Mặt phẳng với mật độ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (654 KB, 66 trang )
ộgp
Bộ
BộGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠO
' ""1 TRƯỜNG
TRƯỜNG ĐẠI
ĐẬI HỌC
HỌC sữ
SỬPHẠM
PHẠMTP.
TP.HO
HÒCHÍ
CHÍMINH
MINH
Phan Thị Thái Hòa
Phan Thị Thái Hòa
MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ
•••
MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số
: 60 46 1*0
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. LÊ ANH vũ
Thành
Thànhphố
phốHồ
HồChí
ChíMinh
Minh--2009
2009
LỜI CẢM ƠN
Trong luận văn này, đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý
thầy cô trong khoa Anh, khoa Triết và khoa Toán- Tin truờng Đại Học Su
Phạm TP. Hồ Chí Minh đã tham gia giảng dạy cung cấp cho tôi những tri
thức, phương pháp tiếp cận khoa học và làm việc hiệu quả.
Đặc biệt, tôi cảm nhận được tình cảm thầy trò sâu sắc và lòng nhiệt
thành trong công việc của PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn
khoa học, hơn thế nữa chính thầy đã cho tôi một tấm gưong sáng về học tập
và làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các cán bộ của phòng Khoa Học Công Nghệ &
Sau Đại Học, phòng Ke hoạch - Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ
Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai,
cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Thưa các thầy, mặc dù đã có nhiều cố gắng song bản thân tôi còn nhiều
hạn chế về trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắc chắn bài viết
này không tránh khỏi sự thiếu sót. Do đó tôi kính mong các thầy đóng góp
cho tôi những kiến thức quý báu để hoàn thiện mình tốt hơn
Một lần nữa tôi chân thành cảm ơn và xin trân trọng kính chào
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009
Tác giả
Phan Thị Thái Hoà
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Ý nghĩa
Không gian Gauss m- chiều
Không gian Euclid n- chiều.
Hàm mật độ.
Đường cong a.
Danh mục các ký hiệu
MỤC LỤC
Diện tích theo mật độ
Lời cảm ơn
Thể tích của một đa tạp
Mục lục
Vi phân độ dài của đường cong theo mật độ
Độ cong Gauss.
Danh mục các hình
Độ cong Gauss theo mật độ cp.
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................1
Độ cong
của đường
t
Chương
1: KIẾN
THỨCtạiCHUẨN
BỊ
cp-độ
củavới
đường
cong.
1.1. cong
Đa tạp
mật độ...........................................................................4
Chu
Riemann.
1.2.vi Một
số kết quả hình học.................................................................6
Chu 2:
vi ĐƯÒNG
Riemann theo
mậtTRONG
độ e
CONG
Thể
2.1tích
ĐộRiemann.
cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ...................8
Thể
tích Riemann theo mật độ e
2.2...........................................................................................................
M
ặt phẳng
và ex..................................................................15
r(x)
= yjxf +với
...+mật
x2nđộ,xyp
e SJĨ".
2.3........................................................................................................... M
Biên
của miền
R. độ ex y , gọi là $ - phẳng............................................21
ặt phẳng
với mật
Miền
2.4 đẳng
Địnhchu.
lý bốn đỉnh.............................................................................29
Thể
củatoán
Q với
mật
độtrên
/O) đường
= e¥ thẳng thực với hàm mật độ............42
2.5tíchBài
đẳng
chu
Chương
Chu 3:
vi ĐƯÒNG
của Q
CONG VÓI ĐỘCONG HẰNG
Siêu
chứa gốc
3.1.mặt
Đường
congtọa
cóđộ
độ cong hằng với mật độ ex+y...........................52
Biến
thứvẽnhất.
