105 bài tập TOÁN cơ bản cấp 3 từ dễ đến KHÓ

CC DNG BI TP TON C BN CP 3 T D N KHể
0917614559
Bài tập và đáp án
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
TT
1
2
3
4

x - 11x + 30 = 0
x2 - 10x + 21 = 0
x2 - 12x + 27 = 0
5x2 - 17x + 12 = 0

TT
41
42
43
44

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

3x2 - 19x - 22 = 0
x2 - (1+ 2 )x + 2 = 0
x2 - 14x + 33 = 0
6x2 - 13x - 48 = 0
3x2 + 5x + 61 = 0
x2 - 3 x - 2 - 6 = 0
x2 - 24x + 70 = 0
x2 - 6x - 16 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
x2 - 5x + 6 = 0

45
46
47
48
49
50
51
52
53
54

15
16
17
18
19
20

PTBH
2

2

3x + 2x + 5 = 0
2x2 + 5x - 3 = 0
x2 - 7x - 2 = 0
3x2 - 2 3 x - 2 = 0
-x2 - 7x - 13 = 0
2 x2 2( 3 1) x -3 2 = 0
21 3x2 - 2x - 1 = 0
22 x2 - 8x + 15 = 0
23 2x2 + 6x + 5 = 0
24 5x2 + 2x - 3 = 0
25 x2 + 13x + 42 = 0
26 x2 - 10x + 2 = 0
27 x2 - 7x + 10 = 0
28 5x2 + 2x - 7 = 0
29 4x2 - 5x + 7 = 0
30 x2 - 4x + 21 = 0
31 5x2 + 2x -3 = 0
32 4x2 + 28x + 49 = 0
33 x2 - 6x + 48 = 0
34 3x2 - 4x + 2 = 0
35 x2 - 16x + 84 = 0
36 x2 + 2x - 8 = 0
37 5x2 + 8x + 4 = 0
38 x2 2( 3 + 2 ) x + 4 6 = 0
39 x2 - 6x + 8 = 0

40 3x2 - 4x + 2 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:

PTBH
2

x - 16x + 84 = 0
x2 + 2x - 8 = 0
5x2 + 8x + 4 = 0

55
56
57
58
59
60

x2 2( 3 + 2) x + 4 6 = 0
11x2 + 13x - 24 = 0
x2 - 11x + 30 = 0
x2 - 13x + 42 = 0
11x2 - 13x - 24 = 0
x2 - 13x + 40 = 0
3x2 + 5x - 1 = 0
5x2 + 7x - 1 = 0
3x2 - 2 3 x - 3 = 0
x2 - 2 2 x + 1 = 0
x2 - 2 3 1 x - 2 3 = 0
11x2 + 13x + 24 = 0
x2 + 13x + 42 = 0

11x2 - 13x - 24 = 0
2x2 - 3x - 5 = 0
x2 - 4x + 4 = 0
x2 - 7x + 10 = 0

61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78

4x2 + 11x - 3 = 0
3x2 + 8x - 3 = 0
x2 + x + 1 = 0
x2 + 16x + 39 = 0
3x2 - 8x + 4 = 0
4x2 + 21x - 18 = 0

4x2 + 20x + 25 = 0
2x2 - 7x + 7 = 0
-5x2 + 3x - 1 = 0
x2 - 2 3 x - 6 = 0
x2 - 9x + 18 = 0
3x2 + 5x + 4 = 0
x2 + 5 = 0
x2 - 4 = 0
x2 - 2x = 0
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 + 6x2 + 1 = 0
2x4 + 5x2 + 2 = 0

79
80

2x4 - 7x2 - 4 = 0
x4 - 5x2 + 4 = 0

(

)

1


a)
b)
c)
d)

x + y = 17, x.y = 180
x + y = 25, x.y = 160
x + y = 30, x2 + y2 = 650
x + y = 11 x.y = 28

e)
f)
g)
h)

x2 + y2 = 61 , x.y = 30
x - y = 6, x.y = 40
x - y = 5, x.y = 66
x2 + y2 = 25 x.y = 12

