tương tự có cùng cái chưa biết hay
có cái chưa biết tương tự.
- Có thể sử dụng một bài toán liên quan mà bạn dã giải và xét xem có thể sử dụng nó
không? Sử dụng kết quả hay sử dụng phương pháp? Có cần thêm yếu tố phụ không?
-Thử phát biểu bài toán theo cách khác dễ hơn.




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 6

-Nếu gặp bài toán khó, hãy thử giải một bài toán khác có liên quan mà dễ hơn, một
bài toán tổng quát, một trường hợp riêng, một bài toán tương tự hoặc bạn có thể giải một
phần của bài toán không?
-Kiễm tra xem bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ
yếu có trong bài toán chưa?
3/ Thực hiện chương trình giải:
Dựa vào xây dựng chương trình giải, ta tiến hành trình bày lời giải theo một trình tự
có thể không giống như trình tự của việc xây dựng chương trình giải. Tuy nhiên, cần kiểm
nghiệm lại từng chi tiết để trình bày lời giải một cách mạch lạc, hợp lôgic và nhất là phải
hội đủ các yêu cầu: chính xác (kể cả nội dung và trình tự), đầy đủ và ngắn gọn.
4/ Kiễm tra và nghiên cứu lời giải:
Đây là bước cần thiết và bổ ích, giúp học giỏi toán hơn nhưng trong thực tế học sinh ít
khi thực hiện nó. Bước này bao gồm:
-Kiễm tra để phát hiện những cái sai (về thuật ngữ, về lôgic, về nội dung các khái
niệm, đònh lý v.v…), những cái sót (ghi thiếu câu, thiếu dòng, bỏ qua các bước cần thiết
v.v…). việc sửa chữa những sai, sót này giúp ta phong phú thêm về kinh nghiệm giải toán,
qua đó sẽ củng cố và phát triễn năng lực giải toán cho bản thân.

-Phát triễn bài toán:
+Xem bài toán còn có cách giải nào khác không? Hãy giải lại bài toán bằng nhiều
cách khác (nếu có thể), thông qua đó tìm ra cách giải ngắn gọn nhất, hay nhất.
+Thử thêm, bớt các dữ kiện của giả thiết hoặc kết luận, để tạo ra bài toán mới liên
quan hoặc tương tự bài toán vừa làm. Các bài toán mới này có thể khó hơn hoặc dễ hơn bài
toán vừa làm. Việc làm này giúp người giải toán gặp nhiều thuận lợi hơn khi gặp những bài
toán liên quan hoặc tương tự bài toán vừa làm (dành cho giáo viên và học sinh giỏi).




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 7

MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
1/ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (2x + 1)(2y + 3) = 63. (1)
Giải:
a/ Xây dựng chương trình giải: Ta chú ý rằng x, y ∈ N và do (1) nên 2x + 1 và 2y + 3
là những ước số của 63. Ta thấy 2y + 3 ≥ 3 nên lần lượt cho 2y + 3 bằng các ước số lớn hơn
hay bằng 3 của 63, ta sẽ tìm được các giá trò của y và các giá trò của x tương ứng.
b/ Lời giải: Từ (2x + 1)(2y + 3) = 63 và x, y ∈ N ta có: 63M 2y + 3 ≥ 3 .
Mà 63 = 32.7 nên có 4 khả năng sau:
*

⎧ 2 x + 1 = 21 ⎧ y = 0
⇔⎨
⎨
⎩2 y + 3 = 3
⎩ x = 10

*

⎧2 x + 1 = 9
⎧y = 2
⇔⎨
⎨
⎩2 y + 3 = 7
⎩x = 4

*

⎧2 x + 1 = 7
⎧y = 3
⇔⎨
⎨
⎩2 y + 3 = 9
⎩x = 3

*

⎧ 2 x + 1 = 63
⎧ y = 30
⇔⎨
⎨
⎩2 y + 3 = 1
⎩x = 0

c/ Phát triển bài toán: Với phương pháp giải trên ta có thể giải các phương trình
nghiệm nguyên có dạng X.Y… = m.
Chẳng hạn: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(x –1)(y – x – 1) = 7.