3.2.phân
Hình
minh họa đường có độ cong hằng....................................59
KẾT LUẬN......................................................................................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................64
BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ ..................................................................66
DANH MỤC CÀC HÌNH
Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ r p, p > 0..............................................19
Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ ex ........................................................21
Hình 2.3 :
Lưới của những đường trắc địa trong g phẳng.........................23
Hình 2.4 :
Đồ thị của một đường trắc địa trong g phang..........................24
Hình 2.5 :
Đồ thị của một đường trắc địa trong g phang quagốc mang
hướng dương hội tụ về một đường thẳng song song với Ox.... 24
Hình 2.6 : Đồ thị của đường a....................................................................27
Hình 2.7 : Đồ thị của hàm h(/?)..................................................................29
Hình 2.8 :
Hình 2.9 :
Đường tròn có hai đỉnh trong mặt phang Gauss......................31
Tồn tại mật độ cầu để một đường tròn chứa gốc tọa độ có
đúng 2n đỉnh...............................................................................39
Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ e ^ .................................................46
Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) của VD 2.5.10 là nửa
đường thắng hoặc các khoảng bị chặn.......................................48
Hình 2.12 : Không tồn tại miền đẳng chu với mật độ f(x) của
VD 2.5.12...................................................................................49
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết hình học Affĩne, hình học Euclid, hình học xạ ảnh,
hình học vi phân được xây dựng trên cơ sở xác định một nhóm các phép biến
đổi thích hợp trên một không gian xác định và nghiên cún các bất biến qua
nhóm các phép biến đổi đó. Trong các hình học này, một bộ phận của hình
học vi phân cổ điển được dành để nghiên cứu các tính chất địa phương của
các đường trong mặt phang Euclid thông thường. Trong mặt phang này mật
độ được xem là đều tại mọi điểm, vấn đề đặt ra là, nếu mật độ tại các điểm
không còn đều nữa thì các tính chất hình học như độ cong, bài toán đẳng chu,
... sẽ thay đổi như thế nào? Đây là một vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa cả
trong nội tại Toán học lẫn trong thực tiễn.
Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ
dương eẹ dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, diện tích của siêu
mặt, độ dài của đường.. .Đa tạp với mật độ xuất hiện nhiều nơi trong Vật lý và
Toán học như các đa tạp Riemann thương hoặc các không gian Gauss. Không
n r2
gian Gauss Gn, không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss ( 2 / r )
2
e
2 là
một không gian quan trọng đối với các nhà xác suất và thống kê.
Đa tạp với mật độ xứng đáng được tập trung nghiên cứu xa hơn bởi các
kết quả liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phang xác xuất
Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ e~r ^ được dùng để nghiên cún phương thức
đặt giá trong thị trường chứng khoán và nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác.
Trong vài năm gần đây hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa
tạp với mật độ được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Các kết
quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ Gauss có ứng dụng
2
trong xác suất và thống kê. Năm 1975 c. Borell, đã chúng minh một cách độc
lập rằng nửa không gian là nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian
Gauss. Năm 1982 A. Ehrhard đua ra một chứng minh mới bằng cách sử dụng
phép đối xứng hoá Steiner mở rộng cho không gian Gauss. Năm 2008 c.
Rosales cùng với các cộng sự đã chứng minh một số kết quả về tính tồn tại
nghiệm của các miền đẳng chu trong các không gian với độ đo toàn phần vô
hạn và đã đua ra giả thuyết sau: Trong Rn+Ìvởi mật độ cầu, log-lồi các hình
cầu tâm ở gốc toạ độ là các miền đẳng chu duy nhất. Bài toán về sự tồn tại các
miền đẳng chu trong các không gian với mật độ đang là một vấn đề thời sự và
còn nhiều vấn đề mở. Không phải trong mọi không gian với mật độ các miền
đắng chu đều tồn tại. Có những không gian đã đuợc chứng minh là không tồn
tại miền đẳng chu.
Xuất phát từ sự kiện các biên của các miền đẳng chu luôn có độ cong
hằng. Một trong các bài toán liên quan đến độ cong của các đuờng cong
phang là định lý bốn đỉnh- một định lý toàn cục rất nổi tiếng của hình học vi
phân. Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng trên mặt
phang Euclid đều có ít nhất bốn đỉnh”. Định lý tưỏng chừng như đơn giản này
lại có mệnh đề đảo vừa mới chỉ được chứng minh gần đây. Với những lý do
nêu trên mà luận văn được mang tên “Mặt phắng với mật độ”
2. Mục đích nghiên cứu
Từ các bài báo, tạp chí khoa học của các GS-P.GS trong và ngoài nước
như Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Convin, M.D Carmo và Đoàn Thế
Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong của đường, với
những mật độ khác nhau độ cong sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó chúng tôi đề
cập, giới thiệu đa tạp với mật độ và những bài toán liên quan đến chúng. Một
định lý có lịch sử lâu đời của hình học vi phân là “Định lý bốn đỉnh” và bài
toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ.
3
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu các vấn đề sau:
- Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ.
- Định lý bốn đỉnh.
- Bài toán đẳng chu trên đường thắng thực với hàm mật độ.
- Mặt phẳng với mật độ rp\ex\ex y .
- Độ cong của đường cong hằng với mật độ ex+y .
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Mặt phang với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phang xác suất
Gauss dùng để nghiên cún thị trường chúng khoán. Trong vài năm gần đây
hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa tạp với mật độ được quan
tâm nhiều, các kết quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ
Gauss có ứng dụng trong xác suất và thống kê.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể:
Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả được sử dụng, xây
dựng cho các chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phang Gauss, không
gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn «-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet...