Bµi tËp 3 a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có
một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay x1 = 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
1
4−4p+5 = 0 ⇒ p =
4
5 5
T ừ x1 x2 = 5 suy ra x2 = =
x1 2

b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50
−50 −50
=
= −10
T ừ x1 x2 = −50 suy ra x2 =
x1
5
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = 7 , ta
 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔
giải hệ sau: 
 x1 + x2 = 7
 x2 = −2
Suy ra q = x1 x2 = −18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 = 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 . Suy ra
 x = −5
2 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔  2
 x2 = 5
Với x2 = −5 th ì x1 = −10
Với x2 = 5 th ì x1 = 10
Bµi tËp 4 Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S = x1 + x2 = 5
Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có 
vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
 P = x1 x2 = 6
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
Bµi tËp 5 Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên,
hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +

1
1
và y2 = x1 +
x1
x2

Bµi gi¶i: Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1
1
1
x +x
3 9
S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
2 2
 x1 x2 
1
1
1
1 9
P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 +
= 2 +1+1+ =
x1
x2
x1 x2
2 2
2

y 2 − Sy + P = 0
9
9
y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
hay
2
2
−
Bµi tËp 6 Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = − 4
Bµi gi¶i:
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3 x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bµi tËp 7 Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
81 − ( a 2 + b 2 )
2
2
2
T ừ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
= 20
2
 x1 = 4
2

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 
 x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36
 x1 = −4
2
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x − 5 x − 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
Vậy phương trình cần lập có dạng:

 a + b = −13
2
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 
 a + b = 13
 x1 = −4
2
*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x + 13x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = −9
Vậy a = −4 thì b = −9
 x1 = 4
2

*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x − 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a + b = −11
2
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 
 a + b = 11
 x1 = −5
2
*) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x + 11x + 30 = 0 ⇔ 
 x2 = −6
Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5
 x1 = 5
2
*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x − 11x + 30 = 0 ⇔ 
 x2 = 6
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.

3


Bµi tËp 8 Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
Q=

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2

6.(4 3) 2 − 2.8
17
=
=
=
HD: Q = 5 x x3 + 5 x 3 x
2
2
5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80
1 2
1 2


2
Bµi tËp 9 Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ thức liên hệ

giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
HD : Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m ≠ 1
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

V' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0

 m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0
m ≥ 5
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
2m
2


 x1 + x2 = m − 1
 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔

 x .x = m − 4
 x .x = 1 − 3 (2)
1 2

 1 2
m −1
m −1
Rút m từ (1) ta có :
2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
m −1
x1 + x2 − 2

(3)

Rút m từ (2) ta có :
3
3

= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =
m −1
1 − x1 x2

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
2
Bµi tËp 10 Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh rằng biểu

thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
HD: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m ≠ 1
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
 m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0

m ≥ 5
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
2m

 x1 + x2 = m − 1

 x .x = m − 4
 1 2 m − 1

thay v ào A ta c ó:

A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.

4

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1


Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥

4
. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
5

2
Bµi tËp 11Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ

giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0
2

2

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 m = x1 + x2 − 2(1)
 x1 + x2 = m + 2

⇔

x1 x2 + 1
 x1.x2 = 2m − 1
 m = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
x1 + x2 − 2 =

x1 x2 + 1
⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2

2
Bµi tËp 12 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1 + x2 = −(4m + 1)
4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⇔

 x1.x2 = 2(m − 4)
4m = 2 x1 x2 + 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
2
Bµi tËp 13: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
 m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
 m ≠ 0
⇔
⇔
⇔

2


2
2
 m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0
6(m − 1)

 x1 + x2 = m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
 x x = 9(m − 3)
 1 2
m

v à t ừ gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:

6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
2
2
Bµi tËp 14 Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
5

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0
⇔ 4 m 2 + 4m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥

7
4

 x1 + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 
và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra
2
 x1 x2 = m + 2
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
 m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bµi tËp 15
2
1. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0

2
2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
2
3. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
HD:
16
15
−( m − 4)

 x1 + x2 =
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
x x = m + 7
 1 2
m
 x1 + x2 = 3 x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
2(
x
+
x
)
=
3

x
 1 2
1
2
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤

BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
 x1 + x2 = 1 − m
(1)
- Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = 5m − 6
 x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]

- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
(2)
2
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 1
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ 
(thoả mãn ĐKXĐ)
m = 1
6


BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2


 x1 + x2 = 3
(1)
- -Theo VI-ÉT: 
−
(3
m
+
1)
x x =
 1 2
3
8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6]

- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6
(2)
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 
(thoả mãn )
 m = − 32
15

2
Bµi tËp 16 Cho phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:
trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
S = x1 + x2
Dấu nghiệm
x1

x2
m
±
trái dấu
±
±
cùng dấu,
cùng dương,
+
+
S>0
−
−
cùng âm
S<0
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

P = x1 x2
P<0
P>0
P>0
P>0

∆
∆≥0
∆≥0
∆≥0
∆≥0

Điều kiện chung

∆ ≥ 0 ; P < 0.
∆≥0 ;P>0
∆≥0 ;P>0;S>0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.

2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0
∆ = ( m − 7) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3



m −m−6
<0
P < 0
 P = (m − 3)(m + 2) < 0
P =

2
Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
2
Bµi tËp 17 Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :

A = x12 + x22 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
 x1 + x2 = −(2m − 1)
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = −m
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2
2

Theo đ ề b ài :

= ( 2m − 1) + 8m
2

= 4m 2 − 12m + 1
= (2m − 3) 2 − 8 ≥ −8
Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m =

3
2

Bµi tËp 18Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0
7


Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu
thức sau:
B=

2 x1 x2 + 3
x + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)
2

1

 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3
2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2
m +2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
( m − 1)
B=
=
1
−
m2 + 2
m2 + 2
2
m −1

Vì ( m − 1) 2 ≥ 0 ⇒ ( 2 ) ≥ 0 ⇒ B ≤ 1
m +2
Vậy max B=1 ⇔ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )
(
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2
Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒

2

( m + 2)

2

2 ( m + 2)
2

≥0⇒ B≥−

1
2

1
⇔ m = −2
2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để
phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2m + 1
B= 2
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
m +2
Ta có: ∆ = 1 − B (2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay
Vậy min B = −


1
 B ≤ − 2
 2 B + 1 ≤ 0


1
  B ≥ 1
B −1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

Vậy: max B=1 ⇔ m = 1
1
min B = − ⇔ m = −2
2
Bài 19: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
8


5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
−b
c
(ở đó: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 = )
a
a
Bài 20: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
3
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =
(thoả mãn m ≠ 1)
3
1
1
−
=−

=3
2
Khi đó x = m − 1
−1
3
3
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
2
với m =
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
9


Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

3
1
-1= − ≠ 0)
4
4

−3
−3
=

= 12 ⇒ x 2 = 6
1
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − 1
−
4
3
Vậy m =
và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
2
1  15

’
2
a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– 3 – m ) =  m −  +
2
4

2

15
1


> 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
Do  m −  ≥ 0 với mọi m;
4
2

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2(m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0
 m ≥ 3


3

2
m
−
3
≥
0
m≥

2



⇔
⇔
⇔
2
 m ≤ 0

m
≤
0



m ≤ 0

3
2m − 3 ≤ 0

 m ≤
2

3
Vậy m ≥
hoặc m ≤ 0
2
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
Theo định lí Viet ta có: 
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6
⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8 + x2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = −
1 + 2 x2
10


8 + x2
1
( x2 )
1 + 2 x2
2
2
Bi 23: Cho phng trỡnh: x + 2x + m-1= 0 ( m l tham s)
a) Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca nhau

b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tho món 3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lp phng trỡnh n y tho món y1 = x1 +
; y 2 = x2 +
vi x1; x2 l nghim ca phng trỡnh
x2
x1
trờn
Gii
a) Ta cú = 12 (m-1) = 2 m
Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca nhau
' 0
2 m 0
m 2



m=2
m 1 = 1
m = 2
P = 1
Vy m = 2
b) Ta cú = 12 (m-1) = 2 m
Phng trỡnh cú nghim 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bi: 3x1+2x2 = 1 (3)
x + x = 2
2 x + 2 x = 4
x = 5

x = 5
1 2
2
1
1
1
T (1) v (3) ta cú:
3 x1 + 2 x2 = 1 3 x1 + 2 x2 = 1
x1 + x2 = 2
x2 = 7
Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho món (*))
Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm
d) Vi m 2 thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim
Theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
x +x
1
1
2
2m
= x + x + 1 2 = 2 +
=
Khi ú: y1 + y2 = x1 + x2 + +
(m1)
1 2
x x
xx
m 1 1 m
1
2
1 2

