MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề:
Cho đến bây giờ có thể nói rằng đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề
không còn mới mẽ nữa những vẫn còn đang được ngành GD-ĐT nói chung chú ý
quan tâm và tiếp tục phát triển. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay chủ yếu
theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm”. Phải làm sao cho học sinh (HS) hoạt
động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức một cách chủ động, nhanh chóng mà vẫn
đảm bảo hiểu sâu sắc, vững chắc vấn đề. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
cũng nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục
tiêu giáo dục là đào tạo học sinh thành những con người biết làm chủ tương lai của
đất nước. Chính vì thế mà mỗi môn học nói riêng đòi hỏi các thầy giáo, cô giáo
phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để làm sao truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh
nhất nội dung, kiến thức của từng bộ môn mình đảm nhận.
Định hướng đổi mới PPDH môn toán trong giai đoạn hiện nay đã được xác
định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng
lực tự học, trao dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”.
(Chương trình giáo dục phổ thông môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành
theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006). – Trích:
“Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ sở”.
Toán học nói riêng là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ cho
các môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giúp HS nắm
vững kiến thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải của riêng thầy
giáo, cô giáo nào.
Chương trình toán THCS đã giúp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong
thực tế. Trong chương trình toán lớp 8 có một dạng toán mang tính áp dụng cao,
nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan như: tìm cực trị trong đại
số, hình học… đó là “chững minh bất đẳng thức”. Có thể nói nếu không thực hiện
thành thạo việc chứng minh một bất đẳng thức thì HS khó có thể giải một số bài

toán về cực trị !
Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi cũng đã không khỏi trăn trở làm thế
nào để HS có thể hiểu được và nắm vững các phương pháp chứng minh bất đăngt
hức một cách hệ thống, đầy đủ và khoa học nhất. Chính vì thế tôi đã đi vào nghiên
cứu, tìm hiểu và viết đề tài này nhằm san sẻ kinh nghiệm của mình với các em HS
cùng đồng nghiệp.
2/Phạm vi đề tài:
1


Trong chương trình toán THCS thì dạng toán về chứng minh bất đẳng thức
hết sức cơ bản vì thế mà đề tài này đã được nghiên cứu và áp dụng cho HS lớp 8
và lớp 9 đặt biệt áp dụng cho HSG toán lớp 8 và 9.
3/Đối tượng nghiên cứu:
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho lớp 8, lớp 9 trường
THCS Quang Trung trong các năm học 2012-2013,2013-2014, 2014-2015 và đặt
biệt là áp dụng cho HSG lớp 8 và lớp 9.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG lớp 8, lớp 9 và là tài liệu tham khảo
cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. HS-chủ thể của hoạt động
học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và
chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình chưa biết chứ
không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh thần này
trong tiết lên lớp, giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt
động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tòi phát hiện kiến thức mới. Giáo viên
không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng
cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm lĩnh tri thức .
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh
chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức

giúp rèn luyên khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng
chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tốn. Việc nghiên cứu
viết các chuyên đề về môn toán để giảng dạy và đặt biệt là để bồi dưỡng HSG có
thể nói còn quá ít. Với đề tài “các phương pháp chứng minh bất đẳng thức” thì
chưa có ai viết bao giờ. Tôi cũng đi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp trong huyện để tìm
tư liệu dạy học nhưng cũng chưa có ai viết về đề tài này.
Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, nhận
thấy tầm quan trọng của việc đưa ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
trong chương trình toán THCS tôi nhận thấy cần có một đề tài đi sâu hơn về vấn đề
này và tôi đã viết đề tài này nhằm san sẻ những hiểu biết của mình với đồng
nghiệp.
IV/ NỘI DUNG:
1/ Tìm hiểu vấn đề:
Như đã nói ở phần trên, nếu không biết chứng minh một bất đẳng thức thì
không thể giải được các bài toán về cực trị! Đề tài cũng không tìm hiểu kỉ về các
ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức mà chỉ giới thiệu các phương pháp
thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
2


Về lý thuyết: Trước hất ta cần nắm một số định nghĩa và một số tính chất cơ bản của bất đẳng
thức.
a/ Định nghĩa:
Cho hai số a, b
a>b ⇔ a-b>0; aVới hai số a, b có một và chỉ một trong các trường hợp sau:
a < b hoặc a > b hoặc a = b.
b/ Các tính chất của bất đẳng thức:

