Lồng ghép các ứng dụng của toán học vào bài giảng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
LỒNG GHÉP ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI DẠY MÔN
TOÁN CHO HỌC SINH CẤP HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
Giảng viên hướng dẫn: Thạc sĩ Bùi Thị Hường

Nhóm nghiên cứu:
Phạm Thị Thu Hà
Phạm Thị Yến
Phạm Hoài Thủy


Hà Nội, 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
LỒNG GHÉP ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI DẠY MÔN
TOÁN CHO HỌC SINH CẤP HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
Giảng viên hướng dẫn: Thạc sĩ Bùi Thị Hường

Nhóm nghiên cứu:
Phạm Thị Thu Hà
Phạm Thị Yến
Phạm Hoài Thủy

Hà Nội, 2015


Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Ngày nay cuộc sống của chúng ta ngày càng hiện đại và tiện nghi.
Đằng sau sự hiện đại ấy là biết bao công trình khoa học của bao nhiêu thế
hệ xưa và nay. Hơn hai nghìn năm nay, Toán học đã chứng tỏ mình như một
đỉnh cao trí tuệ của con người, ứng dụng vào hầu hết các ngành khoa học và
là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Plato khẳng định: Chỉ
trong Toán học chúng ta mới có thể có được những tri thức tuyệt đối khách
quan.
Hơn nữa, Toán học còn là khung xương vững chắc của rất nhiều
ngành khoa học. Toán học giống như chiếc chìa khóa vạn năng, nắm được
chiếc chìa khóa ấy có nghĩa là đã nắm được công cụ vững chắc cho việc
học, nghiên cứu tất cả các lĩnh vực khoa học. Cũng chính vì thế mà việc
thúc đẩy sự phát triển của Toán học sẽ góp phần thúc đẩy nền khoa học nói
chung phát triển. Khi đó, khoa học được ứng dụng rộng rãi hơn vào đời
sống, cải thiện chất lượng cuộc sống. Trước đây, ăn no là điều mà nhiều gia
đình quan tâm. Ngày nay, không những ăn no mà còn ăn ngon, hướng tới
tiết kiệm sức lao động, có nhiều thời gian nghỉ ngơi hơn, có nhiều phương
pháp giải trí hơn.
Đời sống được nâng lên rõ rệt. Con em trong các gia đình đều được
đi học. Nhưng rất nhiều học sinh không biết mình đi học để làm gì, chỉ biết
rằng ai ai cũng đi học, học hành là nghĩa vụ. Nhiều em vẫn thường xuyên
thốt lên rằng: “Học Toán để làm gì? Các thương gia, bác sĩ, kiến trúc sư,

nhà thiết kế thời trang, nhiếp ảnh gia,... cần đạo hàm, tích phân, bất đẳng
thức Cauchy, Bunyakovsky để làm gì?” Các em ấy không biết rằng nếu
không có Toán học thì sẽ không có ti vi, máy tính, mạng xã hội cho các em
giải trí, không có thiết bị điện tử: nồi cơm, bếp ga, bếp hồng ngoại, máy
giặt,..Chẳng có các dây chuyền sản xuất, các thiết bị sản xuất và con người
vẫn cứ phải lao lực cho những công việc lao động chân tay. Vì lẽ đó mà
giáo viên cần phải khéo léo đưa các ứng dụng đơn giản vào bài dạy để học
sinh hiểu được phần nào những ứng dụng của Toán.
Một trong những nguyên nhân khiến Toán học trở nên khô khan với
nhiều học sinh là cách truyền thụ ở các trường phổ thông còn cứng nhắc, ít
1)

4


thú vị. Việc dạy và học tại trường thường bao gồm: Thầy dạy lý thuyết, thầy
giao các bài tập hoàn toàn mang tính chất hàn lâm, không thực tế và học trò
làm bài tập. Những công việc ấy lặp đi lặp lại trong nhiều ngày, nhiều tuần,
nhiều kì học, nhiều năm không có gì mới mẻ dẫn tới sự nhàm chán. Với một
số học sinh thì việc miệt mài học Toán cũng chỉ để phụ huynh vui lòng hay
để đối mặt với bước ngoặt trong cuộc đời: đó là kì thi đại học. Và đa số thầy
cô chỉ hướng tới việc dạy các dạng Toán giúp học sinh luyện thi đại học để
đáp ứng nguyện vọng của các học sinh và gia đình, miễn sao số lượng học
sinh đỗ cao là được. Cách dạy và học ấy khó tránh khỏi làm học sinh mệt
mỏi, không tạo ra sự sáng tạo cho học sinh dẫn tới chán nản. Với tâm lí như
vậy, học sinh khó có thể tiếp thu kiến thức và không có sự logic giữa các
phần dẫn tới việc học nhiều lần vẫn không nhớ kiến thức lâu dài được. Điều
nguy hiểm là khi bị quên kiến thức thì lại có tâm lí không muốn bù lại chỗ
khuyết. Một khi kiến thức cũ vẫn chưa nắm chắc, học sinh khó có thể tiếp
thu được kiến thức mới. Cứ như thế, những lỗ hổng kiến thức cứ lớn dần ra

theo năm tháng, rồi không thể bù đắp được. Càng học càng không hiểu
không nắm được bài từ đó học sinh tỏ ra uể oải. Mất tập trung, nói chuyện,
gây ồn là việc không tránh được sẽ làm giảm hiệu quả của tiết học. Phương
pháp dạy và học như vậy gây khó khăn cho cả thầy và trò mà không đạt
hiệu quả cao. Từ thực tế chứng minh cần phải đổi mới phương pháp dạy và
học. Chính vì thế chúng em chọn chủ đề “Lồng ghép các ứng dụng của
Toán học vào bài dạy” mong có thể khắc phục tình trạng hiện tại.
2) Mục đích nghiên cứu