Những định lý, bài toán liên quan đến độ cong trong mặt phang
22
,. /V
1 1 /• 1
1
* *+y X —y
với mật độ khác nhau như: T ĩ e , €
,e
Liệt kê đường cong có độ cong hằng với mật độ ex+y và hình vẽ
4
Chương 1
KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng
Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn «-chiều, độ cong, mục
tiêu Frenet.. .và các ứng dụng của nó trong Toán học, Vật lý và Kinh tế. Hơn
nữa, đưa ra các kết quả về độ cong theo mật độ, mặt phẳng với các mật độ
khác nhau và những định lý để làm nền tảng, xây dựng cho chương sau.
1.1. Đa tạp vói mật độ
tạpl.l.l(Xem[2],[ll,
với mật độ là tr.853],[15,
đa tạp Riemann
Định Đa
nghĩa
tr.3]) Mn cùng với một hàm mật độ
dương eẹ được dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, chu vi, diện
tích của siêu mặt, độ dài của đường
Giả sử dv và dP là các phần tử thể tích và chu vi Riemann. Khi đó, phần
tử thể tích và chu vi theo mật độ eẹ được cho bởi công thức:
dvẹ = e9dv
dPẹ = e^dP
Ví dụ 1.1.2(Xem[15, tr.3])
a. Xét đường cong trên nửa mặt phang đóng Euclid (biên Ox) và mặt
tròn xoay được sinh ra bởi đường cong khi quay quanh Ox. Khi đó, diện tích
của mặt tương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phang với mật độ
2jiy.
5
Định nghĩa 1.1.3(Xem[16, tr. 6])
Không gian Rn với mật độ eọ(yr , trong đó r là khoảng cách từ gốc toạ
độ đến điểm, được gọi là đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều
Định lý 1.1.4 (Mục tiêu Frenet)
Cho c:I —> R2 là một đường cong tham số hoá độ dài cung s thuộc I
t(s) = c'(s). Ta chọn vectơ đơn vị n thỏa mãn:
gọi là trường mục tiêu Frenet
Định lý 1.1.5(Xem[3])
Trong mặt phẳng R2 đường cong tham số độ dài cung
c : I -> R 2, c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) )
{t, n) là trường mục tiêu Frenet được tính theo công thức:
t=
n=
(1.1.2)
V tX2 +, yr 2
ĐịnhCho
lý 1.1.6
tr.25])cong với a(t) = (x(t),y(t))
a : / (Độ
—> cong)(Xem[19,
R2 là một mặt phẳng
Khi đó độ cong của a tại t được tính theo công thức:
r n n t
xy - X y
m=
/ / í2 ,
Hệ quả 1.1.7(Xem[19, tr.25])
Cho hàm k:I —> R2 khả vi. Lúc đó tồn tại đường tham số C.I^R1
với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số. Hai hàm như thế
6
khác nhau một phép dời thuận.
Định nghĩa 1.1.8(Xem[15, tr.4])
a. Không gian Gauss Gm là không gian Rm với mật độ Gauss
-m/ ~rl/
'
'
■>
72, trong đó r là khoảng cách từ gôc tọa độ đên diêm.
b. Mặt phẳng Gauss là mặt phẳng G2
Định nghĩa 1.1.9(Đỉnh của đường cong)(Xem[19, tr.36])
a. Đỉnh của đường cong là điểm mà tại đó độ cong theo mật độ đạt cực
trị địa phưong
b. Đỉnh của đường cong phang chính quy oc: [a,b] —» R2\ầ một điểm
t e [a,b] sao cho k\t) = 0 , trong đó k(t) là độ cong của đường cong a tại t.
1.2 Một số kết quả hình học
Trên mặt phẳng R2 với mật độ ecp(
r xỴ-xy
x’y-y'x d(p
,2s3
a,b e R có độ cong theo
/ r2 , ~ĩĩ r!r
)
ryỊx +y ar
k = x'y" - x"y' — (x'y- yrx) —^ nếu a có vectơ vân tốc đơn vi
r
dr
Định lý 1.2.2(Định lý bốn đỉnh)( Xem [2], [13], [14, [17], [18])
Mọi đường cong đơn đóng trên mặt phang Euclid có ít nhất bốn đỉnh
Định nghĩa 1.2.3(Miền đẳng chu)
Cho M là một đa tạp 2-chiều, không biên, số thực dương t < V(M),
7
của nó là một siêu mặt có chứa diện tích nhỏ nhất trong các miền Í2 có thể
tích V (£2) = t.