1
1
1
1
m2
y y = ( x + )( x + ) = x x +
+ 2 = m 1+
+2=
(m1)
1 2
1 x
2 x
1 2 xx
m 1
m 1
2
1
1 2
2m
m2
y1; y2 l nghim ca phng trỡnh: y2 .y +
= 0 (m1)
1 m
m 1
Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có / = (m + 1)2 2m + 10 = m2 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9

+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
+ Nếu / < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
Vy x1 =



x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 +
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9
11


Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
1
2
* Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số / = m2 (m
3)(m 6) = 9m 18
- Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
b/
2
x1 = x2 = =-2

=
a 23
- Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
m3 m2
x1,2 =
m3
- Nếu / < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
1
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = 2
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
m3 m2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =
m3
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 26: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) Tính:
A = x12 + x22
B = x1 x 2
1
1
+
C=
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
x1 1 x 2 1
1
1
a) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
và
x1 1

x2 1
Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x 2 = S 2 4 p = 37
- 6x 3 = 0

x=-

1
1
( x1 + x 2 ) 2
S 2
1
+
=
=
=
x1 1 x 2 1
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
2
2
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :

1
1
1
+
= (theo câu a)
S=
x1 1 x 2 1
9
1
1
1
=
=
p=
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
+C=

12


1
1
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1
1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0

9
9

Vậy

Bài 27 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 -

6
9
k+ )
5
5

3
9
36
3
36
= 5(k2 2. k +
+
) = 5(k - ) +
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình (1)
5

25
25
5
5
luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
1
1
7
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2. k + + ) < 0
2
4
4
1 2 7
-(k ) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi
2
4
k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
5
87
= (k 1)[(2k - )2 +
]
4
16

5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 28:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9
2. Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
1
1 19
1
19
= m2 + 2.m. +
+
= (m + )2 +

> 0 với mọi m
2
4
4
2
4
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4
13


Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)
1
19
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 +
]
2
4
1
1
1
19
19
=> x1 x 2 = 2 ( m + ) 2 +
= 19 khi m + = 0 m = 2
2
2
2
4

4
1
Vậy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2
Bài 29 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
9
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này
gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
9
1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2
5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2m 1 + 5 2m + 4
2m 1 5 2(m 3) m 3
=
=
= 1 x2 =
x1 =
=
2(m + 2)
2(m + 2) 2( m + 2) m + 2
2m + 4

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m3
9
Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =
giải ra ta đợc m = (đã giải ở câu 1)
m+2
2
m3
11
m + 2 = 3m 9 m =
Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= 3.
(thoả mãn điều kiện m m+2
2
2)
11
Kiểm tra lại: Thay m =
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2
15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
5
1
x1 = 1 , x2 =
= (thoả mãn đầu bài)
15 3
Bài 30: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.

Giải
3
1. + Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =
4
+ Nếu m 0 .Lập biệt số / = (m 2)2 m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/


-m+4<0
m > 4 : (1) vô nghiệm
<0
14


/ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
b/ m 2 4 2 1
x1 = x2 = - =
=
=
a
m
2
2
/


>
0

m
+
4
>
0
m
<
4:
(1) có 2 nghiệm phân biệt

m2 m+4
m2+ m+4
x1 =
; x2 =
m
m
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
1
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2

0
m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

m2 m+4
m

;

x2 =

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

m2+ m+4
m

3
4

c
m3
<0
<0
a
m
m 3 > 0
m > 3


m < 0
m < 0



m 3 < 0
m < 3


m > 0

m > 0
m > 3
Trờng hợp
không thoả mãn
m < 0
2. (1) có nghiệm trái dấu

m < 3
0Trờng hợp
m > 0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/ 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
4

9
thoả mãn
4

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -

9 2
9
9
x 2(- - 2)x - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
4

4
4
x1 = 3
/
có = 289 189 = 100 > 0 =>
x2 = 7

9
9
Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
9
7
Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =
(Nh phần trên
4
9
đã làm)
=-

9
vào phơng trình (1):
4

9
.Sau đó thay m
4

-

15


9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
4
9
2( 2)
2(m 2)
34
4
=
=
x1 + x2 =
9
m
9
4
34
34
7
x2 =
- x1 =
-3=
9
9
9

Cách 2: Thay m = -

9
vào công trức tính tích hai nghiệm
4
9
3
m3
21
21
21
7
= 4
=
x1x2 =
=> x2 =
: x1 =
:3=
9
m
9
9
9
9

4
Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Giải.