2/ Hãy thêm vào bên trái của số 1995 một chữ số và bên phải một chữ số để được số mới
chia hết cho 45.
Giải:
a/ Xây dựng chương trình giải: Ta phân tích 45 = 5.9 là tích của hai số nguyên tố cùng
nhau. Từ đó suy ra số chia hết cho 45 khi và chỉ khi nó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho
9. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta sẽ tìm đựơc chữ số bên phải và dựa vào dấu hiệu chia
hết cho 9 để ta tìm được chữ số bên trái.
b/ Lời giải: Gọi x là chữ số thêm vào bên trái, y là chữ số thêm vào bên phải
x, y ∈ N; 0 ≤ x, y ≤ 9 và x ≠ 0 ta có:
⎧⎪ x1995 y M 5
x1995 y M 45 ⇔ ⎨
⎪⎩ x1995 y M 9
⎧y = 0
⎧y = 5
và ⎨
⎩x = 3
⎩x = 7

Nên xãy ra 2 trường hợp: ⎨

c/ Phát triển bài toán: từ lời giải của bài toán này, kết hợp với những dấu hiệu chia
hết khác, có thể nêu và giải nhiều bài toán tương tự như: Tìm các chữ số x và y sao cho:



x1995 yM15 ;
x1995 yM18 ;

Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 8
x1995 yM 55 ; …

3/ Phân tích đa thức thành nhân tử: f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 .
a/ Xây dựng chương trình giải: ta nhận thấy không thể áp dụng các phương pháp
thông thường để phân tích được. Vì vậy cần phải biến đổi đa thức để đưa về các dạng như
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử … Bằng cách tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
b/ Lời giải: f ( x ) = x 2 − x − 5 x + 5 = x ( x − 1) − 5 ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5)
c/ Phát triển bài toán: Ta cũng có thể biến đổi theo nhiều cách khác nhau để phân
tích. Sau đây là 7 cách khác với cách vừa phân tích trên:
2
* f ( x ) = ( x 2 − 6 x + 9 ) − 4 = ( x − 3) − 22 = ( x − 1)( x − 5 )
* f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1) − 4 x + 4 = ( x − 1) − 4 ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5)
2

* f ( x ) = ( x 2 − 1) − 6 x + 6 = ( x − 1)( x + 1) − 6 ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5)

* f ( x ) = ( 3x 2 − 6 x + 3) − 2 x 2 + 2 = 3 ( x − 1) − 2 ( x 2 − 1) = ( x − 1)( x − 5)
2

* f ( x ) = ( 5 x 2 − 10 x + 5) − 4 x 2 + 4 x = 5 ( x − 1) − 4 x ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5)
2

* f ( x ) = ( 6 x 2 − 6 x ) − 5 x 2 + 5 = 6 x ( x − 1) − 5 ( x 2 − 1) = ( x − 1)( x − 5)

* Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0, nên f(x) chia hết cho x – 1. Thực hiện phép
chia f(x) cho x – 1, ta được thương là x – 5. Vậy: f ( x ) = ( x − 1)( x − 5) .
4/ Chứng minh rằng đa thức x9 + x 7 + x5 chia hết cho x 2 + x + 1 .
a/ Xây dựng chương trình giải: từ yêu cầu của bài toán ta có thể thực hiện phép chia
9
7

x + x + x 5 cho x 2 + x + 1 và tìm ra số dư bằng 0.
b/ Lời giải: Ta thực hiện phép chia như sau:
x9
+ x7
+ x5
x2 + x + 1
x9 + x8 + x7
x 7 – x 6 + x5
– x8
– x8 – x7 – x6
x7 + x6 + x5
x7 + x6 + x5
0
9
7
5
Vậy x + x + x chia hết cho x 2 + x + 1 .
c/ Phát triển bài toán: có thể giải bài toán bằng cách khác như sau: Phân tích đa thức
9
7
x + x + x 5 thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là x 2 + x + 1 :
x9 + x 7 + x5 = ( x9 + x8 + x 7 ) − ( x8 + x 7 + x 6 ) + ( x 7 + x 6 + x 5 ) = x 7 ( x 2 + x + 1) − x 6 ( x 2 + x + 1) + x5 ( x 2 + x + 1)

= ( x 2 + x + 1)( x 7 − x 6 + x 5 )

Vậy x 9 + x 7 + x 5 chia hết cho x 2 + x + 1 .
5/ Cho tam giác đều ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px

 , tia nàycắt AC tại E. chứng minh PB = PE.
sao cho góc CPx

bằng góc BAC




Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 9

A

x
E

B
P
C
a/ Xây dựng chương trình giải: Với giả thiết đã cho có rất nhiều cách để di đến chứng minh
PB = PE. Sau đây chỉ là một cách.
Ta chứng minh PB = PE , nhưng PB =
được:

AB
(theo giả thiết) nên ta đi chứng minh cho
2

AB
= PE (1). Để chứng minh (1) ta phải chứng minh PE // AB và PB = PC.
2




Ta có: PB = PC (giả thiết) và CPE
= CBA
= BAC
= 600, từ đây ta suy ra điều cần

chứng minh.
b/ Lời giải: (tóm tắt)



Ta có: CPE
= CBA
= BAC
= 600 (giả thiết)
Mà: PB = PC (giả thiết)
Suy ra: PE là đường trung bình  ABC .
Vậy PB = PE =

AB
.
2

c/ Phát triển bài toán: Hãy thay điều kiện tam giác đều ABC bằng tam giác cân và
thiết lập được bái toán tương tự (Học sinh tự chứng minh)