1. a > b ⇔ b < a
a > b
2. Tính bắc cầu:
 => a > c
b > c
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
a > b => a + c > b + c
∀ c
Hệ quả: a + c > b + c => a > b
a + c < b => a < b - c
4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
a > b => ac > bc
nếu c > 0
a > b => ac < bc
nếu c < 0
a > b => ac = bc
nếu c = 0
a > b
5.
 => a + c > b + d
c > d
a > b
6.
 => a − c > b − d
c < d
Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc không được cộng hai bất
đẳng thức ngược chiều.
a > b ≥ 0
7.
 => ac > bd

c > d ≥ 0
8. a > b => an > bn
(n ∈ N * và n lẻ)
n
n
a > b > 0 => a > b
(n ∈ N*)
a > b ⇔ a n > bn
(n ∈ N* và n chẳn)
9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:
Với m > n và m, n ∈ N* thì:
Nếu a > 1 => am > an
a = 1 => am = an
0 < a < 1 => am < an
a>b 
1 1
10.
 => <
ab > 0
a b
11. a >b ⇔ a > b
(a, b không âm)
12. 0 < a < 1 => a < a <1
a > 1 => 1 < a < a
c/ Một số bất đẳng thức thường dùng:
1. a2n ≥ 0
∀ a
1
2. x + ≥ 2
(Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó).

∀ x>0
x
3


3. x2 + y2 ≥ 2xy ∀ x, y
4. (x + y)2 ≥ 4xy ∀ x, y
2
x2 + y 2  x + y 
5.
≥
∀ x, y
 ≥ xy
2
 2 
6. a ≥ 0
∀ a≥ 0
Một số bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:
7. a ≥ 0 ∀ a
8.

a − b ≤ a+b ≤ a + b

9. a − b ≤ a − b
10. Bất đẳng thức Côsi (cho các số không âm):
a+b
≥ ab
(a, b ≥ 0)
2
a+b+c 3

≥ abc )
(BĐT Côsi cho ba số a, b, c không âm:
3
*Trung bình cộng của các số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng!
11. Bất đẳng thức tam giác:
Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì: a + b > c
12. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki:
(a12 + a 22 )(b12 + b22 ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 ) 2
∀ a1, a2, b1, b2
2/ Một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức:
(* Lưu ý : Khi chứng minh BĐT có dấu " ≥ " (hoặc " ≤ ") cần nêu rõ khi nào xảy ra dấu
"=" )
1/ Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0.
Ví dụ 1: Chứng minh : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
Giải: Ta có : 2(x2 + y2 + z2) - 2(xy + yz + xz) = (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 ≥ 0
Vậy: 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz) => x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
D ấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
2/ Phương pháp 2: Dựa vào tính bắc cầu:
Để chứng minh A > B ta có thể chọn biểu thức trung gian C và chứng minh:
A > C
 => A > B
C > B
Ví dụ 2: Chứng minh: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
Giải: Theo v í d ụ 1 ta có: a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≥ a2b2 +b2c2 + c2a2
ta lại có: a2b2 +b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 ≥
≥ ab2c +a2bc + bc2a = abc(a + b + c)
4
4
4

Theo tính chất bắc cầu ta có: a + b + c ≥ abc(a + b + c)
3/ Phương pháp 3: Phương pháp ước lượng (cộng các BĐT cùng chiều):
1
1
1
1
Ví dụ 3: Chứng minh: S = 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1
(n ∈ N* , n ≥ 2)
2
3
4
n
Giải: (Nếu chứng minh trực tiếp thì khó).
1
1
1
1
1
=> 2 <
−
Ta có: 2 <
(k ∈ N; k ≥ 2)
k (k − 1)
k −1 k
k
k
Từ đó ta có:
4

1 1 1
< −
22 1 2
1 1 1
< −
32 2 3
.............
1
1
1
<
−
2
n −1 n
n
1
<1
(đpcm).
n
4/ Phương pháp 4: Dựa vào một số BĐT quen thuộc:
1 1 1
9
+ + ≥
Ví dụ: Chứng minh:
∀ a, b, c > 0
a b c a+b+c
Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với:
1 1 1
(a + b + c)( + + ) ≥ 9
a b c

a a b b c c
⇔ 3+ + + + + + ≥ 9
b c a c a b
a b a c  b c
⇔  + + + + +  ≥ 6
b a c a c b
BĐT cuối cùng đúng vì:
a b
a c
b c
+ ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ 2
Dấu = xảy ra ⇔ a = b =c.
b a
c a
c b
5/ Phương pháp 5: Phương pháp đặt biến phụ:
Ví dụ: Chứng minh (BĐT Côsi cho 4 số, 3 số không âm)

Cộng các BĐT cùng chiều ta được: S < 1−

4

a+b+c+d 
a/ 
 ≥ abcd
4



(a, b, c, d ≥ 0)

3

a+b+c
b/ 
(a, b, c ≥ 0)
 ≥ abc
3


Giải:
a+b
c+d
= x ≥ 0;
= y≥0
a/ Đặt :
2
2
Ta có:
2
2
a+b c+d
 x+ y
a+b+c+d 
.

