Bài toán thể tích (repaired)

Bài toán thể tích
Bài 1: Cho hình chóp SABC có hình chiếu của S trên mặt đáy nằm trong tam giác ABC. Các mặt bên

·ABC = 600 ; AB = 4a; AC = 2 7 a.
tạo với đáy một góc 600, góc

Tính thể tích hình chóp SABCD.

Lời giải
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S đến
(ABC). Từ H kẻ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với
AB, BC, CA. Khi đó ta có

S

·
·
·
SIH
= SJH
= SKH
= 600 ⇒ HI = HJ = HK .

Hay H chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC (r=HI).

1
+)VSABC = SH .S ABC
3

I

A

S ABC

D

H

*)Tính
Xét

J

K

·
∆ABC : AC 2 = BC 2 + BA2 − 2 BC.BA.cos ABC

(

⇔ 2 7a

)

2

B

C

= BC 2 + (4a)2 − 2.4a.BC.cos 600

⇔ 28a 2 = BC 2 + 16a 2 − 4a.BC
 BC = −2a
⇔ BC 2 − 4a.BC − 12 = 0 ⇔ 
 BC = 6a
S ∆ABC =

1
1
12a 2 3
AB.BC .sin B = .4a.6a.sin 600 =
= 6 3a 2
2
2
2
S

*) Tính SH

HK = r ; S ∆ABC = pr ⇔ r =

S∆ABC
2 S∆ABC
12 3a 2
6 3a
=
=J
=

p
AB + BC + CA 10a + 2 7 a 5 + 7
K

B

M

6 3a
18aB
⇒ SH = HK .tan 60 =
. 3=
5+ 7
5 +H 7

C

0

A

N
D

I

1
1 18a
18
+)VSABC = SH .S ABC = .

.6 3a 2 = 2 3.
a3.
3
3 5+ 7
5+ 7
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính thể
tích khối chóp ABCD.
S


Qua B, C, D lần lượt kẻ các đường thẳng song
song với CD, DB, BC và gọi M, N, P là các giao
điểm (B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh
MN, NP, PM). Ta có

+) AB = CD =

1
MN ⇒ ∆AMN
2

1
+) AC = BD = PN ⇒ ∆ANP
2
1
+) AD = BC = MP ⇒ ∆AMP
2

A

vuông tại A.
D

M

vuông tại A.

P

B

C

vuông tại A.

N

+) AM 2 = MP 2 − AP 2 ⇔ AM 2 + AP 2 = 4c 2 (1)
+) AN 2 = NP 2 − AP 2 ⇔ AN 2 + AP 2 = 4b 2 (2)
+) AM 2 = MN 2 − AN 2 ⇔ AM 2 + AN 2 = 4a 2 (3)

Lấy (1) – (2) ta được

AM 2 − AN 2 = 4c 2 − 4b 2

, kết hợp với (3) ta suy ra

AM = 2a 2 + 2c 2 − 2b 2

S

AN = 2a 2 + 2b 2 − 2c 2 ; AP = 2b 2 + 2c 2 − 2a 2 .
Tương tự ta có

VAMNP =
Khi đó
D

S∆BCD =

Mà

1
2 2 (a 2 + b 2 − c 2 )(a 2 + c 2 − b 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )
6
A

I

1
1 1
S∆MNP ⇒ VABCD = . 2 2 ( a 2 + b 2 − c 2 )( a 2 + c 2 − b2 )(b 2 + Kc 2 − aH 2 )
4
4 6

J

C

Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều SABC, biết các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và đáy

bằng 450. Tính thể tích khối chóp.

C

S

K
J
N
K
M

B

B

B

M

C


O

*) Mục tiêu : Tính độ dài cạnh đáy
Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm đáy ABC, vì hình

S

SO ⊥ ( ABC )

chóp đều nên

và khi đó

·SAB);( ABC )) = (·SM ; MO) = SMO
·
((
= 450
⇔ SO = MO

.
Xét trong tam giác SAO có

A

2

C

 2 AB 3 
AB 2
2
+ )OS 2 = SA2 − AO 2 = a 2 − 
=
a
−
(1)
÷

÷
3
3 2 

O

M

2

 1 AB 3 
AB 2
+ )OM = 
÷
÷ = 12 (2)
3 2 

B

2

Kết hợp (1) và (2) ta có

a −
2

AB

A

AB 2 AB 2
AB 2 AB 2
12a 2
2 3a
a −
=
⇔
+
= a 2 ⇔ AB 2 =
⇔ AB =
.
3
12
3
12
5
5
2

⇒ SO 2 = a 2 −

12a 2 3a 2
a
=
⇔ SO =
.
15
15
5
2

+) S ∆ABC

1
3 12a
3 3a
= AB. AC.sin 600 =
=
2
4 5
5

+)VSABC

1 a 3 3a 2
3a 3
15 3
= .
.
=
=
a.
3 5
5
25
5 5

2

D

M

P

B

C

N

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB=a; AD=2a, SA vuông góc với

AM =

a 3
3

đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 60 độ. Trên SA lấy điểm M sao cho
. Mặt phẳng (BCM) cắt
SD tại N. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC đồng thời tính thể tích khối chóp
SBCMN.