Tìm ra các ứng dụng của Toán học để lồng ghép vào bài dạy
3) Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng của Toán phổ thông trong thực tiễn cuộc sống.
Cách lồng ghép các ứng dụng của Toán vào trong giảng dạy.
-

-

4) Phạm vi nghiên cứu
-

Lồng ghép được ứng dụng của Toán học vào một số bài dạy cụ thể
trong chương trình Toán lớp 9, 10,11.
5) Nhiệm vụ nghiên cứu

-

Tìm ra những ứng dụng phổ biến và gần gũi nhất với học sinh.
Tìm ra cách lồng ghép các ứng dụng của Toán học vào các bài học
một cách tự nhiên nhất.
6) Các phương pháp nghiên cứu

5


-

Phương pháp nghiên cứu lí luận.
7) Dự kiến kết quả nghiên cứu về lý luận và thực tiễn
Đưa ra được một số ứng dụng của Toán học vào trong bài dạy cụ thể.
Tạo hứng thú cho học sinh, nâng cao hiệu quả giảng dạy.
8) Kết cấu nội dung của đề tài

Ngoài phần phụ lục, tài liệu tham khảo, bài nghiên cứu gồm các phần
sau:
Chương 1: Cơ sở khoa học của vấn đề nghiên cứu
1.1 Vài nét chung về Toán học
1.2 Ứng dụng của Toán học trong cuộc sống
1.3 Khảo sát thực tế về việc lồng ghép ứng dụng Toán học
trong các tiết học ở một số trường phổ thông
Chương 2: Một số bài dạy lồng ghép các ứng dụng của Toán học
trong cuộc sống
2.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2.2. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng
2.3. Áp dụng định lý Thales
2.4 .Sử dụng các kiến thức về xác suất
2.5. Áp dụng các công thức tính đạo hàm
2.6. Sử dụng đồ thị

6

NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở khoa học của vấn đề nghiên cứu
1.1 Vài nét chung về Toán học
“Toán học (tiếng anh: Mathematics) là ngành nghiên cứu trừu tượng
về những chủ đề như: lượng (các con số) cấu trúc, không gian, và sự thay
đổi. Các nhà Toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định
nghĩa và phạm vi của Toán học.” - Wikipedia
Toán học chia làm hai loại nhóm chính. Nhóm thứ nhất là Toán học
thuần túy, chuyên nghiên cứu về Toán lý thuyết, chứng minh các bài Toán
lớn, tìm ra những lý thuyết mới. Nhóm thứ hai là Toán ứng dụng, chuyên
vận dụng các lý thuyết Toán để ứng dụng vào đời sống. Ở đây, chúng ta
nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nhóm thứ hai.
Đối với một số người, Toán học là một lĩnh vực khô khan và có phần
không thân thiện. Thực chất, Toán học đi vào mọi nhánh của các ngành
khoa học, mọi công việc và đời sống hằng ngày của chúng ta cũng giống
như không khí lan tỏa vào từng vị trí dù là nhỏ nhất trên Trái Đất. Không
khí là yếu tố không thể thiếu cho sự sống và Toán học là yếu tố không thể
thiếu của cuộc sống. Đôi khi, chúng ta làm việc, hành động, suy nghĩ theo
các phản xạ tự nhiên, theo lối mòn của tiềm thức, những công việc hằng
ngày mà chúng ta làm, ví dụ như đếm số bát đũa để chuẩn bị mâm cơm cho
đầy đủ, xem đồng hồ và ước lượng khoảng thời gian, nhẩm số mũi đan sao
cho thích hợp,…tất cả đã thuần thục đến nỗi chúng ta thường không nhận ra
nó là Toán học về bản chất. Ngay từ thời nguyên thủy, khi số đếm còn chưa
ra đời, cách để con người biết số rìu đá có đủ cho tất cả mọi người hay
không, người ta đem rìu phát cho từng người một. Hành động đó không
khác gì một ánh xạ từ tập “số người” sang tập “số rìu”. Song ánh là một
khái niệm của Toán cao cấp nhưng những tư tưởng của nó lại xuất phát từ
thời điểm rất sớm trong lịch sử. Hay như các hành tinh trong hệ mặt trời
chuyển động trên quỹ đạo hình Elip, chính là đường cong được nhà Toán

học cổ Hy Lạp Menaechmus nghiên cứu từ 2000 năm trước. Những điều đó
là những minh chứng cụ thể nhất cho tính gần gũi của Toán học đối với
cuộc sống. Mọi lý thuyết phức tạp, chuyên sâu của Toán học đều bắt nguồn
từ những nhu cầu của cuộc sống.
7


Đặc điểm nổi bật nhất của Toán học là tính chính xác, tính nhất quán
và logic. Liệu có sự khác biệt giữa Toán học và các biểu đạt khác của trí
não con người như năng lực thị giác hay âm nhạc? Nếu không thì tại sao
Toán học lại biểu lộ tính nhất quán và chặt chẽ mà không một sáng tạo khác
của loài người có được. Như hình học Euclid từ năm 300 trước Công
Nguyên đại diện cho chân lý đến tận bây giờ. Ngược lại, chúng ta sẽ không
muốn nghe cùng một thứ âm nhạc với người Hy Lạp cổ đại, cũng như
không còn tán đồng với mô hình ngây thơ về vũ trụ của Aristotle.
Adolphe Quetelet nhận định: “Khoa học càng phát triển thì chúng
càng có xu hướng tiến sâu vào lĩnh vực Toán học , một loại tâm điểm mà
các loại khoa học đều hội tụ về. Chúng ta có thể đánh giá về mức độ hoàn
hảo mà một bộ môn khoa học đạt tới thông qua mức độ tiếp cận của môn
học khoa học ấy với những tính Toán Toán học.”
1.2 Một số ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống
Khả năng của Toán học là vô hạn. Từ những nhà khoa học phải dùng
đến những lý thuyết chuyên ngành phức tạp, những kiến trúc sư thiết kế
những công trình vừa đẹp vừa vững chắc, các doanh nghiệp, các bác sĩ cho
đến những người giáo viên. Tất cả đều phải dùng đến Toán học trong công
việc của mình. Mỗi nhánh của Toán học lại có những ứng dụng hết sức sâu
rộng vào rất nhiều ngành.
1.2.1 Các ứng dụng đối với tự nhiên
Toán học giúp một nhà vật lý đang cố gắng tìm ra một lý thuyết của
vũ trụ, giúp chuyên viên phân tích thị trường chứng khoán dự đoán vụ sụt