Định lý 1.2.4(Xem[8, tr. 5])
Cho mặt phẳng n với hàm mật độ r p -2 < p < 0 , lúc đó không tồn tại
miền đẳng chu.
Định lý 1.2.5(Xem[8, tr. 7])
Trong mặt phẳng n với hàm mật độ rp ,p> 0 hoặc p < -2 thì tồn tại
miền đẳng chu.
Định lý 1.2.6(Xem[8, tr. 3])
Trong mặt phang n với mật độ eẹ không là hằng và G(p =G-A(p = 0,
một miền đắng chu không compact theo từng phần.
(1.2.1)
Định lý 1.2.7(Xem [8, tr. 13])
Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đuờng trắc địa đóng, là đuờng
Định lý 1.2.8(Xem [6])
Trong R"+] với một mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ
là miền đẳng chu duy nhất.
8
Chương 2
ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẢNG VỚI MẬT Độ
Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và
độ
cong theo
mật độ
e(p, dựa vào đó
đi
tính độ cong của
các
đường quen
thuộc như: Cycloid, Hyperbol, parabol, đường trắc địa. Một trong các bài toán
liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bẳn đỉnh. Định lỷ
tưởng chừng đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chứng minh gần đây,
để biết thêm về đa tạp với mật độ cũng như các kết quả liên quan, độc giả có
thể tham khảo[l 1],[13],[14,[17],[18],[19]. Trong mục 2.2, 2.3 sẽ cho thấy
7
7 p X X2— y2
'
\
những mặt phăng với mật độ cụ thê: T 9e 1e . Bài toán vê sự tôn tại các
miền đẳng chu trong không gian với mật độ đang được quan tâm, không phải
trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại. Có những
không gian đã được chứng minh là không tồn tại miền đẳng chu, tiêu chuẩn
về mật độ để các miền đắng chu tồn tại vẫn là một vấn đề mở. Để có thông tin
về vấn đề này độc giả có thể tìm hiểu các công trình gần đây của F.Morgan và
các cộng sự ([6], [9], [15], [16], [19]...). Sau đó tổng hợp lại các kết quả và
đưa ra các ví dụ về bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực.
2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phắng vói mật độ(Xem[2],[15])
Định nghĩa 2.1.1(Xem[15, tr. 3])
Trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ eẹ, độ cong theo mật độ hay
ọ-ẫọ cong k v của đường cong theo pháp vectơ đơn vị n được cho bởi công
thức:
dn
(2.1.1)
9
Ví dụ 2.1.2
a. Trong mặt phẳng Gauss G2, một đường tròn có bán kính r với vectơ
pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng số và hằng số
' u- 1-r2
này băng ——
r
b. Trong mặt phang Gauss ơ2, độ cong theo mật độ của đường thẳng là
hằng số và hằng số này bằng khoảng cách từ gốc toạ độ đến đưòng thẳng. Tuy
nhiên, trên mặt phẳng
R2 với mật độ
er thì độ cong của đường thẳng không
còn là hằng số.
Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr. 4])
Đưòĩig trắc địa là đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ là
Ví dụ 2.1.4
Trong mặt phẳng R2 với mật độ e~r /2, các đường thẳng qua gốc tọa độ
là các đường trắc địa. Hơn nữa, đây là các đường trắc địa duy nhất trên mặt
phang này.
Mệnh đề 2.1.5(Xem[15, tr.4])
Cho một đường cong r(0) trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ
eẹ^ . Khi đó độ cong theo mật độ kp được cho bởi công thức:
dọ
ị. r2 + lr'2-rr' É đỊ:r
2
'2
rH——r —r + r')
r^(r2 dn
+r,2y
r^r2 +r'2
(2.1.2)
10
Định lý 2.1.6(Xem[15, tr. 5])
Trên mặt phẳng R2 với mật độ eọ(
[a,b]
—»
R2,a(t)
=
(x(t),y(t))\
a,b
E
R
có
độ
cong
theo
mật độ là
k xỴ-xy xry-y'x dọ
' V(*'2 + /2)3
Đặc biệt, nếu ỡr là đường cong với vectơ vận tốc đơn vị thì
7_
r tt rr r 1 f
f \
kọ =xy -X y --{xy-yx)yr
dr
CHÚNG MINH:
dọ x'y"-x”y'
K = k ~ j = < f ==-<Vy;«>
dn
'2+y'y
Ta đi tính < v
^69
,d(p dr dọ dr.
