Đề kiểm tra 1 tiết môn toán lớp 12 đề số 17

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
ĐỀ 17

MÔN: GIẢI TÍCH 12
Thời gian: 45 phút

Câu 1 (6 điểm). Cho hàm số

y = 2x 3 − 6x

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ x = 2.
3) Tìm số nghiệm của phương trình

x 3 − 3x − a = 0

biết rằng |a| < 2 ( a là tham số).

Câu 2 (2 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu 3 (2 điểm). Cho hàm số
y = x+m.

y=

2x − 1
x −1

f ( x) =

1 5 4 3
x − x +1
5
3

trên đoạn [-1; 2]

có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình:

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đường thẳng d luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời tích các hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại
A và B là một hằng số.

TaiLieu.VN

Page 1


ĐÁP ÁN
Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1 1. Khảo sát hàm số

3,5

TXĐ R

0,25

y ' = 6 x 2 − 6 = 0 ⇔ x = ±1

1,0

Giới hạn, tiệm cận:
lim y = −∞

0,25

lim y = +∞

x → −∞

x → +∞

Bảng biến thiên
x

-∞

y'

-1
+ 0

1

-

0

4
y

-∞

+∞
+
+∞

-4

Hàm số đồng biến trong các khoảng (- ∞; -1) và (1; +∞)
Nghịch biến trong khoảng (-1; 1)

0,5

0,25

Cực trị: xCĐ = -1, yCĐ = 4; xCT = 1, yCT = -4

0,25

Đồ thị:

1,0

Điểm uốn O(0;0)
Chọn thêm điểm: (-2; - 4), (2; 4)

TaiLieu.VN

Page 2


Câu

Đáp án

Điểm

2. Viết phương trình tiếp tuyến

1,5

Câu 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0 = 2
⇒ y0 = 4

=> Pt tiếp tuyến:

y = 18( x − 2) + 4 ⇔ y = 18 x − 32

3. Tìm số nghiệm của phương trình
+ |a| < 2
TaiLieu.VN

1,0

và f'(x0) = 18

⇔ −2 < a < 2 ⇔ −4 < −2a < 4

x 3 − 3 x − a = 0 (2)

0,5
1,0
0,25
Page 3


Câu

Đáp án

Điểm

(2) ⇔ 2 x 3 − 6 x = 2a

+ Số nghiệm của phương trình (2) cũng là số giao điểm của
đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = 2a

0,25

+ Khi −4 < 2a < 4 thì đường thẳng y = 2a cắt đồ thị (1) tại ba
điểm phân biệt.
Vậy với |a| < 2 thì phương trình (2) có ba nghệm phân biệt

0,25

0,25
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Câu 2
2].

y = x 4 − 4x 2 + 3

trên đoạn [-1;

2,0

Hàm số liên tục trên đoạn [-1; 2]
0,75

y' = x 4 − 4x 2
y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2
y (−1) =

32
,
15

y (2) = −

Max y = y(-1) =
Min y =
Câu 3 Hàm số

49
,
15

32
15

0,5

49
y (2) = −
15
y=

2x − 1
;
x −1

d:

2,0

y = x+m

Pt hđgđ của d và (C) là

TaiLieu.VN

0,75

y (0) = 1,

x+m=

2x − 1
x −1

(2)

Page 4


Câu

Đáp án

Điểm

Khi x ≠ 1, phương trình (2) tương đương với:
x 2 + (m − 3) x + 1 − m = 0 (3)
∆ = (m − 3) 2 − 4(1 − m) = m 2 − 2m + 5 = (m − 1) 2 + 4 > 0

0,25
với mọi m

pt (3) có Δ > 0 và x = 1 không phải là nghiệm nên (3) luôn có
hai nghiệm phân biệt <=> d luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B.

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm x0 là

y '( x0 ) =

−1
( x0 − 1) 2

0,5

0,25

Do đó gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại
các điểm A, B thì ta có:
k1 =

−1
( x1 − 1) 2

;

k2 =

−1
( x2 − 1) 2

trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (3)
Ta có
= [x

k1.k2 =

0,25

1
1
1
.
=
2
2
( x1 − 1) ( x2 − 1)
[( x1 − 1)( x2 − 1)]2

1
2
1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1]

=

1
=1
[1 − m + m − 3 + 1]2

với mọi m (đpcm)
0,25

0,5

TaiLieu.VN

Page 5