giá bất thần sắp tới, giúp nhà sinh học thần kinh xây dựng mô hình về chức
năng của bộ não, cung cấp lý thuyết số và các công cụ cần thiết cho nhà tình
báo quân đội tìm cách tối ưu hóa việc phân bổ tài lực,...
Những tư tưởng và kết quả của hàm biến phức ngày càng thâm nhập
sâu vào những phần khác nhau của Toán học. Các phương pháp của hàm
biến phức đã trở thành quen thuộc ngay cả trong nhiều ngành ứng dụng như
thủy động lực học, khí động lực học, lý thuyết đàn hồi.
Lý thuyết Tôpô nghiên cứu cách tìm đường đi trong mê cung để tiến
hành nghiên cứu hành vi học tập của con người và động vật. Tôpô còn góp
phần tìm hiểu hình thể của vũ trụ và cũng được sử dụng trong nghiên cứu về
cơ học chất lỏng, về dòng chảy của khí xung quanh máy bay đang bay hoặc
xe hơi đang chạy.

8


Lý thuyết nút có ứng dụng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực hiện đại như
nghiên cứu về cấu trúc phân tử ADN. Cùng với phương pháp nghiên cứu
phả hệ, nhánh di truyền của Sinh học ngày càng phát triển hơn.
Đại số Von Neumann trở thành công cụ đắc lực trong nghiên cứu vật
lí lượng tử. Những đóng góp của Von Neumann mang đến cho nền Toán
học thế giới nhiều nét độc đáo. Nổi bât nhất là lý thuyết trò chơi, ứng dụng
trong kinh tế, những cống hiến trong sự phát triển máy tính điện tử. Khi
tham gia đề án chế tạo bom nguyên tử của Mỹ, phải thực hiện rất nhiều tính
Toán, ông và các cộng sự của mình đã chế tạo ra chiếc máy tính MANIAC.
Phép Biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín
hiệu và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong trong một tín
hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập.
Thông thạo kiến thức môn phương trình vi phân là điều cần thiết đối
với các sĩ quan pháo binh. Bởi vì phương trình quỹ đạo đường đạn bay

trong không gian là phương trình vi phân. Hoặc khi làm các thí nghiệm vật
lý nghiên cứu về con lắc đơn, tính Toán khi nào con lắc dừng lại, khi nào nó
lên vị trí cao nhất, chúng ta đều phải làm việc với phương trình vi phân.
Hơn nữa, nhờ có các tính Toán chính xác của phương trình vi phân, chúng
ta có cơ sở vững chắc để lắp ráp máy bay. Phương trình vi phân là một công
cụ đắc lực cho việc nghiên cứu bất kì những vấn đề nào liên quan đến
chuyển động.
Bản đồ thế giới trên quả cầu tròn hay mặt phẳng, hai công việc tưởng
chừng như giống nhau nhưng không hề đơn giản để tạo ra sự tương đồng về
khoảng cách, tỉ lệ xích, vị trí tương đối giữa các đối tượng trên bản đồ. Khái
niệm được sử dụng ở đây là khái niệm đa tạp.
Quá trình khuếch tán vật chất hoặc truyền nhiệt của một chất điểm ra
xa, trong một vài giả thiết, sự khuếch tán này là một hàm điều hòa (một khái
niệm trong môn hàm biến phức). Do đó, khi nghiên cứu về các quá trình
này, chúng ta chỉ cần quan tâm tới những giá trị ở điểm khuếch tán trên mặt
cầu nhất định. Cũng chính nhờ hàm điều hòa mà chúng ta có thể quan sát,
tính Toán ra nhiệt độ ở tâm mặt trời vào khoảng 30 triệu độ.
Giải tích cũng rất cần cho các kỹ sư điện, cầu đường, thuỷ lợi, chế tạo
máy. Không có những môn này thì cũng không có những thành tựu vĩ đại
của con người trong chinh phục không gian vũ trụ, trong nghiên cứu Trái
đất và khí quyển. Đồng thời, “tích phân’’ ngẫu nhiên cũng trở thành công cụ
Toán học có hiệu quả cho nhiều vấn đề của vật lý, cơ học, sinh học và cả
kinh tế.
9


Bộ môn xác suất cung cấp những lý thuyết cần thiết cho việc nghiên
cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ ngẫu nhiên mà trong đó, quá khứ
của nó ảnh hưởng rất mạnh đến sự phát triển của các ngành khoa học trong
tương lai. Mô hình này có ứng dụng ngày càng sâu rộng trong các lĩnh vực