^ —i-—)
í/x dy dr dx dr dy
^x d(p y d(p
r dr r dr
n=
•Jxri + y'1
„
-xy'
d(ữ xỳ
dọ
xỳ-xy' dọ
ryịx'2 + y'2 dr r^x'2+y2 dr
r^ịx'2 +y2 dr
□
Thay (2.1.6) vào (2.1.5) ta được (2.1.4)(đpcm).
là đường cong với vectơ vận tốc đơn vị thì
K = x'y" -x"y' --ựy-y'x)
(2.1.6)
dọ
dr
p
a> l"
3J^¥2lT■
3ứ^/[(l-2í3)2 +Í2(2-/3)2]3
J(1-
11
2Í3) + (2/-/4)2 *
Dựa vào công thức
ẹ (2.1.3) chúng ta đi tính độ cong của các đường quen thuộcyj(a2 sin21 + a2 cos2 ty Vữ2 sin2 t + a2
cos2 hợp nếu lấy mật độ ex thì độ cong được tính theo
. Trường
K=J^fỆ=+—L=
x"y'-x'y"
(2.1.8)
1
y'
Ví dụ 2.1.7 Lả Descartes
3 at 3at2 1
a(t) = (
1 + /3 ’l +
í3 -2t2) 3at{2-í3)
3fl(l
).
*'(*) = (■
(1 + í3)2 ’ (1 + í3)2
(1+í3)4
(1+í3)4
=V-18at2(2-t3)
>(l-6f3)
u v (1 + í3)3
(1 +
í3)3
V 0+0)
(1+í3)4
Áp dụng công thức (2.1.8) ta có:
-54fl¥(2-/3)2 18a2 (1 — 2^3 )(1 — 6^3)
k 0 + 0!__________________Q±tý I 0±í!l!
(l + ^3)¥(2-^3)2+(l-¥)(l-6/3)] |
Ví dụ 2.1.8 Đường Cycỉoid
3at(2-t3)
t(2-t3)
a(t) = (tf(í - sin í); 0(1 - cos /)), trong đó a là hằng số dương tuỳ ý.
Ta có
a \t) = (-a cos t; a sin í).
a\t) = (a sin t; a cos t).
Áp dụng công thức (2.1.8) ta có:
_ a2 sin21 + a2 cos21
k = —+ shư.
a
a2 sin t
ẹ yj(a2 sinh21 + b2 cosh2 tý Va2 sinh21 + b2 cosh21
s'(v)=-^-=-ịk'<’vds*12
Đường Hyperbol
Đường Parabol
a(t) = (ứcoslư;£sinlư), trong đó a là hằng số dưong tuỳ ý.
a{t) = (t;at2), trong đó a là hằng số dương tuỳ ý.
Ta có ơr= sinlií;òcoshí), cc\t) = (ữcoslư;Z>sinlư)a\t) = (l,2at), a"(t) = (0,2ữ)
Áp dụng công thức (2.1.8) ta có:
Áp dụng công thức (2.1.8) ta có:
, abcosh.2 t-abúĩủì21
ốcoshí
2 at
k(0 — -ị -2 a
= H—Ị
yj(a2 sinh21 + *=V(l
b2 cosh21)3
a2
sinh2
t
+
b2 cosh2 /
+ 4 a2t2Ỹ +yll + 4a2t2
k = 2a(
_
== —7
ab
1
)
Vl + 4ứ2í2 V(1 + 4tf í )
ỏcoshư
Định lý 2.1.11(Xem[2, tr.13], [15, tr. 3])
Trong không gian Euclid /?", độ cong Ả: của đường cong thỏa mãn công
(2.1.9)
thức biến phân thứ nhất J = -1 kvds.
dL (*
dt
,
,Ị
dL p
Biến phân thứ nhất s (v) = —— của đô dài môt đường cong trơn trên
dt
đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ eọ theo vectơ ban đầu V thỏa mãn đắng
(2.1.10)
dLv =í<^>=é<íe'*> =\<ỉfv*+\*ịw>
í^ = o
J dn
a
ịkpds = ị(k — ^-)ds = 1
13
14
kds = J ịkịds
a a ưa
b
^-(-ịvdsr) = -ịkrvdsv
là hằng số thì kyJ-K^ ằv I n được ký hiệu diện dẦv
tích theo mật độ trên biên của pháp vectơ và
□
là vi phân độ dài của đường cong theo mật độ .