S

I

A

D

H

B

J

K

C


AB / /( SCD ) ⊃ SC

S

Vì

⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( A, ( SCD )).
H

Trong (SAD) kẻ AH vuông góc với SD tại H. Ta

K

CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ AH ; SC ⊥ AH

có

N

M

⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD)) = AH .

1
1
1
=
+
2
2
AH
AS
AD 2

Có

D

A
I

, mà

SA = AB.tan 600 = a 3

C

B

nên suy ra

1
1
1
7
a 12
= 2+ 2=
⇒ AH =
.
2
2
AH
3a 4a
12a
7

Mà

1
1
2 3a 3
VSABCD = .SA. AB. AD = .a 3.a.2a =
3
3
3

VSABC = VSACD

S ∆ABC = S ∆ACD
;

nên suy ra

1
3a 3
= VSABCD =
2
3

Mặt khác:

SM SN SA − AM 2 VSMBC SM 2
2
2 3a 3
+)
=
=
= ⇒
=
= ⇒ VSMBC = VSABC =
SA SD
SA
3
VSABC
SA 3
3
9

+)

VSMNC SM SN 2 2 4
4
4 3a 3 4 3a 3
=
.
= . = ⇒ VSMNC = VSADC =
=
VSADC
SA SD 3 3 9
9
9.3
27

VSBCNM = VSMBC + VSMNC =

2 3a 3 4 3a3 10 3a 3
+
=
.
9
27
27

S

Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc nhị diện
cạnh SC có số đo bằng 1200. Tính thể tích khối chóp.
Lời giải

H

A

*)Mục tiêu: Tính SA

O

C

B

S

K


S

Trong (SBC) kẻ BH vuông góc với SC tại H suy ra

·
BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ HD ⇒ BHD
= 120

S

s

0

H

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC
K

Lại có
B.

vuông tại
N

M

CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD

H

vuông tại D.
Từ đó suy ra

D

A

D

A

∆SBC = ∆SDC ⇒ SB = SD ⇒ BH = DH ⇒ ∆HBD
I

·
OHD
= 600

C

B

cân tạiBH.
C
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD ta suy ra
. Lại có

HO ⊥ BD ⇒ HO = OD.cot 600 =

a 2 1 a
. =
2 3
6

Xét tam giác SAC đồng dạng tam giác OHC nên

a
SA2 + 2a 2
SA SC
OH .SC
a

1
=
⇒ SA =
⇔ SA = 6
⇔
SA2 + 2a 2 = a 2.SA
1
OH OC
OC
2
6
a 2
2

⇔

1
a2
1
a2 
a4
( SA2 + 2a 2 ) = SA2 .a 2 ⇔  a 2 − ÷SA2 =
⇔ SA2 = a 2 ⇔ SA = a.
6
2
6 
3
2

1

1
⇒ VSABCD = SA.a 2 = a 3
3
3
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Điểm M thuộc SC sao cho

BC = 2 AD = 2a 3

MC=2MS, AB=a,
SC và đáy bằng 600.

. Tính thể tích khối chóp MABCD biết SA=SB=SD và góc giữa
S

Lời giải.

SH ⇐ HC ⇐ canh ∆BCD.

H

Mục tiêu:

A

D

O

C

B

S


Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S
xuống (ABCD). Vì SA=SB=SD nên H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Vì tam
giác ABD vuông tại A nên H là trung điểm
BD.
Gọi I là trung điểm BC, suy ra tam giác ICD
vuông tại I. Ta có

(

CD = DI 2 + IC 2 = a 2 + a 3

)

2

S

M

= 2a

BD = a 2 2 = 2a
CH 2 =

CB + CD
BD
−
2
4
2

( 2a 3 )
=

2

2

+ (2a ) 2

I

B
K

H

2

C

A

D

(2a ) 2
2
4
= 8a 2 − a 2 ⇒ CH = a 7
−

SH = CH .tan 600 = a 21.