kinh tế, thị trường chứng khoán, thương mại điện tử, cơ học thống kê, khí
tượng thủy văn, lý thuyết bắn, kiểm tra chất lượng sản phẩm bằng phương
pháp thống kê, lý thuyết truyền tin theo các kênh liên lạc, hải quan.
Đại số đại cương và đại số tuyến tính lại áp dụng nhiều trong lĩnh vực
thiết kế công nghiệp, Toán kinh tế, quy hoạch tuyến tính, lý thuyết mã hoá
bảo mật thông tin.
Số học, môn học cổ xưa và “già cỗi” nhất, tưởng chừng đã kết thúc sự
phát triển của mình trong thế kỷ 20, lại được hồi sinh nhờ có những ứng
dụng tuyệt vời trong hệ mã công khai RSA và các hệ mã khác …
Có một thực tế đáng kinh ngạc là về căn bản mọi đặc điểm về thể
chất của con người, hay động vật, thực vật (thuộc một tập hợp đã cho bất kì)
đều có thể đo được và được phân bố theo một loại hàm số Toán học.
“Hình học giải tích lát đường dẫn tới sự phát minh ra phép tính vi tích
phân của Newton, với những khám phá gắn liền với nó về hàm số, các
đường tiếp tuyến và các độ cong mà cả tinh thần khoa học bên trong con
người Newton đã thực sự cháy. Cũng nhờ sự chặt chẽ của ngôn ngữ Toán
học, Newton đã thành công trong việc phát biểu các định luật cơ bản của cơ
học, giải mã được những quy luật mô tả chuyển động của các hành tinh, xây
dựng nên cơ sở lý thuyết của các hiện tượng ánh sáng và màu sắc, đặt nền
móng cho việc nghiên cứu phép tính vi tích phân. Những thành tựu đó đã
đưa Newton lên vị trí danh dự trong số các nhà khoa học kiệt suất nhất.
Trong khi đó, những ý tưởng lý thuyết của Robert Hooke mà trong
nhiều trường hợp cũng rất tài tình lại trông chả khác gì một đống những ý
kiến cảm tính, những phỏng đoán và tự biện. Mọi chân lý chỉ thực sự trở
nên chặt chẽ, khách quan khi được viết dưới ngôn ngữ của Toán học” - đó
là những nhận định của Mario - Livio trong cuốn “Chúa trời có phải nhà
Toán học”.
1.2.2 Các ứng dụng đối với xã hội
Toán học là bộ phận cấu thành không thể thiếu của những sản phẩm
phục vụ đời sống hằng ngày: Các hàm Toán học trong cấu trúc an ninh của

hệ điều hành máy tính, các thuật Toán bảo vệ dữ liệu cá nhân và xác thực
danh tính trong các thẻ giao dịch tài chính, thuật Toán tạo chữ kí điện tử
thay thế chữ kí tay, công nghệ Toán học mờ (Fuzzy Mathematics) trong các
10


thiết bị điều khiển và các thiết bị gia dụng. Vai trò của Toán học lớn lao như
vậy nhưng lại không có nhiều khách hàng thuê bao điện thoại biết được việc
mạng điện thoại vận hành thông suốt có sự đóng góp không nhỏ của thuật
Toán đơn hình - một thuật Toán cơ bản của lý thuyết quy hoạch Toán học.
Nếu không có các thuật Toán an toàn trong máy ATM thì số tiền của mọi
người sẽ bị đánh cắp.
Ngoài ra, quy hoạch Toán học còn có ứng dụng hết sức sâu rộng
trong cuộc sống. Khi vận chuyển hàng hóa đường dài, chúng ta phải đặt kế
hoạch vận chuyển sao cho thuận lợi nhất. Khi đó, không những phải xác
định tổng khối lượng vận chuyển, mà còn phải phân phối khối lượng vận
chuyển cho từng phương thức vận tải, phối hợp các phương thức sao cho
hiệu quả, cần phải cân bằng giữa khả năng vận chuyển và nhu cầu vận
chuyển sao cho chi phí lao động xã hội, chi phí phương tiện nhỏ nhất, khối
lượng hàng hóa vận chuyển được lớn nhất. Quy hoạch Toán học cũng được
dùng để kế hoạch hóa sự phân bố các ngành công nghiệp. Sự phân bố này
không chỉ chịu ảnh hưởng của các điều kiện tự nhiên mà còn chịu ảnh
hưởng rất nhiều từ các điều kiện kinh tế như chi phí sản xuất, vận chuyển,
hiệu quả mối liên hệ giữa các vùng. Cần phải phân bố sao cho đảm bảo tiết
kiệm hoa phí lao động xã hội, phân bố mỗi ngành hợp lí giữa vùng sản xuất
và vùng tiêu thụ. Trong kinh tế, còn rất nhiều ứng dụng khác của quy hoạch
Toán học như: phân định nhiệm vụ, kế hoạch theo mức độ công suất và mức
độ hao phí tối thiểu về công suất sản xuất, phân bố đất trồng sao cho đảm
bảo cân đối về sản lượng và thu hoạch, phân công các máy cưa trong xưởng
gỗ sao cho hoàn thành công việc trong thời gian ngắn nhất…

Phương pháp quy nạp có ứng dụng trong các thuật Toán tin học, lý
thuyết Wavelet cho phép FBI mã hóa bộ ảnh dấu vân tay, từ đó có thể lưu
trữ trong máy tính, dễ dàng tím kiếm khi cần.
Mô hình lý thuyết Martingale thời gian rời rạc nghiên cứu những vấn
đề liên quan đến những khái niệm của trò chơi, phát triển thành lĩnh vực
Toán học chặt chẽ, có nhiều ứng dụng thú vị trong thị trường chứng khoán.
Phương pháp quy nạp có ứng dụng trong các thuật Toán tin học. Lý
thuyết Wavelet cho phép FBI mã hóa bộ ảnh dấu vân tay, từ đó có thể lưu
trữ trong máy tính, dễ dàng tím kiếm khi cần.
Bộ môn thống kê lại có những ứng dụng rộng rãi trong các ngành xã
hội như tâm lý, nghiên cứu xã hội học.