Định nghĩa 2.1.13(Xem[2, tr.15])
Ta có
= e^ds
Trên mặt phẳng R2 với mật độ eẹ, (Ọ-ẫộ cong toàn phần của
mộtdsẹ
đường
cong tran a :
—> R2, a;b E R
dt dt
Tham số hóa độ dài cung theo s được cho bởi công thức
= J eẹ vds -1 e^kvds = -(J (k )evvds) = -J kyVds.
dn
Định lý 2.1.14(Xem|2, tr.15])
r
dA,n
Trên mặt phẳng R2 với mật độ ev, trong đó (p là hàm điều hòa, (Ọ - độ
— = M“j vdsr) = krdt
dt
cong toàn phần của đường cong đơn đóng lồi a : [a,b] -» R2;a,b e R luôn lớn
CHỨNG MINH:
dAy
□
Do D là miền trong của đường cong a. Áp dụng công thức Green cho hai
Định
2.1.12(Xem[2,
hàm (plývà
V —1 trên D tr.14],
ta được[15, tr.4])
Một đường đẳng chu phải có độ cong theo mật độ kọ là hằng.
íío
(
dLy
Do đường cong là đường đắng chu nên phải là hằng số.
dA
=-\Kvds«
dLy dt
Mặt khác, từ (2.1.10) ta có ——
15
2.2 Mặt phẳng vói mật độ rp và ex (Xem[8], [12], [16])
Định nghĩa 2.2.1
*
\/M(x,y) E R2,r = OM = d(0,M) =
+ y2 , p là hằng số cho trước
Mật độ rp được định nghĩa như sau /: -K2 —»
(x^)h^/[(x,7)]:=^=(x2+/r
.
________ ,
f:R2^R+
* Mât đô c đươc đinh nghĩa như sau
(x,y)^f[(x,y)]:=ex
Nhận xét 2.2.2
* Khi /7 = 0 thì r p = 1 là mật độ đều (mật độ Euclid)
* r p là hằng trên mỗi đường tròn tâm o, nghĩa là hai điểm cách đều tâm
o đều có cùng mật độ.
* ex là hằng trên mỗi đường thẳng đứng (cùng phưong với Oy) nghĩa là
hai điểm có cùng hoành độ thì sẽ cùng mật độ.
Định lý 2.2.3 (Xem[8, tr.5])
Mỗi đường tròn có tâm là gốc tọa độ trong mặt phang với mật độ r~l là
đường trắc địa.
CHỦNG MINH:
Do tính đối xứng, một đường tròn tâm là gốc tọa độ có độ cong tổng quát
là hằng số. Khi đường tròn càng lớn nghĩa là r càng tăng thì diện tích
s = 7W2r~x =7W càng lớn, trong khi đó p = 27ĩrr~x = 271 không thay đổi.
dP
= 0 . Suy ra đường tròn là đường trăc địa.
ClxA.
a
□
16
CHÚNG MINH:
Trong mặt phẳng n bán kính đường tròn có tâm gốc tọa độ là 27rrp+x .
* Neu -2 < p<-\ thì khi r dần ra vô cực thì chu vi của đường tròn dần
về 0. Diện tích bên ngoài của đường tròn bằng
I J rp+ldrdỡ = oo
(2.2.1)
> 0 cho trước, có thể xây dựng hai đường tròn đồng tâm với bán
kính đủ lớn sao cho tổng chu vi của hai đường tròn nhỏ hơn £. Gọi là Ao là
diện tích giữa hai đường tròn.
Neu Ao < A thì diện tích bên ngoài của đường tròn thứ hai là vô cực vì vậy
tăng bán kính của đường tròn này, giảm chu vi và tăng diện tích đến A.
Nếu Ao > A, thì tăng bán kính của đường tròn thứ nhất, tăng cả chu vi và
diện tích để đạt đến A.
* Neu p = -1 xây dựng tọa độ Euclid bằng ánh xạ co = log(z)
ịdwị = z ldz
và mật độ diện tích
(2.2.2)
(x = Re(w)). Ảnh của n dưới ánh xạ này là một dải có độ cao 2 71 với đỉnh và
đáy không xác định. Tâm dần về âm vô cực, bán kính r của đường tròn là
đường thẳng đứng (X = log(r)). Cho £ > 0, xét đường tròn có chu vi nhỏ hơn
£. Đường tròn này có thể dời trái hoặc dời phải để đạt tới một diện tích nào
đó.
ZP+1
* Nêu -1 < p < 0 thì ảnh của n dưới ánh xạ co =--------- là một hình quạt
/H-l
trong mặt phang với đồng nhất hóa các cạnh và góc 2n{p +1).
Mật độ diện tích trong tọa độ Euclid được cho bởi \z\ p = |nj p+1, trong đó
mât đô diên tích tai tâm dần ra vô cưc khi r dần ra vô cưc
17
Cho £ > 0 bất kì, trong tọa độ Euclid tạo ra một đường tròn có chu vi
p < £ và diện tích A=A0.