/
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 (2 5k) = 0
Cách 3: Thay m = -

k2 + 5k 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
5 33
5 + 33
k1 =
; k2 =
2
2
5 33
5 + 33
Vậy có 2 giá trị k1 =
hoặc k2 =
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2
2
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/ 0 k2 + 5k 2 0 (*)
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 2x1x2 = 10
b
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - = - 2k và x1x2 = 2 5k
a
Vậy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0
7
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = 2
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k 2

+ k1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
7
49 35
49 70 8
29

2=
=
+ k2 = => / =
không thoả mãn
2
4
2
4
8
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:
7
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = (cách tìm nh trên)
2
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
7
39
+ Với k2 = (1) => x2- 7x +
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
2
2
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
16

Bài 32
Cho phơng trình: x2 - 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34
Giải
a/ Khi m = 2 PT x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x1 = 1, x2 = 3.
b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
Khi đó: x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
x13 + x23 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9
Bài 33
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m 2 - m + 4 = (m- 1/2) 2 + 15/4 > 0 với mọi m thì phơng trình luôn có
nghiệm.
b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0 x = 2
x = -2.
c/ x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10
4m2 -8m + 4 + 2m + 6 10 4m2 - 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0.
d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4.

Bài 34
Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27.
c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 0 với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.

17


b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 8m2 - 9(2m +
1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 0 4m2 - 9m - 9 = 0
m = 3 m = -3/4.
c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ta có:
x1 + x2 = 3x2 =2m x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2).
Từ (1) và (2) 4m2/9 = (2m - 1)/2 8m2 - 18m + 9 = 0 m = 3/4 m = 3/2
d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 x = m - m - 1 = -1
Nếu x1 = 2m + 1, x2 = -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 m = 0
Nếu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý.

Vậy m = 0.

Bài 35
Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng

Giải
a/ Phơng rình có nghiệm kép m 1 và ' = 0 m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
2m2 - 3m + 1 = 0 (m - 1)(2m - 1) = 0 m = 1 m = 1/2
Vậy m = 1/2 thì phơng trình có nghiệm kép: x = 1.
b/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

m > 1
m 1
m 1

m < 0

'
m < 1/ 2

> 0 (m 1)(2m 1) > 0
m > 1
x x < 0
m
m < 0

1 2


<0
m > 1
m 1

.

c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
m 1
(m 1)(2m 1) > 0
m 1
m > 1

'
> 0
m


m < 1 / 2 0 < m < 1 / 2

>0
x1 x 2 > 0
m 1
0 < m < 1

x + x < 0
2(m 1)
1
2

<
0

m 1
.
d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng

18


m 1
m > 1
(m 1)(2m 1) > 0
m 1


'
m < 1/ 2
> 0
m


0 < m < 1

>0
x1 x 2 > 0
m 1
2 > 0
x + x > 0
2(m 1)

1
2
>0


m 1

Loại
Vậy không tồn tại m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài 36
Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6.
Giải
a/ = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 phơng trình luôn có 2 nghiệm.
2m 3 3
2m 3 + 3
= m3
=m
2
2
b/ x1 =
; x2 =

Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m 1 < m - 3 < m < 6 4 < m < 6.
Bài 37
Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.
Giải

= m2 24 0

3x1x 2 = 2x 2 2


x1x2 = 2 / 3
x + x = m / 3
2

ĐK: 1

m 2 6 m 2 6 m 2 6 m 2 6


2 = 2x 2 2
x2 = 2


x1 x 2 = 2 / 3
x1 = 1/ 3
x + x = m / 3
m = 7

1 2

Bài 38
Gọi a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
c, d là nghiệm của phơgn trình: x2 + qx + 1 = 0
a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2
Giải
a + b = p

Theo định lý Viét ta có: ab = 1

c + d = q

cd = 1
.

a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) =
[a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) =
a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + 1 =
2 + q(a + b) - pq + p2 - 2 + q2 + 1 = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.