11


Để đáp ứng những chức năng cho một chiếc xe hơi, nhà thiết kế phải
mô phỏng đối tượng với những định luật vật lý, thể hiện qua những phương
trình đạo hàm riêng.
Trong chiến tranh thế giới lần thứ hai, do nhu cầu quân sự, tốc độ
máy bay chiến đấu thời đó khá lớn, xấp xỉ tốc độ viên đạn pháo phòng
không, vì thế không thể bắn thẳng vào mục tiêu mà phải bắn đối đầu. Cần
phải có một thiết bị tự động theo dõi quỹ đạo của máy bay địch và dự đoán
vị trí của nó sau một khoảng thời gian nào đó. Thiết bị đó hoạt động theo
nguyên lý quá trình dừng, đó chính là ứng dụng của mô hình xác suất.
Không dừng ở việc mô phỏng các quá trình xã hội ở quy mô nhỏ và
vừa, Toán học còn mô phỏng cả những vấn đề ở tầm hành tinh. Từ đó, một
số lĩnh vực liên ngành rộng lớn ra đời: mô hình hóa toàn cầu (global
modeling) và nhiều hướng mới trong khoa học: lý thuyết Toán học và phát
triển, lý thuyết các hệ sinh thái,... Từ đó, con người thu được rất nhiều thành
tựu, cho phép phát hiện ra các quá trình chính trị - xã hội.

Trong nửa đầu thế kỉ XX, các nhà Toán học đã cho ra đời không ít
công cụ có thể áp dụng để phân tích bản chất các quá trình xã hội: Các
phương pháp thống kê xã hội, lý thuyết Toán học các xung đột và hợp tác
(lý thuyết trò chơi), các mô hình Toán học trong kinh tế, phương pháp phân
tích hệ thống, lý thuyết các hệ động lực. Có một số nhà Toán học đã giành
giải thưởng Nobel, một giải thưởng danh giá vốn không dành cho các nhà
Toán học, như Kantorovich - nhà Toán học Nga - vì những đóng góp vào lý
thuyết phân bố tối ưu tài nguyên và John Nash - nhà Toán học Mỹ - vì các
công trình về lý thuyết trò chơi. Ngoài những ứng dụng trên, Toán học còn
trở thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm
Toán trên thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội.
1.2.3 Ứng dụng của Toán học trong giải trí
Không chỉ có những ứng dụng trong đời sống, chúng ta còn có thể
dùng Toán học để giải trí. Chúng ta hoàn toàn có thể tạo ra những bức tranh
đơn giản và ngộ nghĩnh từ compa. Chỉ dùng chiếc compa để vẽ những nét
cong tạo nên bức tranh, người vẽ sẽ có cơ hội tốt để phát triển tư duy sáng
tạo. Các thao tác xoay khối rubik lập phương thỏa mãn ba điều kiện của
khái niệm nhóm. Vì vậy, chúng ta cũng có thể sử dụng lý thuyết nhóm để có
những thuật Toán đủ mạnh để xoay khối rubik với thời gian ngắn nhất.
Chúng ta cũng có thể dùng hai máy ảnh cùng tiêu cự đặt ở cùng độ cao,
cùng chụp một vệt khói do máy bay vẽ trên nền trời sẽ xác định được độ cao
của máy bay.
12


Chỉ ngần ấy cũng đủ cho ta thấy vai trò không thể phủ định của Toán
học trong xã hội.
1.3 Khảo sát thực tế về việc lồng ghép ứng dụng Toán học trong các tiết
học ở một số trường phổ thông
Dù đã được học rất kĩ về mặt lý thuyết và làm khá nhiều bài tập trong

sách giáo khoa, sách bài tập nhưng kĩ năng vận dụng kiến thức Toán học
vào đời sống của học sinh chưa được tốt lắm. Để làm rõ nhận định trên,
chúng em tiến hành khảo sát 30 học sinh lớp 11A1 trường Trung học phổ
thông Nguyễn Thiện Thuật và 5 người trong độ tuổi 18 – 20.
Mục tiêu của khảo sát:
- Tìm hiểu thực tế việc dạy học Toán ở một số ở một số trường Trung
học phổ thông: Giáo viên có lồng ghép các ứng dụng của Toán học vào bài
dạy hay không?
- Tìm hiểu mức độ nhận thức của học sinh về ứng dụng của Toán học
trong cuộc sống.
Nội dung khảo sát như sau:

KHẢO SÁT
1) Bạn là nam hay nữ

A. Nam

B. Nữ

2) Bạn bao nhiêu tuổi:
3) Bạn cảm thấy các giờ học Toán trên lớp trôi qua như thế nào?

A. Rất hứng thú

B. Thú vị

C. Cũng bình thường

D. Nhàm chán

4) Trong giờ Toán, thầy/cô có lồng ghép các ứng dụng của Toán trong

cuộc sống vào bài dạy không?
A.Có
5)

B. Không

Bạn thấy những kiến thức Toán bạn được học có thực sự hữu ích cho
cuộc sống của bạn hay không?
A. Rất hữu ích
B. Cũng có ứng dụng nhưng không nhiều
C. Không có ứng dụng

Kết quả khảo sát như sau:
13


Giới tính
Độ hứng thú:

Mức độ ứng dụng
Lồng ghép

Số lượng
Nam
17
Nữ
18
Rất hứng thú

12
(34.286%)
Thú vị
9
(25.714%)
Cũng bình thường
12
(34.286%)
Nhàm chán
2
(5.714%)
Rất hữu ích
26
(74.286%)
Cũng có ứng dụng những 9
(25.714%)
không nhiều
Có lồng ghép
17
(48.571%)
Không lồng ghép
18
(51.429%)

Các thông tin cụ thể như sau:
1) Có lồng ghép các ứng dụng của Toán học vào bài dạy: 17/35
Độ hứng thú

Mức độ ứng dụng

2)

Rất hứng thú
Thú vị
Cũng bình thường
Nhàm chán
Rất hữu ích
Cũng có ứng dụng
những không nhiều
Không có ứng dụng

7
6
2
2
14
3

(41.176%)
(35.294%)
(11.765%)
(11.765%)
(82.353%)
(17.647%)
0

Khảo sát thực tế về việc lồng ghép các ứng dụng Toán học trong các
bài dạy ở một học vào bài dạy: 18/35