Nếu A < Ao thì chúng ta co đường tròn, tăng chu vi cho đến khi A = Ao
Nếu A > Ao thì đường tròn có thể được dời ra phía ngoài để đạt tói diện
tích A.
□
Định Trong
lý 2.2.5
(Xem[8,
mặt
phang ntr.6])
với hàm mật độ rp, p < -2 . Miền đắng chu là
đường tròn có tâm là gốc tọa độ bao quanh diện tích A bởi chu vi nhỏ nhất.
CHÚNG MINH:
Chứng minh định lý này trong tọa độ Euclid.
zp+ỉ
w =--------------------------------------vàìmật độ diện tích
p+
q = —!— .Vì 1< q <2 nên ảnh của n là một góc hình quạt
I I
-p
p +1
+1| với hai tia hình quạt không xác định.
Vì mật độ diện tích dần tới 0 khi |w| -> 00 nên những miền biên dần về
chu
vi
nhỏ
nhất
và
tồn
tại
miền
đẳng
chu
bởi
chuẩn
compact(Xem[4,tr.6-10]).
Đường cong hằng có miền đắng chu là biên của nó, do đó đường cong này lồi.
Miền đẳng chu chỉ có một thành phần, vì nếu có hai thành phần thì nó bị
đóng và bị co rút về gốc tọa độ. Nói cách khác miền đẳng chu phải chứa gốc
tọa độ, khi đó đường biên của nó là đồ thị r{6),6 E [ơ;Z]trong tọa độ cực, với
diện tích ẢR được tính bởi:
L r{9) ZJL
A K = C Ị 1 rP'-ro■dr„-dỡ
Ac = Ị s(?avg )de> ị g(r(ỡ))dỡ = AR
18
L rịỡ) 1
= cị I r0p+\dr0.dỡ
00
, £ r £iir<8)
= C.*±L\
rpde
,
^+ 2 0 L J.
£
P+2
= c2 J r(ớ) p+l de
^ . Xem đường
0 tròn (C) có
0 bán kính r với T là giá tri
Hay diện tích của đường tròn (C) lớn hơn diện tích của miền R.
p + 2
Vậy với chu vi nhỏ nhất thì miền đẳng chu là đường tròn có tâm là gốc tọa độ
r{e),e E [0;L].
bao quanh diện tích A.
□
Định lý sau là hệ quả trực tiếp của định lỷ 2.6 trong tài liệu[6] {Xem[6,
tr.6]) pc = Lravs = \ rmsde = j r(6)de = 14rtffýde
Định lý 2.2.6(Xem[8,
0 0tr.7])
0
Cho mặt phẳng với hàm độ rp ,p> 0 . Thì tồn tại miền đẳng chu.
< J yjr(e)2 + r{eý de = PR, suy ra chu vi của (C) nhỏ hơn chu vi của R
0
f
—
£12
Diện tích của (C) là^c - c2 J (ravg )p+' de ' Nếu cho g(jc) = c2xp+l => ^ + 2
<0
0
p +1
(do p <-2,c2 >0), suy ra g(x) lõm ngặt (do x<0). Khi đó ta có
L
L
19
Như vậy, trong mặt phẳng Euclid có f là hàm mật độ cầu không tăng
thoả mãn /(x) -» +00 khi|x| -» +CO (do p > 0), thì tồn tại miền đẳng chu trên
một thể tích V cho trước.
Hệ quả 2.2.7(Xem[8, tr.7])
Trong mặt phang n với hàm mật độ r p , p > 0 cho trước diện tích A.
Thì xác định được một miền đẳng chu R là một đường cong đóng dĩa lồi, chứa
gốc tọa âộ(như hình 2.1). Miền đẳng chu hoặc là một đường tròn bao quanh
gốc tọa độ khi p -» 0, hoặc là tia đơn vị khi p -» +CO .
Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ rp,p > 0
Định lý 2.2.8 (Xem[8, tr.8])
Trong mặt phẳngi^2 với hàm mật độ ex . Neu a là đường cong giới hạn
một miền và có kọ là hằng. Thì a hoặc là đóng hoặc có độ dài theo mật độ
CHỦNG MINH
Giả sử ngược lại, tức tồn tại một đường cong a không đóng và có độ dài
theo mật độ xác định bao miền D. Vì a có độ dài theo mật độ xác định nên
1R
20
phải chứa một điểm p mà tại đó X lớn nhất. Tại điểm p vectơ tiếp xúc
Giả sử tồn tại một miền có chu vi nhỏ hơn hoặc bằng A. Xét tất cả các
k > 0 do đó k =k= k +1 > 1
đường nằm ngang của mặt phẳng, để bao quanh độ dài đường nằm ngang dn
thì
lấy một điểm với mật độ epbao độ dài epphía bên trái. Diện tích của miền
k=k+
= k + nx > k — 1 > 0 bi chăn dưới bởi
"
dn
được tính bởi tích phân của độ dài đường nằm ngang ep và chu vi được tính
(Điều này mâu thuẫn tính không đóng của a ).