19


b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c 2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 1dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + 1 = (c + d)2 - 2cd - p2 + 2 = q2 - p2 = VP.
Bài 39 Cho phơng trình: x 2 + ( m + 1) x + 5 m = 0 .
(1)
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm còn lại.
b) Giải phơng trình khi m = -6.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa x 1 và x 2 độc lập đối với m.
Lời giải
a) Phơng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:

( 1) 2 + (m + 1)(1) + 5 m = 0 m =

5
2

7
5
5
x + = 0 nghiệm còn lại của PT là:

2
2
2
b) Với m = -6 ta có PT: x 2 5x + 11 = 0 có = 19 < 0 phơng trình vô nghiệm.
c) Ta có: = m 2 + 6m 19 .
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi = m 2 + 6m 19 >0.
Ta xét dấu
m
-3+2 7
32 7
Khi đó ta có phơng trình: x 2 +



+

0

-

0

+

Vậy khi m < 3 2 7 hoặc m > -3+2 7 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Ta có: x 1 + x 2 = m 1 (1); x 1 x 2 = m (2).
Từ (2) suy ra: m = x 1 x 2 + 5 , thay vào (1): x 1 + x 2 = x 1 x 2 6
Vậy hệ thức cần tìm là: x 1 + x 2 x 1 x 2 + 6 = 0 .
Bài 40 Giải các phơng trình sau:
a) x 4 4 x 2 + 3 = 0

b) ( x +

1 2
1
) 4( x + ) + 3 = 0
x
x

Lời giải
a) Đặt x = t (Đ K : t 0) . Khi đó phơng trình đẫ cho trở thành: t 2 4t + 3 = 0
2

Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: t 1 = 1, t 2 =
* Với t 1 = 1 x = 1 x = 1

c
= 3 (TMĐK)
a

2

* Với t 2 = 3 x 2 = 3 x = 3
Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x = -1; 1;
b) ĐK: x 0 . Đặt x +

3; 3 .

1
=t

x

Ta đợc: t 2 4t + 3 = 0 .Theo câu a/ t 1 = 1, t 2 =

c
=3
a

1
= 1 (PT vô nghiệm)
x
1
3+ 5
3 5
2
* t 2 = 3 x + = 3 x 3x + 1 = 0 x1 =
; x2 =
x
2
2
* t1 = 1 x +

20


Bài 41: Cho phơng trình x 2 2( m 1) x + m 2 2 = 0 (I)
a) Giải phơng trình (I) khi m = -2
b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm?. Có hai ngiệm phân biệt?.
c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?.
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x12 + x2 2 = 4

e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 = 2x2
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu .
g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm.
h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng.
i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện 2 x1 4 x2 = 3
Lời giải
2
a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: x + 6 x + 2 = 0
Ta có ' = b ' 2 ac = 32 1.2 = 7 > 0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 =

3+ 7
3 7
= 3 + 7 ; x2 =
= 3 7
1
1

(

)

b) Phơng trình (I) có nghiệm ' 0 ( m 1) 1. m 2 2 0 2m + 3 0 m
2

Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

(

)

' > 0 ( m 1) 1. m 2 2 > 0 2m + 3 > 0 m <
2

3
2

3
2

c
< 0 m2 2 < 0 2 < m < 2
a
3
d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m
2
b
c
= 2( m 1); x1 x2 = = m 2 2
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x2 =
a
a
2
2
2
2
Do đó x1 + x2 = 4 ( x1 + x2 ) 2 xx x2 = 4 [ 2( m 1) ] 2. m 2 2 = 4 2m 2 4m + 2 = 0
c) Phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu

(

( x 1) = 0 x = 1 (TMĐK)

)

2

3
2
(1)

e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m

x1 + x 2 = 2( m 1)