Độ hứng thú

Mức độ ứng dụng

Rất hứng thú
Thú vị
Cũng bình thường
Nhàm chán
Rất hữu ích
Cũng có ứng dụng
những không nhiều
Không có ứng dụng

5
3
10
0
12
6
0

Từ bảng thống kê, dễ dàng nhận thấy: Có một tín hiệu hết sức đáng
mừng là trong 35 người được khảo sát, không ai cảm thấy Toán học vô
nghĩa, họ đã nhận thức được một số ứng dụng nào đó trong đời sống. Trong
các trường hợp thầy/cô giáo lồng ghép các ứng dụng của Toán học vào bài
dạy thì số học sinh cảm thấy hứng thú với giờ học nhiều hơn hẳn số học
14


sinh cảm thấy tiết học nhàm chán. Đồng thời, số học sinh hiểu được ứng
dụng to lớn của Toán học, thấy được cái hay, cái đẹp của Toán học chiếm

đa số. Còn trong trường hợp các tiết học không được lồng ghép ứng dụng,
số học sinh cảm thấy tiết học giảm bớt nhiều sự hứng khởi tăng lên rõ rệt.
Chỉ với một khảo sát nhỏ, chúng ta có thể thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa
việc gắn Toán học trong cuộc sống vào bài dạy với mức độ say mê học tập
của học sinh. “Điều quan trọng nhất trong dạy học là kích thích sự ham học
của học sinh” – Thầy Nguyễn Minh Tuấn – giảng viên đại học khoa học tự
nhiên.

Chương 2: Một số bài dạy sử dụng các ứng dụng của Toán học trong
cuộc sống
Các ví dụ thực tiễn giúp bài giảng trở nên sinh động và đưa lớp học
đến gần cuộc sống xung quanh hơn. Các ví dụ thực tiễn còn giúp học sinh
nhận ra rằng kiến thức có thể cải thiện cách giải quyết các vấn đề thường
15


ngày trong cuộc sống. Dưới đây là một số bài giáo án có đưa thêm ứng dụng
của nội dung bài học trong cuộc sống:
2.1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
BẤT ĐẲNG THỨC (tiết 2)
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức
• Học sinh phát biểu được khái niệm và tính chất của bất đẳng thức.
•
Học sinh phát biểu được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (BĐT Côsi) của hai số không âm.
•
Học sinh vận dụng được một số bất đẳng thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối như:
∀x ∈ ¡ : x ≥ 0; x ≥ x; x ≥ − x;

x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a(víi a > 0);
x ≥ a
x ≥a⇔
(víi a > 0)
 x ≤ −a
a+b ≤ a + b .

2.Về kỹ năng
• Học sinh vận dụng được tính chất của đẳng thức hoặc dùng phép biến
đổi tương đương để chứng minh một số BĐT đơn giản.
•
Học sinh vận dụng được bất đẳng thức Cauchy vào việc tìm một số
BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đơn
giản.
• Học sinh chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản có chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
• Học sinh diểu diễn được các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng
thức

x > a; x < a(víi a > 0)

.

3) Về tư duy và thái độ
• Rèn luyện tư duy logic.
• Tích cực hoạt động, trả lời các câu hỏi. Biết quan sát phán đoán chính
xác, biết quy lạ về quen.
II. CHUẨN BỊ
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống các kiến thức đã học về “bất đẳng
thức”.

16


Học sinh: SGK, vở ghi, máy tính. Ôn tập các kiến thức đã học về
“bất đẳng thức”.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1. Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số lớp, khởi động tiết học
2. Kiểm tra bài cũ (5')
Nêu một số tính chất của BĐT?
3. Giảng bài mới
Hoạt động của Thầy
Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động1.Cho HS nhắc a
=

lại định nghĩa trị tuyệt đối
của số a.
khi
a ≥ 0 − a ≤ a ≤ a ∀a ∈ R
a

−a

khi

Hoạt động 2 Cho HS ghi
các tính chất của bất đẳng nên ta luôn
−a ≤a≤ a
thức giá trị tuyệt đối

( a > 0)
có x > a ⇔ x < −a ∨ x > a ( a > 0 )

a<0



Hoạt động 3 Giáo viên
vẽ hình.
D

A

Học sinh tham gia
trả lời:

C

B

O

OD =

H

HC =

a+b
2

a+b
≥
2

và

ab. Vì

OD ≥ HC nên

Cho AH = a, BH = b. Hãy
tính các đoạn OD và HC
theo a và b. Từ đó suy ra
BĐT giữa trung bình cộng
và trung bình nhân.

x < a ⇔ −a < x < a

ab.

a − b ≤ a+b ≤ a + b .

V. Bất đẳng thức
giữa trung bình cộng
và trung bình nhân
Đinh lý.`Nếu a ≥ 0 và b
≥ 0 thì

a+b

≥
2

ab

.

Dấu “=” xảy ra ⇔ a =
b.

Hoạt động 4 Hướng dẫn
học sinh nắm vững bất
đẳng thức trung bình cộng
và trung bình nhân bằng
cách cùng học sinh chứng Học sinh tham gia Chứng minh: Với a ≥ 0
giải quyết
minh bất đẳng thức:
và b ≥ 0 thì
a+b
≥ ab
≥
≥
Với a 0 và b 0 chứng
2
17


a+b
≥ ab
minh rằng 2

.

⇔ a + b ≥ 2 ab
⇔ a + b - 2 ab ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Kết luận đó là bất đẳng
thức Côsi.

⇔

2

( a − b) ≥
0 (hiển

nhiên).
Dấu “=” xảy ra ⇔ a =
b.