□
Hệ quả 2.2.9 (Xem[8, tr.8])
Trong mặt phang R2 với hàm mật độ ex không tồn tại miền đắng chu.
CHỨNG MINH
Mọi miền đẳng chu R phải có biên tron với độ cong theo ky là hằng.
Theo
định
lí
(2.2.8)
a
phải
đóng
.
Tức
R
là
một
miền
compact
theo
thành phần, điểu này mâu thuẫn với định lí (1.2.1) (đpcm).
từng
□
Hệ quả 2.2.10 (Xem[8, tr.9])
Trong mặt phang R2 với mật độ ex thì cận dưới nhỏ nhất của chu vi bao
quanh diện tích A cũng chính là A.
CHỦNG MINH
Dựng một hình chừ nhật mở trên R như H.2.2, đối xứng qua trục Ox.
Chu vi và diện tích của miền R là PR = e~“ (2b +1)
ẨR = 2be -a
Cho diện tích A bất kì, a là một hàm số của b, AR = A, ố —> oc thì
A
—» 0 và tỉ số —-—> 1 .
p
21
bởi tích phân của e p
. Vì vậy biên không thể là đường thẳng đứng, chu vi lớn
hơn diện tích A.
Densỉty=ex
Hình 2.2: Mặt phẳng với mật độ ex
2.3.
Mặt phẳng với mật độ ex ~y , gọi là c - phẳng.
Định nghĩa 2.3.1
được định nghĩa như sau
/ '-R2 —> R+
(x,y)\-^ f[(x,y)] :=eỵ2~y2
Nhận xét 2.3.2
Mật độ ex ~y là hằng trên mỗi hyperbol X2 - y2 = c(const) nghĩa là
trên mồi điểm của hyperbol đều có cùng mật độ
Định lý 2.3.3 (Xem[8, tr.10])
Cho Ỵ là một đường trắc địa trong c và một điểm p nằm trên c không
thuộc trục Ox hoặc trục Oy, Ỵ không tiếp xúc với đường thẳng đứng (xem
22
giao với trục Oy tại điểm p. Chọn hướng dưong đi từ p đến p . Lúc đó Ỵ
mang hướng dương, hội tụ về một đường thẳng song song với trục Ox.
CHÚNG MINH
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng điểm p nằm ở góc phần
tư thứ nhất (Hình 2.5), do các góc phần tư là đối xứng. Gọi ỵ tham số hóa của
độ dài cung. Giả sử ỵ(o)= (x(0), y(0)) = p và x'(0)>0.
1) /(0)<0
Giả sử y(t) * 0 với t > 0, Ỵ là đường thẳng đứng hay đường nằm ngang
tại đểm ÍQ> 0 nào đó. cần chứng minh x'(0 > 0 và y\t) < 0 với t > 0
* Nếu Ỵ là đường nằm ngang tại điểm to >0 thì vectơ tiếp xúc n là đường
thẳng đứng, theo phưong trình đường trắc địa: n(k - Vọ) - 0 => (k - Vọ) phải
nằm ngang.
Mà k là bội của n, vì vậy k thẳng đứng. Do (k - V ẹ) nằm ngang nên k phải
giản ước thành phần thắng đứng của - V (Ọ. Trong góc phần tư thứ nhất ta có
-V(Ọ = (~2x,2y), trong đó thành phần y dương, vì vậy để giản ước thì k phải
hướng thẳng đứng xuống dưói. Do đó y\t) < 0 với t > 0.
* Neu Ỵ là đưòng thẳng đứng tại điểm to > 0 thì vectơ tiếp xúc n nằm
ngang
vì vậy (k-V
x\t) > 0, với t> 0
Với điều kiện y\t) < 0,x\t) > 0 và y(t) -*■ 0 với t > 0 thì / phải hội tụ về
đường thẳng song song với trục Ox. Chúng ta sẽ xét trường họp y(t) = 0 với
t > 0 sau khi xét trường họp thứ (2).
2) y '(0) > 0 : Cần chia hai trường họp nhỏ