2
(2)
Khi đó theo Vi-et và đề bài ta có x1x 2 = m 2
x = 2x
(3)
2
1
2( m 1)
4( m 1)
; x1 =
Từ (1) và (3) ta có x2 =
thay vào (2) ta đợc
3
3

2( m 1) 4( m 1)
2
.
= m 2 2 8( m 1) = 9 m 2 2 m 2 + 16m 26 = 0
3
3
m = 8 + 3 10

m = 8 3 10
3

3

m 2
' 0
2
<
m



2


f) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu c

m> 2
>
0

m < 2
a
m < 2


(

)

21



3

m 3
m 2

2


m< 2
m 1 < 0 m < 1
m 2 2 > 0


m > 2

m < 2

'
m 3
0


2
3

b
> 0 m > 1
2h) Phơng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng
2
a


m
>
2
c


a > 0
m < 2

i) Phơng trình (I) có một nghiệm bằng 1
2

a + b + c = 0 1 2( m 1) + m 2 2 = 0 m 2 2m + 1 = 0 ( m 1) = 0 m = 1

' 0

b
<0
g) Phơng trình (I) có 2 nghiệm cùng âm
a

c
a > 0

c m 2 2 12 2
=
=
= 1
a
1
1
j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 2 x1 4 x2 = 3
3
ĐK: m (để phơng trình có nghiệm)
2
x1 + x 2 = 2( m 1)

2
Theo hệ thức Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có: x1x 2 = m 2
2x - 4x = - 4
2
1

4m 6
2m
; x2 =
Từ (1) và (3) ta có x1 =
thay vào (2), ta đợc
3
3
Khi đó nghiệm còn lại là x2 =

(1)
(2)

4 m 6 2m
.
= m 2 2 2m( 4m 6) = 9 m 2 2 m 2 + 12m 18 = 0
3
3

(

)

(3)

m = 6 + 3 6
(TM)

m = 6 3 6

2

Bài 42 : Xác định m để phơng trình x + 5 x + 3 m 1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm âm phân biệt
Hớng dẫn :

a0

ac < 0
a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>
<=>
1
Vậy m < 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt

a 0
> 0


P > 0
S < 0
<=>
<=>

22

1 0, m
12 m + 29 > 0

3m 1 > 0
5 < 0, m

1 0, m

3 m 1 < 0

1
<=> m < 3


m < 29

12

1 < m < 29
m> 1
3 <=> 3
12
<=>
1 < m < 29
12 thì phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt
Vậy 3
2
mx (m 1)x + 2 = 0, m 0
Bài 43: Cho phơng trình
Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

x1 ,x2

Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn điều kiện

(1)

x12

+ x22 = 2

x1 , x2

2

2
<=> > 0 <=> m 10m + 1 > 0 <=> (m 5) 24 > 0

<=> m > 5 + 2

6 hoặc m < 5 2 6

x1 + x2 = m 1 ;
m
- Theo hệ thức Vi ét, ta có:

x1 .x2 = 2
m

x 2 + x22 = 2 <=> ( x1 + x2 ) 2x1 x2 = 2
- Theo đề bài 1

2
m 1 2. 2 = 2
2
m
m
<=>
<=> m + 6m 1 = 0 (*)
2

(

)

m =

10 3,m = 10 3

2
Giải phơng trình (*) ta đợc 1
Đối chiếu với điều kiện của tham số m => m1 (loại) và m2 (nhận)

Vậy m =

10 3

2

Bài 44: Cho phơng trình x + 3 x + m = 0
x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình. Không giải phơng trình, tìm giá trị của m để :

x x2 = 6
a) 1

2
2
x
+
x
= 34
1
2
b)
x1 = 2 x2

2
2
x

x
= 30
1
2
c)
3 x1 + 2 x2 = 20

d)

e)
Hớng dẫn:

9
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 <=> = 9 4 m > 0 <=> m < 4
S = x1 + x2 = 3

P = x1 x2 = m
Khi đó, theo định lí Vi ét ta có:

x x2 = 6 <=> ( x1 x2 ) = 36 <=> x12 2 x1 x2 + x22 = 36
a) 1
27 < 9
2
x1 + x2 ) 4 x1 x2 = 36
(
4
<=>
<=> 9 4m = 36 <=> m = 4
2