 ≥ xy ⇒ 
 ≥
4
2

2
 2 


4

2

2

a+b+c+d  a+b c+d 
⇒
 ≥
 .
 ≥ abcd
4

  2   2 
(đpcm)
Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c = d.
a+b+c
b/ Đặt d =
theo câu a ta có:
3

5


4

a+b+c 

4
a+b+c+

a
+
b
+
c
a
+
b
+
c




a+b+c
3

 ≥
abc ⇒ 
 ≥
abc
4
3
3
3


 


 





a + b + c = 0
Nếu
 ⇒ a = b = c = 0 . BĐTcần chứng minh đúng.
a, b, c ≥ 0 
3

a+b+c
Nếu a+b+c > 0 Chia cả hai vế cho (a+b+c) ta được 
 ≥ abc
3


Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c.
6/ Phương pháp 6: Phương pháp qui nạp:
* Phương pháp chứng minh qui nạp:
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi n ≥ a ta làm như sau:
Bước 1: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với n = a.
Bước 2: Giả sử mệnh đề A(n) đúng với n = k, ta có được A(k) đúng.
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 (sử dụng A(k) đúng).
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n ≥ a.

Ví dụ 6: Chứng minh: 2n > n2
(n ∈ N, n ≥ 5).
n
5
Giải: + Với n = 5 ta có: 2 = 2 = 32; n2 = 52 = 25 => 2n > n2
+ Giả sử BĐT thức đúng với n = k tức là ta có: 2k > k2
+ Ta phải chứng minh BĐT đúng với n = k + 1 tức là: 2k+1 > (k+1)2.
Thật vậy: 2k > k2 => 2.2k > 2.k2 => 2k+1 > 2.k2 .
2.k2 > (k+1)2 ⇔ k2 -2k - 1 > 0 ⇔ (k - 1)2 - 2 > 0 : Đúng vì k ≥ 5.
k+1
2
Vậy: 2 > 2k > (k+1)2. Kết luận BĐT đúng ∀ n ≥ 5.
7/ Phương pháp 7: Phương pháp chia khoảng:
Ví dụ 7: a/ Chứng minh: f(x) = 27x4 - 8x +21 > 0
∀ x
b/ Chứng minh: a + b ≤ a + b

Giải: a/ + Nếu x ≥ 1: f(x) = 19x4 + 8(x4 - x) +21 = 19x4 + 8x(x3 - 1) + 21
các hạng tử đều dương vì x ≥ 1 nên f(x) > 0.
+ Nếu x < 1 : f(x) = 27x4 + 8(1 - x) + 13 > 0 do các hạng tử đều dương.
Vậy BĐT được chứng minh.
2
2
a + b ≤ a + b ⇔ a + b ≤ ( a + b ) ⇔ (a + b) 2 ≤ a 2 + b 2 + 2 ab
b/
⇔ a 2 + b 2 + 2ab ≤ a 2 + b 2 + 2 ab ⇔ ab ≤ ab
BĐT cuối cùng đúng => BĐT đã được chứng minh.
Dấu = xảy ra ⇔ ab = ab ⇔ ab ≥ 0.
==================================================================
Phụ bản:

1/ Dấu của nhị thức bậc nhất: ax +b (a, b là các hệ số). x = -b/a gọi là nghiệm của nhị thức.
Bảng xét dấu:
x
-~
-b/a
+~
Dấu của ax + b Trái dấu với a
0
Cùng dấu với a
Ghi nhớ: “Nhỏ trái, lớn cùng”
A( x)
2/ Dấu của phân thức:
B ( x)

6


A( x)
> 0 ó A(x) và B(x) cùng dấu;
B ( x)

A( x)
< 0 ó A(x) và B(x) khác dấu.
B ( x)

V/ KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng dạy các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như trên
trong 2 năm gần đây bản thân tôi nhận thấy đã đem lại kết quả khá tốt.
Đa số HS nắm được các phương pháp thường dùng để chứng minh bất đăngt
hức.