Gọi K là giao điểm của DI và HC, ta có

MK =

CK 2 CM
= =
⇒ MK / / HS ⇒ MK ⊥ ( ABCD)
CH 3 CS

và

2
2 21
( AD + BC ) AB (a 3 + 2a 3).a 3 3a 2
a 21 =
a ⇒ S ABCD =
=
=
.
3
3

2
2
2

1
1 2 21 3 3a 2
21a 3
⇒ VMABCD = .MK .S ABCD = .
.
=
= 7a3.
3
3 3
2
3
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, góc SAD vuông.
Gọi J là trung điểm SD. Tính thể tích khối chóp ACDJ và tính khoảng cách từ D đến (AIJ).
Kẻ SH vuông góc với AB tại H, ta có

S

SH ⊥ AB 
 ⇒ SH ⊥ ( ABCD)
SH ⊥ AD 
SH =

a 3
2

J

S

M
1
⇒ VSACD = SH .S ACD
3

=

1 a 3 1 2 a3 3
. a =
3 2 2
12

H
I

B

Lại có

B

C

C

K

H
A

S

D

A

M
D
A
I
B


VSACJ
SJ 1
1
a3 3
=
= ⇒ VJCAD = VSACD =
.
VSACD SD 2
2
24
*) Tính khoảng cách.

3V
1

VJCAD = d ( D; ( JAC )).S ∆JAC ⇒ d ( D;( JAC )) = JCAD
3
S ∆JAC
+)

+)

SD 1
a 2
a2
2
AJ =
= a 2=
⇒ AJ = .
2
2
2
2

+) AC = a 2 ⇒ AC 2 = 2a 2
CS 2 + CD 2 SD 2 a 2 + a 2 − 2a 2 2a 2
−
=
−
= a2
2
4
2
4
a2

+ a2 + a2
2
2
2
JA
+
JC
−
AC
1
+) cos ·AJC =
= 2
=−
a
2 JA.JC
2 2
2
.a
2
+) JC 2 =

1
7
⇒ sin ·AJC = 1 − =
8
8

S∆ACJ =

1

7 a2 7
3a 3 3 8
a 21
JA.JC.
=
⇒ d ( D;( JAC )) =
. 2
=
.
2
8
8
24 a 7
7

Suy ra
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AB=2a; AD=CD=a;
SA=3a và SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SBCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SCD)?
Lời giải

( AB + CD) AD (2a + a)a 3a 2
+ ) S ABCD =
=
=
.
2
2
2
1

1
+ ) S ∆ABD = AB. AD = .2a.a = a 2
2
2
2
3a
a2
⇒ S ∆BCD =
− a2 = .
2
2
+)VSBCD

S

A

1
a2 1
a 2 aS 3
= SA. = .3a. = .
3
2 3
2
2
D

A

C

M

O

B

B

C


D

M

+) d ( B;( SCD)) =
B

3.

a3
2

3.VSBCDP
=
S ∆SCD
S∆SCD

C

Tam giác SCD vuông tại D nên
N

1
1
1
1
a 2 10
DC.DS = a a 2 + (3a) 2 = a a 2 + 9a 2 = a.a 10 =
2
2
2
2
2
3
3a
2
3a
⇒ d ( B;( SCD)) =
. 2
=
.
2 a 10
10
S ∆SCD =

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có SA=a, tất cả các cạnh còn lại đều bằng b (
tích khối chóp SABCD.
S

Từ giả thiết suy ra đáy
ABCD là hình thoi. Gọi I là tâm
đáy ta có

AC ⊥ BD 
1
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
VSABC = BI .S∆SAC
SI ⊥ BD 
⇒
3

Vì

K

vuông tại S

.

1
1
SA.SC
= a.b
J
2
2
C

+ ) AC = SA2 + SC 2 = a 2 + b 2 ⇒ AI =

). Tính thể

S

1
∆SBD = ∆CBD ⇒ AI I= CI = AC ⇒ ∆SAC
A
2B
⇒ S ∆SAC =

0
C

D
H

B

I
A

1 2
a + b2
2

1
1
3 2 1 2 1

+ ) BI = AB 2 − AI 2 = b 2 − a 2 − b 2 =
b − a =
3b 2 − a 2
4
4
4
4
2
1 1
1
1
1
+ )VSABC = .
3b 2 − a 2 . a.b = ab 3b 2 − a 2 ⇒ VSABCD = 2VSABC = ab 3b 2 − a 2 .
3 2
2
12
6
Bài 10 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a ; BC=a, các cạnh bên của hình

S

chóp bằng nhau và bằng
J

a 2

.

a) Tính thể tích khối chóp SABCD

b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm AB,CD,SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt
K
phẳng (MEF).
B

M

C

Lời giải

N

H
A

D

I

S


B

A

a) Gọi O là tâm đáy. Vì SA=SB=SC=SD nên

S

SO ⊥ ( ABCD)

.

+) AC = BA2 + BC 2 = 4a 2 + a 2 = 5a 2 = a 5
⇒ AO =

a 5
2
D

M

E

P

5a 2 a 3
+) SO = SA − AO = 2a −
=
.
4
2
B
C
2

+)VSABCD

K

F

2

B

A

2

M

S
O

3

1
1 a 3
a 3
= SO
.S ABCD = .
.2a 2 =
.
N
3
3 2
3

C

N

D

J

S

b)Trong (SCD)Mcó
điểm của SN.