23


m = 27
4
Vậy :
2
2
x
+
x
= 34 <=> ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 = 34 . Từ đó tìm đợc m =

1
2
b)
m = 25
2
Vậy :
2

2

25 < 9
2
4

2

x x2 = 30 <=> ( x1 + x2 )( x1 x2 ) = 30 <=> x1 x2 = 10
c) 1
<=>

2
2
x
+
x
2 x1 x2 = 100 (giả sử x2 > x1 )
1
2
<=>
91 < 9

4 x1 x2 = 100
4
<=> 9 - 4m = 100 <=> m = 4

x2 x1 = 10

2
x1 + x2 )
(
<=>

m = 91
4
Vậy :
x1 + x2 = 3

x1 = 2 x2

x1 = 2

x = 1
d) Giải hệ
Ta đợc 2
x1 x2 = 2 < 9
4
Theo định lí Vi- ét: m =
Vậy m = 2

3 x1 + 2 x2 = 20

x + x2 = 3
e) Giải hệ 1
Ta đợc

x1 = 26

x2 = 29
x1 x2 = 754 < 9
4
Theo định lí Vi- ét: m =
Vậy m = - 754

2

Bài 45: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình x ( m + 5) x m + 6 = 0

x ,x

có hai nghiệm 1 2 thỏa mãn :
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị

2 x + 3 x2 = 13

1
b)
Hớng dẫn:

x ,x
Phơng trình có hai nghiệm 1 2 <=> = m + 14 m + 1 0
2

<=> ( m + 7 + 4

3 )( m + 7 4 3 ) 0 . Sau khi giải bất phơng trình này đợc kết quả:

m 7 4 3 hoặc m - 7 + 4 3 (*)
x2 x1 = 1 (1)

x2 > x1 ta có hệ x1 + x2 = m + 5 (2)
x x = m + 6 (3)
1 2

a) Giả sử

x2 = m + 6
x1 = m + 4
2 . Thay vào (1) =>
2
(1) + (2) =>
x1 , x2

Thay
vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy m = 0 hoặc m = -14
24


b) Ta có hệ

2 x1 + 3 x2 = 13

x1 + x2 = m + 5
x x = m + 6
1 2

Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1
2

Bài 46: Cho phơng trình bậc hai 3 x mx + 2 = 0

x ,x
3 x1 x2 = 2 x1 2
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 thỏa mãn hệ thức

x ,x
Tính 1 2 ?

x ,x
Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm 1 2 <=> = m 24 m 0
2

<=> m 2

6 hoặc m 2 6


3 x1 x2 = 2 x1 2

m
x1 + x2 =

3

x x = 2
x1 = 2, x2 = 1 , m = 7
1 2

3
3
Ta có:
. Tìm đợc
2
Bài 47: Cho phơng trình bậc hai x + ax + a + 7 = 0
2

2

x ,x
x + x2 = 10
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 1 2 thỏa mãn hệ thức 1
2

Hớng dẫn: Ta cần có điều kiện = a 4 a 28 0 (*)

x + x2 = a,
Theo định lí Vi - ét 1
2

x1 x2 = a + 7

2

x + x2 = 10 tìm đợc a1 = 6, a2 = 4
Từ 1

a1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (*) và a2 = 4 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy a = - 4

2

Bài 48: Cho phơng trình bậc hai x + mx + m + 7 = 0
2
2
3
3
x
+
x
x
+
x
1
2
1
2
a) Tính
và
theo m
2
2

x + x2 = 10
b) Tìm giá trị của m để 1

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 rồi tính nốt nghiệm thứ hai.
Hớng dẫn:
2
2
2
x
+
x
1
2
a)
= m 2 m 14
3
3
2
2
2
x1 + x2 = ( x1 + x2 )( x1 x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) 3 x1 x2


3
3
x + x2 = m( m2 + 3 m + 21)
Theo Vi - ét ta tính đợc 1

b)

m1 = 6( loại ) và m2 = - 4 (nhận) => m = - 4

x = 2, x2 = 9
c) m = 11 và 1
2

Bài 49: Cho phơng trình x + 3 x m = 0
a) Tìm những giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2. Tìm nốt nghiệm kia
Hớng dẫn:
25