HS biết vận dụng thành thạo các phương pháp chứng minh bất đẳng thức vào
các bài tập cụ thể.
Đối với HSG: HS có thể thực hiện các bài chứng minh bất đẳng thức ở mức
độ khó thậm chí rất khó.
Kết quả cụ thể:
Với HS đại trà ở lớp 8, cùng một đề kiểm tra (về chứng minh bất đẳng thức
đơn giản) tôi thu được kết quả như sau:
Chưa áp dụng đề tài
Đã áp dụng đề tài
75% trên trung bình
82% trên trung bình
Với HSG:
- Năm học 2010-2011: tôi bồi dưỡng HSG toán 9 (chưa áp dụng đề tài) kết
quả không đạt giải nào ở huyện.
- Năm học 2011-2012: tôi bồi dưỡng HSG toán 9 (có áp dụng đề tài) kết quả
đạt 1 giải khuyến khích ở huyện.
- Năm học 2012-2013: tôi bồi dưỡng HSG toán 8 (có áp dụng đề tài) keetrf
quả đạt 1 giải ba.
- Năm 2014-2015 bồi dưỡng HSG toán 9 đạt giải khuyến khích ở vòng 1
Kết quả trên đây cũng chỉ là rất khiêm tốn nhưng cũng minh chứng được cho
tính hiệu quả của đề tài này.
Nhưng dù sao tôi cũng nghĩ rằng kết quả thi HSG toán không chỉ phụ thuộc
vào người thầy vào đề tài này mà còn phụ thuộc rất nhiều yếu tố khác nữa.
VI/ KẾT LUẬN:
Với kinh nghiệm trong giảng dạy và tìm tòi nghiên cứu cũng như áp dụng tôi
thấy rằng việc hướng dẫn HS các phương pháp thường dùng để chứng minh bất
đẳng thức như trên đã đem lại hiệu quả nhất định, góp phần nâng cao chất lượng
đăc biệt là chất lượng HSG. Đại đa số HS nắm được các phương pháp một cách hệ
thống, khoa học, biết đối chiếu so sánh, nhận dạng và biết vận dụng một cách sáng
tạo vào các bài tập.

Vấn đề khó khăn trong đề tài là thời gian để dạy các phương pháp để chứng
minh bất đẳng thức cho HS. Với HSG có thể nói thời gian là rất thuận lợi khi bồi
dưỡng riêng. Cái khó là khi dạy đại trà thì không có thời gian để chuyển tải hết
được. Vì thế GV cần tranh thủ trong các tiết luyện tập mà chuyển tải cho HS một
cách hợp lý. Cần phải có hệ thống bài tập để cho HS rèn luyện thêm sau khi dạy
mỗi phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như đã nêu trên.
7


VII/ ĐỀ NGHỊ:
Trong quá trình viết và vận dụng đề tài, vì chủ yếu là để bồi dưỡng HSG
nhằm rèn luyện kĩ năng chứng minh bất đẳng thức nên tôi chưa đi sâu phân tích về
mặt lý thuyết từng phương pháp cũng như chưa nêu ra các ứng dụng của việc
chứng minh bất đẳng thức. Trong khi viết tài liệu này tôi cũng không đi sâu vào
việc phân phối thời gian cũng như lựa chọn số lượng bài tập cũng cố và cũng
không đề cập đến việc dặn dò, hướng dẫn về nhà mà chỉ đề cập đến việc hướng dẫn
HS các phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức. Vì vậy tuỳ theo
từng tình hình thực tế của địa phương, trình độ HS trong lớp mà GV có thể điều
chỉnh hợp lý. Rất mong bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu, phân tích cụ thể, nêu ra các
ứng dụng của chứng minh bất đẳng thức, cũng như sắp xếp các bài tập theo loại để
giúp HS có có nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề này.
Với thời gian ngắn ngủi và kinh nghiệm chưa nhiều chắc rằng tài liệu này
còn có nhiều thiếu sót, hạn chế rất mong các thầy cô giáo, học sinh cùng bạn đọc
góp ý kiến phê bình.
Chân thành cảm ơn !
Đại Lộc, ngày 29/11/2014
Người viết: Nguyễn Mính

8

VIII/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Để viết đề tài này tôi đã tham khảo một số tài liệu như sau:
1/ Các chuyên đề toán tải về từ Webside WWW.diendantoanhoc.com.vn
2/ Để học tốt đại số 8
NXB Giáo dục – Năm 2006
3/ Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ sở. (Tài
liệu bồi dưỡng thường xuyên môn toán THCS năm học 2008-2009).
4/ Sách bài tập toán lớp 8 tập 1
NXB Giáo dục - Năm 2004
5/ Sách giáo khoa Toán lớp 8 tập 1
NXB Giáo dục - Năm 2004
6/Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

9


MỤC LỤC
THỨ TỰ
1
2
3
4
5
6
7
8

MỤC
Đặt vấn đề

Cơ sở lý luận
Cơ sở thực tiển
Nội dung nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu
Kết luận
Đề nghị
Tài liệu tham khảo

TRANG
1
2
2
2
7
7
8
9

10