 SN ⊥ CD
⇒ SN ⊥ EF

 EF / / CD

(1). Gọi K là giao điểm của SN và EF, suy ra K là trung

2

 a 3   a 2
SM = SO + OM = 
= a = MN
÷
÷ +  2 ÷
B
2




I
S
2

B

Lại có

2

C

MKH ⊥ SN (2)

H
C
S

nên tam giác MSN cân tại M, suy ra

SN ⊥ ( MEF )

K

. Từ (1) và (2) suy ra
A

D

A

.

D

AB = a; BC = a 3; ∆SAO

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
cân
I
0
B
A
tại S; mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy. Góc giữa SD và đáy bằng 60 . Tính thể tích khối chóp
C
SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
H

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ
J S xuống AD. Do

( SAD) ⊥ ( ABCD )

K

B

I

S

SH ⊥ ( ABCD)

A

B

nên
. Lại có
C
SA=SO suy ra HA=HO (Tính chất của hình chiếu và
đường xiên), do vậy tam giác HAO cân tại H.
Gọi I là trung điểm AO, suy ra

IH ⊥ AO

K

và ta có

AI
AH =
.
·
cos IAH

A

Mặt khác
S

H

1
1 2
OA = OB = AC =
a + 3a 2 = a ⇒ ∆AOB
2
2

tam giác đều

·
·
⇒ BAI
= 600 ⇒ HAI
= 300.

J

K
B

M

C

B
I
O

D

là

D

C


+) AH =

AI
a 2
a
a
2a
= .
=
⇒ DH = a 3 −
=
.
0
cos 30
2 3
3
3

3

+) SH = DH . tan 600 =

2a 3
1
2 3a 3
= 2a ⇒ VSABCD = .2a.a.a 3 =
.
3
3
3

HA = HO; BA = BO; IA = IO
b)Vì

Lại có

nên H, B, I thẳng hang.

 AC ⊥ HI
⇒ AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ ( SHB )

 AC ⊥ SH

IK ⊥ AC

, do vậy trong (SHB) kẻ

IK ⊥ SB

tại K, ta có

d ( AC ; SB ) = IK .
, hay

*) Tính IK

Có tam giác SHB đồng dạng với tam giác IKB nên

SH SB
SH .IB
=
⇔ IK =
IK IB
SB

.

+ ) SH = 2a.
+ ) SB = SH 2 + HB 2 = SH 2 + AH 2 + AB 2 = 4a 2 +

+)SH

+ ) IB = HB − HI = AH 2 + AB 2 − AI .tan 300 =

a2
16a 2
4a
+ a2 =

⇒ SB =
3
3
3

a2
a 3 2a
a
3a
+ a2 − .
=
−
=
3
2 3
3 2 3 2 3

3a
3a 3
2
2 3 = 3 = 3a . 3 = 3a .
4a
4a
3 4a 4
3
3

2a.
⇒ IK =

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên tạo với đáy
góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với đáy góc 300, cắt SC, SD tại M và N. Tính thể tích khối
chóp SABMN.
Lời giải


Gọi O là giao của AC và BD. Vì hình chóp đều nên

S

SO ⊥ ( ABCD)

. Trong (ABCD) kẻ đường thẳng
đo qua O và song song với AD, BC cắt AB, CD tại
H và K. Ta có

 HK ⊥ AB
·
⇒ SHK
= 600 ⇒ ∆SHK

 SH ⊥ AB

N

là tam

( P ) ≡ ( IAB )

A

D

giác đều.
Gọi I là trung điểm của SK, ta có

 IH ⊥ AB

 KH ⊥ AB ⇒ I ∈ ( P )
·
0
 AHK = 30

I

M

K

H

O

C

B

( P) ⊃ AB
, mà

nên

. Giao tuyến của (P) và (SCD) là
đường thẳng MN đi qua I đồng thời song song
với AB và CD.(M thuộc SC và N thuộc SD).
*) Tính thể tích
Cách 1: Ta có

a 3
1
1 a 3 2 a3 3
SO = SA − AO = OH . tan 60 =
⇒ VSABCD = SO.S ABCD = .
.a =
.
2
3
3 2
6
2

2

0

1
1
⇒ VSABD = VSBCD = VSABCD = a 3 3
2
12

Mà

1 3
VSABD SD
=
=
2
⇒
V
=
a 3
SABN
V
24
1 
1
 SABN SN
 1
⇒ VSAMBN =  + ÷a 3 3 = a 3 3

1 3
16
 24 48 
 VSBCD = SC = 4 ⇒ V
a 3
SBMN =
VSBMN SM
48

Cách 2: Tính trực tiếp.

Ta có

Mà

 SI ⊥ IH
1
⇒ SI ⊥ ( IHNM ) ⇒ SI ⊥ ( MNAB ) ⇒ VSAMBN = SI .S AMBN .