Hoạt động 5.Vận dụng
Giáo viên gọi 3 học sinh
lên bảng làm ví dụ
5.1,5.2,5.3

5.1 Cho hai số dương âm a
3 học sinh lên bảng 5.1 Ta có:
và b. Chứng minh
1 1
làm bài.

+
a + b ≥ 2 ab , dấu “=”
(a + b)( a b ) ≥ 4 ?
xảy ra
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
⇔ a = b.
Tương tự ta có:
1
1 1
+
a b ≥ 2 ab , dấu “=”

xảy ra
⇔ a = b.
Từ đó suy ra
1 1
+
⇔ (a + b)( a b ) ≥ 4.
Dấu “=” xảy ra ⇔ a =

5.2 Cho hai số x, y dương
có tổng
S = x + y không đổi.
Tìm GTLN của tích của
hai số này ?

b
5.2 x ≥ 0 và y ≥ 0, S = x
+ y.
x + y ≥

xy ⇔
xy ≤

s2
4 .

Tích hai số đó dạt

s2
4

GTLN bằng
Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
y.

5.3 Cho hai số dương x, y
có tích P = xy không đổi.
Hãy xác định GTNN của
tổng hai số này ?

5.3 Giả sử x > 0 và y >
18


Giáo viên gọi học sinh
nhận xét các bài làm và
chỉnh sửa lỗi sai nếu có
Học sinh nhận xét.

0, đặt P = xy.
x+y ≥

xy ⇔
x + y ≥ P.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
y.

Giáo viên đưa ra hệ quả:

Hệ quả .
 Nếu hai số dương
có tổng không
đổi thì tích của
chúng đạt giá trị
lớn nhất khi hai
số đố bằng nhau.
 .

Nếu hai số
dương có tích
không đổi thì
tổng của chúng
đạt giá trị nhỏ
nhất khi hai số đó
bằng nhau.

5.4 Giáo viên hướng dẫn
học sinh giải quyết bài

Toán:
Thiết kế hộp chè bằng
Học sinh làm bài
giấy:
Một nhà sản xuất dự
định làm hộp chè của họ
bằng giấy. Nhà sản xuất
dự định chiếc hộp có dạng
hình hộp chữ nhật có đáy
là hình vuông. Thể tích
của hộp là 1 lít. Hãy thiết
kế kích thước cho hộp để
chi phí nguyên liệu giấy
19

Ý nghĩa hình học .
 Trong tất cả các
hình chữ nhật có
cùng chu vi, hình
vuông có diện
tích lớn nhất.
 Trong

tất các
hình chữ nhật có
cùng diện tích,
hình vuông có
chu vi nhỏ nhất.

5.4 Gọi x là độ dài cạnh

đáy, h là chiều cao của
thùng mì tôm.


đạt tối thiểu.

Giáo viên nhấn mạnh
rằng:Nhờ có bất đẳng thức
Cauchy mà nhà sản xuất
có thể chọn kích thước
hộp chè sao cho tốn ít
nguyên liệu nhất.

Giáo viên hướng dẫn học
sinh mở rộng bất đẳng
thức Cauchy

Hoạt động 6. Hướng đẫn
học sinh nắm vững các bất
đẳng thức chứa giá trị
tuyệt đối. Bất đẳng thức
trung bình cộng và trung
bình nhân, đồng thời biết
áp dụng và giải Toán.
|x| = ?
Nhận xét gì về
|a + b| và |a| + |b|,
|a - b| và |a| + |b|

=> V = 1 = x2h

=> h = (dm)
=>
Diện tích xung
quanh là:
Sxq = 2x2 + 4xh = 2x2 +
4x. = 2x2 +
Ta có thể áp dụng bất
đẳng thức Cauchy như
sau:
Sxq = 2x2 + + ≥ 3 = 6
(dm2)
Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi 2x2 =  x = 1
(dm)
 h = 1 (dm)
Vậy khi hộp giấy có
dạng hình lập phương
có cạnh là 10 cm thì chi
phí cho giấy sản xuất
hộp đạt mức tối thiểu và
nhà sản xuất có thể thu
Học sinh tóm tắt, được số tiền lãi lớn hơn.
củng cố kiến thức cơ
bản.
Mở rộng: bất đẳng
thức Cauchy cho 3 số
|
không âm:

x≥0

x

x| = − x x < 0 .

* Bất đẳng thức Cauchy:
Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì.
a+b
≥ ab
2
Dấu “=” xảy ra
⇔ a = b.

*
ra
*
ra

|x| ≥ 0, dấu “=” xảy
⇔ x = 0.
|x| ≥ x, dấu “=” xảy
⇔ x ≥ 0.

* |a + b| ≤ |a| + |b|, dấu
20


“=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
* |a - b| ≤ |a| + |b|, dấu
“=” xảy ra ⇔ ab ≤ 0.

4. Bài tập về nhà
− Các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập (Giáo viên hướng
dẫn, dặn dò)
− Chuẩn bị bài cho tiết học sau.
IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
2.2. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng

CẤP SỐ CỘNG
I. MỤC TIÊU
Kiến thức:
− Học sinh phát biểu được khái niệm cấp số cộng, công thức tính số
hạng tổng quát, tính chất của các số hạng và công thức tính tổng n số
hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Kĩ năng:
−
Học sinh sử dụng linh hoạt các công thức và tính chất của cấp số
cộng để giải các bài toán : tìm các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5
yếu tố u1, un, n, d, Sn.
Thái độ:
−
Học sinh tư duy các vấn đề của Toán học một cách lôgic và hệ
thống.
II. CHUẨN BỊ
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức về dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
21

1. Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số lớp, khởi động tiết học
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
H. Xét tính tăng, giảm của các dãy số: u n = un–1 + 9; vn = vn–1 – 5 ?
Nhận xét các số hạng liên tiếp của các dãy số đó ?
Đ. (un) tăng, (vn) giảm.
3. Giảng bài mới
TL
Hoạt động của Giáo
viên

Hoạt động của Học
sinh

Nội dung

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm cấp số cộng
15'

Từ KTBC, GV giới
thiệu khái niệm cấp số Học sinh nghe giảng
cộng.
và trình bày ý hiểu
của mình.

