Bài toán thể tích khối chóp tam giác LTĐH

Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC.
BÀI 01: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU
Khối đa diện đầu tiên chúng ta nghiên cứu đó là “ Khối chóp tam giác” hay hình tứ diện, một
trong những khối chóp tam giác đặc biệt đó là hình chóp tam giác đều. Sau đây sẽ là một số tính chất
cơ bản nhất trong hình chop tam giác đều, các tính chất này các em hoàn toàn được sử dụng mà
không cần chứng minh lại trong các bài toán về tính thể tích:
I. Các tính chất:
Chú ý khi vẽ hình: Khi vẽ hình chóp tam giác đều các bạn nên vẽ đáy trước, trong không
gian ta tưởng tượng đáy là tam giác thông thường bởi vì nếu coi đáy là tam giác đều ta sẽ dẫn
đến khó nhìn hình. Sau đó xác định tâm của đáy (giao của 3 đường trung tuyến, đường cao,
đường phân giác trong, đường trung trực). Từ đáy ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt đáy.
Trên đó ta xác định đỉnh và dựng các cạnh bên ta sẽ có hình chop tam giác đều dễ nhìn.
1. Tính chất 1:
Trong hình chóp tam giác đều thì đáy là tam giác
đều và 3 mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau.
-
ABC
∆
đều
-
SA SB SC
= =

2. Tính chất 2:
Trong hình chóp tam giác đều, hình chiếu vuông
góc hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.
Định lí thuận:

( )
. ®ÒuS ABC
OA OB OC
SO ABC


⇒ = =

⊥



CM: Xét các tam giác SOA, SOB, SOC có SO chung,
(
)
0
90 ( )
SOA SOB SOC Do SO ABC
= = = ⊥
  
và SA=SB=SC(Tính chất 1).
Vậy
§PCM
SOA SOB SOC OA OB OC
∆ = ∆ = ∆ ⇒ = = ⇒

Định lí đảo:
( )
. ®Òu
SO

µ © ®¸y
S ABC
ABC
O l t m

⇒ ⊥



Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 2 of 4
CM: Do O là tâm nên ta có
AO BC
⊥
. Mặt khác
SBC
∆
cân tại S và N là trung điểm của BC
nên
SM BC
⊥

(
)
BC SAN SO BC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
. Chứng minh tương tự ta cũng có
(
)

§
SO AB SO ABC PCM
⊥ ⇒ ⊥ ⇒
.
3. Tính chất 3:
Trong hình chóp tam giác đều thì các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
,( ) ,
,( ) ,
,( ) ,
SA ABC SA AO SAO
SB ABC SB BO SBO
SC ABC SC CO SCO

= =

= =


= =

  
  
  
Do

SOA SOB SOC
∆ = ∆ = ∆

4. Tính chất 4:
Trong hình chóp tam giác đều thì góc tạo các mặt bên với đáy là bằng nhau.
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
,( ) , 45
,( ) ,
,( ) ,
SAB ABC SM MC SMO
SBC ABC SN NA SNO
SAC ABC SP PB SPO

= = =


= =



= =


  
  
  
Do
SOM SON SOP
∆ = ∆ = ∆

Sau đây sẽ là các ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng các tính chất trên vào trong tính thể tích
II. Các ví dụ minh hoạ:
1. Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy
bằng a. Cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Giải
Ta có:
( )
2
2
2 2
2
2 3 11
2 .
3 2
3
. 1 3 3
. .
2 2 2 4
ABC

a a
h SO SA AO a
AN BC a a
B S a
∆

 

= = − = − =
 
 

 



= = = =


Áp dụng công thức :
1
3
V Bh
=

2
.
1 3 11 11
. .
3 4 12

3
S ABC
a a a
V⇒ = =



Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 3 of 4
2. Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABC một
góc là 60
0
. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Giải

Ta có:
(
)
(
)
0
,( ) , 60
SA ABC SA AO SAO= = =
  

0
0
3
.

2a sin 60 3
3 3
2 os60
2 2
3 2
. 3
2
3
1 1 1 3 3
. 3. . . 3
3 3 2 2 4
S ABC
h SO a
a
OA ac a AN AO
a
BC AB a
a a
V Bh a a

= = =

⇒

= = ⇒ = =


⇒ = = =
⇒ = = =

3. Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a. Góc tạo bởi đáy và mặt
bên là 45
0

Giải:
Ta có
(
)
(
)
(
)
0
,( ) , 45
SAB ABC SM MC SMO= = =  


SOM
⇒ ∆
vuông cân tại M.
Đặt
SO x
=


2
2
3 3 . 2 3
3
SM x

OM x MC x AB x x

=

⇒

= ⇒ = ⇒ = =



Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 3
SM MB SB x x a
+ = ⇔ + =


5
5
a
x⇔ =

3
1 5 1 2 15 3 5 15
. . . .
3 5 2 5 5 25
a a a a
V⇒ = =

4. Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a. Các cạnh bên SA, SB SC

hợp với đáy một góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng đi qua Bc vuông góc
với SA. Tính thể tích hình chóp S.DBC
Giải
- Xác định điểm D:
Ta có:
( )
SO BC
BC SAO BC SA
AO BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Vậy trong tam giác SAB (hoặc ∆SAC) ta dựng BD vuông góc với SA (D thuộc SA)
Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 4 of 4
Vậy mặt phẳng đi qua BC và vuông góc với SA là (DBC) và D là giao điểm cần tìm.
- Tính
.
V
S DBC
:
Áp dụng công thức tỉ số thể tích vào
hình chóp ta có:

.
. .
.
V
SD SB SC SD
S DBC
V SA SB SC SA
S ABC
= =

Trong tam giác vuông SOA ta có:
0
3 2 2 3
. .2
os os60 2 3 3
OA OA a a
SA
c SAO c
= = = =


2 2 2 2 2 2 2
2 5
os 1 1
2 2 2
2 . 8
2 2 4
2.
3
SA SB AB SA AB AB a

C ASB
SA SB
SA SA a
+ − −
⇒ = = = − = − =

Mà
2
1 1 1 3
2 2
. . . .
.
3 3 3 4
a
V Bh SO S SA AO
S ABC ABC
= = = −
∆

2 2 2 3 3 3
1 4 3 3 5 5 3 5 3
. . .
. .
3 3 3 4 12 8 8 12 96
a a a a a a
V V
S DBC S ABC
= − = ⇒ = = =

====================Hết==================