3
 SI ⊥ MN

∆SHK

SI =
đều cạnh a nên

1
a
SK = .
2
2


S AMBN

a
a 3
+ a÷


2
( MN + AB ) IH  2
1 a 3 3a 2
3a 3
 2 = 3 3a ⇒ V
=
=
=
.
.
=
SAMBN
2
2
8
3 2
8
16

Bài 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 300, đường cao của hình chóp bằng a. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu của A trên SB và SD.
a.Chứng minh rằng SC vuông góc với (AHK).
b.Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối chóp SAHEK.
Lời giải.

·
SA ⊥ ( ABCD); SBA
= 300.

S

Từ giả thiết suy ra

BC ⊥ ( SAB) ⊃ AH ⇒ BC ⊥ AH ;

a.Vì
mà

E

SB ⊥ AH ⇒ AH ⊥ SC.

Tương tự ta có

CD ⊥ AK
⇒ SC ⊥ AK

 SD ⊥ AK

SC ⊥ ( AHK ).

N

I

H

D

A

do vậy

S
O

b.Gọi O là giao của AC và BD. Trong (SBD) gọi I là giao
điểm của SO và HK. Trong (SAC) gọi E là giao điểm của
AI và AC, suy ra E là giao điểm của SC và (AHK).
Vì

H

K

B

C

SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ ( AEBK ) ⇒ SE ⊥ ( AEHK )

1
⇒ VSAHEK = SE.S AHEK
3
D

H
A

D

A

Mặt khác
C

C ⇒ SH = SK ⇒
∆ABS = ∆ADS ⇒BAH = AK ⇒ ∆HAS = ∆KAS

BD ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ AE ⇒ S AHEK =
Mà

SH SK
=
⇒ HK / / BD.
SB SD

1
1
HK . AE ⇒ VSAHEK = SE.HK . AE
2
6

*)Tính độ dài các đoạn thẳng.

M

B

1
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
AE
AS
AC
AS
2 AB 2
( AB 2) 2 AS
1
1
1

1
7
a 6
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AE =
2
0 2
a
2( AS cot 30 )
a 6a
6a
7

6a 2
a
=
7
7
SH SA
SA 2
2
+)∆SAB : ∆SHA ⇒
=
⇒ SH .SB = SA ⇒ SH =
=
SA SB
SB
+) SE = SA2 − AE 2 = a 2 −

⇒

a2
SA + AB
2

2

a2

=

a + 3a
2

SH a 2a 1
1
1
a 6
= .
= ⇒ HK = BD = a 3 2 =
SB 2 1 4
4
4
4

(

)

1 a 6 a a 6 a3

⇒V = .
.
.
= .
6
28
7
7 4
Cách 2:

a

 SE
a
a
1
7
=
=
=
=

VSEHA SE SH
1
=
.
=
 SC
a 2 + 6a 2 a. 7. 7 a.7 7 ⇒
VSCBA SC SB 28

 SH 1

=
 SB 4
⇒ VSEHA =

1
1
1 3
VSCBA = VSABCD =
a
28
54
54

VSEKA =
Tương tự ta cũng có

1
1
1
VSCDA = VSABCD = a 3
28
54
54

, do đó thể tích cần tìm là

1 
1

 1
V =  + ÷a 3 = a 3
28
 54 54 

·ASB = 1200 ; BSC
·
·
= 600 ; CSA
= 900
Bài 14: Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a,
a.Chứng minh rắng tam giác ABC vuông.
b.Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ A đến (SBC).
Lời giải:

.

2

=

a
2


Từ giả thiết suy ra

AC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 .

S

AB 2 = a 2 + a 2 − 2a 2 .cos1200 = 3a 2
BC = a ⇒ BC 2 = a 2
AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇒ ∆ABC

Nhận thấy
vuông
tại C.
b.Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD), Vì
SA=SB=SC nên suy ra HA=HB=HC, mà tam giác
ABC vuông ở C nên H là trung điêm AB.

1
1
VSABC = SH .S ABC = SH . AC .BC
3
6

A

B

H

C

. Mà

a
·

+ ) SH = SB.sin SBH
= SB.sin 30 =
2
+ ) AC = a 2

D

0

+ ) BC = a
VSABC =
Nên suy ra

d ( A; ( SBC )) =

a3 2
12

3.

a3 2
12

3VSABC
2
=
=a
.
1 2
S ABC

0
3
a sin 60
2

Bài 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AD//BC. Cạnh AB=a; BC=a, góc BAD

SA = a 2

vuông, cạnh SA vuông góc với đáy và
. Tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của
A trên SB. Tính thể tích khối chóp SBCD và khoảng cách từ H đến (SCD)?
Lời giải


S

S

Tam giác ABC vuông cân tại B nên

·
·
AC = a 2; BCA
= CAD
= 45

Có

0

CD ⊥ SC
⇒ CD ⊥ AC ⇒ ∆CAD

CD ⊥ SA

vuông cân

⇒ CD = AD = a 2; AD = 2a
tại C
A

H

.