GV đưa ra ví dụ và
hướng dẫn học sinh làm
bài.

I. Định nghĩa
Cấp số cộng là một
dãy số (hữu hạn hoặc
vô hạn), trong đó kể
từ số hạng thứ hai,
mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay
trước nó cộng với
một số không đổi d.
Số d được gọi là công
sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d = 0
thì CSC là một dãy số
không đổi.

VD1. Chứng minh dãy Đ1. –4= 1+ (–5); –8
số sau là một cấp số = –4 + (–4);
VD1: Cho CSC (un)
cộng :
…
với u1 =8, d = 2. Viết
1, –4, –8, –12, –16
6 số hạng đầu tiên?
VD2. Viết 5 số hạng
Đ2. –20, –24, –28, –
liên tiếp nữa của CSC
32, –36.
đó ?
· Cho HS thực hiện yêu
cầu.

Hoạt động 2: Tìm hiểu công thức tính số hạng tổng quát

22


20' Một xưởng sản xuất hồ
tinh bột dự định nhập 1
tấn gạo. Giá của môt
kilogam gạo là
20 000 đồng. Biết rằng
giá của yến gạo sau
giảm 1000 đồng so với
yến gạo trước. Hỏi giá
của một tấn gạo này là
bao nhiêu?
H1. Tìm công sai d?

II. Số hạng tổng
quát
Định lí 1:
Nếu CSC (un) có số
hạng đầu u1 và công
sai d thì số hạng tổng
quát un được xác định
bởi công thức: Un=u1
+ (n -1)d.

VD1: Cho CSC (un)
với u1 = –5, d = 3.
a) Tìm u15.

H2. Giá yến gạo thứ Đ1.Công sai:
b) Số 100 là số hạng
100?
thứ mấy ?
d = −1 000 đ (số tiền c) Biểu diễn các số
giảm đi sau mỗi yến hạng u1, u2, u3, u4 lên
gạo).
trục số. Nhận xét vị
H3. Tính tổng số tiền
trí của 3 điểm liền kề.
để mua 1 tấn gạo?
**Tổng n số hạng
Đ2.u100 = 200 000 +
đầu tiên của một cấp
(100-1).(số cộng
1000)=101000 đ.
Giả sử có (un) cấp
số cộng. Với mỗi số
nguyên dương n, gọi
Đ3.S100=(200000
+
S là tổng của n số
101 000). 100 : 2 = 15 n
hạng đầu tiên của nó
050 000 đ.
( Sn =u1 + u2+…+un).
Khi đó ta có:
Sn=(u1+ un) n :
2.
Hoạt động 3: Củng cố

5'

Nhấn mạnh:
– Định nghĩa của CSC,
“công thức tính số hạng
tổng quát”.

4. Bài tập về nhà
• Bài 1, 2, 3, 4, 5 SGK (GV hướng dẫn, dặn dò).
• Đọc trước bài "Cấp số nhân".
23


IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG
................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........
2.3. Áp dụng định lý Thales
ĐỊNH LÝ THALES
I. MỤC TIÊU
Kiến thức:
• Học sinh phát biểu được định lý thales và định lý thales đảo.
Kĩ năng:
• Học sinh sử dụng linh hoạt các công thức và tính chất của định lý
thales và định lý thales đảo.
Thái độ:
• Học sinh tư duy các vấn đề của Toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ

Giáo viên: Giáo án và các thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức về tỉ số, tỉ lệ của hai đoạn
thẳng.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1. Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số lớp, khởi động tiết học
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
H1. Định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng?
H2. Thế nào là hai đoạn thẳng tỉ lệ?
3. Giới thiệu bài mới
TL
Hoạt động của Giáo
viên

Hoạt động của
Học sinh

Nội dung

Hoạt động 1: Định lí Thales trong tam giác
15'

Từ KTBC, GV giới Học sinh nghe
thiệu về định lý Thales.
giảng và ghi bài
theo ý hiểu.
24

I. Định lý Thales
Nếu một đường thẳng
song song với một cạnh

của tam giác và cắt hai


cạnh còn lại thì nó định
ra trên hai cạnh đó
những đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ.

Giáo viên phân tích định
lý và cho học sinh làm ví
dụ:
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC, gọi
E,F lần lượt là trung Học sinh nêu ý
điểm của AB và AC. tưởng CM:
CMR:
và làm bài.

Do E,F lần lượt là trung
điểm của AB và AC =>
EF là đường trung bình
của tam giác ABC nên
EF// BC.
Áp dụng định lý Thales
ta được:

Hoạt động 2: Tìm hiểu Định lí Thales đảo
20'

GV đưa ra định lý

thales đảo và phân tích
định lý.
GV lấy ví dụ thực tế:
Ví dụ 2:
Giả sử bạn vừa mua
một khu đất ở một nơi
phong cảnh hữu tình. Và
đặc biệt, ở đây có một
cây tiêu huyền rất đẹp.
Cây cao 15 mét, vị trí
nhà bạn định xây cách
cây 14 mét. Cửa sổ bạn
định xây cao 1 mét so
với mặt đất, có chiều dài
là 1,2 mét. Chiếc ghế
bành bạn định kê hướng
ra ngoài cửa sổ để ngắm
cảnh, cách cửa sổ bao xa
để có thể thấy toàn bộ

II. Định lí Thales
Học sinh đọc bài và đảo
thực hiện yêu cầu
Nếu một đường
của giáo viên.
thẳng cát hai cạnh
của một tam giác và
định ra trên hai cạnh
này các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ thì

đường thẳng đó song
song với hai cạnh
còn lại của tam giác.

25