(CB + AD) AB 1
+) S BCD = S ABCD − S ABD =
− AB. AD
B 2
2
H
2
( a + 2a ) a 1
a
=
− a.2a = .
2
2
2

A

B

D

C

C

1
a2
2a 3
VSBCD = SA. =
.
3
2
6
D

SH .SB = SA2 ⇒ SH =
⇒

SA2
SH SA2 2a 2 2
⇒
=
=
=

SB
SB SB 2 3a 2 3

VSHCD SH 2
2 2a 3 a 3 2
=
= ⇒ VSHCD = .
=
VSBCD SB 3
3 6
9

⇒ d ( H ;( SCD)) =

3VSHCD
S SCD

3 2a 3
2a 3
2
a
9
=
=
.
= .
1
3 2a.a 2 3
SC.CD
2

Bài 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD). Cạnh AB=2CD=4a; cạnh

BC = a 10
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, cạnh SO vuông góc với đáy và tam giác SAB là tam
giác đều. Tính thể tích khối chóp SABCD và cos(SD;BC)?
Lới giải


S

a.Tính thể tích
Cách 1: Kẻ CH vuông góc với AB tại H ta suy ra
HB=a.

S

HC = BC 2 − HB 2 = 10a 2 − a 2 = 3a
BC 2 + BH 2 − HC 2
1
·
⇒ cos
HBC
=
=
A
D
2 BC .BH
10

H

B

BC 2 + BA2 − AC 2
C
2 BC.BA
1
10a 2 + 16a 2 − AC 2
⇒
=
10
2.a 10.4a
1
26a 2 − AC 2
⇔
=
⇔ AC 2 = 18a 2
2
10
8 10a
cos B =

H

N

A

D

M

C

⇔ AC = a.3 2
AO AB
2
2
=
= 2 ⇔ AO = 2OC = AC = a.3 2 = 2 2a
OC CD
3
3
⇒ SO = SA2 − AO 2 = 16a 2 − 8a 2 = 2 2a.
1
1
(2a + 4a )3a
VSABCD = SO.S ABCD = .2 2a.
= 6 2a3 .
3
2
2
Cách 2: Kẻ MN qua O và MN vuông góc với AB, ta suy ra

MN = HC = 3a ⇒ ON = 2a =

OA =

( 2a )

2

AB
⇒ ∆OAB
2

vuông cân tại O, suy ra

+ ( 2a ) = a 8 = SO ⇒ V = 6 2a 3 .
2

*) Tính cos(SD;BC)
Vì DN//BC nên (SD;BC)=(SD;DN)
Ta có

+) SD 2 = SO 2 + OD 2 = 8a 2 + 2a 2 = 10a 2
+) DN = CB = a 10 ⇒ DN 2 = 10a 2
+) SN 2 = SA2 − AN 2 = 16a 2 − 4a 2 = 12a 2
DS 2 + DN 2 − SN 2 10a 2 + 10a 2 − 12a 2 2
·
⇒ cos SDN
=
=
= .
2 DS .DN
5
2.a 10.a 10

·

OAN
= 450

B


Bài: Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, canh SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi
B’;D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối
chóp SAB’C’D’.
Lời giải
Ta có:

S

S

 AB ' ⊥ SB
⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC.

 AB ' ⊥ CD
Tương tự

C'

AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' C ' D ') ⇒ SC ⊥ AC '

C

M

I

Do tính chất đối xứng của hình vuông ta có

VSAB 'CA' D ' = 2VSAB 'C '

A

D

D

VSAB 'C ' O SB ' SCG' SB '.SB SC '.SC
=
.
=
.
VSABC
SB SCC
SB 2
SC 2

B

D'

B'

B

C

Lại có

=

SA2 SA2 4a 2 4a 2 8
.
=
.
= .
SB 2 SC 2 5a 2 6a 2 15

⇒ VSAB 'C ' D ' = 2VSAB 'C '

16a 3
=
45

Mà

1 a2
a3
8 a 3 8a 3
VSABC = . .2a = ⇒ VSAB 'C ' = . =
3 b
3
15 3
45

·ASB = 2ϕ
Bài: Cho khối chóp tam giác đều SABC có chiều cao bằng h và góc

. Tính thể tích khối

ϕ

chóp theo h và

.

S

Lời giải
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC ta có

S

SO ⊥ (C'ABC ); SO = h.
D'

B'

Gọi K là trung điểm của AB và đặt AK=x. Khi đó
A

+ ) SK = x cot ϕ

D

x
+ )OK = x tan 30 =
3
C
x2
+ )h 2 = SK 2 − OK 2 = (3cot 2 ϕ − 1)
3
2
3h
⇒ x2 =
3cot 2 ϕ − 1
0

B

C

A
O

B


S ABC =

AB 2 sin 600
1
h3 3
= x 2 3 ⇒ VSABC = x 2 3.h =
2

3
3cot 2 ϕ − 1
.

Bài : Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung
tuyến AD=a, góc giữa cạnh SB và đáy bằng
Tính thể tích khối chóp ?

α

β
, góc giữa cạnh SB và mặt phẳng (SAD) băng

.

Lời giải
Do AB là hình chiếu của SB trên (ABC) nên

·
SBA
=α

S

BD ⊥ ( SAD)
. Dễ thấyS

nên hình chiếu

·

BSD
=β

của SB lên (SAD) là SD, suy ra
.
Do các tam giác SAB, và SDB vuông nên

SB =

BD
AB
; SB =
sin β
cos α

A
Suy
ra

=

D

C

a2
cos 2 α − sin 2 β

⇒ BD =

C

A

AB 2
BD 2
AB 2 − BD 2
=
=
cos 2 α sin 2 β cos 2 α − sin 2 β

B

O

a sin β B

cos 2 α − sin 2 β

SD = BD.cot β =

;

a cos β
cos 2 α − sin 2 β

SA = SD 2 − AD 2 =

a sin α
cos 2 α − sin 2 β

Do vậy thể tích cần tìm là

1
1
a sin α
V = SA.S ABC = a.
3
3
cos 2 α − sin 2 β

a sin β
cos 2 α − sin 2 β

=

a 3 sin α sin β
;
3(cos 2 α − sin 2 β )

Bài : Cho khối chóp SABC có đáy ABC lad tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với đáy (ABC),
cạnh SC=a. Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất.
Lời giải


I

H

E

B

B
M

Ta có

S

 BC ⊥ AC
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC

 BC ⊥ AS
·
·SCB );( ABCC )) = x (0 < x < π )
⇒ SCA
= ((
2
A

Khi đó

B

SA = sin x; AC = a cos x

VSABC =

a
a 2 .cos 2 x a3 sin x.cos 2 x

sin x.
=
.
3
2
6

C

y = sin x.cos 2 x
Xét hàm số

⇒ y ' = cos3 x − 2 cos x.sin 2 x = cos x(3cos 2 x − 2) = 3cos x(cos x −

0 <α <

π
2
⇒ cos x(cos x +
)>0
2
3

Vì
bảng biến thiên

, gọi

α

cos α =
là góc thoả mãn

y’
y

π
2

α
+

0

Vmax

x = α (cos α =
Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi và chỉ khi

2
π
0 < α < ÷
3
2

, ta có

x
0

2
2
)(cos x +
)
3
3

2
π
;0 < α < )
3
2
.

Bài : Cho khối chóp tứ giác đều SABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) bằng 2a. Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và đáy của khối chóp thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất ?
Lời giải


D

Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó

S

S

SO ⊥ ( ABCD)

. Gọi E, H lần

lượt là trung điểm
N
của AB và CD. Vì AD//BC nên AD//(SBC), do đó
d(A,(SBC))=d(E,(SBC)).
I
M

D

Kẻ

EK ⊥ SH ⇒ EK
⊥ ( SBC )
A

⇒ EK = d ( A, ( SBC )) = 2a

O

.

H
C

Ta có

B'

C

K
A

M

A
E

B

Đặt

H

O

 BC ⊥ SH
·
·SBC ), ( ABCD )).
⇒ SHO
= ((

BC
⊥
OH


π
·
SHO

= x(0 < x < )
2

D

B

C

, ta tìm được

2a
a
a
a
; OH =
; SO =
.tan x =
.
sin x
sin x
sin x
cos x
1
4a 3
⇒ VSABCD = S ABCD .SO =
3
3cos x.sin 2 x
EH =

y = 3cos x.sin 2 x
Từ đó suy ra thể tích khồi chóp nhỏ nhất khi hàm số

x = α (sin α =

đạt giá trị lớn nhất, điều

2
π
;0 < α < )
3
2

này xảy ra khi và chỉ khi

.

Bài 17: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc
của S trên (ABC) là trung điểm E của AB và SE=2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC và SC.

·
ECM
= α (00 < α < 900 )
Điểm M thay đổi trên tia đối của tia BA sao cho
góc của S trên MC. Tính thể tích khối chóp EHIJ theo a và
Lời giải

α

. Tìm

α

và H là hình chiếu vuông
để thế tích đó là lớn nhất.

B


S

Ta có

 IJ / / SE
⇒ IJ ⊥ ( ABC ) ⇒ IJ ⊥ ( EIH )

 SE ⊥ ( ABC )
J

1
1 SE
1
⇒ V = IJ .S EIH =
.S EIH = .a.S EIH
3
3 2
3
IE = IC ⇒ S EIH =
Vì
Lại có

1
S EHC .
2

C

A
I

 MC ⊥ SH
⇒ MC ⊥ ( SHE ) ⇒ MC ⊥ HE

 MC ⊥ SE

⇒ ∆EHC

H

E
B
M

vuông tại H.

Mặt khác

CE = CB 2 + BE 2 =

( 2a )

2

+ a2 = a 5

 EH = EC.sin α = a 5 sin α
1
5a 2
⇒
⇒ S EHC = a 5.a 5.sin α .cos α =
.sin 2α
2
4
HC
=
EC
.cos
α
=
a
5
cos
α


⇒ S IEH

Vì

5a 2

1 5a 2
5a 3
=
sin 2α ⇒ V = a.
sin 2α =
sin 2α .
8
3
8
24

00 < α < 900 ⇒ −1 ≤ sin 2α ≤ 1

Vmax ⇔ sin 2α = 1 ⇔ α = 450.
nên

Bài 18: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M sao cho AM=x (0thẳng vuông góc với (ABCD) tại A lấy điêmr S sao cho AS=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
lên AC. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SMCH?
Lời giải


S

Ta có

 MH ⊥ AC
⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ MH ⊥ SH

 MH ⊥ AS

S

J

+) SM = SA2 + AM 2 = 4a 2 + x 2
+ ) MH ⊥ AH ⇒ MH = AM .tan 450 =
C

A

x 2
2

x 2
x 2
+ ) AH = AM cot 45 =
⇒ HC = a 2 −
.
I
2 H
2
1E
1 x 2
x 2
+ ) S MHC = MH .HC =
 a 2 −
÷
2
2 2 

2 ÷
B

0

M

A

D

H
C

B

M

x
x
2x
−a 2 =
⇔
= a 2 ⇔ x = a ⇔ M ≡ D.
2
2
2
Dấu “=” xảy ra khi
Bài 19: Cho tứ dện ABCD có các tam giác ABC và BCD đều cạnh a. Góc giữa AD và (ABC) bằng 45 0.
Tính thế tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện.

Lời giải
S

Gọi M là trung điểm cạnh BC ta có

D

 AM ⊥ BC
·
⇒ BC ⊥ ( AMD) ⇒ DAM
= 450.

DM
⊥
BC

Lại có AM=DM nên tam giác MAD vuông cân tại

N

·
DMA
= 900 ⇒ DM ⊥ ( ABC ).

M, suy ra

A

Trên AM lấyMđiểm O sao
D cho

I

2
AO = AM
3

, qua
O kẻ đường thẳng Ox vuông góc với MD tại O,
suy ra Ox là trục của đường tròn ngoại tiếp tam
giácHABC.
C

MN ⊥ AD

Gọi N là trung điểm AD ta có
nên
MN là trung trực của AD.
Gọi I là giao điểm của Ox và MN suy ra I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xét tam giác OIM có

µ = 900
O
⇒ ∆OIM

·
= 450
 IMO

C

A
O

M

B

OI = OM =
vuông cân tại O, suy ra

1a 3 a 3
=
.
3 2
6


Lại có, tam giac AOI vuông tại O nên
2

2

a 3 2 a 3
3a 2 3a 2 a 15
IA = IO + OA = 
+
.

=
+
=
=R
÷

÷
÷ 
÷
36
9
6
 6  3 2 
2

2

Thể tích mặt cầu:

4
4 a 315 15 5 15π a 3
V = π R3 = π .
=
.
3
3
36.6
54
AB = 2a; AD = 2a 3

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, cạnh
.
Các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a, M là trung điểm OC. Tính thế tích khối chóp SABMD và diện
tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải
D

a.Từ giả thiết suy ra SO vuông góc với đáy.
Lại có

S

∆SOA = ∆SOB = ∆SOC = ∆SOD

N
⇒ OA = OB = OC =
OD

, suy ra tứ giác
ABCD là hình chữ nhật, và taI có

S ABCD = 4 3a ⇒ S ABMD
A 2

D

M

3
C

= .S ABCD = 3 3a 2 .
4
O
M

A

*) Tính SO

D

B

+ ) BD = AB 2 + AD 2 = 4a 2 + 12a 2 = 4a
1
⇒ BO = DB = 2a
2

I

O
B

G
C

⇒ SO = SB 2 − BO 2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
1
⇒ VSABMD = a 5.3 3a 2 = a 3 15.
3

DG =
b.Nhận thấy tam giác OCD đều cạnh a, nên nếu gọi G là điểm thuộc MD và thoả mãn
thì G là tâm ..

2
DM
3


Qua G kẻ Gx//SO suy ra Gx vuông góc với (OCD). Lấy N là trung điểm SO, qua N kẻ Ny vuông góc
với SO, khi đó gọi I là giao điểm của Ny và Gx thì I chính là tâm mặt cầu. Ta có

2 2 a 3 2a 3
IN = OG = .
=
.
3 2
3
4a 2 5a 2 a 31
+
=
=R
3
4
12
a 2 .31 31π a 2
⇒ S = 4π R 2 = 4π
=
.
12

3
IO 2 = IN 2 + NO 2 =